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Rappel...

• Caractérisation des matrices inversibles:- propriétés des matrices inversibles- transformations linéaires

• Matrices bloc.

Aujourd’hui

• Décomposition des matrices:– décomposition LU– application: réseau de résistances

• Solution itérative de systèmes linéaires.

– Méthode de Jacoby

5. Décomposition des matrices

• Décomposition LU

Il est parfois utile de pouvoir séparer une matrice en un produit de matrices.

Une des décompositions les plus utilisées est la décomposition LU, ou triangularisation.

Il y en a d’autres; nous les verrons plus tard.

Décomposition LU

• LU: « lower-upper ».

• Une matrice admet une décomposition LU si:

A = LU où

000000

**000

****0

*****

,

1***

01**

001*

0001

UL

Pourquoi LU?

• Ax = b

Facile à résoudre si on connaît L et U.

Ax = b

LUx = b

En posant Ux = y on obtient 2 systèmes simples car ils sont triangulaires.

x

L

A

yU

b

Ux = y et Ly = b

Comment faire cette triangularisation?

• Réduction de A sous forme échelon par des manipulations sur les lignes.

– Mettre A sous forme échelon U par des opérations de remplacement de lignes (pas d’échange de ligne, sinon « LU permuté »).

– Choisir L tel que la même séquence d’opérations va produire I.

Application: circuits résistifs en cascade

• Quadripôles résistifs.

• Matrice de transfert.

• Lois d’Ohm et de Kirchhoff.

Synthèse de circuits

• La matrice de transfert décrit les propriétés d’entrée-sortie du circuit (réseau).

• Un ingénieur doit d’abord déterminer si un tel circuit est réalisable.

• Ensuite, il pourra décomposer la matrice, si possible en des composants déjà disponibles.

Applet Java

http://www.gel.ulaval.ca/~fortier/MAT19961/Demo/resistance/

6. Solution itérative de systèmes linéaires

• Solutions d’un système linéaire

– méthodes directes (triangularisation,…)

– méthodes itératives (approchent numériquement la solution)

Pourquoi les méthodes itératives?

• Si la matrice est grande et avec beaucoup d’entrées nulles (« sparse »), le calcul itératif peut s’avérer beaucoup plus efficace.

Problème à résoudre

• On veut résoudre:

Ax = b

• On pose:

A = M - N

• On a alors:

(M - N)x = b

Mx - Nx = b

Mx = Nx + b

Récurrence

• De façon générale, on cherche à calculer:

Mx(k+1) = Nx(k) + b, k = 0, 1, 2,…

avec A = M - N

Récurrence (suite)

• On veut avoir:

x(k+1) x* (la solution)

• Il faut choisir M afin que x(k+1) soit facile à calculer.

Méthode de Jacoby

• On suppose que la diagonale de A n’a pas d’éléments nuls.

• Soit D la matrice diagonale formée à partir de la diagonale de A.

• M = D, N = D - A

Méthode de Jacoby (suite)

Dx(k+1) = (D - A)x(k) + b, k = 0, 1, 2,…

• On pose x(0) = 0.

– En pratique, on peut utiliser autre chose selon les informations disponibles.

Méthode de Gauss-Seidel

• On pose M = partie triangulaire inférieure de A.

Mx(k+1) = (M - A)x(k) + b, k = 0, 1, 2,…

Jacoby c. Gauss-Seidel

• Jacoby est quelques fois plus rapide que Gauss-Seidel, mais en général, c’est le contraire.

• Traitement parallèle: Jacoby est plus rapide.

Convergence

• Parfois, l’une ou les deux méthodes ne convergent pas.

• Une condition permet de garantir la convergence:– la valeur absolue d’un élément de la diagonale est

plus grande que la somme des valeurs absolues des autres éléments de la ligne correspondante.

Calcul manuel

• Pour le calcul manuel, il est plus simple d’utiliser la récursion:

x(k+1) = M-1Nx(k) + M-1b, k = 0, 1, 2,…

• On évite ainsi d’avoir à résoudre en système n n à chaque itération.

Calcul manuel (suite)

• La façon la plus rapide de calculer M-1N etM-1b est de faire:

[ M N b] ~ [I M-1 N M-1b]

Prochain cours...

• Solution itérative de systèmes linéaires.

• Application à l’infographie.