mise en garde - normale supleurent.perso.math.cnrs.fr/stats_ps1/annee_en_cours/...mise en garde lors...

Mise en gardeLors du CM, certaines informations ne sont ecrites qu’au tableau. Ces trans-

parents ne sont donc pas concus pour servir de notes de cours et permettred’apprendre ou de reviser le cours. Pour cet usage, utilisez plutot les notes decours mises en ligne a l’adresse http://leurent.perso.math.cnrs.fr/stats_ps1/2019-2020/coursA.pdf.

Statistique

L1 de psychologie � université de Bourgogne

Année 2019-2020

Sébastien Leurentbureau 331, Aile A, bâtiment Mirande

sebastien.leurent@u bourgogne.fr

Contexte Programme de l'année Déroulement Rappels/Compléments

Expériences et psychologie

c©Eugene Nosko/Deutsche Fotothek/CC-BY-SA-3.0

Expérimentations complexes etcoûteuses

restreintes à de petitséchantillons

Objet de ce coursQuestion : Que peut-onraisonnablement déduire à partird'un petit échantillon ?

Programme de l'année

Rappels/compléments

Description, analyse desdonnées récoltes

Chapitre 1 : Statistique descriptiveà 1 variable

probabilités : outilmathématique nécessaire

Chapitre 3 : Introduction au proba-bilitésChapitre 4 : Lois usuelles

Estimation : déductions àpartir de l'échantillon, avecune certaine con�ance etune certaine précision.

Chapitre 5 : Échantillonage et esti-mation

Déroulement

feuilles d'exercices distribuées au début du semestrehttp://leurent.perso.math.cnrs.fr/stats_ps1/

corrigés de certains exercices et d'examens passés

formulaire et calculatrice nécessaires à chaque séance autorisés pour les contrôles et examens

des contrôles au cours du semestre dans les di�érents groupesde TDun contrôle commun, le 10 mars à 17h15

un contrôle terminal en �n de semestre

présence en CM formellement � facultative �

Déroulement

un contrôle terminal en �n de semestreCT

Déroulement

un contrôle terminal en �n de semestreCT

Rappels et compléments

Rappels

−32 + 1 =

− 8 mais (−3)2 + 1 = 10

signi�e 2,7× 10−12, c'est à dire 0, 00000000000︸︷︷︸11 zéros

2(x + 3) = 2× (x + 3)

Les exercices 1 à 4 (notamment des rappels sur l'utilisation de lacalculatrice) ont un corrigé sur internethttp://leurent.perso.math.cnrs.fr/stats_ps1/2019-2020/

Exercices_corriges.pdf

� Complément � : notation �∑

� pour les sommes

Par exemple, �12∑k=9

k2� signi�e �92 + 102 + 112 + 122�

Rappels

−32 + 1 = − 8 mais (−3)2 + 1 = 10

2(x + 3) = 2× (x + 3)

� pour les sommes

k2� signi�e �92 + 102 + 112 + 122�

Rappels

−32 + 1 = − 8 mais (−3)2 + 1 = 10

2(x + 3) = 2× (x + 3)

� pour les sommes

k2� signi�e �92 + 102 + 112 + 122�

Rappels

−32 + 1 = − 8 mais (−3)2 + 1 = 10

signi�e 2,7× 10−12

, c'est à dire 0, 00000000000︸︷︷︸11 zéros

2(x + 3) = 2× (x + 3)

� pour les sommes

k2� signi�e �92 + 102 + 112 + 122�

Rappels

−32 + 1 = − 8 mais (−3)2 + 1 = 10

2(x + 3) = 2× (x + 3)

� pour les sommes

k2� signi�e �92 + 102 + 112 + 122�

Rappels

−32 + 1 = − 8 mais (−3)2 + 1 = 10

2(x + 3) = 2× (x + 3)

� pour les sommes

k2� signi�e �92 + 102 + 112 + 122�

Rappels

−32 + 1 = − 8 mais (−3)2 + 1 = 10

2(x + 3) = 2× (x + 3)

� pour les sommes

k2� signi�e �92 + 102 + 112 + 122�

Rappels

−32 + 1 = − 8 mais (−3)2 + 1 = 10

2(x + 3) = 2× (x + 3)

� pour les sommes

k2� signi�e �92 + 102 + 112 + 122�

Types de variables Regroupement de données Représentations graphiques Calcul d'indicateurs

Statistique descriptive à une variable

1 Introduction : types de variables

2 Regroupement de données

3 Représentations graphiques

4 Calcul d'indicateurs

Diversité des statistiques que l'on peut étudierConcernant les étudiants présents dans cette salle

Nombre de frères et s÷urs :

On verra que l'on peut calculer

La proportion d'étudiants qui ont 3 frères et s÷urs, ou qui en ont 1, etc

La proportion qui en ont plus que 3, moins que 2, etc

La médiane (50% ont plus de · · · frères et soeurs)

La moyenne, l'écart type

Taille :

Proportion qui mesure moins de 1m70 / plus de 1m60 / etc

Médiane

Moyenne, écart type

Humeur : � vous sentez vous �de très bonne humeur�, �de bonnehumeur�, �de relativement bonne humeur� ou �de mauvaise humeur� ? �

Proportion �de très bonne humeur� / �de mauvaise humeur� / etc

Proportion qui sont au moins �de relativement bonne humeur�

Médiane

Couleur des yeux :

proportion qui ont les yeux bleus / verts / etc.

Taille :

Médiane

Couleur des yeux :

Exemple de calculConcernant le nombre de frères et soeurs des étudiants présents dans cette salle

On désigne par la lettre X le nombre de frères et soeurs desétudiants présents dans cette salle.

S'il y a 212 étudiants dans cette salle, parmi lesquels 31 ontexactement 3 frères/soeurs, alors

Calcul de proportion

Pr [X = 3] =31212' 0,146

L'égalité Pr [X = 3] ' 0,146 signi�e : La proportion d'étudiants, ausein de cette salle, qui ont exactement trois frères/soeurs, estenviron de 14,6%.

Taille :

Médiane

Couleur des yeux :

Nombre de frères et s÷urs :La proportion d'étudiants qui ont 3 frères et s÷urs, ou qui en ont 1, etcLa proportion qui en ont plus que 3, moins que 2, etcLa médiane (50% ont plus de · · · frères et soeurs)La moyenne, l'écart type

Taille :Proportion qui mesure moins de 1m70 / plus de 1m60 / etcMédianeMoyenne, écart type

Proportion �de très bonne humeur� / �de mauvaise humeur� / etcProportion qui sont au moins �de relativement bonne humeur�Médiane

Couleur des yeux :proportion qui ont les yeux bleus / verts / etc.

On désigne par la lettre Y la taille des étudiants présents danscette salle.

S'il y a 212 étudiants dans cette salle, parmi lesquels 0 mesurent1m66, alors

Pr [Y = 1,66] =0212' 0

Mesure au laser hyper-technique

Cet étudiant mesure 1,661460561830567908615349803 mètre.

On désigne par la lettre Y la taille des étudiants présents danscette salle.

S'il y a 212 étudiants dans cette salle, parmi lesquels 0 mesurent1m66, alors

Pr [Y = 1,66] =0212' 0

Mesure au laser hyper-technique

Cet étudiant mesure 1,661460561830567908615349803 mètre.

Diversité des statistiques que l'on peut étudierExemples concernant les étudiants présents dans cette salle

proportiond'unevaleur

intervallede valeurs

médianemoyenneet écarttype

Nb defrères/s÷urs

X X X X

Taille ä X X XHumeur X X X ä

Couleurdes yeux

X ä ä ä

Nb defrères/s÷urs

X X X X

Couleurdes yeux

X ä ä ä

Variables statistiques

Nb defrères/s÷urs

X X X X

Couleurdes yeux

X ä ä ä

Individus

Nb defrères/s÷urs

X X X X

Couleurdes yeux

X ä ä ä

Individuspopulation

Nb defrères/s÷urs

X X X X

Couleurdes yeux

X ä ä ä

Individuspopulation

Modalité

Nb defrères/s÷urs

X X X X

Couleurdes yeux

X ä ä ä

Individuspopulation

Modalité

quantitatif

qualitatif

Nb defrères/s÷urs

X X X X

Couleurdes yeux

X ä ä ä

Individuspopulation

Modalité

quantitatif

qualitatif

discret

continuordinal

nominal

Regroupement de donnéesExemple

Questionnaires remplis par un groupe d'étudiants (Exercice 25) :

Guillaumede bonne humeur0 frère/soeur

Genevievede bonne humeur1 frère/soeur

Alainde mauvaise humeur

1 frère/soeur1m71

Justinede très bonne humeur

1 frère/soeur1m69

Xavierde bonne humeur2 frères/soeurs

Sergede relativement bonne humeur

0 frère/soeur1m85

Gérardde bonne humeur0 frère/soeur

Mariede mauvaise humeur

1 frère/soeur1m72

Laurentde bonne humeur0 frère/soeur

1 frère/soeur1m71

1 frère/soeur1m69

0 frère/soeur1m85

1 frère/soeur1m72

1 frère/soeur1m71

1 frère/soeur1m69

0 frère/soeur1m85

1 frère/soeur1m72

Notations

Données regroupées parmodalité :

Nb de frères/soeurs 0 1 2

E�ectif 4 4 1

E�ectif total (taille del'échantillon) :n = 4+ 4+ 1= n1 + n2 + n3

Modalité demau

vaisehu

derelativementbo

detrès

E�ectif 2 1 5 1

n = 2+ 1+ 5+ 1= n1 + n2 + n3 + n4 =

4∑i=1

Notations

E�ectif 4 4 1

x1 x2 x3

Modalité demau

vaisehu

derelativementbo

detrès

E�ectif 2 1 5 1

n = 2+ 1+ 5+ 1= n1 + n2 + n3 + n4 =

4∑i=1

Notations

E�ectif 4 4 1

Modalité demau

vaisehu

derelativementbo

detrès

E�ectif 2 1 5 1n4

n = 2+ 1+ 5+ 1= n1 + n2 + n3 + n4 =

4∑i=1

Notations

E�ectif 4 4 1

Modalité demau

vaisehu

derelativementbo

detrès

E�ectif 2 1 5 1n4

n = 2+ 1+ 5+ 1= n1 + n2 + n3 + n4 =

4∑i=1

Notations

E�ectif 4 4 1

E�ectif total (taille del'échantillon) :n = 4+ 4+ 1 = 9= n1 + n2 + n3

Modalité demau

vaisehu

derelativementbo

detrès

E�ectif 2 1 5 1n4

n = 2+ 1+ 5+ 1 = 9= n1 + n2 + n3 + n4 =

4∑i=1

1 frère/soeur1m71

1 frère/soeur1m69

0 frère/soeur1m85

1 frère/soeur1m72

Notations

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

E�ectif 1 3 0 2 2 1

a2 a3 a4 a5 a6

n1 n2 n3 n4 n5 n6

Fréquences et fréquences cumulées

Fréquences : fi =nin

Nb de frères/soeurs 0 1 2E�ectif 4 4 1Fréquence 0,444 0,444 0,111

f1 f2 f3

exemple: f3 =n3n = 1

9' 0,111 Pr [X = 2] ' 0,111

Fréquences cumulées: sommes des fréquences des premièrescolonnesexemple : 0,444+ 0,444+ 0,111 ' 0,999 Pr [X 6 2] ' 0,999

Fréquences et fréquences cumulées

Fréquences : fi =nin

Nb de frères/soeurs 0 1 2E�ectif 4 4 1Fréquence 0,444 0,444 0,111Fréquence cumulées 0,444 0,888 0,999

exemple: f3 =n3n = 1

9' 0,111 Pr [X = 2] ' 0,111

Fréquences cumulées: sommes des fréquences des premièrescolonnesexemple : 0,444+ 0,444+ 0,111 ' 0,999 Pr [X 6 2] ' 0,999

Fréquences et fréquences cumuléesDonnées regroupées en classes

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

E�ectif 1 3 0 2 2 1Fréquence 0,111 0,333 0,0 0,222 0,222 0,111Fréq. Cum. 0,111 0,444 0,444 0,666 0,888 0,999

Pr [Y < 1,9] ' 0,888

Pr [1,8 6 Y < 1,9] = Pr [Y < 1,9]− Pr [Y < 1,8] '0,888− 0,444 ' 0,444

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

Pr [Y < 1,9] ' 0,888

Pr [1,8 6 Y < 1,9] = Pr [Y < 1,9]− Pr [Y < 1,8] '0,888− 0,444 ' 0,444

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

Pr [Y < 1,9] ' 0,888

Pr [1,8 6 Y < 1,9] = Pr [Y < 1,9]− Pr [Y < 1,8] '0,888− 0,444 ' 0,444

Remarques sur les fréquences et fréquences cumulées

Remarques

Écrire au moins 3 chi�res après la virgule

exemple : Pr [Y < 1,9] ' 0,888 ou 88,8 %.La dernière fréquence cumulée vaut 1 (c'est à dire 100%).

Trouver une valeur légèrement di�érente traduit des erreursd'arrondis.

Il existe d'autres dénominations :certains désignent les e�ectifs par � fréquences absolues �et les fréquences par � fréquences relatives �

Remarques

Représentations graphiques� Camemberts �

22, 2%

mauvaise

11, 1%

relativement bonne

55, 6%

11, 1 %

très bonne

Représentations graphiques� Diagramme en bâtons �

44,4%44,4%

Nombre de frères/soeurs

Fréquence

0 1 20%5%10%15%20%25%30%35%40%45%50%

Représentations graphiques� Histogramme �

Taille1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

FY (1,65) = Pr [Y < 1,65] = 0

FY (1,7) = Pr [Y < 1,7] ' 0,111

FY (1,75) = Pr [Y < 1,75] ' 0,444

FY (1,8) = Pr [Y < 1,8] ' 0,444

FY (1,85) = Pr [Y < 1,85] ' 0,666

FY (1,9) = Pr [Y < 1,9] ' 0,888

FY (1,95) = Pr [Y < 1,95] ' 0,999

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

FY (1,65) = Pr [Y < 1,65] = 0

FY (1,7) = Pr [Y < 1,7] ' 0,111

FY (1,75) = Pr [Y < 1,75] ' 0,444

FY (1,8) = Pr [Y < 1,8] ' 0,444

FY (1,85) = Pr [Y < 1,85] ' 0,666

FY (1,9) = Pr [Y < 1,9] ' 0,888

FY (1,95) = Pr [Y < 1,95] ' 0,999

Représentations graphiquesPolygone des fréquences cumulées

Taille1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%

Représentations graphiquesPolygone des fréquences cumulées

Taille1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%

1,67 1,83

Calcul de MédianeRetour sur les données de l'exercice 25

1 frère/soeur1m71

1 frère/soeur1m69

0 frère/soeur1m85

1 frère/soeur1m72

Calcul de MédianeRetour sur les données de l'exercice 25

1 frère/soeur1m71

1 frère/soeur1m69

0 frère/soeur1m85

1 frère/soeur1m72

MédianeCas de données regroupées en classes

Taille1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%

MoyenneIndicateur de tendance centrale

De�nitionMoyenne d'une variable statistique : somme des valeurs que prendla variable pour chaque individu, divisée par l'e�ectif total

Toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur, elledonne une idée globale de la valeur de la variable.

� Données brutes �

m(X ) =1n

n∑i=1

xinombre de frères/soeurs :m(X ) = 0+1+1+1+2+0+0+1+0

9' 0,667

taille :m(Y ) = 1,82+1,74+1,71+1,69+1,94+1,85+1,83+1,72+1,86

9= 16,16

9' 1,796m

� Données regroupées par modalités �Nb de frères/soeurs 0 1 2E�ectif 4 4 1

m(X ) = 4×0+4×1+1×29

= 69' 0,667

m(X ) =1n

r∑i=1

m(X ) =1n

n∑i=1

9' 0,667

taille :m(Y ) = 1,82+1,74+1,71+1,69+1,94+1,85+1,83+1,72+1,86

9= 16,16

9' 1,796m

m(X ) = 4×0+4×1+1×29

= 69' 0,667

m(X ) =1n

r∑i=1

m(X ) =1n

n∑i=1

9' 0,667

taille :m(Y ) = 1,82+1,74+1,71+1,69+1,94+1,85+1,83+1,72+1,86

9= 16,16

9' 1,796m

m(X ) = 4×0+4×1+1×29

= 69' 0,667

m(X ) =1n

r∑i=1

m(X ) =1n

n∑i=1

9' 0,667

taille :m(Y ) = 1,82+1,74+1,71+1,69+1,94+1,85+1,83+1,72+1,86

9= 16,16

9' 1,796m

m(X ) = 4×0+4×1+1×29

= 69' 0,667

m(X ) =1n

r∑i=1

m(X ) =1n

n∑i=1

9' 0,667

taille :m(Y ) = 1,82+1,74+1,71+1,69+1,94+1,85+1,83+1,72+1,86

9= 16,16

9' 1,796m

m(X ) = 4×0+4×1+1×29

= 69' 0,667

m(X ) =1n

r∑i=1

m(X ) =1n

n∑i=1

9' 0,667

taille :m(Y ) = 1,82+1,74+1,71+1,69+1,94+1,85+1,83+1,72+1,86

9= 16,16

9' 1,796m

m(X ) = 4×0+4×1+1×29

= 69' 0,667

m(X ) =1n

r∑i=1

m(X ) =1n

n∑i=1

9' 0,667

taille :m(Y ) = 1,82+1,74+1,71+1,69+1,94+1,85+1,83+1,72+1,86

9= 16,16

9' 1,796m

m(X ) = 4×0+4×1+1×29

= 69' 0,667

m(X ) =1n

r∑i=1

m(X ) =1n

n∑i=1

9' 0,667

taille :m(Y ) = 1,82+1,74+1,71+1,69+1,94+1,85+1,83+1,72+1,86

9= 16,16

9' 1,796m

m(X ) = 4×0+4×1+1×29

= 69' 0,667

m(X ) =1n

r∑i=1

m(X ) =1n

n∑i=1

9' 0,667

taille :m(Y ) = 1,82+1,74+1,71+1,69+1,94+1,85+1,83+1,72+1,86

9= 16,16

9' 1,796m

m(X ) = 4×0+4×1+1×29

= 69' 0,667

m(X ) =1n

r∑i=1

m(X ) =1n

n∑i=1

9' 0,667

taille :m(Y ) = 1,82+1,74+1,71+1,69+1,94+1,85+1,83+1,72+1,86

9= 16,16

9' 1,796m

m(X ) = 4×0+4×1+1×29

= 69' 0,667

m(X ) =1n

r∑i=1

m(X ) =1n

n∑i=1

9' 0,667

taille :m(Y ) = 1,82+1,74+1,71+1,69+1,94+1,85+1,83+1,72+1,86

9= 16,16

9' 1,796m

m(X ) = 4×0+4×1+1×29

= 69' 0,667

m(X ) =1n

r∑i=1

m(X ) =1n

n∑i=1

9' 0,667

taille :m(Y ) = 1,82+1,74+1,71+1,69+1,94+1,85+1,83+1,72+1,86

9= 16,16

9' 1,796m

m(X ) = 4×0+4×1+1×29

= 69' 0,667

m(X ) =1n

r∑i=1

Moyenne de données regroupées en classesExemple de la taille des étudiants

On approxime en considérant que tous les individus d'une même classeont une même note : le centre de la classe.

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

E�ectif 1 3 0 2 2 1

c1 =1,65+1,7

= 1,675c2 =

1,7+1,752

= 1,725c3 =

1,75+1,82

= 1,775c4 =

1,8+1,852

= 1,825c5 =

1,85+1,92

= 1,875c6 =

1,9+1,952

= 1,925

On calcule la moyenne comme précédemment :

m(Y ) = 1×1,675+3×1,725+0×1,775+2×1,825+2×1,875+1×1,9259

= 16,1759' 1,797m

Formule pour les données regroupées en classes

m(X ) =1n

r∑i=1

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

E�ectif 1 3 0 2 2 1

c1 =1,65+1,7

= 1,675c2 =

1,7+1,752

= 1,725c3 =

1,75+1,82

= 1,775c4 =

1,8+1,852

= 1,825c5 =

1,85+1,92

= 1,875c6 =

1,9+1,952

= 1,925

m(Y ) = 1×1,675+3×1,725+0×1,775+2×1,825+2×1,875+1×1,9259

= 16,1759' 1,797m

m(X ) =1n

r∑i=1

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

E�ectif 1 3 0 2 2 1

c1 =1,65+1,7

= 1,675c2 =

1,7+1,752

= 1,725c3 =

1,75+1,82

= 1,775c4 =

1,8+1,852

= 1,825c5 =

1,85+1,92

= 1,875c6 =

1,9+1,952

= 1,925

m(Y ) = 1×1,675+3×1,725+0×1,775+2×1,825+2×1,875+1×1,9259

= 16,1759' 1,797m

m(X ) =1n

r∑i=1

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

E�ectif 1 3 0 2 2 1

c1 =1,65+1,7

= 1,675c2 =

1,7+1,752

= 1,725c3 =

1,75+1,82

= 1,775c4 =

1,8+1,852

= 1,825c5 =

1,85+1,92

= 1,875c6 =

1,9+1,952

= 1,925

m(Y ) = 1×1,675+3×1,725+0×1,775+2×1,825+2×1,875+1×1,9259

= 16,1759' 1,797m

m(X ) =1n

r∑i=1

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

E�ectif 1 3 0 2 2 1

c1 =1,65+1,7

= 1,675c2 =

1,7+1,752

= 1,725c3 =

1,75+1,82

= 1,775c4 =

1,8+1,852

= 1,825c5 =

1,85+1,92

= 1,875c6 =

1,9+1,952

= 1,925

m(Y ) = 1×1,675+3×1,725+0×1,775+2×1,825+2×1,875+1×1,9259

= 16,1759' 1,797m

m(X ) =1n

r∑i=1

Écart typeIndicateur de dispersion

De�nition

Var(X ) = m(X 2)︸︷︷︸Noter que X 2 est aussi une variable statistique

− (m(X ))2 : Variance de la variable statistique X .

s(X ) =√

Var(X ) : Écart type.

Toujours positif, jamais plus grand que l'écart entre la plus grandeet la plus petite valeur, il donne une idée de l'écart typique entre lesvaleurs prises par la variable statistique.

� Données brutes �Exemple du nombre de frères/soeurs :m(X 2) = 0

2+12+1

2+12+2

2+02+0

2+12+0

Var(X ) = m(X 2)−m(X )2 = 8

9−(6

)2 ' 0,444Écart-type: s(X ) =

√Var(X ) ' 0,67

De�nition

s(X ) =√

Var(X ) : Écart type.

2+12+1

2+12+2

2+02+0

2+12+0

Var(X ) = m(X 2)−m(X )2 = 8

9−(6

)2 ' 0,444Écart-type: s(X ) =

√Var(X ) ' 0,67

De�nition

s(X ) =√Var(X ) : Écart type.

2+12+1

2+12+2

2+02+0

2+12+0

Var(X ) = m(X 2)−m(X )2 = 8

9−(6

)2 ' 0,444Écart-type: s(X ) =

√Var(X ) ' 0,67

De�nition

2+12+1

2+12+2

2+02+0

2+12+0

Var(X ) = m(X 2)−m(X )2 = 8

9−(6

)2 ' 0,444Écart-type: s(X ) =

√Var(X ) ' 0,67

De�nition

2+12+1

2+12+2

2+02+0

2+12+0

Var(X ) = m(X 2)−m(X )2 = 8

9−(6

)2 ' 0,444Écart-type: s(X ) =

√Var(X ) ' 0,67

De�nition

2+12+1

2+12+2

2+02+0

2+12+0

Var(X ) = m(X 2)−m(X )2 = 8

9−(6

)2 ' 0,444Écart-type: s(X ) =

√Var(X ) ' 0,67

De�nition

2+12+1

2+12+2

2+02+0

2+12+0

Var(X ) = m(X 2)−m(X )2 = 8

9−(6

)2 ' 0,444Écart-type: s(X ) =

√Var(X ) ' 0,67

Écart type de données regroupées par modalités ou classes

Données regroupées par modalités Nb de frères/soeurs 0 1 2E�ectif 4 4 1

m(X 2) = 02×4+12×4+22×19

Var(X ) = m(X 2)−m(X )2 = 89−(69

)2 ' 0,444Écart-type: s(X ) =

√Var(X ) ' 0,67

Données regroupées en classes

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

E�ectif 1 3 0 2 2 1

c1 =1,65+1,7

= 1,675c2 =

1,7+1,752

= 1,725c3 =

1,75+1,82

= 1,775c4 =

1,8+1,852

= 1,825c5 =

1,85+1,92

= 1,875c6 =

1,9+1,952

= 1,925

m(Y 2) = 1,6752×1+1,7252×3+1,7752×0+1,8252×2+1,8752×2+1,9252×19

= 29,1306259

Var(Y ) = m(Y 2)−m(Y )2 = 29,1306259

−(16,175

)2' 0,007

Écart-type: s(Y ) =√Var(Y ) ' 0,08

m(X 2) = 02×4+12×4+22×19

Var(X ) = m(X 2)−m(X )2 = 89−(69

)2 ' 0,444Écart-type: s(X ) =

√Var(X ) ' 0,67

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

E�ectif 1 3 0 2 2 1

c1 =1,65+1,7

= 1,675c2 =

1,7+1,752

= 1,725c3 =

1,75+1,82

= 1,775c4 =

1,8+1,852

= 1,825c5 =

1,85+1,92

= 1,875c6 =

1,9+1,952

= 1,925

m(Y 2) = 1,6752×1+1,7252×3+1,7752×0+1,8252×2+1,8752×2+1,9252×19

= 29,1306259

Var(Y ) = m(Y 2)−m(Y )2 = 29,1306259

−(16,175

)2' 0,007

m(X 2) = 02×4+12×4+22×19

Var(X ) = m(X 2)−m(X )2 = 89−(69

)2 ' 0,444Écart-type: s(X ) =

√Var(X ) ' 0,67

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

E�ectif 1 3 0 2 2 1

c1 =1,65+1,7

= 1,675c2 =

1,7+1,752

= 1,725c3 =

1,75+1,82

= 1,775c4 =

1,8+1,852

= 1,825c5 =

1,85+1,92

= 1,875c6 =

1,9+1,952

= 1,925

m(Y 2) = 1,6752×1+1,7252×3+1,7752×0+1,8252×2+1,8752×2+1,9252×19

= 29,1306259

Var(Y ) = m(Y 2)−m(Y )2 = 29,1306259

−(16,175

)2' 0,007

m(X 2) = 02×4+12×4+22×19

Var(X ) = m(X 2)−m(X )2 = 89−(69

)2 ' 0,444Écart-type: s(X ) =

√Var(X ) ' 0,67

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

E�ectif 1 3 0 2 2 1

c1 =1,65+1,7

= 1,675c2 =

1,7+1,752

= 1,725c3 =

1,75+1,82

= 1,775c4 =

1,8+1,852

= 1,825c5 =

1,85+1,92

= 1,875c6 =

1,9+1,952

= 1,925

m(Y 2) = 1,6752×1+1,7252×3+1,7752×0+1,8252×2+1,8752×2+1,9252×19

= 29,1306259

Var(Y ) = m(Y 2)−m(Y )2 = 29,1306259

−(16,175

)2' 0,007

m(X 2) = 02×4+12×4+22×19

Var(X ) = m(X 2)−m(X )2 = 89−(69

)2 ' 0,444Écart-type: s(X ) =

√Var(X ) ' 0,67

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

E�ectif 1 3 0 2 2 1

c1 =1,65+1,7

= 1,675c2 =

1,7+1,752

= 1,725c3 =

1,75+1,82

= 1,775c4 =

1,8+1,852

= 1,825c5 =

1,85+1,92

= 1,875c6 =

1,9+1,952

= 1,925

m(Y 2) = 1,6752×1+1,7252×3+1,7752×0+1,8252×2+1,8752×2+1,9252×19

= 29,1306259

Var(Y ) = m(Y 2)−m(Y )2 = 29,1306259

−(16,175

)2' 0,007

m(X 2) = 02×4+12×4+22×19

Var(X ) = m(X 2)−m(X )2 = 89−(69

)2 ' 0,444Écart-type: s(X ) =

√Var(X ) ' 0,67

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

E�ectif 1 3 0 2 2 1

c1 =1,65+1,7

= 1,675c2 =

1,7+1,752

= 1,725c3 =

1,75+1,82

= 1,775c4 =

1,8+1,852

= 1,825c5 =

1,85+1,92

= 1,875c6 =

1,9+1,952

= 1,925

m(Y 2) = 1,6752×1+1,7252×3+1,7752×0+1,8252×2+1,8752×2+1,9252×19

= 29,1306259

Var(Y ) = m(Y 2)−m(Y )2 = 29,1306259

−(16,175

)2' 0,007

m(X 2) = 02×4+12×4+22×19

Var(X ) = m(X 2)−m(X )2 = 89−(69

)2 ' 0,444Écart-type: s(X ) =

√Var(X ) ' 0,67

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

E�ectif 1 3 0 2 2 1

c1 =1,65+1,7

= 1,675c2 =

1,7+1,752

= 1,725c3 =

1,75+1,82

= 1,775c4 =

1,8+1,852

= 1,825c5 =

1,85+1,92

= 1,875c6 =

1,9+1,952

= 1,925

m(Y 2) = 1,6752×1+1,7252×3+1,7752×0+1,8252×2+1,8752×2+1,9252×19

= 29,1306259

Var(Y ) = m(Y 2)−m(Y )2 = 29,1306259

−(16,175

)2' 0,007

m(X 2) = 02×4+12×4+22×19

Var(X ) = m(X 2)−m(X )2 = 89−(69

)2 ' 0,444Écart-type: s(X ) =

√Var(X ) ' 0,67

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

E�ectif 1 3 0 2 2 1

c1 =1,65+1,7

= 1,675c2 =

1,7+1,752

= 1,725c3 =

1,75+1,82

= 1,775c4 =

1,8+1,852

= 1,825c5 =

1,85+1,92

= 1,875c6 =

1,9+1,952

= 1,925

m(Y 2) = 1,6752×1+1,7252×3+1,7752×0+1,8252×2+1,8752×2+1,9252×19

= 29,1306259

Var(Y ) = m(Y 2)−m(Y )2 = 29,1306259

−(16,175

)2' 0,007

m(X 2) = 02×4+12×4+22×19

Var(X ) = m(X 2)−m(X )2 = 89−(69

)2 ' 0,444Écart-type: s(X ) =

√Var(X ) ' 0,67

Classe [ 1,65 ; 1,7 [ [ 1,7 ; 1,75 [ [ 1,75 ; 1,8 [ [ 1,8 ; 1,85 [ [ 1,85 ; 1,9 [ [ 1,9 ; 1,95 [

E�ectif 1 3 0 2 2 1

c1 =1,65+1,7

= 1,675c2 =

1,7+1,752

= 1,725c3 =

1,75+1,82

= 1,775c4 =

1,8+1,852

= 1,825c5 =

1,85+1,92

= 1,875c6 =

1,9+1,952

= 1,925

m(Y 2) = 1,6752×1+1,7252×3+1,7752×0+1,8252×2+1,8752×2+1,9252×19

= 29,1306259

Var(Y ) = m(Y 2)−m(Y )2 = 29,1306259

−(16,175

)2' 0,007

Remarques sur les écarts type

Dans le formulaire, les calculs précédents sont résumés parDonnées brutes E�ectifs par modalités E�ectifs par classes

m(X 2) =1n

n∑i=1

x2i m(X 2) =1n

r∑i=1

nix2i m(X 2) =

r∑i=1

Il existe aussi un écart type corrigé : s(X ) =√

nn−1s(X ).

Il n'est pas utilisé dans ce coursIl sert à conclure à partir d'un petit échantillon, ce qui sera fait d'uneautre manière en �n de semestreLa calculatrice calcule à la fois l'écart type (plus petit) et l'écart typecorrigé (plus grand)

Dans les calculs d'écart type, il faut faire attention aux � erreursd'arrondis �, discutées en particulier dans l'exercice 5.

m(X 2) =1n

n∑i=1

x2i m(X 2) =1n

r∑i=1

nix2i m(X 2) =

r∑i=1

nn−1s(X ).

m(X 2) =1n

n∑i=1

x2i m(X 2) =1n

r∑i=1

nix2i m(X 2) =

r∑i=1

nn−1s(X ).

m(X 2) =1n

n∑i=1

x2i m(X 2) =1n

r∑i=1

nix2i m(X 2) =

r∑i=1

nn−1s(X ).

m(X 2) =1n

n∑i=1

x2i m(X 2) =1n

r∑i=1

nix2i m(X 2) =

r∑i=1

nn−1s(X ).

m(X 2) =1n

n∑i=1

x2i m(X 2) =1n

r∑i=1

nix2i m(X 2) =

r∑i=1

nn−1s(X ).

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