ph3 (oscillations électriques libres)
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uC(t) ; uR0(t)
t
R01
0
uC(t) ; uR0(t)
t 0
R03
0
uC(t) ; uR0(t)
t
R02
0
uC(t) ; uR0(t)
t
R04
0
uC(t) ; uR0(t)
t
R05
hichembenaich@gmail.com Proposée par Benaich Hichem
A / Oscillations libres amorties :
I/ Production d’oscillations libres amorties :
On réalise le montage suivant :
On charge le condensateur en plaçant le commutateur en position 1 . En basculant le commutateur en
position 2 , et à l’aide d’un oscilloscope à mémoire , on obtient les oscillogrammes suivants :
L’amplitude des oscillations diminue au cours du temps . De telles oscillations sont dites amorties . Du fait que ces oscillations se produisent dans le circuit RLC sans générateur , elles sont dites libres .
Bien que les extremums de q ou de i soient atteints à des intervalles de temps successifs égaux , de telles oscillations ne peuvent pas être périodiques à cause de la diminution de l’amplitude ,
elles sont dites pseudopériodiques .
II/ Influence de l’amortissement :
On reprend le montage précédent et on refait l’expérience avec des valeurs différentes de R0 tels que R01 < R02 < R03 < R04 < R05 . On obtient alors les oscillogrammes suivants :
♦ Lorsque R0 augmente , les oscillations deviennent de plus en plus amorties ( le nombre total des
oscillations diminue ) et la pseudopériode T augmente légèrement . ♦ Pour des valeurs élevées de R0 , les oscillations cessent d’être pseudopériodiques . Il s’agit d’un nouveau
régime non oscillatoire appelé régime apériodique . ( régime obtenu avec R04 et R05 ) .
1
2
T : pseudo période
1
SERIE DE PHYSIQUE N° 3
R0
Y2
Y1
Masse
E
1
2
K
C
(L;r)
EC ; EL ; E
t 0
EC EL E
hichembenaich@gmail.com Proposée par Benaich Hichem
III/ Equation différentielle régissant l’évolution d’un circuit RLC série en régime libre :
La loi des mailles s’écrit :
uC + uB + uR0 = 0
⇒ C
q + r.i + L
dt
di+ R0.i = 0
⇒ L 2
2
dt
qd+ ( R0 + r ).
dt
dq+C
q= 0
⇒ 2
2
dt
qd+
L
R
dt
dq+LC
1q = 0
IV/ Energie totale d’un oscillateur RLC série :
1°) Expression de l’énergie totale :
L’énergie électrostatique ( électrique ) est : EC = 2
1
C
q2
=2
1C.uC
2 .
L’énergie magnétique est : EL = 2
1Li2 =
2
120R
LuR0
2 .
L’énergie totale du circuit est : E = EC + EL . A l’aide d’un logiciel adéquat , on trace les courbes suivantes :
2°) Energie totale et sa non conservation :
E = EC + EL =2
1
C
q2
+2
1L.i2 .
dt
dE= 2.
2
1
C
qi + 2.
2
1L.i
2
2
dt
qd = i.(
C
q + L
2
2
dt
qd) = -R.i2 <<<< 0 ⇒ E fonction décroissante du temps .
Donc , l’énergie totale emmagasinée dans le circuit RLC série diminue au cours du temps , elle est
dissipée sous forme de chaleur par effet joule . Cette diminution est d’autant plus rapide que la
résistance est grande . On dit qu’un circuit RLC série en régime libre est un système non conservatif .
R0
i
i i
C
(L;r)
uC
uR0 uB
SERIE DE PHYSIQUE N° 3
2
T0
T0
q(t) ; i(t)
qm
-qm -ωωωω0qm
ωωωω0qm
0
t
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B / Oscillations libres non amorties :
I/ Nature des oscillations libres non amorties :
1°) Evolution de la charge q du condensateur :
En fermant un condensateur de capacité C initialement
chargé sur une bobine supposée purement inductive , on a
le montage ci-contre La loi des mailles s’écrit :
uL + uC = 0 ⇒ Ldt
di+C
q = 0 ⇒ 2
2
dt
qd+LC
1q = 0 (∗)
Posons 20ω =
C.L
1 ⇒ 0ω =
C.L
1
(∗) devient 2
2
dt
qd + 2
0ω q = 0
C’est une équation différentielle qui admet comme solution q(t) = qm.sin ( 0ω t + ϕϕϕϕq )
Donc , q(t) est une fonction sinusoïdale de période propre 0T = 2ππππ C.L et de fréquence
propre N0 =LCπ2
1 .
2°) Charge q et intensité i du courant :
q(t) = qm.sin ( 0ω t + ϕϕϕϕq )
i =dt
dq= 0ω .qm.sin ( 0ω t + ϕϕϕϕq +
2
π)
⇒ i(t) = Im.sin ( 0ω t + ϕϕϕϕi )
avec Im = 0ω .qm et ϕϕϕϕi = ϕϕϕϕq +2
π
Donc , i(t) est aussi une fonction sinusoïdale du temps de même période que q(t) .
i(t) est en quadrature avance de phase par rapport à q(t) .
3°) Energie totale d’un oscillateur LC :
a) Energie électrostatique EC(t) :
EC(t) =2
1
C
q2
=2
1
C
q2m sin2( 0ω t + ϕϕϕϕq ) =
4
1
C
q2m [ 1 - cos( 2 0ω t + 2ϕϕϕϕq )]
Donc , EC(t) est une fonction périodique du temps de période T = 2
T0 .
b) Energie magnétique EL(t) :
EL(t) =2
1Li2 =
2
1L 2
0ω C
q2m cos2( 0ω t + ϕϕϕϕq )
=2
1
C
q2m cos2( 0ω t + ϕϕϕϕq ) =
4
1
C
q2m [ 1 - cos( 2 0ω t + 2ϕϕϕϕq )]
Donc , EL(t) est aussi une fonction périodique du temps de période T = 2
T0 .
i i
i C
L
uC
uL
Cas où ϕϕϕϕq =2
πrad
3
SERIE DE PHYSIQUE N° 3
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c) Energie totale et sa conservation :
E = EC(t) + EL(t) =2
1
C
q2m sin2( 0ω t + ϕϕϕϕq ) +
2
1
C
q2m cos2( 0ω t + ϕϕϕϕq )
=2
1
C
q2m [sin2( 0ω t + ϕϕϕϕq ) + cos2( 0ω t + ϕϕϕϕq )] =
2
1
C
q2m =
2
1LIm
2 =2
1CUCm
2
Donc , l’énergie totale emmagasinée dans le circuit LC série est constante au cours du temps .
On dit qu’un circuit LC série en régime libre est un système conservatif .
4°) Diagrammes des énergies :
4
T0 2
T0 34
T0 T0
EC ; EL ; E
0
t
2
1
C
q2m =2
1LIm
2 =2
1CUCm
2 EL EC
E
Cas où ϕϕϕϕq =2
πrad
EC ; EL ; E
EC
EL E
0 qm
-qm
q
2
1
C
q2m
q2
EC ; EL ; E
E
EC ( droite de pente C2
1 > 0 )
EL ( droite de pente -C2
1 < 0 )
0
qm
2
2
1
C
q2m
E
0
Im
2
i2
EC ; EL ; E
EL ( droite de pente 2
1L > 0 )
EC ( droite de pente -2
1L < 0 )
2
1L.Im
2
EC ; EL ; E
EL
EC E
0 Im
-Im
i
2
1L.Im
2
EC = 2
1
C
q2
E = 2
1
C
q2+
2
1L.i2
Pour q = qm , i = 0 ⇒ E =2
1
C
q2m
E = 2
1
C
q2+
2
1L.i2
Pour i = Im , q = 0 ⇒ E =2
1L.Im
2
E = EC + EL ⇒ EL = E – EC
⇒ EL = –2
1
C
q2+
2
1
C
q2m
E = EC + EL ⇒ EC = E – EL
⇒ EC = –2
1L.i2 +
2
1L.Im
2
EL =2
1L.i2
4
SERIE DE PHYSIQUE N° 3
0
4,56V
10V
uAB(t) en V
5T = ππππ.10-3s
t en s
figure -2
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EXERCICE 1 ( Contrôle 97 ancien régime )
On réalise le montage expérimental schématisé sur la figure -1 . Données: C = 1 µF ; (G) est un générateur idéal de f.é.m. E = 10 V
et de résistance interne négligeable .
1°) (K2) est ouvert et (K1) est fermé :
Après une brève durée , la plaque (a) porte la charge
maximale Q0 et l'énergie emmagasinée par le condensateur est W0 .
Calculer Q0 et W0 .
2°) On ouvre (K1) et on ferme (K2) à une date t = 0 .
A l'aide d'un système d'acquisition adéquat , nous obtenons la courbe représentant les variations
de la tension uAB(t) entre les bornes du condensateur en fonction du temps (figure-2) .
Cette courbe montre que le circuit est le siège d’oscillations faiblement amorties .
La tension uAB(t) est solution de l’équation différentielle :
2
AB2
dt
)t(ud +
L
r.
dt
)t(duAB + 20ω .uAB(t) = 0
où ω0 est la pulsation propre de l’oscillateur libre non amorti ( L,C ) telle que 20ω =
LC
1 .
a) Quelle serait cette équation si on élimine le facteur d'amortissement ?
b) Déduire , à partir de la figure-2- , la valeur moyenne de la pseudo-période de la décharge
oscillante en utilisant l'intervalle de temps correspondant à 5 oscillations .
c) Déterminer la valeur de l'inductance L de la bobine en admettant que la pseudo-période est donnée
par la même expression que la période propre du dipôle ( L , C ) .
d) Calculer la perte d’énergie par effet Joule subie par l’oscillateur libre amorti ( r , L, C ) entre
t = 0 et t = π.10-3s .
Rép. Num.: 1°) Q0=C.E=10-5C ; 2°) a) 2AB
2
dt
)t(ud + 2
0ω .uAB(t) = 0 ; b) T0=2.π10-4s ; c) L=C.π.4
T
2
2
=10-2H ;
d) ∆E=E2-E1= 2
1C.( 2
Cm2u - 2
Cm1u )=-3,96.10-5J
EXERCICE 2 ( Contrôle 2005 ancien régime )
Le circuit électrique de la figure-1- comprend :
- Une pile de f.é.m. E = 6 V et de résistance interne négligeable . - Un condensateur de capacité C .
- Une bobine d'inductance L et de résistance propre r .
- Une résistance R variable . - Deux interrupteurs (K1) et (K2) .
(K1)
(K2)
E
A B
C
L,r
q i
Figure -1-
R
K1 K2
A
B
(a)
figure -1
C L,r E
SERIE DE PHYSIQUE N° 3
5
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Expérience-1 (K2) ouvert , (K1) fermé : le condensateur se charge à travers la résistance R . Suite à cette charge ,
la tension aux bornes du condensateur est UAB = 6 V et l'énergie emmagasinée est W .
1°) a) Calculer W sachant que C = 5.10-6 F.
b) Déterminer la valeur de la charge portée par l'armature (A) du condensateur. Justifier son signe .
Expérience-2 Le condensateur étant chargé , on ouvre (K1) et à l'instant de date t = 0 s on ferme (K2) : des oscillations électriques libres s'établissent dans le circuit (R , r , L et C) .
2°) Préciser , en le justifiant , si les oscillations sont amorties ou non amorties .
3°) L'équation différentielle traduisant cet état électrique est :
Ldt
)t(di +
C)t(q
+ (R+r).i(t) = 0 où i(t) = dt
)t(dq .
a) Exprimer l'énergie totale E du circuit (R , r, L , C) en fonction de L , C , q (t) et i (t) .
b) En déduire que la variation élémentaire dE pendant une durée dt s'exprime par la relation :
dE = - (R + r).i2.dt
4°) Un dispositif approprié permet de visualiser la courbe donnant la variation au cours du temps de la
tension uAB(t) aux bornes du condensateur et correspondante à la figure -2- .
a) La résistance totale du circuit électrique étant faible , on admet que la pseudo-période T est égale
à la période propre T0 de l'oscillateur (L , C) . Calculer la valeur de L .
b) Calculer l'énergie électrique dissipée par effet Joule entre les instants de dates t = 0 s et t' = 4T.
Rép. Num.: 1°) a) W=2
1C. 2
ABu =9.10-5J ; b) q=C.uAB=3.10-5C>0 ; 2°) Osc. amorties ; 3°) a)E =2
1C
)t(q 2
+2
1L 2)t(i ;
4°) a) L=C.π.4
T
2
2
=0,51H ; b) ∆E=E’-E=2
1C.( 2
AB2u - 2
AB1u )=-6,248.10-5J
EXERCICE 3 ( Bac 2008 nouveau régime )
Avec un générateur délivrant une tension
constante E = 6 V , deux résistors de résistances respectives R1 et R2 , un
condensateur de capacité C = 4 µf , une
bobine d’inductance L = 0,63 H et de résistance interne r et un commutateur K ,
on réalise le montage schématisé sur la figure 1 .
Figure -2-
L , r
R2
R1
E
(1)
(2)
K
B
A
C
Figure 1 6
SERIE DE PHYSIQUE N° 3
uC(t) (V)
t (ms)
0
50
100
150
200
1
2
3
4
5
6
(∆∆∆∆)
(C)
(∆∆∆∆) : tangente au chronogramme (C) à t0 = 0
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Un oscilloscope à mémoire permet l’étude de l’évolution de la tension uC aux bornes A et B du condensateur au cours du temps .
I-Questions préliminaires :
1°) Compléter , sur la figure 1 « à remettre avec la copie » , les branchements avec l’oscilloscope qui
permettent de visualiser uC(t) sur la voie Y1 .
2°) Montrer que l’étude de la tension uC(t) permet de faire celle de la charge q(t) du condensateur .
II-A un instant t0 choisi comme origine des temps , on ferme l’interrupteur K . La visualisation de uC(t) sur
l’écran de l’oscilloscope a permis d’obtenir le chronogramme (C) de la figure 2 .
1°) Etablir l’équation différentielle qui régit l’évolution de la tension uC(t) .
2°) Sachant que la solution de l’équation différentielle établie précédemment s’écrit uC(t) = E.( 1 – τ
t-
e ) ,
où τ est la constante de temps du dipôle RC , déterminer graphiquement :
a) La valeur U0 de la tension aux bornes du condensateur à la fin de la charge et la comparer à la
valeur de la tension E aux bornes du générateur .
b) La valeur de τ et en déduire celle de R .
3°) Si l’on veut charger plus rapidement le condensateur , doit-on augmenter ou bien diminuer la valeur
de la résistance R ? Justifier la réponse .
4°) Calculer l’énergie WC emmagasinée dans le condensateur à la fin de la charge .
III-Le commutateur K qui était en
position (1) est basculé en position (2) . Le chronogramme
de la figure 3 illustre la décharge oscillante du condensateur .
1°) Les oscillations enregistrées
sont dites libres amorties . Justifier les dénominations :
a) Oscillations libres .
b) Oscillations amorties .
2°) Déterminer , graphiquement ,
la valeur de la pseudo-période T des oscillations et la comparer à celle de la période
propre T0 = 2π LC .
Figure 2
uC(t) (V)
t (ms)
5 10 15
20
6
4
2
0
-2
-4,13
Figure 3
7
SERIE DE PHYSIQUE N° 3
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3°) L’énergie totale E de l’oscillateur électrique considéré s’écrit : E =
2
1CuC
2 +2
1Li2 .
A l’aide du graphique de la figure 3 :
a) Montrer qu’à l’instant t1 = 5 ms , l’énergie E1 de l’oscillateur est purement électrique .
b) Montrer qu’à l’instant t2 = 12,5 ms , l’énergie E2 de l’oscillateur est purement magnétique .
c) Calculer les énergies E1 et E2 de l’oscillateur .
A quoi est due la différence entre les deux valeurs trouvées ?
Rép. Num.: I-1°) A→Y1 ; B→Masse ; 2°) q(t)=C.uC(t) ; II-1°) uC+RCdt
duC =E ; 2°) a) U0=E=6V ; b) τ=40ms ;
R=C
τ=104Ω ; 3°) Si R , τ=RC ; 4°) WC=
2
1CU0
2=72.10-6J ;
III- 1°) a) Absence d’excitateur ; b) Diminution d’amplitude ; 2°) T=10ms ; T0=9,97ms ; T≈T0 ; 3°) a) A t=t1 , uc=-UCmax1⇒i=0⇒EL=0⇒E=EC ; a) A t=t2 ,uc=0⇒EC0⇒E=EL ,
c) E1= 2
1C UCmax1
2=34.10-6J ; E2= 2
1Li 2=12,9.10-6J avec i=
dt
dq=C
dt
duC ; E2<E1 à cause de l’amo.
EXERCICE 4
Dans le montage de la figure ci-dessous , on donne :
E = 15 V ; C = 0,4 µF; L = 40.10-2 H . L'interrupteur K2 est ouvert , on ferme K1 puis , après quelques
secondes , on l’ouvre à nouveau .
1°) Quelle est la valeur de la charge Q0 portée par l'armature
supérieure du condensateur ?
Calculer dans ces conditions l'énergie électrostatique EC
et l'énergie magnétique EL emmagasinées respectivement dans le condensateur et la bobine .
2°) On ouvre K1 et à l'instant t = 0 , on ferme l'interrupteur K2 et on note :
i l'intensité algébrique du courant dans le circuit ;
q la charge de l'armature supérieure du condensateur .
- Quelle relation existe-t-il entre i et dt
dq ?
- En exprimant de deux façons différentes la tension aux bornes de la bobine , établir l'équation
différentielle du circuit : 2
2
dt
ud+
LC
1u = 0 .
On admet que la solution de cette équation s'écrit sous la forme: u = Um sin( ω0t + ϕ ) . Calculer numériquement um sachant qu'à l'instant initial , l'intensité i est nulle .
3°) a) Déterminer la valeur numérique de la pulsation ω0 , de la période propre T0 du circuit et écrire
l'expression de la tension instantanée u .
b) Calculer à l’instant t =4
T0 , les valeurs numériques de :
- la tension u ; - la charge q de l’armature supérieure ;
- l’intensité i dans la bobine ; - l’énergie électrostatique EC’ et l’énergie magnétique EL’ présents dans le circuit .
Rép. Num.:1°) Q0=C.E=6.10-6C ; Ee= 2
1
C
Q20 =45.10-6J ; EL=0 ; 2°) i=
dt
dq ; um=E=15V ; 3°) a) ω0=
LC
1=2500rad.s-1 ;
T0=8π.10-4s ; u=15sin(2500t+2
π) (V) ; b) A t=
4
T0 , on a u=0 , i=-15mA , EC’=0 et EL’=45.10-6J .
8
K1 K2
q
C L E
SERIE DE PHYSIQUE N° 3
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EXERCICE 5 On étudie les oscillations d'un circuit comportant : -Un condensateur de capacité C préalablement chargé .
-Une bobine d'inductance L et de résistance négligeable .
1°) a) Etablir l'équation différentielle vérifiée par la tension instantanée uC(t) existant entre les bornes du
condensateur .
b) Donner l'expression de la fréquence propre No de cet oscillateur .
2°) a) Exprimer l'énergie totale E emmagasinée par le circuit en fonction de la tension uC (t) et dt
)t(duC .
b) Déduire que l'oscillateur est non amorti .
3°) On propose ci-dessous les représentations de l'énergie totale E et de l'énergie électrostatique EC
emmagasinée par le condensateur en fonction de 2Cu .
a) Déterminer l'amplitude uC max de la tension uC (t) .
b) Calculer la valeur de la capacité C du condensateur .
c) Calculer l’énergie magnétique EL emmagasinée par la bobine pour uC = 5 2 V .
Comparer EL et Ee .
4°) On prend L = 0,1 H . On choisit l'origine des temps de manière à exprimer uC(t) sous la forme :
uC (t) = uC max.sin ( ω0t ) .
a) Ecrire uC (t) en remplaçant les grandeurs uC max et ω0 par leurs valeurs numériques .
b) Déterminer les expressions de la charge q(t) et de l’intensité instantanée i(t) en fonction du
temps en précisant les valeurs numériques des différents paramètres .
c) Comparer les grandeurs uC (t) , q(t) et i(t) de point de vue déphasage .
Rép. Num.:1°) 2C
2
dt
)t(ud+
LC
1uC(t)=0 ; 2°) N0=
LCπ2
1 ; 2°) a) E=
2
1C )t(u2
C +2
1LC2 ( )
2
C
dt
)t(du ;
b) dt
dE=0⇒E=cste ; 3°) a) uC max=10V ; b) C=10µF ; c) EC=EL=2,5.10-4J=
2
E ;
4°) a) uC(t)=10sin(103t) (V) ; q(t)=10-4sin(103t) (C) ; i(t)=0,1sin((103t+2
π) (A) ; b) iφ =
Cuφ +
2
π= qφ +
2
π.
EXERCICE 6 On réalise un circuit électrique à l’aide d’une bobine d’inductance L ,
de résistance négligeable et d'un condensateur de capacité C = 1µF préalablement chargé .
On ferme l'interrupteur K à la date t = 0 . Soit q(t) la charge de l'armature (A) à la date t > 0 .
1°) Etablir l'équation différentielle vérifiée par q(t) .
9
Energies (J)
10 V2
10-4 J
50
100
2Cu (V2)
E
EC
0
C
L
A
B
K
SERIE DE PHYSIQUE N° 3
EL(10-3J)
EL(10
-3J)
-2
-1
0
1
2 0
2ππππ
4ππππ
1
2
2
1
i (A)
t (10-4s)
Figure (2-a)
Figure (2-b)
hichembenaich@gmail.com Proposée par Benaich Hichem
2°) Donner l'expression de l'énergie électromagnétique E dans le circuit en fonction des grandeurs q(t)
et i(t) intensité du courant dans le circuit à la date t . Montrer que cette énergie reste constante au cours
du temps .
3°) On donne la courbe 2Cu = f(i2) , où uC est la tension
instantanée aux bornes du condensateur .
a) Justifier l’allure de cette courbe .
b) En déduire L et E .
4°) Représenter sur le même graphe les courbes q(t) et i(t) .
Rép. Num.:1°) 2
2
dt
qd+
LC
1q=0 ; 2°) E=
2
1
C
)t(q2
+2
1Li 2(t) ;
dt
dE=0⇒ E=cste ; 3°) a) 2
Cu =-C
Li2+2
C
E ;
b) L=0,25H ; E=12,5.10-6J ; 4°) q(t)=5.10-6sin(2.103t+2
π) (C) ; i(t)=10-2sin(2.103t+π) (A) .
EXERCICE 7 Un condensateur de capacité C est chargé à l'aide d'un générateur de tension de f.é.m. E constante et de résistance interne négligeable . Pendant la phase de charge , le commutateur est placé dans la position (1) .
On décharge ensuite le condensateur dans une bobine purement inductive d'inductance L , en basculant à l’instant t = 0 le commutateur dans la position (2) (figure -1-) .
1°) a) Exprimer , à une date t quelconque , l'énergie électromagnétique E emmagasinée dans le
circuit (L , C) en fonction de q ( charge de l'armature supérieure) , C , L et i intensité du courant traversant la bobine .
b) En déduire l'équation différentielle de l'oscillateur .
c) Donner l'expression de sa solution .
2°) On donne sur les figures (2-a) et (2-b) les variations de l'énergie magnétique EL emmagasinée dans la
bobine respectivement en fonction de l'intensité instantanée i du courant qui parcourt le circuit .
a) Montrer que EL est périodique et de période 2
T0 ; ( T0 étant la période propre ) .
0
2Cu (V2)
i2(A2)
2.10-5A2
6,25 V2
C L E
Figure -1-
(1) (2)
SERIE DE PHYSIQUE N° 3
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hichembenaich@gmail.com Proposée par Benaich Hichem
b) En exploitant les courbes représentatives de EL , déterminer les valeurs de :
- la pulsation ω0 de l’oscillateur ;
- l’inductance L de la bobine ; - la capacité C du condensateur ;
- la valeur maximale Qm de la charge ; - le f.é.m. E du générateur .
3°) Donner les expressions de q(t) et i(t) .
Rép. Num.:1°) a) E=2
1Li 2+
2
1
C
q2
; b) E=cste⇒dt
dE=0⇒ 2
2
dt
qd+ 2
0ω q = 0 ; c) q=qmsin(ω0t+ϕ) ;
2°) a) EL=4
1
C
q2m [1+cos(2ω0t+2ϕ)]⇒T’=
2
T0 ; b) T0=4π.10-4s ; ω0=5.103rad.s-1 ;
2
1L 2
mi =2.10-3J(avec im=2A)⇒ L=10-3H ; C= 20ωL
1=4.10-5F ; qm=
0
m
ω
i=4.10-4C ; E=
C
qm =10V
3°) q(t)=4.10-4sin(5.103t+2
π) (C) ; i(t)=2sin(5.103t+π) (A) .
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