théorie des plaques

Objectifs:– Compréhension analytique et intuitive du comportement mécanique des structures – Ne pas concurrencer l’ordinateur– Choisir la bonne modélisation et apprécier les résultats d’une manière critique

Mécanique des Structures II

Contenu: – Plaques– Parois– Torsion non uniforme

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Dalles: éléments porteurs principalement en béton armé

– Bâtiment:

– Pont:

Fréquemment utilisés dans la construction, notamment dans:

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Flexion des plaques: définitions et hypothèses

Structures bidimensionnelles planes:

Hypothèses:– Normales au feuillet moyen restent normales (Bernoulli)– Le feuillet moyen ne subit aucune déformation dans son plan– Les contraintes normales au feuillet moyen peuvent être négligées– Matériau homogène et isotrope (béton, béton armé ?)– Matériau élastique linéaire (béton, béton fissuré ?)– Dalle mince d’épaisseur constante (L/h > 15)– Déformations faibles (w < 1/5 h)

Bibliographie:

– Timoshenko S. P., Woinowsky-Krieger S.: Théorie des plaques et coques. Librairie Polytechnique CH. Beranger, 1968

– Pucher A.: Einflussfelder elastischer Platten. Springer-Verlag, 1977

– Favre R., Jaccoud J.-P., Burdet O., Charif H.: Dimensionnement des stuctures en béton. Traité de Génie Civil de l’EPFL, Volume 8

Plaques Voiles

charges: perpendiculaires à la surface dans le plan

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Flexion: rappel du mode opératoire pour les poutres (c. f. TGC 2)Cinématique:(relations géométriques d’un petit élément isolé dans sa position déformée)

⇒dx′dx

r – yr=

yr= 1 –

dx′dx

dx′ – dxdx=

yr= –ε – 1 =

relations indépendantes du matériau: valables quelle que soit la loi constitutive

– Approximation des petites déformations:

– Expression des dilatations:

⇒= ≈r dθ ds dx21

r = d vdx2et dv

dxθ ≈tgθ =

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Flexion: rappel du mode opératoire pour les poutres (suite)

Loi constitutive:

– loi de Hooke: ⇒ =E yr–σ=σ E ε

Principe d’équivalence:

Equations différentielles des poutres fléchies:

Equilibre:

dVdx – q=

dMdx – V= ⇒ =

2d Mdx2 q

=dx

4d v4 EI

q

⇒=Er=M –∫ σ y dA

A ∫ y dAA

2 =1r=

Er I

MEI

21r = d v

dx2MEI=

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Plaques: Cinématique

– relation dans le plan xz (y = const.):

– déformations dans le plan xy passant par D:

Conservation des sections planes (hypothèse de Bernoulli)

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Plaques: Cinématique

Déformation d’un élément dans son plan:

Déformations spécifiques:

Déformations d’un feuillet quelconque situé à z du feuillet moyen:

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Plaques: Relation d’état

Loi de Hooke à deux dimensions (c. f. TGC 3):

Contraintes:

avec les déformations déterminées auparavant:

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Plaques: Principe d’équivalence (c. f. TGC 2)

Distribution des contraintes dans la hauteur du profil:

Efforts internes correspondants:

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10.

Plaques: Principe d’équivalence

Relations entre les contraintes et les efforts internes:

avec les contraintes déterminées auparavant:

où B représente la rigidité de flexion:

∂y

2∂ w∂x

– (1–ν) Bmxy =

mx= + ν∂x

2∂ w2 ∂y

2∂ w2– B ( ) my= + ν∂y

2∂ w2 ∂x

2∂ w2– B ( )

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11.

Plaques: Conditions d’équilibre

Forces et moments agissant sur l’élément:

Les accroissements s’expriment à l’aide des dérivées partielles:

∂mx∂x dx=dmx

∂my∂y dy=dmy

∂mxy∂x dx=dmxy

∂qx∂x dx=dqx

∂qy∂y dy=dqy

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12.

Plaques: Conditions d’équilibre

Equilibre des forces verticales:

Equilibre des moments:

Combinaison des conditions d’équilibre:

après simplification:

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13.

Plaques: Equation de Lagrange

en introduisant l’expression des moments:

dans la relation traduisant les conditions d’équilibre:

on obtient l’équation de Lagrange (1811):

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