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Objectif :

McaniqueStatique des fluidesH1

Mcanique des Fluides: Hydrostatique

1. Rsolution d'un problme de mcanique des fluides

Comme pour tout problme de mcanique, la rsolution d'un problme de mcanique des fluides passe par la dfinition d'un systme matriel S, particules fluides l'intrieur d'une surface ferme limitant S. A ce systme matriel S, seront appliqus les principes et thormes gnraux de mcanique et thermodynamique:

principe de conservation de la masse,

principe fondamentale de la dynamique (efforts + cinmatique),

principe de conservation de l'nergie.

Ces principes aboutissent un certain nombre d'quations qui permettent la rsolution d'un problme de mcanique des fluides. Les dmonstrations de ces "formules" dpassent le cadre de notre tude. En effet, elles font appels de nombreux outils mathmatiques (diffrentielle, rotationnel, divergence, laplacien...) et autres rjouissances largement hors programme. Il vous faudra donc, pour l'instant, admettre les quelques rsultats de la mcanique des fluides. Il faudra faire tout particulirement attention aux hypothses qui ont permis de mettre en place telle, ou telle autre quation.

2. Proprits de la pression en un point dun fluide

2.1. Proprit 1:

Les actions ou les forces de pression sexercent toujours perpendiculairement aux surfaces sur lesquelles elles agissent.

2.2. Proprit 2: (thorme de Pascal)

La pression en nimporte quel point dun fluide est la mme dans toutes les directions : verticale, horizontale ou incline (quelque soit l'angle d'inclinaison).

3. Pouss d'Archimde

3.1. Thorme:

La rsultante des forces de pression exerces sur la surface un objet compltement immerg, encore appele pousse d'Archimde, est gale et oppose au poids du volume de fluide dplac par limmersion.

4. Hydrostatique

4.1 DfinitionL'hydrostatique est l'tude d'un fluide au repos. Elle s'apparente donc la statique applique aux fluides. Cette discipline permet, par exemple, l'tude :

des corps flottants,

des barrages, etc...

4.2 Equation fondamentale de l'HydrostatiqueDans le cas de l'hydrostatique, la masse volumique et la temprature T sont constantes dans tout le fluide. De plus, les forces extrieures distance se rduisent aux seules forces de pesanteur. Il est relativement facile de dmontrer l'quation fondamentale suivante:

Pg = P + .g.z = Constante

avec:P: Pression au sein du fluide (en Pa)

: Masse volumique du fluide (en Kg/m3)

g: Acclration de pesanteur (9,81 m/s2)

z: Altitude (en m) du point o l'on mesure P.

La quantit P + .g.z est appele Pg, Pression Motrice. En hydrostatique, la pression motrice Pg est constante et peut tre calcule sur la surface libre (en contact avec l'atmosphre) ventuelle du fluide.

4.3 Interprtation

La surface libre ( la cote Z2) du fluide est soumise la pression atmosphrique(1 atm). Le fluide situ au dessus du point M ( la cote Z1) "pse" sur le point M. Par consquent la pression qui rgne en M est suprieure la pression atmosphrique.

5 Exemples d'applications

5.1 Pression dans les fonds sous-marins

Considrons un banc de dauphins qui se promnent une profondeur de 10 mtres.

A la surface (libre) de la mer, la pression est de 1 atmosphre. L'altitude est de 0 m. Nous considrerons que la masse volumique de la mer est d'environ mer = 1 000 kg/m3.

En un point A de la surface libre de la mer, on peut appliquer l'quation fondamentale de l'hydrostatique :

P + .g.z = Cte. On obtient ainsi, l'quation suivante:

PA + mer.g.ZA = Cte avec (PA = 1 atm, ZA = 0, mer = 1 000 kg/m3, g = 9,81 m/s2)

Appliquons au point M, cette mme quation. Il vient alors: PM + mer.g.ZM = Cte.Dans cette quation, la pression PM est inconnue.

En regroupant ces deux quations, nous obtenons alors:

PA + mer.g.ZA = PM + mer.g.ZM

d'o :

PM = PA + mer.g.( ZA - ZM)

L'application numrique donne : PM = 0,1 . 106 + 1000 . 9,81 . (0 - (-10)) = 0,198 . 106 Pa

PM = 1,98 atm

Nous pouvons donc conclure, qu' chaque fois que nous plongeons de 10 mtres sous la mer, la pression augmente d'une atmosphre.

Pour cette raison, nous comprenons facilement pourquoi il a t ncessaire d'envoyer un "sous-marin de poche" la place d'un plongeur pour l'observation de l'pave du Titanic situe une profondeur d'environ 4000 mtres. La pression qui rgne cet "endroit" est d'environ 400 fois suprieure la pression atmosphrique !!! La conception de ce sous-marin de poche est, en soi, un exploit technologique.

5.2 Constatations

Les consquences qui dcoulent de l'quation fondamentale de l'hydrostatique, sont nombreuses et importantes:

les surfaces isobares (surfaces o la pression reste identique) dans un fluide homogne soumis l'action de pesanteur sont des plans, car P = Cte entrane Z = Cte,

la surface de sparation de deux fluides de densit diffrente et non miscibles est un plan horizontal,

la diffrence de pression entre deux points quelconques A et B, pris l'intrieur du fluide, ne dpend que de la distance verticale entre les deux points.

Exercices:

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