rappeler le cycle thermodynamique de brayton que modélise

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• Rappeler le cycle thermodynamique de Brayton que modéliseune turbine à gaz

• Revoir l’application de la seconde loi de Newton pour le calcul dela poussée

• Présenter les types de rendements utilisés dans le TG

• Effectuer l’analyse thermodynamique d’une TG (𝑐𝑐𝑝𝑝 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)

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• Présenter le concept de consommation spécifique

• Effectuer le calcul thermodynamique dans une TG lorsque 𝑐𝑐𝑝𝑝dépend de la température

• Regarder le cas d’une turbosoufflante

Jusqu’à présent nous avons étudié divers types de turbomachinesen tant que des composantes individuelles

Maintenant, nous allons regarder comment certaines s’intègrentet opèrent dans un ensemble appelé turbine à gaz

Une turbine à gaz est composée d’un cœur, qui produit du gazavec un haut niveau énergétique (pression et température), etd’un organe qui transforme cette énergie sous une formepratique voulue

Ce dernier élément peut être soit une turbine pour la mise enrotation d’un arbre (production d’électricité), soit une tuyère pourgénérer une poussée

Lorsque l’objectif c’est la production d’énergie, la machine reçoitle nom de turbomoteur

Si le but c’est la génération de la propulsion d’un véhicule, lamachine est connue comme turboréacteur

Le cœur, ou générateur de gazde la machine, est composéd’un compresseur, d’unechambre de combustion etd’une turbineAinsi, dans une turbine à gaz lefluide subit une compression(compresseur), reçoit un apportcalorifique (chambre decombustion) et réalise unepremière détente (turbine)

Notons que la détente dans une turbine à gaz s’effectue demanière échelonnéeD’abord dans la turbine du générateur de gaz. Son rôle est celuide fournir la puissance juste, nécessaire pour entraîner lecompresseurUne deuxième détente “utile” a lieu par la suite, soit dans uneturbine dite de puissance, soit dans une tuyère

Pour étudier la performance d’une turbine à gaz, on regardel’évolution thermodynamique du fluide dans la machine

Le cycle élémentaire de Brayton est la représentation théoriqueemployée pour l’étude des turbines à gaz

Bien que ce cycle soit purement théorique, il renseigne cependantsur le niveau maximal des performances

Volume 𝑉𝑉

Compression

Compression

1 2

Pres

sion

1

2

Diagramme 𝑝𝑝 − 𝑉𝑉

𝑝𝑝

1

Compression

Combustion

2 3

32Combustion

Volume

Pres

sion

𝑉𝑉

𝑝𝑝

32

Compression

Combustion

Expansion

3 4

1

Volume

Pres

sion

5

𝑉𝑉

𝑝𝑝

32

Compression

Combustion

Expansion 3-4 Turbine Expansion

3 4

1

Volume

Pres

sion

4

𝑉𝑉

𝑝𝑝

32

5

Compression

Combustion

Expansion 4-5 Tuyère

Expansion

3 4 5

1

Volume

Pres

sion

4

𝑉𝑉

𝑝𝑝

32

5

Compression

Combustion

Expansion

3 4 5

1

Volume

Pres

sion

1 2

4

Expansion combinée3-4-5 Turbine +tuyère

𝑉𝑉

𝑝𝑝

𝑇𝑇4

𝑇𝑇5

𝑝𝑝 5 = 𝑝𝑝1

𝑇𝑇3

𝑇𝑇2

𝑻𝑻

𝑐𝑐1 𝑐𝑐2 𝑐𝑐

𝟑𝟑

𝟐𝟐

𝟒𝟒

𝟓𝟓𝟏𝟏

3 4 51 2

𝑝𝑝 3 = 𝑝𝑝2

𝑇𝑇1 Diagramme 𝑇𝑇 − 𝑐𝑐

Dans le cadre des turboréacteurs l’intérêt est porté sur l’éjectionde gaz à grande vitesse pour la génération de la pousséenécessaire pour la propulsion de l’aéronefPour l’analyse, on applique l’équation de la quantité demouvement pour un écoulement permanent et non visqueuxOn pourra alors calculer la poussée, par rapport à la variation dequantité de mouvement expérimenté par le gaz entre l’entrée et lasortie du turboréacteur

Poussée

Sortie du gaz

Une analyse 1D en régimestationnaire dans la direction 𝑥𝑥sera faiteNous choisissons le volume decontrôle illustré sur la figure

La pression ambiante 𝒑𝒑𝒂𝒂 estuniforme sur le pourtour de cevolume de contrôle

𝒑𝒑𝒂𝒂

𝒑𝒑𝒂𝒂

𝒑𝒑𝒂𝒂

𝒑𝒑𝒂𝒂

𝒑𝒑𝒂𝒂

𝒑𝒑𝒂𝒂

Volume de contrôle

La pression du jet des gaz à lasortie est notée par 𝒑𝒑𝒋𝒋

La force de pression nette sur levolume de contrôle (à la sortie) est

Notons que la force de poussée 𝑻𝑻,agit également sur le volume decontrôle

𝒑𝒑𝒂𝒂

𝒑𝒑𝒂𝒂

𝒑𝒑𝒂𝒂

𝒑𝒑𝒂𝒂

𝒑𝒑𝒋𝒋

𝒑𝒑𝒋𝒋

𝒑𝒑𝒂𝒂

𝒑𝒑𝒂𝒂

𝐹𝐹𝑝𝑝 = 𝒑𝒑𝒋𝒋 − 𝒑𝒑𝒂𝒂 𝐴𝐴𝑗𝑗

𝑨𝑨𝒋𝒋

𝑨𝑨𝒂𝒂

𝑻𝑻 Poussée

La vitesse 𝒖𝒖𝒂𝒂 , correspondante àcelle de l’aéronef , est uniformesur le volume de contrôle, sauf à lasortieCelle-ci est la vitesse du jet desgaz notée par 𝒖𝒖𝒋𝒋La quantité de mouvement àl’entrée et à sortie, est alors, �̇�𝒎𝒂𝒂𝒖𝒖𝒂𝒂et �̇�𝒎𝒋𝒋𝒖𝒖𝒋𝒋, respectivement

𝒖𝒖𝒂𝒂 𝒖𝒖𝒋𝒋

𝒖𝒖𝒂𝒂

�̇�𝒎𝒂𝒂 �̇�𝒎𝒋𝒋

Le principe de la conservation de laquantité de mouvement permetdonc d’écrire

d’où

𝑇𝑇 − 𝑝𝑝𝑗𝑗 − 𝑝𝑝𝑎𝑎 𝐴𝐴𝑗𝑗 = �̇�𝑚𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑗𝑗 − �̇�𝑚𝑎𝑎𝑢𝑢𝑎𝑎

𝑻𝑻 = 𝒑𝒑𝒋𝒋 − 𝒑𝒑𝒂𝒂 𝑨𝑨𝒋𝒋 + �̇�𝒎𝒋𝒋𝒖𝒖𝒋𝒋 − �̇�𝒎𝒂𝒂𝒖𝒖𝒂𝒂

𝒖𝒖𝒂𝒂

�̇�𝒎𝒂𝒂𝒖𝒖𝒂𝒂�̇�𝒎𝒋𝒋𝒖𝒖𝒋𝒋

𝑨𝑨𝒋𝒋

𝑨𝑨𝒂𝒂𝒑𝒑𝒋𝒋 𝒑𝒑𝒂𝒂

𝑻𝑻 Poussée

,

La poussée résulte de la variation de la quantité de mouvement,entre celle de l'air admis à l’entrée et celle des gaz éjectés à lasortie, et de la différence des forces de pression à la sortie

𝑻𝑻 = �̇�𝒎𝒂𝒂 𝟏𝟏 + 𝒇𝒇 𝒖𝒖𝒋𝒋 − 𝒖𝒖𝒂𝒂 + 𝒑𝒑𝒋𝒋 − 𝒑𝒑𝒂𝒂 𝑨𝑨𝒋𝒋

Débit de carburant �̇�𝒎𝒇𝒇

�̇�𝒎𝒂𝒂

�̇�𝒎𝒋𝒋 = �̇�𝒎𝒇𝒇 + �̇�𝒎𝒂𝒂𝑢𝑢𝑎𝑎

𝑢𝑢𝑗𝑗

𝒇𝒇 = ⁄�̇�𝒎𝒇𝒇 �̇�𝒎𝒂𝒂

𝑻𝑻

𝑓𝑓 =�̇�𝑚𝑓𝑓

�̇�𝑚𝑎𝑎

Pour décrire la performance d’une turbine à gaz, différentesdéfinitions du rendement sont utilisées

Les formules présentées dans la suite sont employées dans lecadre d’un turboréacteur, caractérisé par un écoulement nondivisé de l’entrée jusqu’à la sortie

Ces équations peuvent varier pour les machines à double flux(turbosoufflante)

• Propulsif

• Thermique

• Global

GThP

Le rendement propulsif mesure la partie de l'énergie cinétiquefournie au gaz qui est convertie en propulsion

Mathématiquement il est défini par le rapport

�̇�𝑊𝑝𝑝 ∶ puissance propulsive�̇�𝑊𝑚𝑚: variation de puissance cinétique du gaz

𝜂𝜂𝑝𝑝 =�̇�𝑊𝑝𝑝

�̇�𝑊𝑚𝑚

�̇�𝒎𝒂𝒂𝒖𝒖𝒂𝒂𝟐𝟐

𝟐𝟐

𝑻𝑻 �̇�𝒎𝒇𝒇�̇�𝒎𝒋𝒋 = �̇�𝒎𝒇𝒇 + �̇�𝒎𝒂𝒂

�̇�𝑊𝑚𝑚 = �̇�𝑚𝑎𝑎1 + 𝑓𝑓 𝑢𝑢𝑗𝑗2

2−𝑢𝑢𝑎𝑎2

2Variation de puissance cinétique

�̇�𝑊𝑝𝑝 = 𝑇𝑇𝑢𝑢𝑎𝑎 = 𝑢𝑢𝑎𝑎 �̇�𝑚𝑎𝑎 1 + 𝑓𝑓 𝑢𝑢𝑗𝑗 − 𝑢𝑢𝑎𝑎 + 𝑝𝑝𝑗𝑗 − 𝑝𝑝𝑎𝑎 𝐴𝐴𝑗𝑗 Puissance propulsive

�̇�𝒎𝒋𝒋𝒖𝒖𝒋𝒋𝟐𝟐

𝟐𝟐

𝑓𝑓 =�̇�𝑚𝑓𝑓

�̇�𝑚𝑎𝑎

=1 + 𝑓𝑓 𝑢𝑢𝑗𝑗 − 𝑢𝑢𝑎𝑎 𝑢𝑢𝑎𝑎

1 + 𝑓𝑓 𝑢𝑢𝑗𝑗2

2 − 𝑢𝑢𝑎𝑎22

Alors, au point de design, soit 𝒑𝒑𝒋𝒋 = 𝒑𝒑𝒂𝒂

Pour 𝒇𝒇 = ⁄�̇�𝒎𝒇𝒇 �̇�𝒎𝒂𝒂 ≪ 𝟏𝟏, on a

𝜼𝜼𝒑𝒑 =�̇�𝑊𝑝𝑝

�̇�𝑊𝑚𝑚

𝜂𝜂𝑝𝑝 ≈𝑢𝑢𝑗𝑗 − 𝑢𝑢𝑎𝑎 𝑢𝑢𝑎𝑎

⁄𝑢𝑢𝑗𝑗2 − 𝑢𝑢𝑎𝑎2 2=

2𝑢𝑢𝑎𝑎𝑢𝑢𝑗𝑗 + 𝑢𝑢𝑎𝑎

=2

1 + ⁄𝑢𝑢𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑎𝑎

• Le rendement 𝜼𝜼𝒑𝒑 décroit lorsque la vitesse du jet uj augmente

• Pour une force propulsive T fixe, 𝜼𝜼𝒑𝒑 augmente lorsque ua croît

Ces équations sont obtenues lorsque 𝒑𝒑𝒋𝒋 = 𝒑𝒑𝒂𝒂 et que le débit de carburant est négligé (𝒇𝒇 ≪ 𝟏𝟏 )

𝜼𝜼𝒑𝒑 =2𝑚𝑚𝑎𝑎𝑢𝑢𝑎𝑎

2𝑚𝑚𝑎𝑎𝑢𝑢𝑎𝑎 + 𝑇𝑇=

22 + ⁄𝑇𝑇 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑢𝑢𝑎𝑎

𝜂𝜂𝑝𝑝 =2

1 + ⁄𝑢𝑢𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑎𝑎

𝑇𝑇 = �̇�𝑚𝑎𝑎 𝑢𝑢𝑗𝑗 − 𝑢𝑢𝑎𝑎

Mathématiquement il est défini par le rapport

�̇�𝑊𝑚𝑚: variation de la puissance cinétique du gaz�̇�𝑊𝑓𝑓: puissance calorifique du carburant

𝜂𝜂𝑡𝑡𝑡 =�̇�𝑊𝑚𝑚

�̇�𝑊𝑓𝑓

Le rendement thermique mesure l’efficacité de la conversionde la puissance calorifique du carburant en puissance cinétiquedu jet

�̇�𝒎𝒋𝒋𝒖𝒖𝒋𝒋𝟐𝟐

𝟐𝟐

�̇�𝒎𝒂𝒂𝒖𝒖𝒂𝒂𝟐𝟐

𝟐𝟐

𝑻𝑻 �̇�𝑾𝒇𝒇 = �̇�𝒎𝒇𝒇𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳�̇�𝒎𝒋𝒋 = �̇�𝒎𝒇𝒇 + �̇�𝒎𝒂𝒂

�̇�𝑊𝑚𝑚 = �̇�𝑚𝑎𝑎1 + 𝑓𝑓 𝑢𝑢𝑗𝑗2

2−𝑢𝑢𝑎𝑎2

2Variation de puissance cinétique

�̇�𝑊𝑓𝑓 = �̇�𝑚𝑓𝑓𝐿𝐿𝐿𝐿𝑉𝑉 Puissance calorifique

Pouvoir calorifique inférieur du carburant

Alors

Si �̇�𝑚𝑓𝑓 ≪ �̇�𝑚𝑎𝑎 → 𝑓𝑓 ≪ 1

𝜼𝜼𝒕𝒕𝒕𝒕 =12�̇�𝑚𝑎𝑎 𝑢𝑢𝑗𝑗2 − 𝑢𝑢𝑎𝑎2

�̇�𝑚𝑓𝑓𝐿𝐿𝐿𝐿𝑉𝑉=

12𝑓𝑓 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑉𝑉

𝑢𝑢𝑗𝑗2 − 𝑢𝑢𝑎𝑎2

𝜼𝜼𝒕𝒕𝒕𝒕 =�̇�𝑊𝑚𝑚

�̇�𝑊𝑓𝑓=�̇�𝑚𝑎𝑎

1 + 𝑓𝑓 𝑢𝑢𝑗𝑗2

2 − 𝑢𝑢𝑎𝑎22

�̇�𝑚𝑓𝑓𝐿𝐿𝐿𝐿𝑉𝑉

Le rendement global quantifie la puissance propulsive produiteréférée à la puissance libérée par le carburant

En équation:

Sachant que �̇�𝑊𝑝𝑝 = 𝑇𝑇𝑢𝑢𝑎𝑎 et que �̇�𝑊𝑓𝑓 = �̇�𝑚𝑓𝑓𝐿𝐿𝐿𝐿𝑉𝑉, avec �̇�𝑚𝑓𝑓 le debitmassique de carburant et 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑉𝑉 le pouvoir calorifique inférieur

𝜂𝜂𝑡𝑡𝑡 =�̇�𝑊𝑝𝑝

�̇�𝑊𝑓𝑓

Le rendement global peut s’exprimer alors par la formule

Remarques• Le rendement global satisfait: 𝜼𝜼𝒈𝒈 = 𝜼𝜼𝒑𝒑 × 𝜼𝜼𝒕𝒕𝒕𝒕• Si l’objectif c’est la mise en mouvement d’un arbre pour la

production d’une puissance �̇�𝑾,alors

𝜼𝜼𝒈𝒈 =𝑻𝑻𝒖𝒖𝒂𝒂

�̇�𝒎𝒇𝒇𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳

𝜼𝜼𝒈𝒈 =�̇�𝑾

�̇�𝒎𝒇𝒇𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳

• Propulsif

• Thermique

• Global

ηg = ηp x ηth

GThP

𝜂𝜂𝑝𝑝 =2𝑇𝑇𝑢𝑢𝑎𝑎

�̇�𝑚𝑎𝑎 𝑢𝑢𝑗𝑗2 − 𝑢𝑢𝑎𝑎2

𝜂𝜂𝑡𝑡𝑡 =12�̇�𝑚𝑎𝑎 𝑢𝑢𝑗𝑗2 − 𝑢𝑢𝑎𝑎2

�̇�𝑚𝑓𝑓𝐿𝐿𝐿𝐿𝑉𝑉

𝜂𝜂𝑡𝑡𝑡 =𝑇𝑇𝑢𝑢𝑎𝑎

�̇�𝑚𝑓𝑓𝐿𝐿𝐿𝐿𝑉𝑉

• Analyse thermodynamique du cycle d’un turboréacteur

• Consommation spécifique

• Turbosoufflante