syst mes de coordonn es
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Mécanique
Claude Pasquier
claude.pasquier@u-psud.fr
01 69 15 53 00
1
Mécanique
Organisation générale : • 20h de cours (C.Pasquier) • 36h de Travaux Dirigés ( 5 groupes de TD) • 16h de TPs au Bâtiment 333 (10 groupes de TP)
Site web : http://users.lps.u-psud.fr/pasquier/enseignement/mecaS2/meca.html
• Polycopié de cours (en pdf) • Quelques formulaires de cours (en pdf) • Polycopié textes TDs (en pdf) • Polycopié TP (en pdf) • Annales avec corrigés (en pdf). Attention : le programme change !! • Liens vers d’autres sites très bien faits …
2
Mécanique
Un cours de Mécanique ? Pourquoi faire ??? Le cours est un cours de Physique classique qui introduit des notions importantes pour toute la physique étudiée les années suivantes. La mécanique est la meilleure façon d’illustrer ces concepts …
3
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
Se repérer dans le plan ou l’espace :
x y
r
q s
4
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
1) Coordonnées cartésiennes
2) Coordonnées polaires
3) Coordonnées cylindriques
4) Coordonnées sphériques
5) Coordonnées intrinsèques
6) Résumé
7) Produit scalaire et produit vectoriel 5
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
1) Coordonnées cartésiennes
jyixOM
OM
(t) (t) (t)
temps
M(x,y)
O
6
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
1) Coordonnées cartésiennes
kzjyixOM
OMM(x,y,z)
(t) (t) (t) (t)
temps
Un point quelconque de l’espace
7
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
1) Coordonnées cartésiennes
2) Coordonnées polaires
3) Coordonnées cylindriques
4) Coordonnées sphériques
5) Coordonnées intrinsèques
6) Résumé
7) Produit scalaire et produit vectoriel 8
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
2) Coordonnées polaires
Plus adapté pour repérer un point sur un cercle
Les coordonnées de M sont mieux définies
par la donnée de r et q (et non x et y)
r = Cste
q(t)
Axe fixe
x
y
9
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
2) Coordonnées polaires
Plus adapté pour repérer un point sur un cercle
q
q
sin.
cos.
rjOMy
riOMx
M
X
Y
O
Y
X i
j
x
y
yxr
qtan
22
Les coordonnées de M sont définies
par la donnée de r et q (et non x et y)
ru
qu
q(t)
10
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
2) Coordonnées polaires
q
q
sin.
cos.
rjOMy
riOMx
M
X
Y
O
Y
X i
j
x
y
yxr
qtan
22
jiur
qq sincos
jyixOM
rurOM
(t) (t) (t) (t) (t) (t)
11
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
2) Coordonnées polaires
q
q
sin.
cos.
rjOMy
riOMx
M
X
Y
O
Y
X i
j
x
y
yxr
qtan
22
jiur
qq sincos
qu
est un vecteur tel que 2
,
q uur
jiu
2sin
2cos
q
jiu
qqq cossin 12
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
1) Coordonnées cartésiennes
2) Coordonnées polaires
3) Coordonnées cylindriques
4) Coordonnées sphériques
5) Coordonnées intrinsèques
6) Résumé
7) Produit scalaire et produit vectoriel 13
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
3) Coordonnées cylindriques
Plus adapté pour repérer un point sur un cylindre
r
q(t)
z(t)
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Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
3) Coordonnées cylindriques
q
q
sin.
cos.
rjOMy
riOMx
x
y
yxr
qtan
22
kzjyixOM
jiur
qq sincos (t) (t) (t) kzurOM r
(t) (t) (t) (t)
Plus adapté pour repérer un point sur un cylindre
15
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
1) Coordonnées cartésiennes
2) Coordonnées polaires
3) Coordonnées cylindriques
4) Coordonnées sphériques
5) Coordonnées intrinsèques
6) Résumé
7) Produit scalaire et produit vectoriel 16
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
4) Coordonnées sphériques
q
q
q
cos.
sinsin.
cossin.
rkOMz
rjOmy
riOmx
Plus adapté pour repérer un point sur une sphère
Les coordonnées de M sont définies
par la donnée de r, q et (et non x, y et z)
q ,0
2,0
17
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
4) Coordonnées sphériques
Plus adapté pour repérer un point sur une sphère
Coordonnées GPS :
90°-q
r = rayon de la Terre = 6400km
18
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
4) Coordonnées sphériques
q
q
q
cos.
sinsin.
cossin.
rkOMz
rjOmy
riOmx
222
222
cos
tan
zyx
z
x
y
zyxr
q
kzjyixOM
rurOM
(t) (t) (t)
Plus adapté pour repérer un point sur une sphère
19
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
1) Coordonnées cartésiennes
2) Coordonnées polaires
3) Coordonnées cylindriques
4) Coordonnées sphériques
5) Coordonnées intrinsèques
6) Résumé
7) Produit scalaire et produit vectoriel 20
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
5) Coordonnées intrinsèques
Ce que mesure le compteur kilométrique d’une voiture…
Bat 333
Gare RER Bures/Yvette
Longueur du chemin entre et M :
s = abscisse curviligne=
M X nu
tu
?OM(t)
M
tu
Vecteur tangent à la trajectoire
nu
Vecteur normal à la trajectoire
2
,
nt uu
21
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
1) Coordonnées cartésiennes
2) Coordonnées polaires
3) Coordonnées cylindriques
4) Coordonnées sphériques
5) Coordonnées intrinsèques
6) Résumé
7) Produit scalaire et produit vectoriel 22
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
6) Résumé
Dans un plan :
jyixOM
rurOM
cartésiennes
polaires
Dans l’espace :
kzjyixOM
kzurOM r
cartésiennes
cylindriques
rurOM
sphériques
! : vecteurs non identiques
plan
espace
jiu
qqq cossin
jiur
qq sincos
On peut aussi repérer la position d’un point par son abscisse curviligne, s (cf compteur kilométrique de voiture). 23
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
1) Coordonnées cartésiennes
2) Coordonnées polaires
3) Coordonnées cylindriques
4) Coordonnées sphériques
5) Coordonnées intrinsèques
6) Résumé
7) Produit scalaire et produit vectoriel 24
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
7) Produit scalaire et produit vectoriel
En mécanique, on modélise les mouvements et leurs causes, les forces, par des
vecteurs.
Afin de résoudre les problèmes de mécanique (d’électromagnétisme aux S3, S4, S5 …),
on a besoin de projeter les vecteurs sur des directions particulières en utilisant les
produits scalaires.
En présence de rotations, on utilise également le produit vectoriel ce qui sera un cas
rencontré souvent ce semestre et pour l’électromagnétisme en S3 et S4
25
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
7) Produit scalaire et produit vectoriel
Produit scalaire de deux vecteurs A et B
Le produit scalaire de deux vecteurs mesure l’intensité de la projection d’un vecteur sur l’autre. C’est un nombre positif ou négatif
AB
AB.A
B,AcosBAB.A
C
AC.A
26
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
7) Produit scalaire et produit vectoriel
Produit vectoriel de deux vecteurs A et B
Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur. Il mesure la surface du parallélogramme basé sur les deux vecteurs.
AB
B,AsinBA
BABA
Notation
anglo-saxonne
A
B
Règle des 3 doigts
Main droite 27
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
7) Produit scalaire et produit vectoriel
Propriétés du produit scalaire et du produit vectoriel
Propriétés Produit scalaire Produit vectoriel
Notation
Nature Scalaire (nombre) Vecteur
Valeur
Commutation
Associativité
Produit avec lui-même
B.A
BA
B,AcosBAB.A
B,AsinBA
B.AA.B
BAAB
! C.AB.ACB.A
CABACBA
2
AA.A
0AA
28
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
7) Produit scalaire et produit vectoriel
Propriétés du produit scalaire et du produit vectoriel
Propriétés Produit scalaire Produit vectoriel
Notation
Produit nul (les deux vecteurs
sont non nuls)
‘Valeur’ maximale
Valeur en fonction des coordonnées
B.A
BA
BAssi0B.A
B//Assi0BA
BAB.A,B//Asi
BABA,BAsi
zyx A,A,AA
zyx B,B,BB
zzyyxx BABABA B.A
xyyx
zxxz
yzzy
BABA
BABA
BABA
BA
29
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées 7) Produit scalaire et produit vectoriel
Applications du produit vectoriel : coordonnées cartésiennes
ikj
kji
jik
30
Chapitre 1: Systèmes de coordonnées
jiu
qqq cossin
jiur
qq sincos
7) Produit scalaire et produit vectoriel
Applications du produit vectoriel aux coordonnées cylindriques
r
r
uku
kuu
uuk
r
q
q
q
31
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