temps et thermodynamique quantique journée ludwig boltzmann
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Temps et thermodynamique quantique
Journee Ludwig Boltzmann
1
Ensemble Canonique
Distribution de Maxwell-Boltzmann,
Ensemble canonique
ϕ(A) = Z−1 tr(A e−β H)
Z = tr(e−β H)
2
La condition KMS
ϕ(x∗x) ≥ 0 ∀x ∈ A , ϕ(1) = 1 .
σt ∈ Aut(A)
Im z = β
Im z = 0F(t) = ϕ(aσt(b))
F(t + iβ) = ϕ(σt(b)a)
0
iβ
Fx,y(t) = ϕ(xσt(y))
Fx,y(t + iβ) = ϕ(σt(y)x), ∀t ∈ R.
3
Tomita (1967)+ T (cf. 7)
Theoreme
Soit M une algebre de von Neumann et ϕ un
etat normal fidele sur M , il existe alors un
unique groupe a un parametre
σϕt ∈ Aut(M)
qui verifie la condition KMS pour β = 1.
4
These (1972)
Theoreme (ac)
1 → Int(M) → Aut(M) → Out(M) → 1,
La classe de σϕt dans Out(M) ne depend pas
du choix de l’etat ϕ.
Donc une algebre de von Neumann M, possede
une evolution canonique
R δ−→ Out(M).
Noncommutativite ⇒ Evolution
5
Cette evolution est-elle reliee au “temps” ?
Rovelli 1992 : Origine thermodynamique du temps
6
1. Nous interpretons le temps comme un groupe
a 1- parametre d’automorphismes de l’algebre
des observables en gravitation.
2. Nous attribuons l’existence et les proprietes
du flot a des causes thermodynamiques.
3. Dans un contexte covariant comme celui
de la relativite generale la notion de temps
n’est plus independante de l’etat du systeme
comme en physique prerelativiste mais depend
explicitement de l’etat dans lequel le systeme
se trouve.
Quelle est l’algebre des observables en GQ? ?
7
Fond infrarouge extragalactique
Notre groupe local de galaxies se deplace aenviron 600 km par seconde par rapport a laradiation relique. Le soleil ne se deplace qu’a370 km par seconde, a cause du mouvementrelatif au groupe local.
8
Frobenius en caracteristique zero
(ac + c. Consani +m. Marcolli)
1. Thermodynamique des espaces
noncommutatifs
2. Categorie des Λ-modules =
categorie abelienne
(Λ = categorie cyclique)
3. Endomotifs
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Thermodynamique des espaces noncommutatifs
Refroidir T ↓ :
Eβ etats KMSβ extremaux, pour β > 1
ρ : Aoσ R→ S(Eβ × R∗+)⊗ L1
Distiller :
Λ-module D(A, ϕ) donne par le conoyau du
morphisme cyclique composition de ρ avec la
trace Tr : L1 → C
Action duale :
Spectre de l’action de R∗+ sur l’homologie cy-
clique
HC0(D(A, ϕ))
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Endomotifs
A est une limite inductive d’algebres reduites
commutatives de dimension finie sur K et S est
un semigroupe d’endomorphismes
ρ : A → A
AK = Ao S
Endomorphismes d’une variete algebrique,
Xs = {y ∈ Y : s(y) = ∗}.
Xsr 3 y 7→ r(y) ∈ Xs.
X = lim←−s
Xs
ξsu(ρs(x)) = ξu(x)
Exemple : Le groupe multiplicatif Gm(Q)
11
Systeme BC
Presentation explicite µn, n ∈ N et e(r), pour
r ∈ Q/Z, verifiant les relations
– µ∗nµn = 1, pour tout n ∈ N,
– µkµn = µkn, pour tous k, n ∈ N,
– e(0) = 1, e(r)∗ = e(−r), et
e(r)e(s) = e(r + s)
pour tous r, s ∈ Q/Z,– Pour tous n ∈ N et r ∈ Q/Z,
µn e(r)µ∗n =1
n
∑ns=r
e(s).
σt(µn) = nitµn, σt(e(r)) = e(r).
12
Transition de phase avec BSS
L’unique etat KMS au dessus de la temperature
critique est
ϕβ (e(a/b)) = b−β∏
p prime, p|b
(1− pβ−1
1− p−1
),
et les etats KMS extremaux au dessous de la
temperature critique sont donnes par
ϕβ,ρ(e(a/b)) =Tr(πρ(e(a/b))e−βH)
Tr(e−βH)
=1
ζ(β)
∞∑
n=1
n−βρ(ζna/b),
ou πρ est la representation de l’algebre A sur
l’espace de Hilbert H = `2(N) donnee par
πρ(µn)εm = εnm, πρ(e(a/b))εm = ρ(ζma/b)εm,
ou ρ ∈ Z∗ determine un plongement dans C du
corps cyclotomique Qcycl.
13
Interpretation Cohomologique de la realisation
spectrale
Gm(Q), le systeme BC → (A, ϕ) avec action du
groupe de Galois absolu Gal(Q/Q).
Caractere χ de Gal(Q/Q) → projection pχ.
Theoreme
La representation de R∗+ dans
M = HC0(pχ D(A, ϕ))
donne la realisation spectrale des zeros de la
fonction Lχ.
14
15
Formule Explicite = Formule de Trace (ac
+ rm + cc +mm)
TraceH1(h) = h(0)+ h(1)−∑v
∫
K∗v
h(u−1)
|1− u| d∗u
ou∑
v∫K∗
v
h(u−1)|1−u| d∗u est l’intersection
Z(h) •∆
TraceH1(h) = h(0) + h(1)− ∆ •∆ h(1)
−∑v
∫
(K∗v ,eKv)
h(u−1)
|1− u| d∗u
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Extensions non-ramifiees K→ K⊗FqFq
Analogue pour Q de K→ K⊗FqFq
Corps Global K Facteur M
ModK ⊂ R∗+ ModM ⊂ R∗+
K→ K⊗FqFqn M → M oσT Z
K→ K⊗FqFq M → M oσ R
Points C(Fq) Γ ⊂ XQ
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KMS et la transition de phase electrofaible
Le potentiel effectif a temperature T est le
meme que le potentiel effectif a temperature
nulle dans le produit par un cercle S1 de lon-
gueur β = 1T .
∫dk0 → 2πT
∑
n∈Z,
∫dk0 → 2πT
∑
n∈Z+12
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A une boucle on obtient
V (φc) = V0(φc)+
~2
T∑
n∈Z
∫log(k2+(2πnT )2+V
′′0 (φc))
d3k
(2π)3+O(~2)
et
VT (φc) = VT=0(φc)+
~T4
2π2
∫ ∞0
log
(1− exp[−
√x2 + V
′′0 (φc)/T2 ]
)x2dx
Cela rajoute
− 11
360π2 T4 +
1
24V′′0 (φc)T2 + . . .
pour les bosons et
− 7
180π2 T4 +
1
12V′′0 (φc)T2 + . . .
pour les fermions.
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Brisure de symetrie spontanee
En fait la transition de phase electrofaible est
un cas particulier de la brisure de symetrie pro-
venant de la geometrie
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Q-reseaux (ac + mm)
Un Q-reseau dans Rn est un couple (Λ, φ) , ouΛ est un reseau dans Rn, et
φ : Qn/Zn −→ QΛ/Λ
un homomorphisme de groupes abeliens.
Deux Q-reseaux (Λ1, φ1) et (Λ2, φ2) sont com-mensurables si les reseaux le sont (i.e. QΛ1 =QΛ2) et
φ1 ≡ φ2 mod Λ1 + Λ2.
Systeme BC = espace des Q-reseaux de dimen-sion 1 modulo changement d’echelle et com-mensurabilite.
Dimension 2 ⇒ transition double21
Q-Reseaux GQ?
Couples de Q-reseaux Correspondance Spectralecommensurables
Changement d’echelle D 7→ λD
Composition des couples Compositionde Q-reseaux des correspondances
Unites du groupoide Triplets spectraux reels
γ → γ−1 Correspondancecontragrediente
C∗-algebre de groupoide Algebre de Hecke desfonctions de correspondances
Series d’Eisenstein D → Tr(D−n)
Q-reseaux inversibles Triplets spectrauxa dualite de Poincare
Variete de Shimura Espace des modulesd’operateurs D
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Redshift
Les radiations emises dans l’ultraviolet (1014
cycles par seconde) sont observees dans l’in-
frarouge (1012 cycles par seconde) : facteur
100 ( !)
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References
A. Connes, Une classification des facteurs de type III.Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 6 (1973), 133–252.
A. Connes, M. Marcolli, From physics to number theoryvia noncommutative geometry, Part I : Quantum statis-tical mechanics of Q-lattices, math.NT/0404128.
A. Connes, M. Marcolli, Noncommutative geometry, fromquantum fields to motives (tentative title), book in pre-paration. To appear as a co-publication of the AmericanMathematical Society, Colloquium Publications Series,and Hindustan Book Agency, Texts and Readings in Ma-thematics Series.
A. Connes, C. Consani, M. Marcolli, Noncommutativegeometry and motives : the thermodynamics of endo-motives, math.QA/0512138.
A. Connes and C. Rovelli. von Neumann algebra au-tomorphisms and time-thermodynamics relation in ge-nerally covariant quantum theories. Classical QuantumGravity, 11 (1994) N.12, 2899–2917.
C. Rovelli. Statistical mechanics of gravity and the ther-modynamical origin of time. Classical Quantum Gravity,10 (1993) N.8, 1549–1566.
M. Takesaki, Tomita’s theory of modular Hilbert alge-bras and its applications. Lecture Notes in Math., 28,Springer, 1970.
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