quelques rappels sur la transformée de laplace la

H. Garnier1

Hugues GARNIER

hugues.garnier@univ-lorraine.fr

Version du 18 septembre 2020

Quelques rappels sur la transformée de Laplace

&la décomposition en éléments simples

H. Garnier2

Pierre-Simon LAPLACE

• 23 mars 1749 - 5 mars 1827

• Grand scientifique français

• A profondément influencé les mathématiques, l’astronomie, la physique et la philosophie des sciences de son siècle

• La transformée qui porte son nom facilite grandement l’analyse des systèmes à temps continu

Visionner la vidéo de Brian Douglas : Control Systems Lectures-The Laplace Transformand the Important Role it Plays

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• Soit un signal à temps continu x(t) causal (nul pour t<0), la transformée de Laplace de x(t) est définie par :

où– s est la variable de Laplace (parfois notée p)– s est complexe : s= a+jw

• On dit que X(s) est la transformée de Laplace du signal x(t)

• Remarque : les conditions de convergence de l’intégrale impropre ne seront pas indiquées

Définition

L x(t)( )=X s( ) = x(t ) e−st dt0

+∞

∫

x(t)

t0

Signal à temps continu

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• Impulsion de Dirac

• Echelon unité

• Rampe unité

• Exponentielle causal (a scalaire réel ou complexe)

Transformée de Laplace de signaux usuels

L Γ(t)( ) = 1s

t0

1

Γ(t)

L δ(t)( ) = 1

L r (t)( ) = 1s2

t0

1

r (t)

L e−atΓ( t )( ) = 1s +a

1

t0

t0

1

δ(t)

a>0 icie−atΓ(t)

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Table de transformées de Laplace

x(t) X(s)

1s +ae−atΓ(t)

Γ(t)

δ(t)1s

1

r (t)=t Γ(t)1s2

tn Γ(t)n!sn+1

n!

s +a( )n+1tn e−atΓ(t)

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Table de transformées de Laplace

x(t) X(s)

ωos2 +ωo

2 sin ωot( )Γ(t)

cos ωot( )Γ(t)s

s2 +ωo2

ωo

s +a( )2 +ωo2 e−at sin ωot( )Γ(t)

s +a

s +a( )2 +ωo2 e−at cos ωot( )Γ(t)

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• Linéarité

• Dérivation par rapport au temps

Quelques propriétés importantes de la transformée de Laplace

L a x(t)( ) = a X(s)

L a x(t)+b y(t)( ) = a X(s)+b Y(s)

L dx(t )dt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = sX(s )− x(0 )

L dnx(t )

dtn

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = s

nX(s )− sn−1x(0 )− sn−2x(1)(0 )−…− sx(n−2 )(0 )− x(n−1)(0 )

L d2x(t )

dt2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = s

2X(s )− sx(0 )− !x(0 )

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• Théorème du retard

– Déterminer L(rect(t-0.5))

• Changement d’échelle

– Déterminer L(r(2t))

• Produit par le temps– Déterminer L(tcos(w0t))

L x(t − t0 )( ) = e-st0 X s( )

L x(at)( ) = 1a

X sa

!

"#$

%&

L t x(t )( ) = −dX(s )ds

Quelques propriétés importantes de la transformée de Laplace

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• Produit de convolution

• Théorème de la valeur initiale

• Théorème de la valeur finale

x(t)*y(t)= x(τ ) y(t − τ )dτ0

+∞

∫L x(t)*y(t)( ) = X(s)×Y(s)

x(0+ ) = lims→+∞

sX(s)

limt→+∞

x(t)( ) = lims→0

sX(s) Si la limite existe

Quelques propriétés importantes de la transformée de Laplace

Exemple : x(t)=e−2tΓ(t) X(s ) = s

s2 +ωo2

Contre −exemple : x(t)=cos ωot( )Γ(t)X(s ) = 1

s +2

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• Le problème consiste à retrouver le signal x(t) à partir de X(s)

• Utilisation de la définition à partir de l’intégrale

Formule compliquée ! On évite de l’utiliser

• La transformée de Laplace inverse est un opérateur linéaireOn va exploiter cette propriété

Transformée de Laplace inverse

L−1 X(s)( ) = x(t)

L-1 X s( )( )=x(t) = 12π j

X(s ) est dsσ − j∞

σ+ j∞

∫

L−1 a X(s)+b Y(s)( ) = aL−1 X(s)( )+bL−1 Y(s)( )= a x(t)+b y(t)

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Résolution d’équations différentielles à l’aide de la transformée de Laplace (TL)

• La procédure de résolution est la suivante : 1. Appliquer la TL aux 2 membres de l’équation différentielle en y(t) en

tenant compte des conditions initiales des signaux

2. Calculer Y(s) en utilisant les propriétés et la table de TL

3. Décomposer Y(s) en éléments simples4. Utiliser la table de transformées pour obtenir y(t) par transformée

inverse

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• Exploitation directe de la table de transformées de Laplace

– On essaie de mettre la transformée de Laplace sous une forme donnée dans la table

• Exemples

Transformée de Laplace inversedans le cas de formes simples

X(s) = 3s +2

x(t)=3e−2tΓ( t ) Y(s) = 42s +1

=4

2 s + 12

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

y(t)=2e−12tΓ( t )

Y(s) = 42s +1

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• Exploitation directe de la table de transformées de Laplace

– On essaie de mettre la transformée de Laplace sous une forme donnée dans la table

• Exemples (suite) :

Transformée de Laplace inverse dans le cas de formes simples

X(s) = 2

s +4( )3

x(t)=t2 e−4t Γ( t )

Y(s) = 4s2 +16

y(t)=sin(4t ) Γ( t )

Y(s) = 4s2 +16

=4

s2 +42

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• La méthode consiste à décomposer en éléments simples Y(s)et à exploiter ensuite la table de transformées de Laplace

Transformée de Laplace inverse par décomposition en éléments simples

y(t)=L-1 A1s − s1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥+…+L-1 An

s − sn

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= A1es1tΓ( t )+…+ Ane

sntΓ( t ) Ai : scalaire réel ou complexe

Y(s ) =bi s

i

i=0

m∑

(s − s1 )(s − s2 )...(s − sn )=

A1s − s1

+A2s − s2

+!+Ans − sn

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• Cas où les n racines du dénominateur de Y(s) sont toutes distinctes

Rappels : décomposition en éléments simples

Y(s ) =bi s

i

i=0

m∑

ai si

i=0

n∑

avec n >m

Y(s ) =bi s

i

i=0

m∑

(s − s1 )(s − s2 )...(s − sn )=

A1s − s1

+A2s − s2

+!+Ans − sn

Ai = lims→sis − si( )Y(s )⎡

⎣⎤⎦ i =1,2,!,n

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• Déterminer le signal y(t) ayant comme transformée de Laplace

Transformée de Laplace inverseExemple

Y(s ) = s +2s s +1( ) s +3( )

y(t ) = 23−12e−t − 1

6e−3t

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Γ( t )

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• 2ème cas : Si Y(s) possède une racine multiple s1 de multiplicité r :

– Formule compliquée ! On évite de l’utiliser

– Méthode recommandée pour les cas « simples » :• On détermine Ar par la méthode des limites• On choisit des valeurs de s≠s1 (par exemple s=0, s=-1 etc)• on résout un système d’équations pour les coefficients A1,…, Ar-1

Rappels : décomposition en éléments simples

Y(s ) =bi s

i

i=0

m∑

s − s1( )r=

A1s − s1

+A2

s − s1( )2+!+

Ars − s1( )r

Ai = lims→s1

1r − i( )!

dr−i

dsr−is − s1( )r Y(s )

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

i =1,2,!,r

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• Déterminer le signal y(t) ayant comme transformée de Laplace

Transformée de Laplace inverseExemple

Y(s ) = s +2

s +1( )2 s +3( )

Y(s ) = 141s +1

+12

1

s +1( )2−14

1s +3

y(t ) = 14e−t + 1

2te−t − 1

4e−3t

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Γ( t )

Y(s ) = s +2

s +1( )2 s +3( )=A1s +1

+A2s +1( )2

+A3s +3

A2 = lims→−1

s +1( )2 Y(s )⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥=12

A3 = lims→−3

s +3( )Y(s )⎡⎣

⎤⎦= −

14

s = 0;Y(0 ) = 23= A1 + A2 +

A33

A1 =14

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On calcule le discriminant D

• Si D>0 ; les deux racines sont réelles distinctes

• Si D=0 ; la racine est double réelle. 2 cas sont à distinguer :

• Si D<0 ; les deux racines sont complexes conjuguées. 2 cas sont à distinguer :

Cas particuliers de transformées de Laplace du 2e ordre

Y(s) = N(s )as2 +bs + c

Y(s) = Ka(s − s1 )(s − s2 )

=A1s − s1

+A2s − s2

Y(s) = Ka(s − s1 )

2=

A(s − s1 )

2

y(t)= A1es1t + A2e

s2t( )Γ( t )

y(t)=Ates1tΓ( t )

Y(s ) = K

as2 +bs + c= A

ωo

s +α( )2 +ωo2 y(t)=Ae−αt sin ωot( )Γ( t )

Y(s ) = ds +e

as2 +bs + c= A s +α

s +α( )2 +ωo2 y(t)=Ae−αt cos ωot( )Γ( t )

Y(s ) = ds +ea(s − s1 )

2=

A1s − s1

+A2

(s − s1 )2 y(t)= A1e

s1t + A2tes1t( )Γ( t )