méthodes d_encadrement
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1
Mécanique non linéaire
Les méthodes d’encadrement
maya@cluny.ensam.fr
2
Les méthodes d’encadrement
Pour un matériau à comportement rigide parfaitement plastique :
0.. ** pikikikikikik
s Statiquement Admissible PFDCLF
CompatiblitéCLD
e Cinématiquement Admissible
3
Les méthodes d’encadrementThéorème des travaux virtuels
Pour tout champ de contrainte statiquement admissible associé à un champ de déformation cinématiquement admissible, le travail des efforts extérieurs est égal au travail de déformation de la structure augmenté du travail des quantités d'accélération galiléennes.
v iiv ijijv iis ii dvudvdvufdsu
s iis iis ii dsudsudsu
s ii dsu Travail des efforts surfaciques imposés à déplacements inconnus
s ii dsu Travail des efforts surfaciques inconnus à déplacements imposés
4
Les méthodes d’encadrementThéorème des puissances virtuelles
Pour tout champ de contrainte statiquement admissible associé à un champ de déformation cinématiquement admissible, la puissance des efforts extérieurs est égal à la puissance de déformation de la structure augmentée de la puissance des quantités d'accélération galiléennes.
v iivij
ijv iis iis ii dvvdvdvvfdsvdsv
5
Les méthodes d’encadrementDéfinitions
Principe fondamental de la dynamique
Conditions aux limites sur les forces
Champ statiquement admissible
Critère de plasticité en tout point : Champ plastiquement admissible
Champ statiquement et plastiquement admissible
Ensemble des champs de contrainte
Champ de contrainte licite
6
Les méthodes d’encadrementDéfinitions Ensemble des
champs de déformation
Equations de compatibilité
Conditions aux limitessur les déplacements
Champ cinématiquementadmissible
Champ plastiquementadmissible
Ensemble des champs de contrainte
Champ cinématiquementet plastiquement admissible
Champ de déformation licite
7
Les méthodes d’encadrementThéorème cinématique« Théorème de la borne supérieure »
Champ de déformation actuelle licite
Vecteur déplacement associé
La fonctionnelle
est minimale pour le champ de déplacement solution du problème.
*
u*
*
s iiv iiv iiv ijij dsudvufdvudvuG ******
Tenseur contrainte lié par la loi d’écoulement plastique
8
Les méthodes d’encadrementThéorème statique
« Théorème de la borne inférieure »
* Champ de contrainte licite* Vecteurs contrainte sur la surface
La fonctionnelle est maximale pour le champ de contrainte solution du problème.
dsuH is i
**
9
Applications à la mise en formeMéthode des tranches
Découpe virtuelle en tranches infiniment minces
Choix d’un modèle de frottement au contact
Equations d’équilibre d’une tranche
Choix d’un critère de plasticité
Loi d’écoulement
Résolution d’équations différentielles
EFFORT RESULTANT
10
Applications à la mise en formeMéthode des tranches
Modèle de frottement
Modèle de Coulomb
La contrainte tangentielle est proportionnelle à la contrainte normale de la surface de contact mais reste limitée à la valeur de glissement
yy
g
En pratique on prend : 3g
yyk
11
Applications à la mise en formeMéthode des tranches
Modèle de frottement
Modèle de la couche limite
La contrainte tangentielle est proportionnelle à la limite
d’écoulement du matériau
contact parfaitement lubrifié :m = 0contact parfaitement collant : m = 1
03 m
Presse
Interface
Matière
12
Applications à la mise en formeMéthode des tranches
Exemple : forgeage d’une barre
Barre parallélépipédiqueHauteur h Largeur 2a Longueur l
h
a a
Longueur très grandePlateaux de presse indéformablesMatériau rigide parfaitement plastique
zyx EEE
,, Axes principaux
xE
yE
)(xfM Frottement outil - pièce
13
Applications à la mise en formeMéthode des tranches
Exemple : forgeage d’une barre
xE
yE
x
dx
Equilibre d’une tranche d’épaisseur dx
14
Applications à la mise en formeMéthode des tranches
Exemple : forgeage d’une barre
x
dx
Equilibre d’une tranche d’épaisseur dxh
a a xE
yE
sxx (x) sxx (x + dx)
syy (x)
syy (x)
t(x)
t(x)
03
22
h
m
hdx
d xx
03
20 ax
h
mxx
15
Applications à la mise en formeMéthode des tranches
Exemple : forgeage d’une barre
Loi de normalité
h
a a xE
yE
sxx (x) sxx (x + dx)
syy (x)
syy (x)
t(x)
t(x)
ikik
f
Critère Von Misès
22
202 2, JJf ik
ikikik
ss
ff
16
Applications à la mise en formeMéthode des tranches
Exemple : forgeage d’une barre
Déformation axiale actuelle
h
a a xE
yE
sxx (x) sxx (x + dx)
syy (x)
syy (x)
t(x)
t(x)
Etat plan de déformation
3zzyyxx
zzzzzz s
0zz
yyxxzz 2
1
17
Applications à la mise en formeMéthode des tranches
Exemple : forgeage d’une barre
Critère Von Misès
h
a a xE
yE
sxx (x) sxx (x + dx)
syy (x)
syy (x)
t(x)
t(x)
220
222 22 exxzzzzyyyyxx
22
3
4eyyxx
1
3
2ax
h
meyy
18
Applications à la mise en formeMéthode des tranches
Exemple : forgeage d’une barre
Effort de compression
xE
yE
1
3
2ax
h
meyy
a
yy dxlF0
2
2
3
2
h
amlaF e
19
Applications à la mise en formeMéthode de la borne supérieure
Travail réel des réactions d’appui
s iiv iiv iiv ijijs ii dsudvufdvudvdsu *****
Tenseur déformation licite *ij
Travail virtuel de déformation
Travail virtuel des quantités d’accélération
Travail virtuel des forces de volume
Travail virtuel des forces de surface imposées
s ii dsu0
Nul ou positif
Nul en quasi statique
Souvent négligeable
s iiv ijij dsudv ***
20
Applications à la mise en formeMéthode de la borne supérieure
Quel que soit le champ de déformation licite choisi, l'énergie dissipée par déformation plastique et frottement est supérieure à l'énergie motrice
s iiv ijij dsudv ***
21
Applications à la mise en formeMéthode de la borne supérieure
Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini
Poinçon infiniment rigide
Massif rigide parfaitement plastique
22
Applications à la mise en formeMéthode de la borne supérieure
Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini
Poinçon infiniment rigide
Massif rigide parfaitement plastique
Formation d’un bourrelet
23
Applications à la mise en formeMéthode de la borne supérieure
Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini
Coin sous le poinçon Zones d’écoulement latéral
Métal remontant (formation du bourrelet) Métal immobile
AB BCC
D
24
Applications à la mise en formeMéthode de la borne supérieure
Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini
Coin sous le poinçon Zones d’écoulement latéral
Métal remontant (formation du bourrelet) Métal immobile
D
Les zones ont un comportement de solides indéformablesL’énergie est essentiellement dissipée aux frontièresTriangles rectangles isocèles
25
Applications à la mise en formeMéthode de la borne supérieure
Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini
D
AB
C
dUx
dUy
d
a
b
cDéplacement A / D :
Déplacement B / A :
Déplacement C / B :
Déplacement D / C :
u2
2u
Calcul des déplacements relatifs
2u
Déplacement B / D :
u
u
26
Applications à la mise en formeMéthode de la borne supérieure
Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini
D
AB
C
Calcul des énergies dissipées aux contacts
e
E
E
y
x
umax I
II
II
I
0 axel'sur
0
00
axel'sur
0 axel'sur
max
max
zz
y
y
y
y
xx
uE
uuxe
ue
xuex
ux
E
uE
I : solide indéformable immobile
III : solide indéformable mobile
II : couche d’interface
27
Applications à la mise en formeMéthode de la borne supérieure
Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini
D
AB
C
Calcul des énergies dissipées aux contacts
e
E
E
y
x
umax I
II
II
I
Dans la couche II
zyx EEE
e
ue
u
,,000
002
02
0
max
max
Avec Von Misès
ikikp
équiéqui 3
2
3
max
e
uéqui
28
Applications à la mise en formeMéthode de la borne supérieure
Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini
D
AB
C
Calcul des énergies dissipées aux contacts
e
E
E
y
x
umax I
II
II
I
Energie dissipée parunité de volumeEnergie dissipée parunité de surface de contact
3max
e
uW e
équie
3maxu
W es
29
Applications à la mise en formeMéthode de la borne supérieure
Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini
D
AB
C
Calcul des énergies dissipées aux contacts
Lignes Surface (longueur)
entre A et B
entre B et C
entre C et D
entre D et B
u W
22a 2u 34 eua
22a 2u 32 eua
22a 2u 32 eua
a4 u 34 eua
30
Applications à la mise en formeMéthode de la borne supérieure
Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini
D
AB
C
Calcul des énergies dissipées aux contacts
Energie totale dissipée
312 eu
aW
Si choix de triangles isocèles simples
32
16 euaW
31
Applications à la mise en formeMéthode de la borne supérieure
Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini
D
AB
C
Calcul de la force motrice
Force motrice réelle uFE
Application du théorème de la borne supérieure3
12 eaF
Pression moyenne maximale eemoy a
Fp 46,3
3
6
2
32
Applications à la mise en formeMéthode de la borne inférieure
La fonctionnelle est maximale pour le
champ de contrainte réel
dsuH is i
**
L’énergie motrice obtenue à partir d’un champ de contrainte licite est inférieure à l’énergie motrice réelle.
33
Applications à la mise en formeMéthode de la borne inférieure
Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini
Poinçon infiniment rigide
Massif rigide parfaitement plastique
Zone sous le poinçon
zyxzz
yy
EEE
,,00
00
000
Autre zone
zyxzz EEE
,,00
000
000
34
Applications à la mise en formeMéthode de la borne inférieure
Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini
Etat plan de déformation 2
yyxx
zz
Critère Von Misès eyyxx 3
2
Zone sous le poinçon eyy 3
2
Pression de contact eemoyp 15,13
2
35
Applications à la mise en formeMéthode de la borne inférieure
Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini
Zone sous le poinçon Autre zone
zyxzz
yy
xx
EEE
,,00
00
00
zyxzz
xx
EEE
,,00
000
00
Autre solution
eemoyp 31,23
4
36
Applications à la mise en formeConclusion
Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini
Méthodes donnant un encadrement de la solution
emoye p 31,227,3
Solution exacte eemoyp
97,2
3
2
Méthode de la borne supérieure plus évidente et plus sécurisante
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