shermila mostarshedi directeur de thèse : odile picon
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Shermila MOSTARSHEDI
Directeur de thèse : Odile PICON
Rapporteurs : Hervé AUBERTWalid TABBARA
Examinateurs : Marc HEDDEBAUTJean-Marc LAHEURTEÉlodie RICHALOTJoe WIARTMan-Faï WONG
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 2/47
Contexte (1)
Environnement urbain
• Complexe et variable• Objets diffractants statiques et dynamiques• Diffractions à petite et à grande échelles
Caractérisation précise de la propagation d’onde
Modèle Méthode
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 3/47
Contexte (2)
Réflexion spéculaire
Réflexion non-spéculaire
Hétérogénéités locales
Diffraction
Complexité – VariabilitéTemps de calcul
Qu’est-ce qu’un bon simulateur de propagation d’onde ?
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 4/47
1. Introduction
2. Principes d’équivalence
3. Fonctions de Green
4. Application des fonctions de Green
5. Études statistiques
6. Conclusions et perspectives
Plan de la présentation
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 5/47
Modèles spécifiques au site basés sur les paramètres du siteméthode : tracé de rayon
Méthodes basées sur le courantPO, PTD, UTD
Introduction
Modèles
MéthodesMéthodes rigoureuses
FDTD, FIT, MoM
Méthodes asymptotiquesMéthodes basées sur le champ
GO, GTD, UTD
Modèles empiriques basés sur des mesures extensives
Modèles théoriques basés sur des conditions idéaliséesméthode: optique physique
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 6/47
1. Introduction
2. Principes d’équivalence
3. Fonctions de Green
4. Application des fonctions de Green
5. Études statistiques
6. Conclusions et perspectives
Plan de la présentation
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 7/47
Équivalence inductive (Théorème d’induction)
Ji
Mi
n
Et , Ht
E = Ei + Es H = Hi + Hs
Problème original
Js = − n Hi
Ms = n Ei
n
Et , Ht
Es , Hs
Problème équivalent exactJi
Mi
Ei , Hi
Ei , Hi
Courants équivalents connusObjet diffractant présent
Ms = 2 n Ei
n
Es , Hs
Problème équivalent approché
Objet métallique
Objet diffractant absent
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 8/47
Équivalence physique
Ji
Mi
n
Et , Ht
E = Ei + Es H = Hi + Hs
Problème original
Js = n H
Ms = −n E
n
−Ei , −Hi
Es , Hs
Problème équivalent exacten réflexionJi
Mi
Ei , Hi
Ei , Hi
Courants équivalents inconnusObjet diffractant absent
Objet métallique
Js = 2 n Hi
n
Es , Hs
Problème équivalent approchéen réflexion
Courant équivalent connu
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 9/47
z
y
Hi
Ei Er
Hr
HtEt
i
i
(exacte)
)(ˆ riz EEa
)(ˆ riz HHa
)(ˆ iiz EREa
)(ˆ iiz HRHa
(approchée)
sM
sJ
Source : onde plane en polarisation TE
yyjk
i aeER i ˆ)1( sin0
xyjki
i aeER i ˆcos
)1( sin
0
0
Équivalence physique :
sM
sJ
iz Ea ˆ
iz Ha ˆ
Équivalence inductive :
(exacte)
le rayonnement dans l’air
courants équivalents approchés
+Méthode de l’optique physique(équivalence physique)
=
le rayonnement à l’interface entre l’air et le diélectrique
courants équivalents exacts
+Méthode proposée ici(équivalence inductive)
=
yyjk
i aeE i ˆsin0
xyjki
i aeE i ˆcos sin
0
0
?
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 10/47
1. Introduction et contexte
2. Principes d’équivalence
3. Fonctions de Green
4. Application des fonctions de Green
5. Études statistiques
6. Conclusions et perspectives
Plan de la présentation
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 11/47
Fonction de Green → Réponse impulsionnelle du système
Φ(r) = ∫ GΦ(r, r′) S(r′) dr′et L [GΦ(r, r′)] = δ(r−r′)
Delta de Dirac
L [Φ(r)] = S(r)
Inconnu ConnuOpérateur linéaire
Sources Js, Ms
Champs électromagnétiques
E, H
Potentiels vecteurs et scalaires A, F, V, U
Intégration Dérivation
Intégration
Équation de Helmholtz → Équation aux dérivées partielles elliptique
(2 + k2 ) Φ(r) = S(r) (2 + k2 ) GΦ(r, r′) = δ(r−r′) Φ(r) = ∫ GΦ(r, r′) S(r′) dr′et
Courants et charges électromagnétiques
Champs ou potentiels vecteursélectromagnétiques
Constante de propagation
Fonctions de Green – Potentiels auxiliaires
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 12/47
Jx Js
Ms
Jy
Mx
My
y
x
Js Ms
Distribution arbitraire de courants surfaciques
Onde plane incidenteen polarisation TE
Onde plane incidenteen polarisation TM
+
+
Jx ou y GA , GV GEJ , GHJ
My ou x GF , GU GEM , GHM
Dipôles élémentaires
s intégration surfacique avec la vraie source
Champ électromagnétique rayonné
Calcul du champ rayonné par une distribution surfacique de courants
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 13/47
La solution générale de l’équation scalaire de Helmholtz
+
Calcul d’une composante de la fonction de Green
zzA
zyA
zxA
yzA
yyA
yxA
xzA
xyA
xxA
A
GGG
GGG
GGG
G
VA GG ,
ijAG composante du potentiel électrique suivant i
créée par un élément de courant électrique suivant j
dkekHjkjkjkjk
kG
zjk
C zzzz
zxA
z0
00
)())((
)(cos4
)2(1
0
2
00
Les conditions aux limites à l’interface entre les deux diélectriques
Hypothèse simplificatrice : deux diélectriques semi-infinis
Électrique (J) Magnétique (M)
UF GG ,
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 14/47
Fonctions de Green des potentiels Fonctions de Green des champs
C
zjknnn dkekkHkffS z
01)2( )()(][
La forme des composantes de la fonction de Green du champ électrique :
Expressions asymptotiques
Intégrale de contour dans le plan complexe(Intégrale de Sommerfeld)
re
kfjkjkfSrjk
nn
0
)()sin(cos2][ 00
1k
Développement trigonométrique
Les expressions du champ dépendent de la distance et de l’angle d’observation.
en absence de pôles
+
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 15/47
0.2
0.4
0.6
0.8
1
60
-120
30
-150
0
180
-30
150
-60
120
-90 90
0.2
0.4
0.6
0.8
1
60
-120
30
-150
0
180
-30
150
-60
120
-90 90
0.2
0.4
0.6
0.8
1
60
-120
30
-150
0
180
-30
150
-60
120
-90 90
0.2
0.4
0.6
0.8
1
60
-120
30
-150
0
180
-30
150
-60
120
-90 90
Fonctions de Green Littérature
Validation : diagrammes de rayonnement des dipôles élémentaires
y (φ=90°)
x (φ=0°)
My
Jx
r=3Plan φ=90°
Plan φ=0°
Surface infinie Épaisseur infinie
εr = 3
εr = 1
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 16/47
Comparaison avec l’optique physique (1)
My
My
My
Jx
Jx
Jx
r
y
x
Ex
onde
pla
ne e
n
pola
risat
ion
TE
My
My
My
Jx
Jx
Jx
My
Jx
My
Jx
My
Jx
M (x, y, z)
• r =10 et r =2
• f = 900 MHz
Courants équivalents Jx et MyÉquivalence physique – Optique physique
Équivalence inductive – Fonctions de Green Courants équivalents Jx et My
∞
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 17/47
0.005
0.01
0.015 0.02
0.025
60
-120
30
-150
0
180
-30
150
-60
120
-90 90 0.005
0.01 0.015
0.02 0.025
60
-120
30
-150
0
180
-30
150
-60
120
-90 90
30
+10−10 20
40
Comparaison avec l’optique physique (2)
r
i = 0°
r = [0°, 90°]
i = 30°
r
r = [0°, 90°]
r
r = [0°, 90°]
i = [0°, 90°]
Champ réfléchi (V/m)
Fonctions de GreenOptique physique
Normale Oblique
r = 10 2% 14%
r = 2 7% 40%
0.005
0.01
0.015
60
-120
30
-150
0
180
-30
150
-60
120
-90 90
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 18/47
1. Introduction et contexte
2. Principes d’équivalence
3. Fonctions de Green
4. Application des fonctions de Green
5. Études statistiques
6. Conclusions et perspectives
Plan de la présentation
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 19/47
Application finale de la méthode Bâtiments urbains
La façade d’un bâtiment :
•est un milieu rugueux de surface finie
•comporte des inhomogénéités de tailles et de matériaux divers
•comporte des éléments d’épaisseur finie ou multicouches
•et tous ces détails architecturaux forment un milieu complexe
Caractéristiques des bâtiments urbains
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 20/47
Notre modèle du bâtiment :
•est un milieu plan de surface finie
•est composé de béton de différents types
• comporte comme unique inhomogénéités à grande échelle des fenêtres en verre
•possède des fenêtres de taille et de type (simple ou double vitrage) différents
•est un modèle simplifié
Modèle de bâtiment urbain
Application pratique de la méthode Modélisation de bâtiments urbains
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 21/47
100 101 102 103 104 1050.06
0.061
0.062
0.063
0.064
0.065
r ()
|Er| (
V/m
)0 15 30 45 60 75 90
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(°)
Dia
gram
me
de r
ayon
nem
ent
0 15 30 45 60 75 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(°)
Dia
gram
me
de r
ayon
nem
ent
Milieu homogène de surface finie – champ lointain
y (φ=90°)
x (φ=0°)
H
E
3,7λ
3,7λ
r = 5 − j4
Plan φ=90°
Variation angulaire du champ
• i = 0°, r = [0°, 90°] • Sur un demi-cercle de rayon 100λ
Plan φ=0°
Variation du champ dans la direction spéculaire
• i = 0°, r = 0° • Sur une ligne entre 100λ−105λ
Fonctions de GreenCST
L’écart vers les angles rasants est lié à l’effet de bord.
Pour une surface infinie :
Gxy = Gyx = 0Pour une surface finie :
Gxy ≠0 et Gyx ≠ 0
CST heuresGreen secondesErreur = 8% du lobe principal
Erreur = 5% du lobe principal
Erreur maximum = 1,7%
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 22/47
-90 -60 -30 0 30 60 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(°)
Mod
ule
de E
r (V
/m)
-90 -60 -30 0 30 60 90-180
-90
0
90
180
(°)
Pha
se D
e E
r (°)
1 2 3 40.2
0.4
0.6
0.8
1
r ()
Mod
ule
de E
r (V
/m)
1 2 3 4-180
-90
0
90
180
r ()
Pha
se d
e E
r (°)
-90 -60 -30 0 30 60 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(°)
Mod
ule
de E
r (V
/m)
-90 -60 -30 0 30 60 90-180
-90
0
90
180
(°)
Pha
se D
e E
r (°)
1 2 3 40.2
0.4
0.6
0.8
1
r ()
Mod
ule
de E
r (V
/m)
1 2 3 4-180
-90
0
90
180
r ()
Pha
se d
e E
r (°)
-90 -60 -30 0 30 60 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(°)
Mod
ule
de E
r (V
/m)
-90 -60 -30 0 30 60 90-180
-90
0
90
180
(°)
Pha
se D
e E
r (°)
1 2 3 40.2
0.4
0.6
0.8
1
r ()
Mod
ule
de E
r (V
/m)
1 2 3 4-180
-90
0
90
180
r ()
Pha
se d
e E
r (°)
Milieu homogène de surface finie – champ proche (1)
Variation angulaire du champ
• i = 0°, r = [0°, 90°] • Sur un demi-cercle de rayon 1,5λ
Variation du champ dans la direction spéculaire
• i = 0°, r = 0° • Sur une ligne entre 0λ−4λ
3,7λ
0
4λ
1,5λ−1,5λ
i = 0°
r > 0,5λ
− 40°< θ < 40°
Erreur du module < 15%Erreur de la phase < 2%
-90 -60 -30 0 30 60 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(°)
Mod
ule
de E
r (V
/m)
-90 -60 -30 0 30 60 90-180
-90
0
90
180
(°)
Pha
se D
e E
r (°)
1 2 3 40.2
0.4
0.6
0.8
1
r ()
Mod
ule
de E
r (V
/m)
1 2 3 4-180
-90
0
90
180
r ()
Pha
se d
e E
r (°)
Fonctions de GreenCST
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 23/47
1 2 3 40.2
0.4
0.6
0.8
1
r ()
Mod
ule
de E
r (V
/m)
1 2 3 4-180
-90
0
90
180
r ()
Pha
se d
e E
r (°)
-90 -60 -30 0 30 60 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(°)
Mod
ule
de E
r (°)
-90 -60 -30 0 30 60 90-180
-90
0
90
180
(°)
Pha
se d
e E
r (°)
1 2 3 40.2
0.4
0.6
0.8
1
r ()
Mod
ule
de E
r (V
/m)
1 2 3 4-180
-90
0
90
180
r ()
Pha
se d
e E
r (°)
-90 -60 -30 0 30 60 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(°)
Mod
ule
de E
r (°)
-90 -60 -30 0 30 60 90-180
-90
0
90
180
(°)
Pha
se d
e E
r (°)
1 2 3 40.2
0.4
0.6
0.8
1
r ()
Mod
ule
de E
r (V
/m)
1 2 3 4-180
-90
0
90
180
r ()
Pha
se d
e E
r (°)
-90 -60 -30 0 30 60 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(°)
Mod
ule
de E
r (°)
-90 -60 -30 0 30 60 90-180
-90
0
90
180
(°)
Pha
se d
e E
r (°)
Milieu homogène de surface finie – champ proche (2)
Variation angulaire du champ
• i = 30°, r = [0°, 90°] • Sur un demi-cercle de rayon 1,5λ
Variation du champ dans la direction spéculaire
• i = 30°, r = 30° • Sur une ligne entre 0λ−4λ
3,7λ
0
4λ
1,5λ−1,5λ
i = 30°
r > 2λ
− 45°< θ < 45°
Erreur du module < 15%Erreur de la phase < 2%
1 2 3 40.2
0.4
0.6
0.8
1
r ()
Mod
ule
de E
r (V
/m)
1 2 3 4-180
-90
0
90
180
r ()
Pha
se d
e E
r (°)
-90 -60 -30 0 30 60 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(°)
Mod
ule
de E
r (°)
-90 -60 -30 0 30 60 90-180
-90
0
90
180
(°)
Pha
se d
e E
r (°)
Fonctions de GreenCST
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 24/47
Milieu homogène de surface finie – champ proche (3)z
(λ)
z (λ
)CST Fonctions de Green Erreur (θi = 0°)
Etotal (V/m)
z (λ
)z
(λ)
Err. (%)
Erreur (θi = 30°)Dans la direction spéculaire
Près de la plaque, en dehors de ± 45° de l’axe z
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 25/47
0 30 60 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(°)
Dia
gram
me
de r
ayon
nem
ent
0 30 60 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(°)
Dia
gram
me
de r
ayon
nem
ent
0 30 60 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(°)
Dia
gram
me
de r
ayon
nem
ent
0 30 60 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(°)
Dia
gram
me
de r
ayon
nem
ent
Comparaison avec l’optique physique
y (φ=90°)
x (φ=0°)
H
E
1m
1m
εr = 2 , θi = 30°
εr = 8 , θi = 0° εr = 8 , θi = 30°
εr = 2 , θi = 0°
L’optique physique fonctionne moins bien pour :
• une faible permittivité• en incidence oblique
Les deux méthodes ne tiennent pas compte de l’effet de bord.
Fonctions de Green
HFSS
Optique physique
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 26/47
Matériau équivalent εreq
Milieu d’épaisseur finie
Béton Air
Verre
Béton
∑Er
θi
Er
θi
∑Er
cos θi − (εreq)½ cos θt
cos θi + (εreq)½ cos θt
∑Er (θi , εr-verre , dverre , f ) = (εreq)½
sin θisin θt = où
Équation non linéaire εreq complexe
εr-verre , dverre , f donnés εreq fonction de θi
∑Er εreq valable en réflexion
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 27/47
10 mm
50 mm
f = 900 MHzεr-verre = 5,5
f = 900 MHz
10 mm
f = 4,5 GHz
ou
0 20 40 60 80-25
-20
-15
-10
-5
0
5
i (°)
req
0 20 40 60 80-1
-0.5
0
i (°)
0 20 40 60 800
0.5
1
1.5
2
2.5
i (°)
req
0 20 40 60 80-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
i (°)
Partie réellePartie imaginaire
Coefficient de réflexion Permittivité équivalente
+ j2,05
− j8,21
Convention en régime harmonique de forme ejωt
Re (ε)>0 Im (ε)<0 Milieu atténuateurRe (ε)>0 Im (ε)>0 Milieu amplificateur
Permittivité équivalente
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 28/47
Validation du modèle – Milieu de surface infinie
4 mm
8 mm16 mm
Double vitrage (verre-air-verre)
r′
Rr
z
∞
Matériau équivalentεreq
0 5.77 15
1.064
0.532
r (m)
|Er| (
V/m
)
εr-verre
εr-verre
• Onde plane en polarisation TE• θi = 0° , θr = 0°
• f = 900 MHz• εr-verre = 5,5
• |ΓFresnel| de la structure multicouche = 0,532
εreq = −0,5213 + j1,375
Rayon de la zone de Fresnel
2 × |ΓFresnel|
E
H
y
x
z
M (r=100 m)
01/12/2008 Shermila Mostarshedi 29/47
0 30 60 900
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
i (°)
|Er| (
V/m
)
0 30 60 900
0.005
0.01
0.015
(°)
|Er| (
V/m
)
10 mm
1,2 m
1,2
m
Validation du modèle – Milieu de surface finie
εr-verre
Simple vitrage• Onde plane en polarisation TE• f = 900 MHz• εr-verre = 5,5
• d = 10 mmE
H
εreq = εreq-0°
• θi = [0° , 15°, … , 90°]
• θr = [0° , 15°, … , 90°]
• θi = 0°
• θr = [0° , 90°]
Fonctions de GreenCST
εreq = [εreq-0° , εreq-15° , … , εreq-90° ]
L’écart est lié à l’effet de bord.
Lame fine de verre (d ≈ 0,3λ) La diffraction par les bords devient prépondérante.
y
x
z
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0 30 60 900
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
(°)
|Er| (
V/m
)
Validation du modèle – Milieu composé de surface finie
Double vitrage intégré dans un mur
E
H4 mm
8 mm16 mm
0,5
m
2 m
1 m
• Onde plane en polarisation TE• f = 900 MHz• θi = 0° , θr = [0° , 90°]
• εr-verre = 5,5 εreq = 17 + j18,39
• εr-béton = 6 − j4,8
Fonctions de GreenCST
L’effet de bord est secondaire en raison de la présence du béton.
Épaisseur importantePertes importantes
y
x
z
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Influence du type de vitrage sur le champ réfléchi
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
(°)
Er(V
/m)
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
(°)
Er(V
/m)
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
(°)
Er(V
/m)
vitrage infini (εr-verre = 5,5)
simple vitrage (εreq = 0,622 + j2,053)
double vitrage (εreq = −0,5213 + j1,375)
fenêtres ouvertes (εr = 1)
12 m12
m
1,5 m
2 m
• Onde plane en polarisation TE• f = 900 MHz• θi = 0° , θr = [0° , 90°]
• εr-verre = 5,5
• εr-béton = 3,44 − j0,08
• r = 100 m
Le type de vitrage est un paramètre influent dans le calcul du champ. -30 -20 -10 0 10 20 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
(°)
Er(V
/m)
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1. Introduction
2. Principes d’équivalence
3. Fonctions de Green
4. Application des fonctions de Green
5. Études statistiques
6. Conclusions et perspectives
Plan de la présentation
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Sources d’incertitudes du champ au voisinage d’un bâtiment
• Matériau
Permittivité du béton
• Forme des détails architecturaux
Largeur, hauteur et épaisseur des fenêtres
• Pourcentage des inhomogénéités
Nombre des fenêtres
• Distribution des inhomogénéités
Nombreuses petites fenêtres ou grande baie vitrée
E = ∫∫ GE • Js dss
Dimensions de la surface réfléchissante
Type du matériau et angle d’observation
Source du problème
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Variation de la permittivité du matériau principal
une classe de bâtiments un type de bétondistribution gaussienneN(ε′r ; σ) N(6,13 ; 0,25)
tous les bâtiments dans une ville différents types de bétondistribution uniforme
U(ε′r-min ; ε′r-max ) U(2 ; 10)
Type de béton
ABC
ε′r
6,133,4410
ε′′r
0,130,082,5
Fréquence
1 GHz1 GHz
750 MHz
Pour attribuer une distribution statistique à la variation d’un paramètre,il faut avoir une bonne connaissance de la nature de la variation.
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Variation aléatoire de la permittivité du béton (1)12 m
12 m
1,5 m
2 m
• Onde plane en polarisation TE• f = 900 MHz (λ≈ 0,33 m)• θi = 0°
• θr = 0° (lobe principal) , 2,4° (premier lobe secondaire)
• r = 300 m• εr-verre = 5,5
• simple vitrage d = 10 mm• εr-béton = N(6,13 ; 0,25) avec tgδ = 0,02
• nombre d’échantillons = 10000
εreq-0° = 0,622 + j2,053
Coefficient de Variation
σ
μCV =
0.46 0.48 0.5 0.520
20
40
60
Coefficient de réflexion ou |Er| (V/m)
Den
sité
de
prob
ablil
ité
0.08 0.085 0.090
200
400
600
800
|Er| (V/m)
Den
sité
de
prob
abili
téCV = 4%
CV = 0,94%
CV = 1,38%
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Variation aléatoire de la permittivité du béton (2)
• θi = 30°
• θr = 30° (lobe principal) , 32,8° (premier lobe secondaire)
• εr-verre = 5,5
• simple vitrage d = 10 mm εreq-30° = 0,5167 + j1,7907
0.46 0.48 0.5 0.520
20
40
60
Coefficient de réflexion ou |Er| (V/m)
Den
sité
de
prob
abili
té
0.08 0.085 0.090
200
400
600
800
|Er| (V/m)D
ensi
té d
e pr
obab
ilité
0.08 0.085 0.090
200
400
600
800
|Er| (V/m)
Den
sité
de
prob
abili
té
CV = 0,65%
CV = 1,23%
Variation du matériau principal de la façade :• affecte plus le lobe principal du champ réfléchi• en incidence normale
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0 10 20 30 40 50 600.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
i (°)
Coe
ffic
ient
de
réfle
xion
• θi = [0° , 60°]
• θr = [0° , 60°]
• εr-verre = 5,5
• simple vitrage d = 10 mm εreq = [εreq-0° , … , εreq-60°]
Variation aléatoire de la permittivité du béton (3)
r = 100 m
r = 300 m
minimum – maximummoyenne
Différence relative maximaleDifférence relative minimale
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Estimation des paramètres et test d’hypothèse statistique
0.47 0.48 0.49 0.5 0.51 0.52 0.530
10
20
30
40
50
60
Coefficient de réflexion
Den
sité
de
prob
abili
té
0.47 0.48 0.49 0.5 0.51 0.52 0.530
10
20
30
40
50
60
Coefficient de réflexion
Den
sité
de
prob
abili
té
Normal
GammaBetaWeibull Estimation non paramétrique
Noyau Epanechnikov
• Test Kolmogorov-Smirnov :
H0 : La fonction de répartition du champ est égale à la fonction de répartition estimée.
K-S test Avec un niveau de confiance de 95%, H0 peut être rejetée pour des distributions Normale, Gamma, Beta et Weibull.
• Estimation :
Normal : μ = 0,5 σ = 0,007
Beta : α = 2610β = 2608
Gamma : α = 5215β =9e-5
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0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
r (°)
|Er| (
V/m
)
Variation aléatoire de la distribution des fenêtres (1)
P1: 2 m × 2 m P2 : 1 m × 1 m P3 : 0,4 m × 0,4 m
• Onde plane en polarisation TE• f = 900 MHz (λ≈ 0,33 m)• θi = 0°
• θr = [0° , 7°]
• r = 300 m• εr-verre = 5,5
• simple vitrage d = 10 mm• pourcentage du verre = 33%• εr-béton = 6,13 − j0,13
P2
P3
P1Réflexion spéculaire
Réflexion non-spéculaire
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Variation aléatoire de la distribution des fenêtres (2)Réflexion non-spéculaire
[2° , 32,5°]Réflexion spéculaire
[0°, 30°]
Hom
ogén
éisa
tion
auto
risée
Variation de la distribution des fenêtres :• affecte plus le champ réfléchi dans la direction non-spéculaire• en incidence normale
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Variation aléatoire des dimensions des fenêtres
12 m
12 m
Largeur
Hau
teur
Catégorie de bâtiment Taille de fenêtre standard
Distribution gaussienne Perturbation autour des valeurs nominales
• Largeur = 1,5 m , Hauteur = N(2m ; 0,4m)• Largeur = N(2m ; 0,4m) , Hauteur=1,5 m
Pour toute polarisation, toute incidence et toute direction d’observation :CV dans la zone de Fresnel et plus loin < 4%
CV dans la zone du champ proche > 40%
CV=20%
Nécessité de tenir compte des hétérogénéités locales en champ proche
• Onde plane en polarisation TE , TM• f = 900 MHz (λ≈ 0,33 m)• θi = 0° , 30°
• θr = [0°, 2°] , [30° , 32,5°]
• r = 300 m , 100 m , 10 m • εr-béton = 6,13 −j0,0.13
• εr-verre = 5,5
• simple vitrage d = 10 mm
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Variation aléatoire de l’épaisseur des fenêtres (1)12 m
12 m
1,5 m
2 m
• Onde plane en polarisation TE• f = 900 MHz (λ≈ 0,33 m)• θi = 0°
• εr-béton = 6,13 −j0,13
• εr-verre = 5,5
• simple vitrage d = U(1 mm ; 20 mm)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
2
4
6
8
Epaisseur (mm)
req
Partie réellePartie imaginaire
Permittivité équivalenteVariation de l’épaisseur
Variation du champ réfléchi
Transformation non-linéaire
Variation de la permittivité équivalente
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Variation aléatoire de l’épaisseur des fenêtres (2)
0 5 10 15 20
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
Épaisseur du verre (mm)
Coe
ffic
ient
de
réfle
xion
0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.70
1
2
3
4
Coefficient de réflexion
Den
sité
de
prob
abili
té
• θi = 0°
• θr = 0°
• 2000 échantillonsDistribution uniforme
L’influence de la variation de l’épaisseur du verre sur le champ réfléchi est très importante.
Linéaire13 mm
4 mm
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Variation aléatoire de l’épaisseur des fenêtres (3)
0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
r (°)
|Er| (
V/m
)
Épaisseur = 3 mmÉpaisseur = 17 mm
εreq = 0,96 + j0,52εreq = 0,22 + j5,00
θr = 2,5°
θr = 3,5°
Champ réfléchi
• θi = 0°
• θr = 2,5° et 3,5°
• 2000 échantillons
0 5 10 15 200
0.05
0.1
0.15
Épaisseur du verre (mm)
|Er| (
V/m
)
-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20
2
4
6
|Er| (V/m)
0.065 0.07 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.10
20
4060
80
|Er| (V/m)
Den
sité
de
prob
abili
té
θr = 2,5°θr = 3,5°
4 mm
13 mm
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1. Introduction
2. Principes d’équivalence
3. Fonctions de Green
4. Application des fonctions de Green
5. Études statistiques
6. Conclusions et perspectives
Plan de la présentation
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Conclusions
Méthode
• Basée sur − le principe d’équivalence inductive
− les fonctions de Green associées à l’interface entre deux diélectriques semi-infinis sans singularité
• Rapide
• Précise − pour toute permittivité
− dans toutes directions : spéculaire et non-spéculaire précision plus faible en directions rasantes
Modèle
• Méthode rapide −S’intégrer facilement dans un modèle théorique
• Méthode précise − Fournir les coefficients de réflexion d’une méthode basée sur les rayons pour un modèle spécifique au site
• Études statistiques − Réduire le temps de calcul en simplifiant les modèles
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Perspectives
Méthode
Modèle
• Tenir compte de la diffraction
• Analyser le champ transmis pour les études hybrides «outdoor/indoor »
• Étudier l’existence/l’influence des ondes de surface sur les fenêtres
• Améliorer les techniques d’intégration surfacique
• Tenir compte de la forme de la source et l’incertitude associée
• Mieux modéliser la variation aléatoire des paramètres
• Accompagner les résultats avec une campagne de mesure
• Intégrer la méthode dans un simulateur de propagation d’onde
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