soutenance de thèse

Soutenance de thèse - lundi 26 novembre 2012

Problèmes d’interactionsentre une structure déformable et

un fluide visqueux et incompressible.

Sébastien Court

Présentation Solutions fortes Stabilisation du système fluide-solide Méthode numérique Perspectives

1 Présentation d’un système fluide-solide1. Le solide 2. Le fluide 3. Le système complet

2 Existence de solutions fortes pour des déformations données1. Résultat principal 2. Méthodes

3 Stabilisation du système fluide-solide, par la déformation dusolide autopropulsé

1. Définitions et notations 2. Stabilisation du système linéarisé 3. Prise en

compte des contraintes non linéaires 4. Stabilisation du non linéaire

4 Une méthode de stabilisation numérique pour le problème deStokes

1. Motivation 2. Principes 3. Résultats numériques

5 Perspectives

2 / 73Soutenance de thèse - lundi 26 novembre 2012N

1 Présentation d’un système fluide-solide1. Le solide 2. Le fluide 3. Le système complet

2 Existence de solutions fortes pour des déformations données

5 Perspectives

Motivation

La nage à nombre de Reynolds intermédiaire :

Stabiliser les vitesses du nageur.

Comprendre les phénomènes physiques en jeu.

L’étude de modèles mathématiques peut aider à cette compréhension.

Situation

O = F(t) ∪ S(t) ⊂ R2 ou R3.

Le solide

Description Lagrangienne : S(t) = XS(S(0), t).

XS(·, t)

S(0) S(t)

Le principe de conservation de la masse donne :

ρS(XS(y , t), t) =ρS(y , 0)

det (∇XS(y , t)), y ∈ S(0).

Élements cinématiques du solide

La vitesse Eulérienne du solide :

uS(x , t) =∂XS∂t

(YS(x , t), t).

La position de son centre de gravité :

h(t) =1M

∫S(t)

ρS(x , t)xdx .

Sa vitesse angulaire :

ω(t) = I (t)−1∫S(t)

ρS(x , t)(x − h(t)) ∧ (uS(x , t)− h′(t))dx .

Élements cinématiques du solide

La matrice d’inertie du solide a pour expression :

I (t) =

∫S(t)

ρS(x , t)(|x |2IR3 − x ⊗ x

Au vecteur vitesse angulaire ω on peut associer la rotation R définiecomme solution du problème de Cauchy suivant : dR

dt= S (ω)R

R(0) = IR3 ,avec S(ω) =

0 −ω3 ω2ω3 0 −ω1−ω2 ω1 0

On a :

S (ω) x = ω ∧ x .

Décomposition du mouvement

Pour le solide on adopte une description Lagrangienne XS(·, t) que l’ondécompose de la manière suivante :

XS(y , t) = h(t) + R(t)X ∗(y , t), y ∈ S(0).

X ∗(·, t)h(t) + R(t)Id

XS(·, t)

S(0) S∗(t)

L’application X ∗(·, t) représente la déformation du solide dans son propreréférentiel. On peut la considérer comme fonction de contrôle.

Les contraintes imposées sur la déformationdu solide

H1 Pour tout t ≥ 0, l’application X ∗(·, t) est unC 1-difféomorphisme de S(0) sur X ∗(S(0), t).

H2 Le volume du solide est supposé constant au cours dutemps. Cela revient à supposer que∫

∂S(0)

∂X ∗

∂t· (cof∇X ∗) ndΓ = 0.

H3 La déformation ne modifie pas la quantité de mouvementdu solide au cours du temps :∫

ρS(y , 0)X ∗(y , t)dy = 0.

H4 La déformation ne modifie pas son moment cinétique aucours du temps :∫

ρS(y , 0)X ∗(y , t) ∧ ∂X∗

∂t(y , t)dy = 0.

∂S(0)

∂X ∗

∂t· (cof∇X ∗) ndΓ = 0.

ρS(y , 0)X ∗(y , t)dy = 0.

ρS(y , 0)X ∗(y , t) ∧ ∂X∗

∂t(y , t)dy = 0.

∂S(0)

∂X ∗

∂t· (cof∇X ∗) ndΓ = 0.

ρS(y , 0)X ∗(y , t)dy = 0.

ρS(y , 0)X ∗(y , t) ∧ ∂X∗

∂t(y , t)dy = 0.

∂S(0)

∂X ∗

∂t· (cof∇X ∗) ndΓ = 0.

ρS(y , 0)X ∗(y , t)dy = 0.

ρS(y , 0)X ∗(y , t) ∧ ∂X∗

∂t(y , t)dy = 0.

Décomposition de la vitesse du solide

Si on note Y ∗(·, t) l’inverse de X ∗(·, t), on définit :

w∗(x∗, t) =∂X ∗

∂t(Y ∗(x∗, t), t), x∗ ∈ X ∗(S(0), t).

La vitesse induite par la déformation X ∗, dans le référentiel Galiléen,s’écrit :

w(x , t) = R(t)w∗(R(t)T (x − h(t)), t), x ∈ S(t),

La vitesse Eulérienne du solide se décompose comme suit :

uS(x , t) = h′(t) + ω(t) ∧ (x − h(t)) + w(x , t), x ∈ ∂S(t).

Le fluide

Le fluide occupe le domaine

F(t) = O \ S(t).

Il est supposé visqueux (de viscosité dynamique ν > 0), etincompressible. On fixe sa masse volumique ρ ≡ 1, et l’incompressiblité setraduit par la contrainte :

div u = 0.

Il satisfait aux équations de Navier-Stokes incompressibles :

∂t+ (u · ∇)u − ν∆u +∇p = 0 dans F(t),

divu = 0 dans F(t).

Le système complet

∂t− ν∆u + (u · ∇)u +∇p = 0, x ∈ F(t), t ∈ (0,T ),

div u = 0, x ∈ F(t), t ∈ (0,T ),

u = 0, x ∈ ∂O, t ∈ (0,T ),

u = h′(t) + ω(t) ∧ (x − h(t)) + w(x , t), x ∈ ∂S(t), t ∈ (0,T ),

Mh′′(t) = −∫∂S(t)

σ(u, p)ndΓ, t ∈ (0,T ),

(Iω)′ (t) = −∫∂S(t)

(x − h(t)) ∧ σ(u, p)ndΓ, t ∈ (0,T ),

u(y , 0) = u0(y), y ∈ F(0), h′(0) = h1 ∈ R3, ω(0) = ω0 ∈ R3.

En domaines variables

Les domaines F(t) et S(t) sont aussi inconnues :

S(t) = h(t) + R(t)X ∗(S(0), t),

F(t) = O \ S(t).

La vitesse w aussi :

w(x , t) = R(t)w∗(R(t)T (x − h(t)), t), x ∈ ∂S(t).

1 Présentation d’un système fluide-solide

2 Existence de solutions fortes pour des déformations données1. Résultat principal 2. Méthodes

5 Perspectives

Cadre fonctionnel

Soit T > 0. On cherche la vitesse du fluide u dans l’espace

U(0,T ;F(t)) = L2(0,T ;H2(F(t))) ∩H1(0,T ;L2(F(t)))

∩C ([0,T ];H1(F(t)))

muni de la norme :

‖u‖2U(0,T ;F(t)) =

0‖u(·, t)‖2H2(F(t))dt +

∥∥∥∥∂u∂t (·, t)

∥∥∥∥2

L2(F(t))

+ supt∈(0,T )

‖u(·, t)‖2H1(F(t)).

La pression p est cherchée dans l’espace L2(0,T ;H1(F(t))) que nouspouvons définir de manière analogue.

Cadre fonctionnel

Pour le solide, l’application X ∗ est choisie comme donnée. On supposequ’elle vérifie :

∂X ∗

∂t∈ L2(0,T ;Hm(S)) ∩H1(0,T ;H1(S)),

X ∗(·, 0) = IdS ,∂X ∗

∂t(·, 0) = 0,

où m ≥ 3 est un entier. On définit alors plus généralement l’espaceWm

0 (0,T ;S) comme suit :

X ∗ ∈ Wm0 (0,T ;S)⇔

∂X ∗

∂t∈ Hm,m/2(S × (0,T )),

X ∗(y , 0) = y ,∂X ∗

∂t(·, 0) = 0 ∀y ∈ S.

Résultat principal

ThéorèmeSupposons que X ∗ est assez proche de IdS dans Wm

0 (0,∞;S) - oùm ≥ 3 - et satisfait les hypothèses H1−H4 données plus haut.Supposons que dist(S(0), ∂O) > 0, et que u0 ∈ H1(F) vérifie

div u0 = 0 in F , u0 = 0 on ∂O, u0(y) = h1 + ω0 ∧ y on ∂S.

Supposons aussi que ‖u0‖H1(F), |h1|R3 and |ω0|R3 sont assez petites.Le système fluide-solide admet alors une unique solution forte(u, p, h′, ω) dans

U(0,∞;F(t))× L2(0,∞;H1(F(t)))×H1(0,∞;R3)×H1(0,∞;R3).

Références

J. San Martín, J.-F. Scheid, T. Takahashi, M. Tucsnak, An initial andboundary value problem modeling of fish-like swimming, Arch. RationalMech. Anal., 188 (2008), pp. 429–455.

M. Boulakia, E. L. Schwindt, T. Takahashi, Existence of Strong Solutionsfor the Motion of an Elastic Structure in an Incompressible Viscous Fluid,Interfaces and Free Boundaries, 14 (2012), pp. 273–306.

Changement de variables

On définit un C 1-difféomorphisme

X (·, t) : F(0) −→ F(t),

qui doit vérifier les propriétés suivantes :det∇X = 1, dans F(0)× (0,∞),X = XS , sur ∂S(0)× (0,∞),X = Id∂O, sur ∂O × (0,∞).

Pour cela, on construit d’abord une application X qui a les propriétésvoulues afin de définir X via la décomposition :

X (y , t) = h(t) + R(t)X (y , t), y ∈ F(0).

Changement d’inconnues

À l’aide de ce changement de variables, on effectue le changementd’inconnues

u(y , t) = R(t)Tu(X (y , t), t), p(y , t) = p(X (y , t), t),

h′(t) = R(t)Th′(t), ω(t) = R(t)Tω(t).

Le but est de se ramener à un système dont les inconnues évoluent dansdes domaines cylindriques du type

F(0)× (0,T ) au lieu de⋃

t∈(0,T )

F(t)× t.

Les nouvelles inconnues sont recherchées dans des espaces fonctionnelsplus standards.

Par la suite on notera F = F(0) et S = S(0).

Réecriture en domaines fixes

Le système non linéaire obtenu est :∂u

∂t− ν[Lu] + [Mu] + [Nu] + ω(t) ∧ u + [Gp] = 0,

div u = gu, dans F × (0,∞),

u = 0, dans ∂O × (0,T ),

u = h′(t) + ω(t) ∧ X ∗(y , t) +∂X ∗

∂t(y , t), y ∈ ∂S, t ∈ (0,T ),

Mh′′(t) = −∫∂S

Σ(u, p)cof(∇X

−Mω(t) ∧ h′(t), t ∈ (0,T )

I ∗(t)ω′(t) = −∫∂S

X ∗ ∧(

Σ(u, p)cof(∇X

−I ∗′(t)ω(t) + I ∗(t)ω(t) ∧ ω(t), t ∈ (0,T ),

u(y , 0) = u0(y), y ∈ F , h′(0) = h1 ∈ R3, ω(0) = ω0 ∈ R3.

Opérateurs non linéaires

avec :

[Lu]i = [∇u∆Y (X )]i +∇2ui :(∇Y∇Y T

)(X ),

M(u, h′, ω) = −∇u∇Y (X )

(h′ + ω ∧ X +

Nu = ∇u∇Y (X )u,

Gp = ∇Y (X )T∇p,

Σ(u, p) = ν(∇u∇Y (X ) +∇Y (X )T∇uT

)− pIR3 .

Le cas de la divergence non homogène

Le terme de divergence non homogène qui apparaît a pour expression :

gu(y , t) = ∇u(y , t) :

(IR3 −∇Y

(X (y , t), t

)T)À l’aide de l’identité de Piola, on peut exprimer ce terme sous la forme

div u = div Gu,

Gu(y , t) =(IR3 −∇Y (X (y , t), t)

)u(y , t).

Le système linéarisé (non homogène)

On étudie le système linéaire non homogène suivant :

∂t− div σ(U, P) = F, dans F × (0,T ),

div U = div G , dans F × (0,T ),

U = 0, sur ∂O × (0,T ),

U = h′(t) + ω(t) ∧ y + W, y ∈ ∂S, t ∈ (0,T ),

Mh′′(t) = −∫∂Sσ(U, P)ndΓ + FM , t ∈ (0,T ),

I0ω′(t) = −

∫∂S

y ∧ σ(U, P)ndΓ + FI , t ∈ (0,T ),

U(y , 0) = u0(y), y ∈ F , h′(0) = h1 ∈ R3, ω(0) = ω0 ∈ R3.

Existence locale

L’étude du linéarisé non homogène nous permet de définir une application

N : HT → HT

(V ,Q,K ′, $) 7→ (U,P,H ′,Ω),

où (U,P,H ′,Ω) est la solution du système linéaire non homogène dont lesseconds membres sont entièrement définis par le quadruplet (V ,Q,K ′, $).On montre que pour T assez petit l’application N est une contraction.

T. Takahashi, Analysis of strong solutions for the equations modeling themotion of a rigid-fluid system in a bounded domain, 2003.

Existence globale

On note T0 le temps maximal d’existence. On a l’alternative :

(a) soit T0 = +∞(b) soit la fonction t 7→ ‖u(t)‖H1(F(t)) n’est pas bornée dans [0,T0).

On montre que pour des données petites, ie pour :

- des données initiales petites : ‖u0‖H1(F), |h1|R3 , |ω0|R3

- et des déplacements du solide petits,

la fonction t 7→ ‖u(t)‖H1(F(t)) est forcément bornée.

On quantifie la régularité suffisante pour la déformation :

∂X ∗

∂t∈ L2(0,T ;H3(S)) ∩H1(0,T ;H1(S)).

1. Définitions et notations 2. Stabilisation du système linéarisé 3. Prise en

compte des contraintes non linéaires 4. Stabilisation du non linéaire

5 Perspectives

Nature du contrôle

La déformation propre du solide, représentée par l’application X ∗, estsupposée connue ; on l’impose.

Pour le système linéarisé, on verra que la fonction de contrôle qui apparaîtnaturellement est en fait une vitesse de déformation frontière, de laforme :

ζ = eλt∂X ∗

∂t |∂S,

où λ est le taux de décroissance exponentielle désiré.

Vis-à-vis des contraintes non linéaires que doit vérifier la déformation dusolide (en particulier), la fonction de contrôle à considérer pour le systèmenon linéaire est nécessairement une déformation, ie une fonction de forme.

Cadre fonctionnel et définitions

On considère des déplacements solide Z∗ = X ∗ − IdS tels que :

Z∗ ∈ Wλ(S0∞)⇔

∂Z∗

∂t∈ L2(0,∞;H3(S)) ∩H1(0,∞;H1(S)),

Z∗(y , 0) = 0,∂Z∗

∂t(y , 0) = 0 ∀y ∈ S.

DéfinitionLe système fluide-solide est stabilisable avec un taux dedécroissance exponentiel arbitraire si pour tout λ > 0 il existeune déformation admissible X ∗ et une constante C > 0 - dépendantseulement de u0, h1 et ω0 - telle que la solution (u, p, h′, ω) dusystème satisfait pour tout t ≥ 0 :

‖(u(·, t), h′(t), ω(t))‖H1(F(t))×R3×R3 ≤ Ce−λt .

Résultat principal

On pose :

V1n(F) =

φ ∈ H1(F) | div φ = 0 in F , φ · n = 0 sur ∂O

H1cc =

(u0, h1, ω0) ∈ V1

n(F)× R3 × R3 | u0 = h1 + ω0 ∧ y sur ∂S.

ThéorèmePour (u0, h1, ω0) assez petit dans H1

cc , le système fluide-solide eststabilisable avec un taux de décroissance λ > 0 arbitraire.

Plan général de la preuve

Réecriture du système en domaines cylindriques

Linéarisation

Formulation opérateur du linéarisé ⇒ Semi-groupe analytique

Contrôlabilité approchée du système linéaire homogène

Stabilisation - par feedback frontière - du système linéaire

Obtention d’une déformation admissible à partir de ce contrôle feedback

Stabilisation du non linéaire par méthode de point fixe

La stratégie adoptée est globalement celle utilisée pour un autre systèmefluide-structure dans :

J.-P. Raymond, Feedback stabilization of a fluid-structure model, SICON2010.

Le changement d’inconnues

Pour y ∈ F = F(0) on pose pour les inconnues du fluide :

u(y , t) = eλtR(t)Tu(X (y , t), t), p(y , t) = eλtp(X (y , t), t),

et pour les inconnues du solide :

h′(t) = eλtR(t)Th′(t), ω(t) = eλtR(t)Tω(t).

Le système en domaine cylindrique

Les nouvelles inconnues (u, p, h′, ω) doivent vérifier :∂u

∂t− λu − νLu + e−λtMu + e−λtNu + e−λt ω(t) ∧ u + Gp = 0,

div u = gu, dans F × (0,∞),

u = 0, dans ∂O × (0,∞),

u = h′(t) + ω(t) ∧ X ∗(y , t) + eλt∂X ∗

∂t(y , t), (y , t) ∈ ∂S × (0,∞),

Mh′′(t)− λMh′(t) = −∫∂S

Σ(u, p)cof(∇X

−e−λtMω(t) ∧ h′(t), t ∈ (0,∞)

I ∗(t)ω′(t)− λI ∗ω(t) = −∫∂S

X ∗ ∧(

Σ(u, p)cof(∇X

−I ∗′(t)ω(t) + e−λt I ∗(t)ω(t) ∧ ω(t), t ∈ (0,∞),

u(y , 0) = u0(y), y ∈ F , h′(0) = h1 ∈ R3, ω(0) = ω0 ∈ R3.34 / 73Soutenance de thèse - lundi 26 novembre 2012

Le système linéarisé homogène

Le système linéarisé s’écrit :

∂t− λu − div σ(u, p) = 0, dans (0,∞)×F(0),

div u = 0, dans (0,∞)×F(0),

u = 0, sur ∂O × (0,∞),

u = h′(t) + ω(t) ∧ y + ζ(y , t), y ∈ ∂S(0), t ∈ (0,∞),

Mh′′(t) = −∫∂Sσ(u, p)ndΓ, t ∈ (0,∞),

I0ω′(t) = −

∫∂S

y ∧ σ(u, p)ndΓ, t ∈ (0,∞),

où on a noté ζ = eλt∂X ∗

∂t |∂S.

Formulation opérateur

U = (Pu, h′, ω)T et (Id− P)u satisfont :

U ′ = AλU + Bλζ,

(Id− P) u = (Id− P)(L0(h′) + L0(ω)

avec :

Aλ = A+ λM−1M0,

(λId− A0) L000

.P : projecteur de LerayA0 : opérateur de StokesL0 : relèvement de Stokes

Contrôlabilité approchée

ThéorèmeLe système linéaire homogène est approximativement contrôlable,dans l’espace H0

cc par des vitesses

ζ ∈ L2(0,∞;H5/2(∂S)) ∩H1(0,∞;H1/2(∂S))

satisfaisant ∫∂Sζ · ndΓ = 0.

Stabilisation par feedback du linéarisé

TheoremPour tout (u0, h1, ω0) ∈ H1

cc , le système linéaire homogène eststabilisable avec un taux de décroissance exponentiel λ > 0 arbitraire.

preuve :A est générateur d’un semi-groupe analytique

Aλ = A+ λM−1M0 n’a qu’un nombre fini de modes instables

Sur le sous-espace Hu de dimension finie associés à ces modes instables :

contrôlabilité approchée ⇒ stabilisabilité

Stabilisation par feedback du linéarisé

Le système linéaire est stabilisable par un contrôle ζ ∈ L2(0,∞; Θ)

satisfaisant∫∂Sζ · ndΓ = 0, où Θ est un sous-espace de dimension finie

inclus dans H5/2(∂S).

De plus, ce contrôle peut être choisi sous la forme d’un opérateurfeedback

Kλ ∈ L(Hu; Θ).

L’opérateur

Aλ + BλKλ

ainsi obtenu est stable.

Contraintes linéarisées

À partir d’un contrôle frontière ζ vérifiant∫∂Sζ · n = 0, on peut définir

dans S une vitesse de déformation∂X ∗ζ∂t

qui vérifie :

∫∂S

∂X ∗ζ∂t· ndΓ = 0,

∫SρS

∂X ∗ζ∂t

dy = 0,

∫SρS y ∧

∂X ∗ζ∂t

dy = 0.

Contraintes non linéaires

La déformation X ∗ qui intervient dans le système non linéaire doitsatisfaire l’ensemble des contraintes non linéaires. On s’intéresse plutôtaux contraintes que doit vérifier le déplacement

Z∗ = X ∗ − IdS .

On les traduit à l’aide d’une application non linéaire F :

F(Z∗) =(∫S

∂Z∗

(Z∗ + IdS) ∧ ∂Z∗

∫∂S

(cof(∇Z∗ + IR3))T∂Z∗

∂t· n).

On considère alors la contrainte d’égalité :

F(Z∗) = 0.

La méthode de projection

Définissons :

Enl =Z∗ ∈ Wλ(S0

∞) | F(Z∗) = 0,

El =Z∗ζ ∈ Wλ(S0

∞) | D0F(Z∗ζ ) = 0,

On projète le déplacement Z∗ζ = X ∗ζ − IdS sur l’ensemble Enl desdéplacements satisfaisant les contraintes non linéaires :

Z ∗ζ

La méthode de projection

ThéorèmeSoit Z∗ζ ∈ Wλ(S0

∞). Si Z∗ζ est assez petit dans Wλ(S0∞), alors il existe

une unique fonction Z∗ ∈ Enl telle que :

‖Z∗ − Z∗ζ ‖2Wλ(S0∞) = min

Z∗∈Enl‖Z∗ − X ∗ζ ‖2W3(S0

De plus, on a :

‖Z∗ − Z∗ζ ‖Wλ(S0∞) = o

(‖Z∗ζ ‖Wλ(S0

On note alors P : Z∗ζ 7→ Z∗ la projection ainsi obtenue.

Résumé

ζ = Kλ(u, h′, ω) sur ∂S

−→

X ∗Kλ tel que : eλt∂X ∗Kλ∂t |∂S

= Kλ(u, h′, ω)

−→

X ∗ − IdS = P(X ∗Kλ − IdS)

Le système non linéaire à résoudre

∂t− λu − ν∆u +∇p = F (u, p, h′, ω), dans F × (0,∞),

div u = 0, dans F × (0,∞),

u = 0, sur ∂O × (0,∞),

u = h′(t) + ω(t) ∧ y +Kλ(u, h′, ω)

+W (u, h′, ω) + eλt∂

(P(X ∗Kλ − IdS)− (X ∗Kλ − IdS)

)sur ∂S × (0,∞),

Mh′′ − λMh′ = −∫∂Sσ(u, p)ndΓ + FM(u, p, h′, ω), dans (0,∞),

I0ω′(t)− λI0ω = −

∫∂S

y ∧ σ(u, p)ndΓ + FI (u, p, ω), dans (0,∞),

Technique de point fixe

On définit

N : H → H(v , q, k ′, r) 7→ (u, p, h′, ω),

où (u, p, h′, ω) est la solution du système précédent où on a remplacé(u, p, h′, ω) par (v , q, k ′, r) dans les nonlinéarités.

Technique de point fixe

∂t− λu − ν∆u +∇p = F (v , q, k ′, r), dans F × (0,∞),

div u = 0, dans F × (0,∞),

u = 0, sur ∂O × (0,∞),

u = h′(t) + ω(t) ∧ y +Kλ(u, h′, ω)

+W (v , k ′, r) + eλt∂

)sur ∂S × (0,∞),

Mh′′ − λMh′ = −∫∂Sσ(u, p)ndΓ + FM(v , q, k ′, r), dans (0,∞),

I0ω′(t)− λI0ω = −

∫∂S

y ∧ σ(u, p)ndΓ + FI (v , q, r), dans (0,∞),

Remarque sur le choix du contrôle X ∗

Dans ce système, on avait choisi :

X ∗ = P(X ∗Kλ − IdS) + IdS

eλt∂X ∗

∂t= eλt

(P(X ∗Kλ − IdS)

∂X ∗

∂t |∂S= Kλ(u, h′, ω)

+eλt∂

)−Kλ(u, h′, ω)

eλt∂X ∗

∂t |∂S= Kλ(u, h′, ω)

+eλt∂

)avec : Kλ = Kλ(v , k ′, r).

Remarque sur le choix du contrôle X ∗

Dans ce système, on avait choisi :

X ∗ = P(X ∗Kλ − IdS) + IdS

eλt∂X ∗

∂t= eλt

∂X ∗

∂t |∂S= Kλ(u, h′, ω)

+eλt∂

)−Kλ(u, h′, ω)

eλt∂X ∗

∂t |∂S= Kλ(u, h′, ω)

+eλt∂

)avec : Kλ = Kλ(v , k ′, r).

Conclusion

L’application N est une contraction dans l’ensemble

(v , q, k ′, r) | ‖u, p, ω‖H ≤ 2RC0

avec :

R = ‖u0‖H1(F) + |h1|R3 + |ω0|R3 ,

pour R assez petit.

Le point fixe de N est une solution stabilisée du système non linéaire.

1. Motivation 2. Principes 3. Résultats numériques

5 Perspectives

Objectifs

Travail effectué en collaboration avec Michel Fournié et Alexei Lozinski.

1 Objectif : Simulations numériques dans le cadre des interactionsfluide-structure, où le fluide est modélisé par les équations deNavier-Stokes.

2 Obtenir une bonne approximation de la trace normale du tenseur deCauchy, σ(u, p)n.⇒ Quantité qui intervient de manière importante.

3 Prendre en compte des domaines dont la frontière change au cours dutemps.⇒ Géométrie qui évolue, frontières qui ne dépendent pas du maillage.

Un système simplifié : le problème de Stokes

On considère le problème de Stokes suivant avec une condition deDirichlet non homogène :

−ν∆u +∇p = f dans F ,div u = 0 dans F ,

u = 0 sur ∂O,u = g sur ∂S.

• V = H1(F) ∩ v|∂O = 0

• Q = L20(F)

• W = H−1/2(Γ)

Formulation faible

Trouver (u, p, λ) ∈ V × Q ×W tel que A((u, p, λ); v) = L(v) ∀v ∈ V,B((u, p, λ); q) = 0 ∀q ∈ Q,C((u, p, λ);µ) = G(µ), ∀µ ∈W,

avec :

A((u, p, λ); v) = 2ν∫FD(u) : D(v)dF −

∫Fpdiv vdF −

λ · vdΓ,

B((u, p, λ); q) = −∫Fqdiv udF ,

C((u, p, λ);µ) = −∫

µ · udΓ,

L(v) =

∫Ff · vdF , G(µ) = −

µ · gdΓ.

Approche domaines fictifs, inspirée de Xfem

On considère : Vh ⊂ H1(O), Qh ⊂ L20(O), Wh ⊂ L2(O),

et on définit :

Vh := Vh|F , Qh := Qh

|F , Wh := Wh|Γ ,

• maillage régulier

• représentation de l’interface par level-set

• PROBLÈME :- limitation en

- pas de convergence a priori pour σ(u, p)n

La méthode de stabilisation

Il s’agit de l’adaptation au problème de Stokes de la méthodeinitialement développée pour le problème de Poisson dans :

J. Haslinger, Y. Renard, A new fictitious domain approach inspired by theextended finite element method, SIAM 2009.

On la couple à une méthode de Lagrangien augmenté :

L(u, p, λ) = L0(u, p, λ)− γ

|λ− σ(u, p)n|2 dΓ,

L0(u, p, λ) = ν

∫F|D(u)|2 dF −

∫Fpdiv udF

−∫Ff · udΓ− 〈λ; u − g〉H−1/2(Γ);H1/2(Γ).

Problème continu stabilisé

Trouver (u, p, λ) ∈ V × Q ×W tel queA((u, p, λ); v) = L(v) ∀v ∈ V,B((u, p, λ); q) = 0 ∀q ∈ Q,

C((u, p, λ);µ) = G(µ), ∀µ ∈W,

avec :

A((u, p, λ); v) = A((u, p, λ); v)−4ν2γ

(D(u)n) · (D(v)n) dΓ

+2νγ∫

Γp (D(v)n · n) dΓ + 2νγ

∫Γλ · (D(v)n) dΓ,

B((u, p, λ); q) = B((u, p, λ); q)+2νγ∫

Γq (D(u)n · n) dΓ− γ

∫ΓpqdΓ− γ

∫Γqλ · ndΓ,

C((u, p, λ);µ) = C((u, p, λ);µ)+2νγ∫

Γµ · (D(u)n)dΓ− γ

∫Γp(µ · n)dΓ− γ

∫Γλ · µdΓ.

Problème discret stabilisé

On choisit γ = γ0h.

Trouver (uh, ph, λh) ∈ Vh × Qh ×Wh tel queM((uh, ph, λh); (vh, qh, µh)) = H(vh, qh, µh),∀(vh, qh, µh) ∈ Vh × Qh ×Wh,

avec :

M((u, p, λ); (v , q, µ)) = 2ν∫FD(u) : D(v)dF −

(pdiv v + qdiv u)dF

−∫

(λ · v + µ · u)dΓ

−γ0h

(2νD(u)n − pn − λ) · (2νD(v)n − qn − µ) dΓ,

H(v , q, µ) =

∫Ff · vdΓ−

µ · gdΓ.

Condition inf-sup

LemmePour γ0 assez petit, il existe une constante c > 0indépendante du maillage telle que :

inf(uh,ph,λh)∈Vh×Qh×Wh

sup(vh,qh,µh)∈Vh×Qh×Wh

M((uh, ph, λh); (vh, qh, µh))

|||uh, ph, λh||| |||vh, qh, µh||| ≥ c,

où la norme triple est définie par :

|||u, p, λ||| =(‖u‖2V + ‖p‖2L2(F) + h‖D(u)n‖2L2(Γ) + h‖p‖2L2(Γ)

+h‖λ‖2L2(Γ) +1h‖u‖2L2(Γ)

Résultats numériques

Maillage régulierméthodes éléments finis :P1+ / P1 / P0P2 / P1 / P0Q1 / Q0 / Q0Q2 / Q1 / Q0

O = [0, 1]× [0, 1] et ∂S est le cercle

(x − 0.5)2 + (y − 0.5)2 = R2 avec R = 0.21

Les solutions exactes considérées :

uex(x , y) =

(cos(πx) sin(πy)− sin(πx) cos(πy)

pex(x , y) = (y − 0.5) cos(2πx) + (x − 0.5) sin(2πy).

Sans stabilisation

Taux de convergence pour la norme L2 de la vitesse u :

10−2

10−1

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

P1+/P1/P0: 2.14

P2/P1/P0: 3.04

Q1/Q0/Q0: 2.14

Q2/Q1/Q0: 2.73

Sans stabilisation

Taux de convergence pour ‖p‖L2 :

10−2

10−1

10−2

10−1

P1+/P1/P0: 1.91

P2/P1/P0: 2.13

Q1/Q0/Q0: 0.98

Q2/Q1/Q0: 1.90

Sans stabilisation

Taux de convergence pour ‖λ‖L2 :

10−2

10−1

P1+/P1/P0: 1.32

P2/P1/P0: 1.73

Q1/Q0/Q0: 2.73

Q2/Q1/Q0: 0.94

Avec stabilisation

Taux de convergence pour la norme L2 de la vitesse u (γ0 = 0.05) :

10−3

10−2

10−1

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

P1+/P1/P0: 2.01

P2/P1/P0: 2.97

Q1/Q0/Q0: 1.99

Q2/Q1/Q0: 2.75

Avec stabilisation

Taux de convergence pour ‖p‖L2 (γ0 = 0.05) :

10−3

10−2

10−1

10−2

10−1

P1+/P1/P0: 1.49

P2/P1/P0: 2.02

Q1/Q0/Q0: 1.91

Q2/Q1/Q0: 1.91

Avec stabilisation

Taux de convergence pour ‖λ‖L2 (γ0 = 0.05) :

10−3

10−2

10−1

P1+/P1/P0: 1.26

P2/P1/P0: 0.92

Q1/Q0/Q0: 1.37

Q2/Q1/Q0: 0.95

5 Perspectives

1 Un système couplé fluide-solide, visant à modéliser la façon dont unestructure se déforme et intéragit avec le fluide environnant afin de sedéplacer.

2 Étudié de l’existence locale et globale de solutions fortes pour ce systèmefluide-solide, en 3D, pour des déformations du solide limitées en régularité.

3 Un résultat de stabilisation de ce système fluide-solide, pour desperturbations du fluide assez petites, où la fonction de contrôle n’est riend’autre que la déformation propre du solide.

4 Amorce d’une stratégie afin d’effectuer des simulations numériques d’unsolide se déplaçant dans un fluide en se déformant.

Perspectives

Recouvrer un système causal à l’aide d’une projection à t fixé.

- Pour le problème de stabilisation du système fluide-solide, la projectionP utilisée agit sur des espaces fonctionnels définis sur S(0)× (0,∞).

- La déformation choisie (par feedback) pour stabiliser le système nonlinéaire dépend alors des valeurs de la solution à tout instant.

- Il est anticipatif, et donc non causal.

Perspectives

Stabilisation autour de solutions non triviales.u = 0

σ(u, p)n = 0u = u0

- Existence de solutions stationnaires non triviales

- Stabilisation par feedback du système

- Simulations numériques

Perspectives

Simulations numériques pour le couplage fluide-solide.

- Déplacement du solide - rigide - dans le fluide de Stokes, instationnaire.

- Rajouter le terme non linéaire de l’équation de Navier-Stokes.

- Déformation du solide.

Perspectives

Un système issu de la Méthode des Frontières Immergées.

∂t+ (u · ∇)u − ν∆u +∇p = f , dans O,

divu = 0, dans O,u = 0, sur ∂O,

u(·, 0) = u0, dans O,

avec :

f (x , t) =

∫Γ(0)

f (y , t)δ (x − X (y , t)) dΓ(y , 0).

Fi(ui , pi)

(ue, pe)

Perspectives

Après réecriture en domaines fixes, on est amenés à étudier le problèmede transmission suivant :

∂t+ (u · ∇)u − div σ(u, p) = 0 dans Fe(t) et Fi (t),

[σ(u, p)n] = f sur Γ(t),

ue = ui sur Γ(t),

ue = 0 sur ∂O.

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