mesures par voie optique de champs cinématiques...
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THESE Pour l’obtention du grade de
Docteur de l’Université de Poitiers Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées
(Diplôme national – Arrêté du 7 août 2006)
Ecole Doctorale : Sciences Pour l’Ingénieur & Aéronautique Secteur de recherche : Mécanique des solides, des matériaux, des structures et des surfaces
Présentée par :
Stéphen HEDAN
___________________________
Mesures par voie optique de champs cinématiques pour l'étude du comportement de plaques élastiques fissurées et chargées en mode I :
Formulation des déplacements 2D par confrontation numérique/expérience en statique.
Analyse des effets 3D en dynamique. ___________________________
Directeurs de thèse : Mario COTTRON
Valéry VALLE
Date de soutenance : 02 Décembre 2008 Devant la commission d’examen
JURY M. A. VAUTRIN, Professeur, Ecole des Mines, Saint-Etienne Président Mme. S. POMMIER, Professeure, LMT, ENS de Cachan Rapporteur M. J.L. LATAILLADE, Professeur, LAMEFIP, ENSAM de Talence Rapporteur M. M. COTTRON, Professeur, LMS, Université de Poitiers Examinateur M. F. DUBOIS, Professeur, 3MSGC, Université de Limoges Examinateur M. L. HUMBERT, Chef de Travaux, LMSSMat, Ecole Centrale de Paris Examinateur M. N. MOËS, Professeur, GeM, Ecole Centrale de Nantes Examinateur M. V. VALLE, Professeur, LMS, Université de Poitiers Examinateur
- 3 -
Choisissez un travail que vous aimez et
vous n'aurez pas à travailler
un seul jour de votre vie.
Confucius
Remerciements.
- 5 -
Remerciements.
L'étude présentée dans ce mémoire a été réalisée au Laboratoire de Mécanique des
Solides de l’Université de Poitiers (U.M.R. 6610) dirigé par Monsieur le Professeur
O. Bonneau.
Je tiens à remercier Monsieur le Professeur Fabrice Brémand pour m'avoir permis
d'entreprendre et de mener à bien cette recherche au sein de l'équipe Photomécanique et
Rhéologie ainsi que pour son aide sur les simulations numériques par éléments finis.
Je suis particulièrement sensible à l'attention que m'ont portée Madame la Professeure
Sylvie Pommier et Monsieur le Professeur Jean-Luc Lataillade en acceptant de juger ce
mémoire.
Je remercie vivement Messieurs les Professeurs Frédéric Dubois, Nicolas Moës, Alain
Vautrin et Monsieur Laurent Humbert pour l'intérêt qu'ils ont porté à mon travail en acceptant
de participer au jury.
Je remercie également Monsieur le Professeur Mario Cottron pour avoir codirigé cette
thèse, pour sa grande disponibilité, pour sa bonne humeur et par la rapidité de ces réponses
aux nombreuses sollicitations que j'ai pu faire au cours de ces trois années.
Je voudrais exprimer toute ma reconnaissance et toute ma sympathie à Monsieur le
Professeur Valéry Valle. Ses connaissances, explications et analyses ont très largement
contribué à l'orientation et l'évolution permanente de cette étude. Son recul dans les domaines
aussi variés que la mécanique, l'électronique, l'expérimental, la programmation, … et les
nombreuses discussions que nous avons eues, m'ont permis de mener à bien ces travaux. Je
t'adresse un grand merci pour ta confiance et l'aide que tu m'as apportée pour la recherche et
pour les enseignements.
Je tiens à remercier les autres membres de l'équipe et plus particulièrement
P. Doumalin pour les réalisations rapides de mes éprouvettes ainsi que pour son aide à
Remerciements.
- 6 -
concilier enseignement et recherche et J.C. Dupré pour nos conversations scientifiques et
"rugbalistiques".
Je souhaite également saluer les anciens doctorants de l'équipe Octavian, Eric et plus
particulièrement Kossi pour nos nombreuses discussions "mathématiques" qui m'ont permis
de faire avancer mes travaux, ainsi que les informaticiens Franck et Mathieu, l'électronicien
Sébastien, les amis Arnaud, Ghina ..., les "sportifs" Tony, Eric D., pour leur disponibilité.
Je remercie très chaleureusement Arnaud qui, depuis 7 ans déjà, me supporte, m'aide
dans les moments délicats et aussi pour nos nombreuses discussions parfois même tard le soir,
que nous avons pu avoir et qui m'ont permis d'avancer au fil des années.
Je ne saurais terminer ces remerciements sans saluer ma famille : ma belle-sœur
Sylvie, mes "beaux-parents" Marie-France et Jacques, mes frères Ludovic et Erwan et surtout
mes parents Michelle et Yves qui ont toujours cru en moi, qui ont accepté et soutenu mes
choix professionnels. La dernière personne que je tiens à remercier et qui tient une place
essentielle tant personnellement que dans l'aboutissement de cette thèse, est Elodie, MERCI à
toi…
Tables des matières.
- 7 -
Table des matières.
TABLE DES MATIERES. ......................................................................7
INTRODUCTION. .............................................................................13
1 MECANIQUE DE LA RUPTURE 2D ET METHODES OPTIQUES MISE EN
ŒUVRE EN FISSURATION. ...............................................................21
1.1 Introduction............................................................................................ 21
1.2 Théorie de la rupture et mode de fissuration. ............................................ 23
1.3 Les solutions analytiques des contraintes et des déplacements.................... 24
1.4 Facteur d'Intensité des Contraintes (KI)..................................................... 30
1.4.1 Approche statique...................................................................................................... 31
1.4.2 Approche dynamique. ................................................................................................ 32
1.4.3 Discussion................................................................................................................. 35
1.5 Approche énergétique. ............................................................................ 35
1.5.1 Théorie de Griffith et taux de restitution d'énergie (G). ................................................. 35
1.5.2 Intégrale J de Rice..................................................................................................... 37
1.6 Discussion. ............................................................................................. 40
1.7 Les méthodes optiques utilisées en mécanique de la rupture. ..................... 41
1.7.1 Méthodes optiques basées sur les interférences. .......................................................... 41
1.7.2 Méthodes optiques basées sur la variation du relief en pointe de fissure......................... 47
1.7.3 Méthodes optiques par suivi de motifs. ........................................................................ 50
1.7.4 Méthodes optiques basées sur la variation d'indice optique............................................ 54
1.8 Synthèse des méthodes optiques en mécanique de la rupture..................... 55
2 FISSURES STATIONNAIRES : ANALYSE DES CHAMPS DE
DEPLACEMENTS PLANS....................................................................61
Tables des matières.
- 8 -
2.1 Introduction............................................................................................ 61
2.2 Etat de l'art en mécanique de la rupture statique. ...................................... 62
2.2.1 Approches numériques et couplage numérique/expérimental......................................... 62
2.2.2 Approches expérimentales.......................................................................................... 64
2.3 Méthode optique choisie pour l'étude de fissures stationnaires. ................... 67
2.4 Etude expérimentale des champs de déplacements dans le plan. ................ 68
2.4.1 Détermination des caractéristiques mécaniques des matériaux. ..................................... 70
2.4.2 Montage expérimental................................................................................................ 73
2.4.3 Présence de nodules sur les cartographies de phase. .................................................... 74
2.4.4 Etude des champs de déplacements expérimentaux et théoriques ux et uy. ..................... 77
2.4.5 Discussion et conclusions. .......................................................................................... 80
2.5 Etude numérique des champs de déplacements dans le plan. ..................... 80
2.5.1 Etude numérique pour une modélisation 3D de plaque infinie. ....................................... 80
2.5.2 Etude numérique pour une modélisation 3D de plaque finie........................................... 85
2.6 Calcul de l'intégrale J............................................................................... 88
2.6.1 Gradients de déplacements de la formulation d'Arakawa. .............................................. 88
2.6.2 Nouvelles formulations de ux et uy............................................................................... 89
2.6.3 Calcul de l'intégrale J pour le PSM4. ............................................................................ 94
2.7 Influence des effets de bords dans la modélisation numérique. ................. 104
2.7.1 Calcul du facteur d'intensité des contraintes numériques KI_num.................................... 105
2.7.2 Calcul des deux critères norm_x et norm_y. ................................................................. 106
2.8 Etude des sept variables des formulations proposées ux et uy.................... 108
2.8.1 Influence de l'épaisseur (h) sur les sept variables. ...................................................... 108
2.8.2 Influence de la longueur de fissure (a) sur les sept variables. ...................................... 112
2.8.3 Conclusions............................................................................................................. 115
2.9 Conclusion générale. ............................................................................. 115
3 PROPAGATION DE FISSURES : ETUDE DES DEPLACEMENTS HORS-
PLAN. ........................................................................................... 119
3.1 Introduction.......................................................................................... 119
Tables des matières.
- 9 -
3.2 Etude de l'art en mécanique de la rupture dynamique. ............................. 120
3.2.1 Approches numériques............................................................................................. 120
3.2.2 Approches expérimentales........................................................................................ 122
3.2.3 Conclusion. ............................................................................................................. 125
3.3 Méthode optique choisie pour l'étude lors de propagation de fissure.......... 125
3.3.1 La méthode MPC ("Modulated Phase Correlation"). ..................................................... 126
3.3.2 Caméra ultra-rapide. ................................................................................................ 128
3.4 Obtention des déplacements hors-plan en dynamique. ............................. 129
3.4.1 Approche théorique. ................................................................................................ 130
3.4.2 Moyens expérimentaux. ........................................................................................... 132
3.5 Etude expérimentale des champs de déplacement hors-plan lors de
propagation de fissure..................................................................................... 134
3.5.1 Montage expérimental.............................................................................................. 134
3.5.2 Les différents problèmes rencontrés. ......................................................................... 135
3.5.3 Résultats expérimentaux. ......................................................................................... 140
3.5.4 Formulation tridimensionnelle du déplacement hors-plan............................................. 147
3.6 Etendue de la zone tridimensionnelle. ..................................................... 159
3.6.1 Etendue de la zone 3D pour les cas expérimentaux. ................................................... 160
3.6.2 Etude de la zone 3D en fonction du chargement () et de la vitesse (V). ...................... 161
3.6.3 Normalisation des déplacements hors-plan théorique et expérimentaux........................ 163
3.6.4 Conclusion. ............................................................................................................. 164
3.7 Etude post-mortem du faciès de rupture. ................................................ 164
3.7.1 Principe. ................................................................................................................. 166
3.7.2 Avantages et inconvénients. ..................................................................................... 167
3.7.3 Résultats................................................................................................................. 168
3.7.4 Analyse................................................................................................................... 170
3.7.5 Conclusion. ............................................................................................................. 171
3.8 Conclusion générale. ............................................................................. 171
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES. ................................................. 173
ANNEXE. ....................................................................................... 177
Tables des matières.
- 10 -
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES.................................................. 181
LISTE DES ILLUSTRATIONS............................................................ 189
PUBLICATIONS.............................................................................. 195
Introduction.
- 13 -
Introduction.
Aujourd'hui la réalité des marchés impose aux industriels de concevoir des ouvrages, des
structures, des machines de plus en plus grandes, de plus en plus hautes, de plus en plus
légères, de plus en plus performantes et ces conceptions doivent être réalisées le plus
rapidement possible. Pour répondre à ces exigences, les entrepreneurs de ces ouvrages ou
machines demandent aux fabricants de matériaux de satisfaire leurs besoins. C'est pour cela
qu'une multitude de nouveaux matériaux sont créés (ex : composites, matériaux bio,
alliages…). Toutefois, ces matériaux comme tous les autres, sont fabriqués avec des
micro-défauts (cavités) à l'échelle microscopique, qui une fois sollicités provoquent des
concentrations de contraintes préjudiciables sur la stabilité de la structure et peuvent faire
apparaître des défauts macroscopiques non pris en compte par la mécanique des milieux
continus. Pour appréhender ces problèmes, les mécaniciens ont entrepris l'étude de ces défauts
au travers d'une discipline, en développant la mécanique de la rupture. D'autres défauts
(ex : soudure), pouvant apparaître lors de la réalisation d'ouvrages, ainsi que le milieu ambiant
peuvent entraîner la ruine d'une structure. Les récents accidents survenus à une fête foraine,
où le bras d'une machine à sensation constitué d'un seul élément et supportant une nacelle à
son extrémité, s'est littéralement fissuré en deux, montrent la nécessité de prendre en compte
tous ces phénomènes dans la conception et dans la réalisation de tels ouvrages.
Les sollicitations extérieures (mécaniques, climatiques), les vibrations (séismes), les produits
chimiques, les UV, etc. sont autant d'éléments pouvant réduire la durée de vie d'un ouvrage.
La température aussi joue un rôle non négligeable lors des processus de fissuration. Par
exemple, on constate régulièrement des ruptures brutales à basses températures. Si la rupture
est brutale (fragile), la théorie de l'élasticité peut être appliquée, et une petite zone de
plasticité apparaît restant confinée en pointe de fissure. A l'opposée, pour de fortes
températures, la rupture entraîne des déformations plastiques non négligeables, dans une zone
autour de la pointe de fissure, on parle alors de rupture ductile. La mécanique de la rupture
linéaire est l'étude de structures élastiques à comportement fragile (sans plasticité), ayant des
fissures macroscopiques et soumises à un chargement donné, afin de prédire les risques de
rupture et de mieux comprendre les phénomènes de fissuration. Nous aborderons deux
problèmes différents, l'un se rapportant à des conditions statiques dans le cas d'une plaque
mince présentant une fissure stationnaire et l'autre traitant de la dynamique lorsqu'il y aura
propagation d'une fissure dans un milieu fini.
Introduction.
- 14 -
Les développements en mécanique de la rupture bidimensionnelle fournissent des solutions
asymptotiques des contraintes (xx, yy, xy) et du déplacement hors-plan (uz) et des
paramètres. Le facteur d'intensité des contraintes (K) et l'intégrale J de Rice sont deux
paramètres largement utilisés pour prédire le risque de rupture d'une structure. Ces deux
quantités s'obtiennent à partir de donnés numériques (ex : Eléments finis) ou expérimentales
issues, de la photoélasticimétrie ou de la méthode des caustiques et plus récemment à partir de
champs cinématiques, essentiellement par des mesures de champs de déplacements. Pour les
déplacements dans le plan (ux, uy), les solutions théoriques sont connues et ne sont pas
asymptotiques. Dans l'approche bidimensionnelle du problème de la mécanique de la rupture,
l'épaisseur (h) de la structure est négligée ainsi que toutes les grandeurs mécaniques suivant
cette dimension. Cette hypothèse a permis d'exprimer analytiquement le problème d'une
structure fissurée. Toutefois, la non-présence d'effets tridimensionnels au cœur d'une
structure, induite par cette condition, a largement été contredite par de nombreux essais
expérimentaux proche de la singularité géométrique.
L'étude des problèmes tridimensionnels de fissuration peut être mise en œuvre
expérimentalement en utilisant les méthodes optiques, car elles sont sans contact, non
destructives... Des expérimentations sur des fissures stationnaires et utilisant l'interférométrie
ou la méthode des caustiques ont montré le caractère tridimensionnel proche de la singularité
par comparaison des résultats expérimentaux et des formulations 2D. Parallèlement, des
études numériques et volumiques ont aussi souligné le caractère 3D. Sur la surface libre de la
structure, une zone dite "3D" égale à la demi-épaisseur de la plaque, a été observée. Proche de
la pointe de fissure, l'évolution des reliefs est considérablement modifiée entre la théorie
bidimensionnelle et les essais. Ainsi, l'expression du déplacement hors-plan 2D ne peut être
appliquée pour des fissures stationnaires et donc une approche bidimensionnelle du problème
de fissuration ne suffit pas pour visualiser le comportement mécanique dans une zone
confinée en pointe de fissure.
Naturellement, un certain nombre de questions se pose. Si les déplacements hors-plan sont
modifiés, qu'en est-il des champs de déplacements dans le plan ? Peut-on dimensionner la
zone 3D à partir de champs cinématiques dans le plan ? Pouvons-nous étendre l'étude
expérimentale du déplacement hors-plan proche de la fissure, lors de propagation de fissure ?
Les formulations 2D du déplacement hors-plan sont-elles valides en dynamique ? Des effets
autres, que les effets présents en statique, modifient-ils les champs cinématiques lors de
Introduction.
- 15 -
propagation de fissures ? La zone 3D évolue-t-elle en fonction de la vitesse de propagation de
la fissure (V) ?
Actuellement, il devient nécessaire de répondre à ces questions pour permettre de valider les
conditions aux limites des modèles numériques 3D pour des fissures stationnaires, et pour
voir si une approche bidimensionnelle des modélisations numériques, très largement utilisée
actuellement pour simuler des propagations de fissures, est suffisante pour étudier le
comportement mécanique en pointe de fissure.
Ce mémoire présente deux approches expérimentales différentes pour l'étude des problèmes
de fissurations en statique et en dynamique pour des plaques fissurées ayant un comportement
élastique (nous négligeons la zone plastique confinée en pointe de fissure), sollicitées en
mode I de chargement (écartement des lèvres de la fissure dans le plan de la plaque).
Concernant la partie statique et s'appuyant sur les précédents travaux qui ont permis de
dimensionner une zone 3D à partir de méthodes optiques (interférométrie) [1], nous
étudierons les champs de déplacements dans le plan d'une plaque fissurée. Parallèlement à ces
travaux expérimentaux, la validité d'un modèle numérique tridimensionnel par éléments finis
est étendue. Ces études expérimentales et numériques permettent, de développer deux
formulations empiriques pour chacun des déplacements dans le plan, de mettre en évidence
l'apparition d'effets de bord non négligeables lorsque la fissure n'est pas assez avancée dans la
plaque, et de montrer la triaxialité du problème de rupture à partir de l'intégrale J. Ce travail
expérimental a été mené sur deux polymères fragiles différents.
Pour la partie se rapportant à la dynamique, nous voulons étendre, à partir des données
expérimentales de déplacements hors-plan, l'étude du comportement mécanique réalisée sur
des fissures stationnaires. Pour cela, nous propageons une fissure dans une plaque sollicitée en
mode I par l'impact d'une lame. Les écarts constatés entre la solution 2D et les résultats
expérimentaux définissent une zone, appelée "zone 3D" rendant compte des effets 3D et des
effets transitoires. La modification du chargement extérieur fait varier la vitesse de
propagation (V), ainsi une étude de cette zone 3D est réalisée pour différentes valeurs de V.
La principale difficulté réside dans l'obtention de données expérimentales des déplacements
hors-plan proche de la pointe de fissure lors de sa propagation.
Ce mémoire est articulé en trois chapitres. Dans le premier, une présentation non-exhaustive
de la mécanique de la rupture bidimensionnelle et des méthodes optiques utilisées dans ce
domaine est effectuée. Ce chapitre se divise en plusieurs parties dans lesquelles nous
Introduction.
- 16 -
présenterons les différents modes de chargement, les différentes formes d'éprouvettes
normalisées, les formulations théoriques des champs de contraintes et de déplacements.
Ensuite, nous définirons les deux paramètres cités précédemment que sont le facteur
d'intensité des contraintes en mode I noté KI et l'intégrale J de Rice. La septième partie du
chapitre 1 porte sur les méthodes optiques utilisées pour extraire des grandeurs mécaniques
proches de la pointe de fissure. Nous présentons les méthodes optiques mettant à profit le
phénomène d'interférence, basées sur la variation de relief en pointe de fissure, s'appuyant sur
le suivi de motifs et celles basées sur la variation d'indice optique du matériau analysé. Dans
la dernière partie, une conclusion sera faite sur les avantages et les inconvénients, sans
toutefois choisir les méthodes optiques utilisées dans la suite des études expérimentales.
Il est à noter que seul le principe de chacune des méthodes est abordé, aucuns résultats de
travaux numériques et expérimentaux en fissuration statique et dynamique ne seront présentés
car une étude de l'art sera entreprise au début des chapitres (chapitre 2 et 3). Cette démarche
permettra d'extraire les résultats importants des travaux antérieurs servant de référence pour
les études menées dans ce mémoire.
Dans le deuxième chapitre, l'étude du comportement de plaques présentant une fissure
stationnaire sera analysée. Dans les huit parties, nous commencerons d'abord par une étude de
l'art des différents résultats expérimentaux et numériques. Le choix de la méthode des grilles
pour obtenir les champs déplacements dans le plan est présenté. Puis suivra une étude
expérimentale des champs de déplacements dans le plan, dans laquelle nous présenterons des
essais sur des plaques en polyuréthane et polyméthacrylate de méthyle. Comme dans la
littérature, des écarts entre les solutions théoriques 2D et les résultats expérimentaux
apparaissent et deux formulations empiriques des déplacements basées sur le principe de
superposition sont alors proposées. Ces expressions, dont les écarts sont minimisés entre les
données expérimentales et ces nouvelles expressions permettent de décrire les champs de
déplacements dans le plan. Le domaine de validité de ces expressions va être entendu au
calcul des gradients. Ces derniers sont comparés aux gradients de déplacements numériques,.
Cette démarche permettra de calculer l'intégrale J de Rice à partir de données expérimentales.
Les champs numériques sont obtenus en réalisant une modification géométrique du modèle
numérique 3D, actuellement utilisé au Laboratoire de Mécanique des Solides de Poitiers, pour
tenir compte des conditions aux limites expérimentales, non prise en compte dans les
précédentes simulations. A partir de ces différents essais expérimentaux et numériques, la
triaxialité du problème de fissuration sera présentée en comparant les valeurs des différentes
Introduction.
- 17 -
intégrales J. Les formulations proposées comportent sept variables à identifier et nous
choisissons d'étudier, à partir de champs numériques, l'évolution des sept variables en
modifiant deux variables géométriques du modèle numérique (l'épaisseur et la longueur de
fissure).
Pour l'étude du comportement mécanique lors de propagation de fissure, sept parties
composent le chapitre 3, dans lesquelles différents aspects seront abordés. Nous relatons les
travaux antérieurs liés aux problèmes de fissuration en dynamique. Pour cela, nous rappelons
les différents résultats présentés dans le domaine expérimental à partir de méthodes optiques
et dans le domaine numérique. Ainsi, nous constatons que la réalisation d'essais
expérimentaux, permettant d'extraire des champs cinématiques lors d'événements dynamiques
à haute vitesse de propagation, peut s'avérer extrêmement compliquée. Puis, nous présentons
le montage expérimental retenu, les différents résultats de champs de déplacements hors-plan
obtenus pour différentes vitesses de propagation de fissure (V). Comme en statique, nous
proposons une expression dont les écarts sont minimisés par rapport aux déplacements
hors-plan expérimentaux. Une étude de sensibilité de la formulation 3D du déplacement
hors-plan est entreprise car lors de l'extraction des champs de déplacements, différentes
hypothèses expérimentales sont imposées et nous en dénombrons quatre. Pour réaliser cette
étude de sensibilité, nous rajoutons au relief imposé un bruit permettant la modélisation de ces
différentes hypothèses. Cela nous permet de définir les limites maximales de chacune des
hypothèses dans le but d'identifier physiquement et précisément les trois constantes (c1, c2 et
c3) de la formulation 3D en fonction de (V), la contrainte appliquée () et des caractéristiques
géométriques et mécaniques. La zone des effets 3D sera dimensionnée en fonction de la
vitesse (V) et du chargement extérieur (), et la forme du relief en pointe de fissure sera
étudiée. Après rupture des plaques, deux nouvelles surfaces sont créées, et une étude
post-mortem des faciès de rupture sera effectuée. Pour cela, nous disposons au sein du
laboratoire d'un interféromètre confocal en lumière blanche permettant de réaliser une
topographie du relief sur de petits échantillons. Une comparaison est alors faite entre la
rugosité calculée, l'aire développée générée par la création de la nouvelle surface et le
chargement extérieur appliqué ().
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 19 -
CHAPITRE 1 :
Mécanique de la rupture 2D et méthodes
optiques mise en œuvre en fissuration.
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 21 -
1 Mécanique de la rupture 2D et méthodes
optiques mise en œuvre en fissuration.
1.1 Introduction.
La présence d'une fissure dans un milieu est caractérisée par une discontinuité géométrique de
ce dernier. La mécanique des milieux continus pour un solide soumis à des sollicitations
extérieures, prenant en compte des conditions aux limites spécifiques dues à la fissure,
constitue la mécanique de la rupture. Les relations de la mécanique d'une part (équations
d'équilibre, de compatibilité, loi de comportement, caractéristiques géométriques et
mécaniques du milieu étudié), et les conditions aux limites relatives à la fissure d'autre part
suffisent théoriquement à déterminer les champs cinématiques entourant la fissure. Pourtant,
même dans le meilleur des cas (comportement élastique + géométrie simple), il s'avère
difficile d'obtenir des expressions mathématiques concordant avec les conditions mécaniques
et géométriques exprimées précédemment.
Pour étudier le comportement mécanique d'une plaque fissurée dans une zone entourant la
pointe de fissure, différentes approches existent : soit à partir de relations théoriques, d'études
expérimentales ou encore d'études numériques. Nous savons que l'approche théorique des
grandeurs cinématiques en pointe de fissure n'est pas valide, dans une zone confinée en pointe
de fissure, car elle considère qu'une plaque fissurée soumise à un chargement extérieur
conduit à une contrainte infinie en pointe de fissure. Autrement dit, la plaque fissurée n'admet
aucun chargement extérieur sinon il y a propagation de la fissure. C'est pour cela que des
études tridimensionnelles numériques et expérimentales ont été entreprises, pour valider les
hypothèses établies pour obtenir ces relations theéoriques 2D. L'approche expérimentale en
mécanique de la rupture se réduit à l'utilisation presque systématiquement des méthodes
optiques. Toutefois, les réseaux de Bragg [2] et les barres d'Hopkinson sont aussi largement
utilisés pour étudier le comportement mécanique proche de la pointe de fissure. Lors d'un
essai mécanique de fissuration, la mesure de la longueur d'onde au sein de la fibre de Bragg
permet de déterminer l'écart de déformation en comparaison avec un état de référence. Le
grand intérêt de cette méthode est son caractère tridimensionnel de la réponse optique
enregistrée (indice de réfraction). Néanmoins, les propriétés mécaniques (élasticité, limite à la
rupture) de la fibre de Bragg doivent être relativement proches de celles du matériau étudié,
pour caractériser correctement les effets mécaniques du milieu environnant. Le moulage
1.1 Introduction.
- 22 -
d'éprouvettes incluant des réseaux de Bragg au sein de la structure à analyser, est une
technique difficile et non maîtrisée dans notre laboratoire. De plus, les déformations non
homogènes entourant la fibre sont difficilement appréhendables, c'est pourquoi nous
choisissons de ne pas présenter les travaux en mécanique de la rupture avec inclusion de
réseaux de Bragg dans le milieu étudié. Pour ce qui est de la mise en œuvre des barres
d'Hopkinson [3] [4], cette méthode permet de calculer la déformation moyenne tεx , la
vitesse de déformation moyenne tx et la contrainte moyenne tx d'un échantillon au
cours d'une sollicitation, à partir de deux jauges de déformation placées en amont et en aval
de l'échantillon, ce qui en fait une technique parfaitement bien adaptée au mesure en
dynamique rapide à haute vitesse de déformation. Lors d'un essai de compression en
dynamique, un projectile impact une première barre dite "barre incidente", ce qui produit deux
ondes. La première se propage dans le projectile et l'autre dans la barre incidente permettant
de déterminer la déformation (i(t)) au niveau de la jauge 1 placée sur cette même barre. La
seconde onde ayant atteint l'échantillon se divise en deux nouvelles ondes appelées "onde de
transmission" et "onde de réflexion" L'onde de transmission atteint la barre de transmission et
passe sur la jauge 2 en donnant la déformation (t(t)). L'onde de réflexion passe par la jauge 1
et donne la déformation (r(t)).
Barre incidente Barre transmissionProjectile
V
Echantillon Jauge 1 Jauge 2
x
figure 1.1 : Schéma d'une barre d'Hopkinson en compression.
Avec la détermination de ces grandeurs, le calcul du (KI) et de la ténacité du matériau (KIc)
sont possibles [5]. Mais cette méthode donne une mesure ponctuelle et non une mesure de
champs de ces grandeurs mécaniques, c'est pour cela que dans la suite de ce chapitre, nous ne
présenterons pas cette méthode expérimentale pourtant largement utilisée en mécanique de la
rupture [6].
Dans les paragraphes de ce chapitre, nous présentons d'abord les développements de la
mécanique de la rupture 2D, puis le principe des différentes méthodes optiques et les
grandeurs cinématiques déduites.
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 23 -
1.2 Théorie de la rupture et mode de fissuration.
Dans le but de clarifier et d'exprimer les formulations théoriques bidimensionnelles incluant
chaque mode de chargement, nous allons d'abord présenter les différentes sollicitations d'une
plaque fissurée. Une fissure sera schématisée par deux surfaces planes appelées lèvres
supérieure et inférieure. Elles se coupent en une courbe appelée front de fissure. Nous
limiterons l'étude aux plaques élastiques dont l'un des côtés est fissuré (SEN pour Single Edge
Notch en anglais). Dans notre cas, les lèvres de la fissure sont toujours considérées comme
perpendiculaires à la surface libre de la plaque.
Un système de coordonnées orthonormées direct (O, x , y , z ) est centré en pointe de fissure,
d'axe z tangent au front de fissure, l'axe x se situe dans le prolongement de la fissure. Le plan
passant par les axes x et z sera appelé ligament. Pour plus de simplicité dans la mise en
équation, un système de coordonnées cylindriques (r,, z ) est considéré où r est la distance au
front de fissure et la coordonnée angulaire prise à partir de l'axe x (figure 1.2).
h
W
L x
z
y
r
figure 1.2 : Représentation d'une éprouvette fissurée d'épaisseur (h) et sollicitée en mode I.
En fonction du chargement extérieur, tout problème de fissuration peut être ramené à trois
mouvements élémentaires définissant trois modes de fissuration.
1.3 Les solutions analytiques des contraintes et des déplacements.
- 24 -
0u
),(uu
),(uu
z
yy
xx
yx
yx
MODE I MODE II MODE III
figure 1.3 : Différents modes de chargement d'une éprouvette fissurée.
Le mode I (mode d'ouverture) caractérise un déplacement des surfaces perpendiculaires au
plan de la fissure, le mode II (mode de glissement dans le plan) une direction des
déplacements normale au front de fissure et le mode III (mode de glissement anti-plan) un
chargement tangent au front de fissure. Toutefois des combinaisons de ces modes sont
possibles, on parlera alors de mode mixte. Pour chacun de ces trois modes, dans le cadre de la
mécanique de la rupture bidimensionnelle, des expressions analytiques asymptotiques des
contraintes et des déplacements valables près de la pointe de fissure existent.
1.3 Les solutions analytiques des contraintes et des déplacements.
Considérons une plaque fissurée de dimensions infinies, la détermination du vecteur
déplacement u
et du tenseur des contraintes σ se simplifie en un problème plan si le
chargement est indépendant de z . Le déplacement u
et le tenseur σ peuvent s'exprimer en se
plaçant dans le cas de l'élasticité plane, par les deux approches connues sous le nom de
déformations planes (DP) et de contraintes planes (CP). Les conditions supplémentaires
ajoutées dans le cas de (DP) sont :
(1.1)
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 25 -
0zzyzxz
0xy
y
(CP)0
(DP)0
yyxxzzyzxz
RotRot t
Dans le cas des (CP), l'approche suppose que le tenseur (σ ) ne dépend que de x et y et se
simplifie par :
(1.2)
En négligeant les forces volumiques, en tenant compte de la loi de Hooke (=E) et en faisant
l'hypothèse des petites perturbations (HPP), les équations d'équilibre se simplifient et
conduisent aux expressions suivantes :
(1.3)
(1.4)
où est le coefficient de Poisson
En mécanique de la rupture, l'hypothèse des contraintes planes est très largement utilisée pour
caractériser les grandeurs cinématiques pour des plaques fissurées de faible épaisseur (h). Les
équations d'équilibre sont vérifiées par l'intermédiaire d'un tenseur de fonction de contraintes
( ) :
(1.5)
Avec :
),(A00
000
000
yx
La fonction (A) est appelée fonction d'Airy et permet d'exprimer les contraintes sous la forme
suivante :
2
2
xxA
σy
;
2
2
yyA
σx
,
yx
A
σ2
xy
Westergaard [7] a résolu le problème symétrique d'une plaque infinie fissurée, chargée
hydrostatiquement en développant la fonction d'Airy (A) l'aide d'une fonction complexe (Z).
1.3 Les solutions analytiques des contraintes et des déplacements.
- 26 -
ZZ ImyReA
'ImyReσ yy ZZ
(1.6)
où Zz
Z
d
d; Z
z
Z
d
d; '
d
dZ
z
Z
Comme la fonction est analytique sur le domaine considéré, les dérivées peuvent être
déterminées et les expressions des contraintes sont de la forme suivante :
'ImyReσ xx ZZ
(1.7)
'Reyσ xy Z
Westergaard a proposé la fonction suivante dans le cas d'un chargement bi-axial constant
(k=1, voir figure 1.4) d'une fissure de longueur (2a) contenue dans une plaque infinie sous
chargement.
(1.8)
Les coordonnées (x) (y) sont liées au repère d'étude de la plaque suivante :
2a
kσσxxx
σσyyy
x
y
u
w
M
r
O
figure 1.4 : Plaque fissurée, milieu bidimensionnel infini en mode mixte.
iyxwaw
σwZ
22
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 27 -
u2
K
u2
aπσ
2au
σa
a2auua
u)σ(aZ I
2220u
2
3cos
2cos
2sin
2
K),(σ
2
3sin
2sin1
2cos
2
K),(σ
2
3sin
2sin1
2cos
2
K),(σ
Ixy
Iyy
Ixx
θθθ
πrθr
θθθ
πrθr
θθθ
πrθr
2
cos1
2
2sin
2
K,u 2I
yθθr
θrdWestergaar
2
sin1
1
2cos
2
K,u 2I
xθθr
θrdWestergaar
La fonction ainsi proposée est une solution du problème. Afin de simplifier le champ de
contraintes proche de la pointe de fissure, le terme (w) de l'équation (1.8) est remplacé par
(a+u) avec u=rei, où (r,) sont les coordonnées cylindriques centrées en pointe de fissure
(point O). En substituant la variable (u) dans l'équation (1.8), la fonction (Z) s'écrit au
voisinage de la pointe de fissure lorsque |u|0 :
(1.9)
Le terme (KI), appelée Facteur d'Intensité des contraintes (FIC), est fonction uniquement du
chargement extérieur () et de la demie longueur de la fissure (a) et sera présenté
ultérieurement. En tenant compte de la forme de (u) en coordonnées polaires et du
comportement élastique, les contraintes et les déplacements en pointe de fissure peuvent être
exprimés :
(1.10)
(1.11)
(1.12)
où =E/(2(1+)) représente le module de cisaillement, (E) le module d'Young et le
coefficient de Poisson.
Il est à noter la présence de la singularité en r-1/2 pour les champs de contraintes et en r1/2 pour
les champs de déplacements. D'autres approches comme celle Eftis et al [8] ont été
développées sur ce type de problème en considérant un chargement bi-axial quelconque k
1.3 Les solutions analytiques des contraintes et des déplacements.
- 28 -
2
3cos
2cos
2sin
2
K),(σ
2
3sin
2sin1
2cos
2
K),(σ
σk12
3sin
2sin1
2cos
2
K),(σ
Ixy
Iyy
Ixx
θθθ
πrθr
θθθ
πrθr
θθθ
πrθr
(figure 1.4). Cela conduit à une autre fonction complexe Z, que celle proposé par
Westergaard. Les champs de contraintes se trouvent ainsi modifiés :
(1.13)
En considérant une loi de comportement élastique, les expressions de champs de déplacement
dans le plan peuvent être obtenues :
(1.14)
(1.15)
On peut noter que l'on retrouve les solutions de Westergaard lorsque k=1. Si k=0 les
conditions de sollicitations en mode I peuvent être appliquées pour un milieu infini. En 1977,
Eftis et al [9] ont démontré que les conditions aux limites imposées pour obtenir les
expressions des déplacements (1.14) (1.15) étaient seulement valables pour k=1. Ils ont alors
développé une autre formulation complexe Z et ont obtenu les relations de déplacements
suivantes :
(1.16)
(1.17)
avec
(CP)
ν1
ν3
(DP)4ν3κ
acos8
σ1κk1
2sin1-κ
2
1
2cos
2
K,u 2I
x
θr
θθrθr
θr
θθrθr sin
8
σκ-3k1
2cos1κ
2
1
2sin
2
K,u 2I
y
cosk1
E2sin
1
1
2cos
2
Ku 2I
2D-x rr
sink1
E2cos
1
2
2sin
2
Ku 2I
2D-y rr
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 29 -
(CP)E
σa
(DP)E
)νσa(1
2
1)a(κ
2E
ν)σ(1)u(
2
0x r
Avec cette solution (1.16), cela revient à un déplacement ux non nul en pointe de fissure. Pour
exemple, lorsqu'une plaque de dimensions infinies est soumise à un chargement uniaxial
(k=0), le déplacement proche de la pointe de fissure s'écrit :
(1.18)
Nous traçons sur la figure suivante l'évolution des déplacements ux selon les formulations
(1.11) (1.14) et (1.16) pour (r, =0°) :
r [mm]
dépl
acem
ent [
mm
]
équation (1.16)
équation (1.11)
équation (1.14)
figure 1.5 : Déplacement ux selon les formulations (1.11), (1.14) et (1.16).
avec KI = 17,9631 MPamm, E = 2825 MPa et = 0,4
Sur la figure 1.5, l'équation (1.11) représente les déplacements pour un chargement bi-axial.
Entre les équations (1.14) (1.16), seule la fonction Z change. Toutefois l'écart constaté entre
ces deux équations s'apparente à un déplacement de solide rigide.
Pour la suite de notre travail, nous considérerons toujours les équations théoriques d'Eftis
(1.14) (1.15) pour représenter les champs de déplacements (ux et uy) d'une éprouvette fissurée
et sollicitée en mode I de rupture (k=0). Concernant le déplacement hors-plan uz-2D de la
surface libre d'une plaque de dimensions semi infinies avec une épaisseur (h) et pour un
1.3 Les solutions analytiques des contraintes et des déplacements.
- 30 -
cte2π
1
2cos
E
hνK
dzE
)σν(σdz),,(ε)2/h,(u
I
h/2
0
yyxx2/h
0
zz2-z
r
θ
zθrzr,θD
chargement uniaxial (k=0), nous obtenons la relation suivante en considérant un
comportement élastique et un état de contraintes planes (CP) :
(1.19)
avec 2
hσ
E
νcte
où la coordonnée (z) est définie à partir du repère d'étude centré en fond de fissure.
En raison de la symétrie du problème, nous obtenons une expression de uz-2D identique au
signe près sur l'autre surface libre et dans la suite des travaux nous choisissons toujours un
déplacement positif.
1.4 Facteur d'Intensité des Contraintes (KI).
Dans le paragraphe précédent, l'étude de la fissuration est établie pour des éprouvettes de
dimensions infinies ou semi-infinies. Mais lors de comparaison entre les solutions théoriques
et des résultats expérimentaux, des écarts importants ont été constatés car expérimentalement
l'hypothèse de plaques infinies est difficilement réalisable. Dans le but de normaliser les
études en mécanique de la rupture, des éprouvettes standards ont été développées pour des
dimensions finies, contenant des fissures "traversantes" dans l'épaisseur et ayant des
géométries simples. Ci-dessous, nous présentons trois géométries d'éprouvettes normalisées
les plus utilisées en fissuration pour une mode I de chargement.
Compact Tensile (CT)
Double Edge Notch (DEN)
Single Edge Notch (SEN)
figure 1.6 : Eprouvettes normalisées pour un mode I de chargement.
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 31 -
W
a.YπaσK I
3
tadaI 2W
πasin10,37
W
a2,020,752
2W
πacos
2W
πa2tan
.Wh
FK
1.4.1 Approche statique.
Le facteur d'intensité des contraintes donne physiquement une mesure de l'intensité de la
singularité. Ce facteur caractérise à lui seul l'état mécanique à l'extrémité du front de fissure.
Sa connaissance est donc suffisante pour décrire entièrement l'état de contraintes et le champ
de déplacements au fond de fissure. C'est pourquoi l'un des axes importants de la mécanique
de la rupture est la détermination des facteurs d'intensité des contraintes. Pour des éprouvettes
à géométries simples, de dimensions finies et sollicités en mode I, on a l'habitude d'utiliser la
formulation suivante:
(1.20)
Cela revient à reprendre la formulation de Westergaard (1.9) pondérée par un facteur
multiplicatif (Y) qui est une fonction de forme dépendant de la géométrie de l'éprouvette et de
la longueur de la fissure. Dans la littérature pour une éprouvette SEN sollicitée en mode I, une
autre solution de (Y) [10] existe, mais en plus d'être fonction des paramètres précédents, elle
est aussi fonction de la limite d'élasticité (e) du matériau étudié. Les expressions de Y les
plus souvent utilisées sont celles de Labbens [11] et celle de Tada et al [12] :
(1.21)
(1.22)
Ces deux formulations (1.21) (1.22) étant différentes, il est intéressant de les comparer et de
définir une géométrie (longueur de fissure) où le choix de l'une des deux formulations
n'influence pas ou peu la valeur des déplacements. Pour cela, nous définissons un critère
empirique (Ratio) (1.23) à partir des deux expressions de KI précédentes. Ce critère est basé
sur la valeur moyenne ( IK ) des deux expressions (1.21) (1.22), ce qui permet de calculer
l'erreur commise.
432
labbensI W
a53,85
W
a38,48
W
a18,40
W
a0,411,99a
Wh
FK
1.4 Facteur d'intensité des contraintes (KI).
- 32 -
(1.23)
avec :
2
KKK
tadaIlabbensII
Nous pouvons alors tracer en fonction de (a), l'évolution de l'équation (1.23) pour une des
géométries des éprouvettes testées dans la suite de notre étude.
a[mm]
Rat
io [
%]
figure 1.7 : Rapport entre l'expression de Labbens et l'expression de Tada.
D'après la figure précédente, quand la fissure est proche de a40 mm, le choix entre les deux
expressions de KI n'a pas d'influence sur les valeurs des déplacements. L'évolution du critère
(Ratio) en fonction de (a) permet de définir la valeur maximale du critère qui peut être
évaluée à 1,5%. Ainsi le choix de l'une des deux expressions affecte peu les champs
théoriques lorsque a < 110 mm.
La détermination théorique du facteur d'intensité des contraintes est essentielle car c'est un
paramètre faisant partie intégrante du processus de rupture fragile, qui intervient dans un
critère d'initiation et de propagation de fissure.
1.4.2 Approche dynamique.
Aucun des termes présents dans les équations (1.21) (1.22) ne tient compte des aspects
dynamiques liés à la propagation de fissure. Cela revient à dire que les champs de contraintes
et de déplacements sont les mêmes que ce soit pour une longueur de fissure (a) stationnaire
égale à une longueur de fissure a(t) (t = variable de temps) lors d'une propagation de fissure.
100.K
K-KRatio
I
labbensItadaI
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 33 -
Vf.KK IId
2
222
21
22221
1
14Vf
211
1EC2
L 12
EC2
T
2/1zz
0xI x2limK
Toutefois, des études [13] ont mis en évidence la présence d'effets transitoires directement liés
à la vitesse de propagation (V). Différents travaux ont alors permis de prendre en compte les
effets dynamiques dans le calcul empirique du facteur d'intensité des contraintes.
1.4.2.1 Terme correctif de Beinert et al [14].
Cette approche consiste à multiplier le facteur d'intensité des contraintes par un terme
correctif f(V) tenant compte du caractère dynamique de l'expérience. Le facteur d'intensité des
contraintes dynamiques (d-FIC) peut être déterminé analytiquement :
(1.24)
Pour obtenir la forme de f(V), les auteurs [14] ont fait une série d'essais pour différents
matériaux et différentes vitesses de propagation de la fissure. En utilisant la méthode des
caustiques (§ 1.7.2.2), les diamètres de celle-ci ont pu être analysés conduisant à une
comparaison, entre le FIC statique et dynamique. Des divergences apparaissent, le KId
dynamique est toujours inférieur à KI statique et peut s'écrire sous la forme :
(1.25)
avec
2/1
2L
2
1C
V1
et
2/1
2T
2
2C
V1
où CL et CT sont respectivement les célérités des ondes longitudinales et transversales.
A partir des équations de Navier, les expressions pour obtenir CL et CT sont les suivantes :
(1.26)
1.4.2.2 Terme correctif de Nilsson [15].
Dans son étude, Nilsson définit le FIC à partir du champ de contraintes tridimensionnel en
fond de fissure.
(1.27)
1.4 Facteur d'intensité des contraintes (KI).
- 34 -
22
22
11Idynox
22/122
2
2112/11
IIdx
cos2
1cosB.
2
1
2cos
1
2
2cos
2VBK,u
θrθrc
θr
θrθr
222
22
111Idynox
22/122
2
112/111
IIdy
sin2
1sinB.
2
1
2sin
1
2
2sin
2VBK,u
θrθrc
θr
θrθr
Suivant le problème plan choisi et selon les conditions aux limites imposées, différentes
expressions de KId peuvent être formulées. Tout d'abord, nous présentons les conditions aux
limites imposées dans les travaux de Nilsson :
(1) Pour y = L/2 : uy = uyo et xy=0
(2) Pour y = L/2 : uy = uyo et ux=0
avec xy la contrainte de cisaillement et uyo le déplacement constant induit par le chargement
extérieur suivant l'axe de chargement.
Nous limitons les expressions du d-FIC au cas d'un état de contraintes planes (CP).
(1.28)
(1.29)
1.4.2.3 Terme correctif d'Arakawa et al [16].
Dans le but d'étudier les d-FIC, à partir des mesures expérimentales dans le plan (moiré
interférométrique § 1.7.1.3), les auteurs [16] ont réalisé deux essais pour obtenir les deux
champs de déplacements plan (suivant l'axe x
(ligament) et suivant l'axe y
de chargement).
Pour tenir compte de la propagation de fissure, les relations théoriques bidimensionnelles ont
été modifiées :
(1.30)
(1.31)
2/1
21
22
212
21yId
41
41
L
4.E.uK)1(
2/1
221
22221
2
2/1
yId1
14
L
2.
-1
-1.E.uK)2(
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 35 -
2/1
nommaxyy R
a21
où 22
221
22
I14
1VB
, yxe j
jijr et dyn
ox représente la contrainte éloignée
Pour obtenir les champs de déplacements dans le plan lors de propagation de fissure, cette
approche permet de tenir compte de la vitesse (V) et ne se limite pas à une simple
proportionnalité entre le FIC statique et le FIC dynamique.
1.4.3 Discussion.
Dans la suite de nos travaux, nous choisissons d'utiliser l'expression de Labbens KIlabbens pour
calculer les FIC empiriques en statique. En dynamique, nous multiplierons ce terme par la
correction (F(V)) de Beinert et al [14] car ce terme permet d'exprimer directement la valeur
du d-FIC au contraire des travaux de Nilsson et Arakawa où la détermination d'un champ
cinématique est nécessaire.
1.5 Approche énergétique.
Parallèlement à ces travaux analytiques en mécanique en rupture, des développements visant à
modifier l'approche du problème de fissuration ont été réalisés. C'est dans cette optique que
des approches énergétiques ont été élaborées. Ainsi des paramètres nouveaux, caractérisant un
milieu fissuré, ont été mis en évidence.
1.5.1 Théorie de Griffith et taux de restitution d'énergie (G).
Les premiers travaux sont l'œuvre d'Inglis [17] qui en supposant un milieu bidimensionnel et
en utilisant la théorie de l'élasticité exprima analytiquement la contrainte maximale (yy)max
(équation (1.32)) suivant la direction de chargement (nom). Pour cela, il a considéré une
plaque incluant un trou elliptique, soumise à un chargement uniformément réparti à l'infini et
perpendiculaire au grand axe.
(1.32)
avec (a) : la longueur du demi grand axe de l'ellipse, R : le rayon de courbure au point
considéré.
1.5 Approche énergétique.
- 36 -
Si (b) est la longueur du demi petit axe, R prend une valeur minimale à cet endroit et vaut
b²/a. Dans un trou circulaire (R=a), maxyy est égale à 3nom. Il est à noter que dans le cas
d'une fissure, si l'on se place en pointe de fissure R0, la contrainte devient infinie,
autrement dit la plaque fissurée ne supporte aucun chargement extérieur.
En se basant sur les travaux d'Inglis, Griffith [18] a été le premier à étudier la rupture d'un
point de vue énergétique, et ces travaux ont permis d'éliminer la notion de contrainte infinie
en pointe de fissure. Lorsqu'une plaque est chargée, les faces de la fissure le sont aussi. Le
chargement tend à ouvrir et à croître la fissure, mais le matériau oppose une résistance et la
fissure reste en équilibre. Si la pression croît, l'équilibre peut être rompu, et la fissure peut
avancer de façon instable. Pour un milieu fragile idéal, l'énergie totale (E) du milieu s'écrit
sous la forme suivante :
(1.33)
avec : (W) l'énergie de déformation du milieu et (Wext) le travail des forces appliquées, (dWS)
énergie dissipée dans la séparation et (Wcin) l'énergie cinétique.
Pour un processus adiabatique (pas d'échange de chaleur), (W) correspond également à
l'énergie interne et dépend uniquement du tenseur des déformations ( ). Pour un milieu
bidimensionnel, les quantités précédentes sont normalisées par rapport à l'unité d'épaisseur,
l'énergie (dWS) s'écrit :
(1.34)
avec () l'énergie de création d'une surface libre. Le chiffre deux provient du nombre de
surfaces créées.
Avant la propagation d'une fissure, il y a équilibre pour un système soumis à des sollicitations
extérieures et présentant une fissure de surface (S). D'après (1.33), la fissure se propagera de
façon instable si l'énergie cinématique dWcin > 0, ainsi nous obtenons l'expression suivante :
(1.35)
0dWdWdWdWdE cinSext
daγ2dWS
02WWda
dext
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 37 -
2/1*
r a
E
Ainsi, nous pouvons introduire le paramètre (G) appelé taux de restitution d'énergie
(1.36)
Dans las cas où (G=2), il n'y a pas augmentation de l'énergie cinétique (Wcin), on parle de
rupture contrôlée et de croissance stable de la fissure [19]. Lorsque le taux de restitution
d'énergie (G) est supérieur à (2), une partie de l'énergie sert à créer de nouvelles surfaces (i.e.
propagation d'une fissure). La propagation instable peut intervenir lorsque l'excès d'énergie
((G-2)da) est transformée en entièrement énergie cinétique. Toutefois, une partie de cette
énergie est consommée par l'augmentation de l'énergie extérieure (Wext).
Suivant les travaux d'Inglis, Griffith a calculé l'énergie de déformation (W) dans le cas de la
plaque élastique infinie (épaisseur unitaire) comportant un défaut elliptique de longueur (2a) :
(1.37)
avec E*=E/(1-²) pour un état de déformations planes (DP) et E*=E en contraintes planes
(CP).
En utilisant les expressions mathématiques (1.34), (1.35) et (1.36), un critère de rupture (r) a
pu être formulé, valide pour une plaque présentant un faible rayon de courbure, autrement dit
une fissure :
(1.38)
Ce critère a été vérifié expérimentalement sur des matériaux purement élastiques tels que le
verre. Un terme correctif a été apporté pour des matériaux ductiles présentant une zone ductile
en pointe de fissure (énergie de déformation plastique) [20].
1.5.2 Intégrale J de Rice.
Dans le cas de la rupture ductile, le travail fourni par le chargement extérieur n'est pas
seulement utiliser pour propager la fissure, mais une partie de cette énergie est stockée ou
dissipée. Proposée par Rice [21] l'intégrale J permet d'estimer l'énergie dissipée dans le
domaine adjacent à la fissure.
2WWda
dG ext
*
2nom
2
E
a-W
1.5 Approche énergétique.
- 38 -
*
2I
E
KGJ
ijij
W
Dans une première approche, la plaque est considérée comme homogène, de dimension deux
avec un comportement purement élastique. En supposant que les forces massiques soient
négligeables, le chargement extérieur (P) induit seul sur l'énergie stockée ou dissipée. De ce
fait, l'intégrale de contour J s'écrit de la façon suivante :
(1.39)
avec (W()) : la densité d'énergie de déformation, (T(n)) : le vecteur contrainte, (ui) : le
vecteur déplacement et (ds) : l'élément de contour.
Dans l'expression (1.39), on peut observer que les deux termes (1.40) (1.41) sont égaux et de
signe opposés, ce qui met en évidence l'indépendance de l'intégrale J vis-à-vis du contour
d'intégration. On peut donc écrire l'intégrale J sous la forme suivante :
(1.40)
(1.41)
A partir des champs asymptotiques de contraintes ou de déplacements, nous obtenons pour un
état de contraintes planes ou de déformations planes, la relation suivante qui n'est autre que le
taux de restitution d'énergie (G).
(1.42)
D'autres formes de contours, ont été utilisées pour déterminer le paramètre (J) pour des
matériaux fragiles [10] ou ductiles [22] [23] [24] comme le contour rectangulaire
(figure 1.8b). Pour les matériaux élasto-plastique écrouissable, Hutchinson, Rice et
Rosengreen (HRR) ont montré que l'intégrale J permet de caractériser les champs de
contraintes et de déformations dans une enclave plastique.
dsx
unTdyWJ i
x
u
xds
x
u.nT i
ijj
i
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 39 -
H1V2H2V1 J-J-JJJ
xyxy
xxyy2yy
yyxx2xx
2-1
E-1
E
n
y
b)
H2
V1 V2
H1
n
y
a)
x
figure 1.8 : a) Contour d'intégration circulaire. b) Contour d'intégration rectangulaire.
Le contour rectangulaire est divisé en lignes verticales (V1, V2) et en lignes horizontales (H1
et H2), cela permet de décomposer l'intégrale J et ainsi d'obtenir la relation suivante :
(1.43)
avec :
La détermination de l'intégrale J requiert les composantes des gradients (xx et uy/x), les
composantes des contraintes (xx, yy et xy) et l'énergie de déformation (W). Pour un
matériau à déformation élastique linéaire et pour un état de contraintes planes (CP), les
composantes des contraintes s'écrivent de la forme suivante :
(1.44)
H2
xxxyy
yyH2
H1
xxxyy
yyH1
V2
yxyxxxxV2
V1
yxyxxxxV1
dxεσx
uσJ
dxεσx
uσJ
dyx
uσεσWdyJ
dyx
uσεσWdyJ
1.6 Discussion.
- 40 -
2xyyyxx
2yy
2xx 2
12
E2
1W
1
1,
1
221 kk
r
θ
θθ
ry
r
θ
θθ
rx
r
θ
θθ
ry
r
θ
θθ
rx
yyyyy
yyyyx
xxxxy
xxxxx
cosusin
uuF
sinucos
uuF
cosusin
uuF
sinucos
uuF
L'énergie de déformation (W) peut être calculée à partir de la relation suivante :
(1.45)
En substituant les équations (1.43), (1.44), (1.45) dans (1.39), nous pouvons exprimer
l'intégrale, en fonction des gradients de déplacements (ux/x, uy/x, ux/y et uy/y)
(1.46)
avec:
Le calcul des gradients de déplacements est réalisé au moyen des équations suivantes [9] :
(1.47)
Pour calculer l'intégrale J pour différents contours (), des mesures de gradients de
déplacements sont nécessaires en dérivant les champs de déplacements suivant les deux
directions (x et y).
1.6 Discussion.
Il est difficile de fournir une expression analytique pour les champs asymptotiques dans un
milieu fini tridimensionnel à l'échelle macroscopique. Pour cela, des développements
théoriques et énergétiques ont permis de définir des critères et d'obtenir des formulations
mathématiques bidimensionnelles des champs de contraintes et de déplacements. Cela
implique la formulation d'hypothèses non représentatives des conditions expérimentales
xkk
yk
dyx
uu
xx
uu
yx
uu2
dx
u
y
u
x
u
y
u
y
u
x
u
x
u
y
u
ν14
EJ
yy1
yx2
xx
yxyxyxxy1
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 41 -
imposées. Les premiers développements réalisés par Westergaard [7] permettent d'obtenir des
équations empiriques des champs cinématiques pour un état plan et pour un milieu infini
soumis à un chargement bi-axial. D'autres expressions pour des sollicitations uni-axiales ont
été proposées, notamment par Eftis [9]. L'approche énergétique relie des paramètres
intrinsèques de la mécanique de la rupture (KI et J) pouvant être déterminés à partir de
grandeurs cinématiques, et notamment en utilisant les champs de déplacements. Le facteur
d'intensité des contraintes (KI) permet de définir l'état de contraintes en pointe de fissure et
peut être déterminé empiriquement pour des géométries d'éprouvettes et des sollicitations
mécaniques simples. L'intégrale J de Rice est obtenue à partir des approches énergétiques et
permet de dimensionner l'énergie dissipée dans le milieu adjacent. Son grand avantage est
qu'elle est indépendante du contour d'intégration ().
Dans ce chapitre, la présence de plasticité même confinée en pointe de fissure n'a pas été
abordée, où l'existence de cette zone conduit à des contraintes bornées en pointe de fissure.
Cette zone étant très faible, elle sera négligée pour le reste de notre étude. Dans l'étude de la
mécanique de la rupture 2D, l'épaisseur du milieu étudié est systématiquement négligée. Cette
hypothèse peut être étudiée en réalisant des essais expérimentaux à partir de méthodes
optiques. Ces méthodes permettent d'extraire pour la plus part des champs cinématiques qui
seront confrontés aux résultats théoriques bidimensionnels.
Dans les paragraphes suivants, l'étude expérimentale tridimensionnelle par voie optique de
plaques minces fissurées en statique et en dynamique permet d'étudier l'influence de
l'épaisseur sur les champs cinématiques. Ainsi, l'importance de ce paramètre sera évaluée.
Pour cela, nous présentons le principe des différentes méthodes optiques pouvant être utilisées
en mécanique de la rupture.
1.7 Les méthodes optiques utilisées en mécanique de la rupture.
Nous avons séparé les différentes méthodes en quatre groupes : les méthodes basées sur les
interférences, celles s'appuyant sur le suivi de motifs, celles nécessitant une variation de relief
de la surface et les méthodes mettant à profit la variation de l'indice optique du matériau.
1.7.1 Méthodes optiques basées sur les interférences.
1.7.1.1 Le phénomène d'interférences.
Le phénomène d'interférences apparaît lorsque l'intensité de la superposition de deux ou
plusieurs ondes n'est pas égale à la somme de leurs intensités. Ce phénomène, connu depuis
longtemps, étonne toujours par le fait que deux sources interférentes peuvent donner de
1.7 Les méthodes optiques utilisées en mécanique de la rupture.
- 42 -
l'obscurité, d'où le nom de "paradoxe de l'interférence". Expérimentalement depuis le 19ième
siècle, différents travaux sur les interférences lumineuses ont permis de réaliser des mesures
précises grâce à une multitude d'interféromètres (Fizeau (1853), Michelson (1881), Rayleigh
(1881), Mach-Zenden (1882), Fabry et Pérot (1899)). L'interférométrie est basée sur le
phénomène provoqué par la superposition de deux ondes lumineuses et cohérentes dont nous
allons présenter un exemple : l'interféromètre de Michelson.
1.7.1.2 L'interférométrie de Michelson.
Cet interféromètre permet de mesurer la variation de relief avec une amplitude de l'ordre de
quelques micromètres. Pour cela (voir figure 1.9a), une source primaire (monochromatique)
(S) est divisée à l'entrée en deux ondes (de même pulsation) par une lame semi réfléchissante
inclinée à 45 degrés. L'une des ondes, appelée faisceau objet, se réfléchit sur la surface de
l'objet et la seconde, appelée faisceau de référence, est réfléchie par un miroir (M). Puis les
deux faisceaux retraversent la lame. Des interférences apparaissent, du fait du chemin optique
différent entre la lame/objet et la lame/miroir, puis elles sont enregistrées par la caméra (C).
Miroir (M)LASER (S) = 514.5 nm
Caméra (C)
r
x
y
Lame semi-réfléchissante
Eprouvette SEN Fissure
a) b)
Interférogramme
Fissure
Pointe de fissure
3,8 mm
Faisceau objet
Faisceau de référence
y
x
figure 1.9 : a) Principe de l'interféromètre de Michelson. b) Interférogramme obtenu en
pointe de fissure [1].
Cela permet d'étudier les variations d'épaisseur de la plaque analysée car les interférences ou
franges visualisées sont directement liées au relief par l'équation suivante :
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 43 -
2
nλΔuz
sin2.
2
,,u
yxyxz
(1.48)
avec n : l'ordre de franges, : la longueur d'onde.
Pour une source lumineuse émettant dans le vert ( = 514,5 nm), on obtient à chaque
interfrange un déplacement hors-plan uz de 0,257 m. Expérimentalement, l'état de la surface
et la réflexion influent fortement sur le contraste entre les franges sombres et claires. C'est
pour cela, qu'un dépôt d'aluminium par vaporisation sous vide est réalisé à la surface des
éprouvettes, l'épaisseur de ce dépôt n'excédant pas 50 nm.
Dans la nécessité d'entreprendre des mesures de champs en statique, l'interférométrie de
Michelson permet d'obtenir automatiquement le déplacement hors-plan à une constante près.
L'information mécanique contenue dans la phase (x,y) qui peut être extraite
automatiquement en utilisant des techniques quasi-hétérodynes (i.e. décalage de phase). Ces
techniques consistent, à l'aide d'au minimum trois images d'un même réseau de franges mais
déphasées les unes par rapport au autres, à déterminer la phase de ce réseau. La nécessité
d'acquérir plusieurs images réside dans le fait quand chaque pixel de l'interférogramme
enregistré, l'expression mathématique de l'intensité lumineuse I(x,y) est généralement écrite
sous la forme mathématique suivante :
(1.49)
où I(x,y), A(x,y), B(x,y) et (x,y) désignent respectivement au point de coordonnée (x,y)
(figure 1.9), la valeur de l'intensité lumineuse du pixel en niveau de gris, l'amplitude de
modulation, le fond continu et la fonction de phase.
Ainsi en enregistrant plusieurs images du même état mécanique, toutes les inconnues de
l'équation (1.49) peuvent être obtenues. La résolution a été évaluée au 45ème d'interfranges
(i.e. 6 nm) [25]. L'information de déplacement est alors contenue dans la phase (x,y) et par
une relation optico-géométrique, nous pouvons avoir accès au relief uz(x,y) en tout point (x,y)
de l'image.
(1.50)
yx,Byx,cos.yx,Ayx,I
1.7 Les méthodes optiques utilisées en mécanique de la rupture.
- 44 -
avec = angle d'incidence du faisceau objet sur la surface de l'éprouvette ( =/2).
En dynamique, cette méthode n'est pas plus difficile, à mettre en œuvre au premier abord.
Toutefois, l'extraction de la phase (x,y) à partir des méthodes quasi-hétérodyne ne peut être
utilisée car elle nécessite la prise de trois images, au minimum du même instant mécanique.
Ceci s'avère impossible en mécanique de la rupture dynamique car la fissure progresse.
Aujourd'hui, des techniques moins précises que les techniques quasi-hétérodyne sont
développées permettant de déterminer la phase (x,y) à partir d'une seule image, ce qui permet
de s'affranchir du caractère dynamique des essais, nous pouvons citer Robin et al [26] [30],
Takeda et al [27], Gseisat et al [28], Servin et al [29], Surrel [31]. Ces différents algorithmes
peuvent influencer la précision de mesure. Cette méthode optique convient parfaitement à la
détermination du relief proche de la pointe de fissure en mécanique de la rupture dont
l'amplitude est de l'ordre de quelques micromètres [32] [33].
1.7.1.3 Le moiré interférométrique.
1.7.1.3.1 Le principe de moiré.
Le principe de moiré consiste à superposer deux réseaux de traits dont les pas (p1 et p2) sont
voisins. Lorsque l'on superpose ces deux réseaux, on voit apparaître en général un troisième
réseau dont le pas est plus important, on parle de moiré ou de moiré visible [34].
figure 1.10 : Principe du moiré.
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 45 -
Npu
21
21
pp
p.pi
En considérant le phénomène de moiré comme étant dû à un décalage du second réseau par
rapport au premier, nous pouvons calculer l'interfrange (i) de moiré visible à partir des pas p1
et p2 des deux réseaux :
(1.51)
L'application de la méthode de moiré consiste à coller, sur l'objet à étudier et sur la surface de
référence, un réseau de pas p. Au repos, nous observons une teinte plate, c'est-à-dire
uniforme. Lorsque l'éprouvette est chargée, nous voyons apparaître le phénomène de moiré.
Le déplacement (u) d'un point résultant du chargement est donc obtenu en fonction de l'ordre
de frange N par la relation suivante :
(1.52)
1.7.1.3.2 Application à la mécanique de la rupture.
Basée sur le principe de moiré, le moiré interférométrique est une technique permettant
d'extraire le déplacement autour de la pointe de fissure dans une direction à partir d'un réseau.
Pour cela, un réseau de franges, de fréquence f=1/p (avec p = pas du réseau), est déposé par
réplication ou par métallisation du réseau sur la surface libre de l'éprouvette. A l'état initial,
compte tenu de la symétrie, les deux faisceaux incidents (faisceau 1 et 2) correspondants se
superposent parfaitement, ne laissant voir qu'une teinte uniforme.
Ordre de franges N
Lentille
Faisceau incident 1
Réseau
Faisceau incident 2
P
P
Franges d'interférences
figure 1.11 : Principe du moiré interférométrique.
1.7 Les méthodes optiques utilisées en mécanique de la rupture.
- 46 -
y,xavec4
p.u
ii
Après chargement, et donc déformation de l'éprouvette et du réseau, les deux faisceaux vont
interférer dans le plan image de la lentille et former des franges d'interférences. Quand l'objet
se déforme, une différence de marche va être introduite entre les deux rayons diffractés en un
point donné. Soit u
le vecteur déplacement, 1 la variation de la phase du 1er rayon
diffracté et 2 la variation de la phase du 2nd rayon diffracté, le déplacement suivant la
direction (i) s'exprime alors par :
(1.53)
avec 12
Les zones observées sont de l'ordre de 300 mm². Le pas du réseau peut être de plusieurs
milliers de lignes/mm. Pour un faisceau incident incliné à 45°, l'ordre 1 de diffraction normal
à la surface correspond à la relation suivante :
(1.54)
avec () la longueur d'onde du faisceau et (p) le pas du réseau matérialisé.
Pour une source lumineuse de longueur d'onde ( = 514,5 nm), on obtient p = 727 nm, soit
une fréquence de traits de 1400 traits.mm-1. Ainsi pour une variation de phase de 2 et en
utilisant la formule (1.53), le déplacement u est de 363 nm.
Son utilisation s'avère intéressante lors d'étude de comportement en pointe de fissure car elle
permet de déterminer des déplacements de très petite amplitude, mais la densité des réseaux
en fait une méthode sensible aux vibrations et la création de tels réseaux est difficile. Un
déplacement de quelques micromètres crée un figure de franges extrêmement serrées ce qui
limite spatialement le champ d'étude, ainsi le champ de mesure maximal est directement lié à
la densité de franges générée par le montage.
Avec cette méthode nous obtenons le champ de déplacements uniquement suivant une
direction [35]. Pour obtenir le déplacement suivant l'autre direction, une deuxième éprouvette
doit être faite avec un réseau répliqué ou déposé suivant l'autre direction. Expérimentalement
cette méthode peut s'avérer difficile à utiliser et nécessite d'avoir des réseaux maîtres avec une
p
λπ/4sin
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 47 -
,...2,1,0
2
p.σσ
2E
νh
,...2,1,02
p.σσ
2E
νhu
nn
yy
u
mm
xx
yyxxz
yyxxz
grande densité de franges en plus d'un moyen de vaporisation ou de réplication. En
dynamique, l'utilisation de cette méthode optique peut être envisagée [16]. Comme pour
l'interférométrie de Michelson, des techniques d'extraction de phases à une seule image sont
nécessaires pour obtenir la grandeur mécanique.
1.7.2 Méthodes optiques basées sur la variation du relief en pointe de fissure.
Dans ce paragraphe, nous présenterons deux méthodes (la méthode CGS et la méthode des
caustiques) permettant de faire des mesures sur la surface libre des éprouvettes, autrement dit
nous présentons le principe de ces méthodes pour une configuration en réflexion. Toutefois
celles-ci peuvent être utilisées en transmission, mais les phénomènes tridimensionnels
présents en pointe de fissure sont difficilement visualisables. Dans le paragraphe § 1.7.2.2,
nous présentons le cas d'une caustique obtenue en réflexion avec dépôt d'aluminium pour
rendre l'éprouvette opaque.
1.7.2.1 La méthode CGS.
Une autre méthode basée sur les interférences est la méthode CGS (pour Coherent Gradient
Sensor) qui permet l'étude des déformations pour les matériaux transparent ou opaque. Elle
est basée sur les interférences créées lors de l'application d'un chargement extérieur. Cette
technique peut être utilisée en transmission ou en réflexion. Sur la figure 1.12, nous
présentons la méthode mise en œuvre en réflexion. Lorsque l'éprouvette est soumise à un
chargement, une diminution d'épaisseur est engendrée, les faisceaux lumineux proches de la
pointe de fissure sont déviés créant ainsi des interférences. Pour un état de contraintes planes
et un matériau purement élastique, ces interférences sont liées directement aux gradients des
contraintes et aux gradients du déplacement hors-plan et s'écrivent sous la forme suivante.
(1.55)
avec , la distance entre les deux réseaux et (m), (n) respectivement les ordres de franges
suivant les directions x et y (voir figure 1.12).
1.7 Les méthodes optiques utilisées en mécanique de la rupture.
- 48 -
Réseau R1
Réseau R2
Réseau R1
Réseau R2
= distance entre les 2 réseaux
x''
y''
x'
y'
y
x
Lame semi-réflechissante
Faisceau Eprouvette
Plan image
Lentille L2 Filtre plan
Lentille L1
figure 1.12 : Schéma du montage expérimental CGS en réflexion.
Cette technique permet d'extraire les facteurs d'intensité des contraintes à partir des relations
précédentes (1.55), (1.13) en statique [36] [37] et en dynamique [37] [38] [39] [40]. C'est une
technique difficile à mettre en œuvre, qui nécessite des réseaux de traits R1 et R2 avec une
densité important (40 traits.mm-1), moins élevée toutefois que celle nécessaire pour la mise en
œuvre du moiré interférométrique (1400 traits.mm-1). L'hypothèse d'un comportement
purement élastique du matériau limite considérable son utilisation, ainsi les matériaux élasto-
plastique ne peuvent être étudiés seulement dans la partie élastique.
Comme pour les méthodes précédentes basées sur les interférences, l'extraction de
l'information mécanique peut être faite automatiquement en utilisant les méthodes quasi-
hétérodynes (i.e. décalage de phase) pour les cas statiques [41] ou par des méthodes moins
précises basées sur l'extraction de phase à partir d'une seule image pour l'étude de propagation
de fissure.
1.7.2.2 Les caustiques.
Le phénomène de caustiques n'apparaît qu'en présence d'une singularité, ce qui en fait une
méthode parfaitement adaptée à l'étude de la fissure. Les fondements théoriques comme les
exploitations expérimentales de la méthode des caustiques ont été principalement développées
par Theocaris [42] et Kalthoff [43] C'est une méthode facile à mettre en œuvre, et qui ne
requiert pas de gros dispositif expérimental. La source lumineuse peut-être de nature
différente et les conditions d'éclairement quelconques. Il existe trois arrangements de base
permettant d'obtenir une caustique, à partir d'un milieu fissuré : l'étude en transmission, ou en
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 49 -
réflexion de matériaux transparents et ou en réflexion de matériaux opaques. Les formulations
du phénomène des caustiques et la mise en équation sont complexes, mais le traitement
informatique rend cette technique plus abordable.
Concernant l'aspect optique du phénomène, la caustique est définie comme l'enveloppe d'un
système de rayons lumineux réfléchis ou réfractés par une surface convexe.
Champ lumineux
I
Surface caustiqueCaustiques
Plan image
O
z0
z0 =57 mm z0 =128 mm z0 =203 mm
Caustiques obtenues expérimentalement avec une plaque en PMMA (arrangement optique en transmission avec dépôt d'aluminium sur la surface).
Zone d'ombre
Plan image
z0
Concentration lumineuse
Concentration lumineuse
Fissure
b)
a)
figure 1.13 : a) Principe physique de la formation des caustiques [1]. b) Exemples de
caustiques obtenues en transmission.
Son utilisation en mécanique de la rupture concerne l'étude statique, quasi-statique ou
dynamique de la propagation de fissure. Manogg [44] fut l'un des premiers à utiliser cette
méthode en mécanique de la rupture. Il a mis en évidence que le phénomène de caustique était
sensible au gradient de contraintes dans le cas de plaques transparentes ou opaques fissurées
ce qui modifie les propriétés optiques du matériau (l'indice de réfraction). La zone d'étude se
trouvant confinée à proximité de la pointe de fissure, cette méthode ne permet donc pas de
réaliser des mesures de champs cinématiques. Indiquons que cette méthode, qui met à profit
un gradient de contraintes, offre une image facilement exploitable (couronne lumineuse
fortement lumineuse (figure 1.13b) là où les méthodes basées sur l'exploitation rend parfois
difficile l'extraction de l'information mécanique en raison d'une forte densité de franges à cet
endroit.. Après obtention des caustiques pour une éprouvette SEN et en relation avec les
1.7 Les méthodes optiques utilisées en mécanique de la rupture.
- 50 -
..h
ED
17,33
2.2K
0
2/5
2/5I
z
relations bidimensionnelles, la détermination du FIC (KI) est directement proportionnelle au
diamètre (D) de caustiques (1.56).
(1.56)
avec z0 : la distance du plan image (i.e. distance entre la plaque et le plan image).
Cette expression est obtenue à partir d'une hypothèse forte qui est un état de contraintes
planes (CP). Ainsi, le déplacement hors-plan est exprimé à partir de la relation (1.19) et la
condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une caustique est donnée par l'annulation
du Jacobien J [45].
En statique pour l'étude de plaque fissurée, nous pouvons citer Rosakis et al [46] pour l'étude
des matériaux fragiles et Pop [47] pour les matériaux ductiles. Dans le cas de la mécanique de
la rupture dynamique, nous pouvons citer les travaux de Beinert et al [14], Rosakis [48],
Suzuki et al [49], Sohier [50], Arakawa et al [51] qui par la méthode des caustiques
déterminent les d-FIC.
1.7.3 Méthodes optiques par suivi de motifs.
1.7.3.1 La corrélation d'images numériques.
La méthode de corrélation d'images numériques est basée sur la mesure du degré de similitude
entre deux motifs. La démarche expérimentale consiste donc à enregistrer séparément l'état
initial et l'état déformé. Un calcul du produit de corrélation entre les deux images donne accès
à la mesure du déplacement entre celles-ci. Le calcul du degré de similitude nécessite un
motif naturellement présent (des aspérités) à la surface de l'éprouvette. Si ce n'est pas le cas, il
est possible de créer ce motif aléatoire à partir de projection de peinture et/ou de poudre. La
valeur est connue au pixel entier près, en conséquence pour obtenir une précision au subpixel,
la technique la plus largement utilisée est l'interpolation du pic de corrélation. Cela donne la
position de ce pic au 10ième de pixel près [52] [53]. Les déformations peuvent être calculées
par différences finies à partir des champs de déplacements. Cette méthode optique est très
largement utilisée dans les domaines de la mécanique, en statique ou en dynamique. Son
utilisation dans le calcul de déplacement ou de déformation est aujourd'hui très répandue.
Nous pouvons citer, en mécanique de la rupture statique, les travaux de Yoneyama et al [54]
et Abanto-Bueno et al [55] en mode mixte, Sutton et al [10] et Sun et al [56] en mode I. De
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 51 -
plus, des essais en dynamique lors de propagation de fissure utilisent la corrélation d'images
numériques, par exemple les travaux de Chao et al [57] et Kirugulige et al [58].
Pointe de fissure
Mouchetis déposé sur la surface Vecteur déplacement dans le plan
Zone d'étude
41 mm
figure 1.14 : a) Mouchetis déposé sur la surface d'une éprouvette en polycarbonate (taille du
grain 50-100 m). b) Vecteur déplacement associé pour un chargement F = 1010 N.
Avec cette méthode, nous avons accès au vecteur déplacement plan entre deux états
mécaniques, ainsi les déformations (xx, yy, xy) et les gradients de déplacements (Fxx, Fyy, Fxy,
Fyx) peuvent être déterminés. L'inconvénient de cette méthode est la résolution spatiale car le
degré de similitude est déterminé sur la fenêtre d'étude et l'incrément entre deux calculs est
généralement la taille de la fenêtre. Si l'amplitude des déplacements est de l'ordre de 0,1 mm
avec une résolution de l'ordre du dixième de pixels, la taille du grain du mouchetis doit être
égale à 10 m, ce qui oblige l'utilisation d'une caméra à haute résolution. Pour une zone
d'étude de 10 x 10 mm² et pour une résolution spatiale de 2,5 m.pixel-1 (1 grain = 4 pixels),
la taille du capteur de la caméra doit être 4000 x 4000 pixels². Le plus souvent quatre grains
sont visibles sur la fenêtre d'étude, ce qui donne une taille de 16 x 16 pixels² pour cette
fenêtre.
1.7.3.2 La méthode des grilles.
La méthode des grilles est une méthode optique géométrique permettant l'extraction des
déplacements suivant les deux directions du plan.
1.7 Les méthodes optiques utilisées en mécanique de la rupture.
- 52 -
yxyx xx ,2
p,u
yxyx yy ,2
p,u
yxyxyx
yxyxyxyx
yly
xlx
,B,sincosp
cos
,sincosp
cos.,A,I
_
_
y
px
py
x
figure 1.15 : Paramètres principaux définissant une grille (p=50 m).
L'intensité lumineuse reflétée en un point de coordonnée (x,y) par la surface contenant la
grille est donnée par l'équation suivante :
(1.57)
où A(x,y), B(x,y) représentent respectivement l'amplitude de modulation et le fond continu, px,
py le pas du réseau de grille suivant les deux directions (x et y).
L'information mécanique de déplacements est contenue dans les phases l_x(x,y) et
l_y(x,y).Comme pour la corrélation d'images numériques, il faut prendre deux images (état
chargé (l) et état non-chargé (0)) pour pouvoir extraire l'information mécanique. En calculant
les phases de chaque point avant et après chargement puis en les soustrayant, nous pouvons
extraire les déplacements ux et uy :
(1.58)
(1.59)
avec x(x,y) = l_x(x,y) - 0_x(x,y) et y(x,y) = l_y(x,y) - 0_y(x,y).
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 53 -
Le premier avantage de cette méthode optique est sa bonne résolution en déplacement allant
du 20ième [25] jusqu'au 100ième de pas [31]. Le second avantage est la faible taille de la zone
non démodulée dû à la singularité géométrique, qui est égale au pas du réseau. Néanmoins, la
réalisation des réseaux de grille à la surface de l'éprouvette peut s'avérer compliquée. Dans la
littérature, différentes techniques existent : les méthodes séquentielles, la photolithographie et
la vaporisation sous vide.
Les méthodes séquentielles consistent à graver des lignes régulièrement espacées, soit
directement à la surface étudiée (ex : métal) ou soit sur une fine couche de PMMA
préalablement déposée. Le pas ainsi généré est de très bonne qualité et peut varier d'une
dizaine de nanomètres à quelques dizaines de micromètres. Cette méthode est limitée
spatialement ( 104 m²) et le temps de réalisation des grilles est très important.
La photolithographie consiste à illuminer un réseau préalablement déposée à la surface de
l'éprouvette, elle-même recouverte d'une résine photosensible. Le pas ainsi obtenu est de
l'ordre de 0,5 m sur une surface de 1 cm². Des variantes de cette technique existent ne
nécessitant plus l'utilisation d'un réseau maître [59]. Dans ce cas, cette technique est appelée
"photolithographie interférentielle directe", les réseaux sont générés par les interférences
lumineuse entre deux sources cohérentes.
La troisième technique pour générer des grilles à la surface d'une éprouvette consiste à
vaporiser une fine couche d'aluminium au travers d'un réseau maître. Ainsi des plots
indépendants les uns des autres sont créés. Jusqu'à présent la zone d'étude était limitée à
3,3 mm² avec des pas allant de 13 à 82 m [60]. L'étendue de ce réseau est trop petite pour
étudier le comportement mécanique en pointe de fissure et dans la zone entourant la fissure.
Aujourd'hui, il est possible de réaliser des plots sur de grandes surfaces (150 x 150 mm²) avec
l'utilisation de réseaux maîtres, provenant de GranulotShop [61] référencés N°47101/1,
N°42801, N°43051 et certifié ISO 3310-1 : 2000. Ces réseaux sont déviés de leur utilisation
première. En effet, ce sont des tamis permettant de séparer des particules d'une taille 25 m.
Le pas des trois réseaux disponibles au laboratoire, est respectivement de 50, 125 et 190 m.
Le dépôt sous vide d'aluminium, pour obtenir des plots constituant une grille, présente
l'avantage d'être extrêmement rapide à réaliser et à mettre en œuvre. Toutefois l'erreur sur la
phase démodulée est très fortement liée à la "qualité" (i.e. périodicité, contraste, …) des plots
créés.
1.7 Les méthodes optiques utilisées en mécanique de la rupture.
- 54 -
2sin1I
2xy2
yyxx2
m 22
Très peu de développements ont été entrepris couplant cette méthode à l'étude de plaques
fissurées. Les travaux de Ritter [62] consistent à calculer les champs de déplacements et de
déformations à partir de cette méthode optique. Les travaux d'Avril et al [63] consistent à
localiser la présence de fissures macroscopiques dans une poutre de béton armé en vue de les
réparer avec un matériau composite. L'extraction des déplacements fait apparaître des
discontinuités dans les champs cinématiques caractérisant la présence de fissure.
Actuellement, cette méthode fait l'objet de recherches au sein du GDR 2519 dans le groupe de
travail "Métrologie". On y étudie par exemple l'analyse de la phase obtenue à partir de grilles,
en comparant différents algorithmes d'extraction de phase.
En extrayant la phase, nous pouvons exprimer l'information mécanique contenue dans celle-
ci. Dans la littérature, différents algorithmes d'extraction de phase à partir d'une seule image
existent [27] [28] [29] [31] [26] [30].
1.7.4 Méthodes optiques basées sur la variation d'indice optique.
1.7.4.1 La photoélasticité.
Les matériaux transparents, isotropes au repos ont la propriété à devenir biréfringents
lorsqu'ils sont soumis à des contraintes. Lorsqu'une éprouvette biréfringente est placée dans
un polariscope circulaire constitué d'un polariseur et d'un analyseur circulaire, l'intensité du
rayonnement est de la forme [34]:
(1.60)
où est proportionnel à la différence de contraintes principales 1 et 2.
Les interférences créés en lumière blanche sont appelées isochromes (lignes d'égal
cisaillement maxi m=1-2 = cst). En utilisant la loi de Hooke et celle de Maxwell, m s'écrit
de la façon suivante :
(1.61)
où m=N./(C.e)
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 55 -
avec : N = ordre de la frange isochromatique
= longueur d'onde
C = constante photoélastique.
e = épaisseur du modèle biréfringent.
Pour obtenir la constante photoélastique, un essai de traction est réalisé avec un polariscope
rectiligne en plaçant le polariseur à /4 de la direction de traction [34]. Pendant les années 50,
Post [64] utilisa la photoélasticité pour étudier le comportement mécanique (i.e. les
concentrations de contraintes) en pointe de fissure en statique puis en dynamique [65]. Cette
technique fut largement utilisée pour déterminer les FIC en pointe de fissure [66] suivant le
mode de chargement de l'éprouvette et le mode d'analyse en statique [67] ou en dynamique
[68]. L'inconvénient, à utiliser cette méthode, est la forte densité des franges qui apparaissent
proche de la singularité dû aux gradients des contraintes. Pour s'affranchir de cela, des études
ont été entreprises au sein du laboratoire pour déterminer les FIC à partir de données
éloignées du fond de fissure [69]. Un autre inconvénient à cette méthode est l'intégration dans
l'épaisseur du phénomène mécanique (zz = xz = zx = yz = zy = 0) donc, les phénomènes
tridimensionnels présents en pointe de fissure sont alors difficilement visualisables.
Dans ce paragraphe, la méthode CGS en transmission et la méthode des caustiques en
transmission auraient pu être évoquées mais les phénomènes tridimensionnels présents en
pointe de fissure sont difficilement exploitables.
1.8 Synthèse des méthodes optiques en mécanique de la rupture.
Dans le tableau suivant, nous récapitulons les grandeurs cinématiques accessibles par les
méthodes optiques citées précédemment. De plus, nous rappelons les avantages et les
inconvénients de chacune d'entre elles. Ces méthodes optiques se limitent aux grandeurs
mécaniques surfaciques (2D), aucune méthode de mesures volumiques [70]
(photoélasticimétrie 3D et corrélation volumique) n'est présentée. Mais, une comparaison de
ces champs expérimentaux par rapport aux données théoriques bidimensionnelles permet de
quantifier l'influence de l'épaisseur des modèles. Pour cela, nous pouvons comparer les
champs, minimiser les écarts entre les résultats expérimentaux et les solutions théoriques pour
extraire le facteur d'intensité des contraintes ou alors calculer l'intégrale J à partir des champs
expérimentaux de déplacements.
1.8 Synthèse des les méthodes optiques en mécanique de la rupture.
- 56 -
Méthodes
optiques
Grandeurs
mesurées Avantages Résolution
Résolution
spatiale Inconvénients
Interférométrie
de Michelson uz
- Chp théo.
asympt.
- PAS hyp.
(CP) ou (DP)
- Facilité
d'utilisation
- Peu
consommatrice
d'énergie lumineuse
Statique 6 nm
Dynamique
12,5 nm
Statique 1
pixel
Dynamique
32 pixels
- Dépôt alu. surface
libre
- Densité franges en
pointe
Moiré
interférométrique ux et uy
- Bonne résolution
spatiale
- Consommatrice
d'énergie
Statique 16
nm
Dynamique
37 nm
Statique 1
pixel
Dynamique
32 pixels
- 1 composante dépl.
- Densité du réseau
- Densité franges en
pointe
Méthode CGS x
u z
ou
y
u z
- Bonne résolution
spatiale
- Consommatrice
d'énergie
Statique
p/45/ rad et
dynamique
p/20/ rad
Statique et
dynamique
./p rad
- Pb plan
- Densité franges en
pointe
Corrélation ux et uy - Dépl. plan
Statique et
dynamique
1/10 pixel
Statique et
dynamique
32 pixels
- Réalisation
mouchetis.
- Discontinuité géo.
Méthode des
grilles ux et uy
- Dépl. plan
- mesure proche
fissure
Statique et
dynamique
1/20 pixel
Statique et
dynamique 32
pixels
- Dépôt alu. surface
libre.
- Réseau de grilles
caustiques KI
- Mesure à
proximité de la
pointe de fissure
0,25 % ponctuelle
- Pb plan.
- Pas mesure de
champ
photoélasticité (1-2)
- Différences de
contraintes
principales
Statique
0,02% et
dynamique
0,04%
Statique 1
pixel
Dynamique
32 pixels
- Pb plan.
- Densité franges en
pointe
tableau 1.1 : Avantages et inconvénients des différentes méthodes optiques.
Les valeurs de résolution de la corrélation et de la méthode des grilles n'ont pas la même unité
que la grandeur mesurée, car elles sont liées au grandissement utilisé. Concernant les
résolutions de la méthode des caustiques et de la photoélasticité, elles sont exprimées en
pourcentage de la grandeur mesurée. Parmi toutes celles citées précédemment, aucune n'est
idéale pour étudier le comportement mécanique proche de la pointe de fissure, pour des
fissures stationnaires et lors de propagation de fissure. Toutefois, un choix de méthodes
CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.
- 57 -
optiques doit être fait par rapport aux travaux existants dans la littérature, aux moyens
expérimentaux et d'analyses d'images existant au laboratoire et aux études antérieurs
présentées dans les prochains chapitres. Ce choix difficile sera discuté après les deux études
de l'art respectives faites en statique et en dynamique.
Nous avons présenté succinctement la mécanique de la rupture élastique linéaire
bidimensionnelle et les différentes méthodes optiques, les deux prochains chapitres vont
permettre d'étudier l'influence de l'épaisseur, négligée dans les expressions analytiques
bidimensionnelles, pour des fissures stationnaires (chapitre 2) et lors de propagation de
fissures (chapitre 3). Ces études permettront de quantifier la modification des champs de
déplacements lorsqu'une structure fissurée de dimensions finies est chargée en mode I. Dans
le chapitre 2, nous étudierons les champs de déplacements plans en comparant la théorie,
l'expérimental et le numérique. Pour le chapitre 3, l'étude menée consiste à dimensionner la
zone des effets 3D proche de la pointe de fissure lors de propagation. Cette zone est définit
comme l'étendue des écarts en la théorie bidimensionnelle et les résultats expérimentaux.
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 59 -
CHAPITRE 2 :
Fissures stationnaires : Analyse des champs
de déplacements plans.
Tenter d'imposer d'une manière exclusive une certaine conception
de la recherche limitera l'aptitude de la science à s'adapter
à un avenir que personne n'est en mesure de prévoir.
Pierre Joliot
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 61 -
2 Fissures stationnaires : Analyse des
champs de déplacements plans.
2.1 Introduction.
Les travaux de Laurent Humbert dans le cadre de sa thèse [1] avaient mis en évidence, en
utilisant l'interférométrie de Michelson comme Rosakis [46] auparavant par la méthode des
caustiques, une zone dite "tridimensionnelle" entourant la pointe de fissure. Une comparaison
entre les déplacements hors-plan expérimentaux et la théorie bidimensionnelle fait état d'une
solution singulière inadaptée au voisinage de la pointe de fissure et a permis de dimensionner
une zone tridimensionnelle ou zone 3D. Ce décrochement est lié au caractère tridimensionnel
présent proche d'une singularité géométrique non prise en compte dans les expressions
mathématiques des déplacements des solutions théoriques bidimensionnelles précédemment
présentés. Cette étude a été menée seulement sur la comparaison de déplacement hors-plan.
Autrement dit, si la théorie bidimensionnelle ne rend pas compte de la réalité des
déplacements hors-plan, qu'en est-il pour les expressions des déplacements dans le plan ?
Beaucoup de travaux traitent de la mécanique de la rupture statique, mais peu portent sur
l'extraction de champs de déplacements dans le plan lors d'un même essai [10]. Néanmoins
des travaux basés sur le moiré interférométrique ont mis en évidence que des différences
existaient entre les données expérimentales des déplacements et la solution bidimensionnelle
correspondante [35] mais aucune zone 3D n'a pu être montrée. Nous montrons que
contrairement au déplacement hors-plan, une simple comparaison des déplacements ne permet
pas de dimensionner la zone 3D. Le calcul des paramètres intrinsèques de la mécanique de la
rupture que sont KI et l'intégrale J de Rice peut-être abordé, mais la détermination de cette
dernière nécessite les deux champs de déplacements dans le plan entourant la pointe de fissure
et plus exactement les gradients de ces champs. L'obtention de ces gradients à partir de
données expérimentales est difficilement réalisable en raison de la présence de bruit dans les
données expérimentales, c'est pour cela que parallèlement à ces travaux une étude numérique
3D a été mise en œuvre, basée sur les modèles tridimensionnels de plaques semi infinies
caractérisant un cylindre de matière centré en pointe de fissure. Dans ce chapitre, nous
analysons le comportement proche de la pointe de fissure à partir de mesures expérimentales
obtenues à la surface libre sur des matériaux fragiles pour des sollicitations en mode I. Cette
étude va permettre de comparer ces résultats avec la théorie bidimensionnelle, valider le
2.2 Etat de l'art en mécanique de la rupture statique.
- 62 -
zθrzθr
zθrzθr
,,σ,,σ
,,σ,,T
yyxx
zz3D
programme éléments finis et calculer les paramètres KI et l'intégrale J. Si les effets
tridimensionnels présents en pointe de fissure perturbent les déplacements dans le plan, ils
modifient aussi les valeurs de ces paramètres.
2.2 Etat de l'art en mécanique de la rupture statique.
Dans ce paragraphe, nous limiterons nos rappels aux travaux traitant de la fissuration statique
réalisés en mode I sur des matériaux fragiles par des modélisations numériques et/ou des
essais expérimentaux.
2.2.1 Approches numériques et couplage numérique/expérimental.
2.2.1.1 Maillage explicite de la fissure.
Les premières études numériques de la zone tridimensionnelle entourant la pointe de fissure
sont ceux de Nakamura et Parks [71] qui par la modélisation d'un cylindre, permettaient de
visualiser l'état de contraintes proche de la pointe de fissure. La modélisation
tridimensionnelle est constituée d'un cylindre de rayon (r) centré en pointe de fissure avec
seulement une demi-épaisseur du cylindre de matière maillée (figure 2.13). Le fait de ne
modéliser qu'une partie de l'éprouvette nécessitait d'appliquer le chargement (forces nodales)
sur les nœuds extérieurs du maillage. Le modèle présentait un comportement élastique
isotrope et un front de fissure rectiligne. Par une analyse des champs de contraintes, les
auteurs ont défini un critère de triaxialité T3D décrivant l'étendue de la zone tridimensionnelle
et s'exprimant sous la forme suivante :
(2.1)
avec 0 T3D(r,, z) 1. Pour un état de (CP), zz = 0 donc T3D(r,, z) = 0. En déformations
planes (DP), zz = (xx+yy) ainsi T3D(r,, z) = 1.
D'autres développements ont été effectués permettant de modéliser un front de fissure
parabolique plus proche du cas expérimental [72] [1]. Cette dernière approche a permis de
comparer les champs de déplacements hors-plan numérique et théorique et de conclure qu'un
champ de contrainte tridimensionnel existait proche de la pointe de fissure (R=r/h0,5).
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 63 -
2.2.1.2 Intégrale G-théta.
Cette technique numérique développée par Parks [73] et par Hellen [74] a pour but de
déterminer la direction potentielle de propagation de la fissure qui maximise la valeur du taux
de restitution d'énergie (G) par une extension virtuelle. Cet algorithme a été implanté par
Dubois [75] dans le code CASTEM 2000 sous le nom de G-théta. Le but de son étude était de
redéfinir l'intégrale J de Rice en tenant compte de l'évolution temporelle de la pointe de
fissure et d'obtenir des champs mécaniques lors de la propagation d'une fissure.
2.2.1.3 Modification des fonctions de forme.
Cette technique nécessite le couplage de champs cinématiques expérimentaux et d'une
approche "pseudo-éléments finis". Les déplacements obtenus expérimentalement sont
considérés comme conditions aux limites du problème [76]. En employant des fonctions
d'interpolation "particulières" tenant compte de la singularité géométrique, les champs de
déplacements sont obtenus dans la zone entourant la singularité. Cette approche permet de
s'affranchir de la singularité géométrique et du bruit de mesure généré par une étude
expérimentale. A partir des champs numériques, les paramètres intrinsèques de la mécanique
de la rupture comme K et l'intégrale J peuvent être déterminés. Une identification des
propriétés mécaniques, par exemple la loi d'endommagement [77] du matériau analysé peut
être effectuée.
2.2.1.4 Intégrale d'interaction.
L'intégrale d'interaction est une technique alternative permettant d'extraire les facteurs
d'intensité des contraintes d'un champ de déplacements, car la première possibilité consiste à
minimiser les écarts entre des champs mesurés et les solutions asymptotiques. Très largement
utilisé dans le cadre de simulation numérique [78], cette technique a été récemment utilisée
pour extraire séparément les facteurs d'intensité de contraintes à partir des champs
expérimentaux (u), d'un champ de contraintes (), des champs auxiliaires (uaux), (aux) et d'un
champ d'extension virtuelle (q) [79]. Cette technique ne fait intervenir que les gradients des
déplacements dont la mesure est entachée de bruit [80]. En conséquence, un bruit conséquent
peut être obtenu sur la valeur des FIC. Pour réduire la valeur du bruit, les auteurs ont choisi un
champ d'extension virtuelle (q) peu contraint afin de réduire la sensibilité au bruit.
2.2 Etat de l'art en mécanique de la rupture statique.
- 64 -
2.2.2 Approches expérimentales.
2.2.2.1 Mesures directes (Les caustiques).
L'approche de la mécanique de la rupture par la méthode des caustiques a permis de mettre en
évidence en statique un champ de contraintes tridimensionnelles entourant la pointe de
fissure (Rosakis et al [46]: R0,5). Après analyse des résultats publiés, nous constatons que
pour une plaque en Polyméthacrylate de méthyle (PMMA) fissurée, la zone 3D se situe plus
proche de R0,25. Pour obtenir ces résultats, les auteurs ont extrait le Facteur d'Intensité des
Contraintes Kexp à partir du diamètre de la caustique généré et de la relation (1.59), qui est
alors comparé avec les valeurs issues de la relation (1.20).
2.2.2.2 Mesures de champ dans le plan.
2.2.2.2.1 La Corrélation d'Images Numériques (CIN).
Cette technique permet l'obtention directement des champs de déplacements dans le plan
(ux et uy) dans une zone entourant la pointe de fissure lors d'un même essai. La CIN est très
sensible à la présence de discontinuité géométrique car le motif aléatoire présent
naturellement, ou par ajout de peinture, n'est pas conservé du fait de la présence de la
singularité géométrique. Ainsi l'extraction des déplacements dans la région proche de la
fissure n'est possible qu'en diminuant la taille de la zone d'étude. De plus, nous avons accès à
une valeur des déplacements sur la zone d'étude, et l'incrément de calcul entre deux zones est
très souvent égal à la taille de la zone elle-même (généralement la taille de la zone : 16x16 ou
32x32 pixels² et donc l'incrément est de 16 ou 32 pixels), ce qui entraîne une diminution de la
résolution spatiale. A partir des données expérimentales et des relations théoriques, les deux
paramètres KI et J peuvent être directement calculés. Concernant KI, il faut minimiser les
écarts entre les données expérimentales et les expressions théoriques [54] [55]. Le calcul de
l'intégrale J de contours est réalisable, mais au préalable il faut dériver les champs de
déplacements [10]. Sutton et al avaient conclu que l'intégrale J expérimentale était égale à
20% du calcul de l'intégrale J théorique (1.42). Dans le cas de faibles déplacements, le calcul
des gradients est impossible mais des formulations empiriques, caractérisant les déplacements
expérimentaux, peuvent être utilisées.
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 65 -
a
λ3
_ e12
.sinεC.a..sin.ε),(ur
Arakawayθ
θrθr
2.2.2.2.2 Moiré interférométrique.
En utilisant le moiré interférométrique sur une plaque fissurée, Arakawa et al [35] ont pu
extraire le champ de déplacements (uy(r,)) autour de la pointe traduisant les déplacements
suivant l'axe de sollicitation (traction). Les éprouvettes étaient des éprouvettes SEN sollicitées
en mode I de chargement. Les matériaux analysés sont des matériaux fragiles (ex : PMMA) et
des matériaux ductiles (ex : aciers). En comparant les résultats des déplacements avec
l'expression bidimensionnelle uy-2D (1.12), des écarts sont apparus. Les auteurs ont alors
formulé une expression du champ de déplacements dans la zone proche de la singularité
(uy_Arakawa(r,)).
(2.2)
où E
1.
h.W
Fε' est le champ de déformation d'une éprouvette non fissurée dû à un chargement
extérieur (traction), (a) la longueur de fissure [mm], C et des constantes à minimiser.
Cette formulation est une expression empirique basée sur le principe de superposition de
Murakami [81], qui consiste à découpler le problème de singularité des champs mécaniques,
en un champ correspondant à une éprouvette non fissurée, sollicitée en traction (figure 2.1a)
additionné au champ d'une éprouvette dont seules les lèvres de la fissures sont chargées
(figure 2.1b). Cette approche permet d'utiliser dans l'expression empirique deux termes
distincts. Le premier terme ('.r.sin) caractérise les déplacements engendrés par une plaque
soumise à de la traction simple et le second terme
a
λ3 e1
2.sinεC.a.
rθ
de l'expression
(2.2) tenant compte de la modification des déplacements engendrée par la présence de la
singularité.
2.2 Etat de l'art en mécanique de la rupture statique.
- 66 -
= +
a) b)
F
F F
F
W
a
figure 2.1 : Principe de superposition [81]
Ces travaux ont permis d'affirmer que la théorie bidimensionnelle n'était pas adaptée pour
caractériser le champ de déplacements suivant l'axe de chargement. L'étude expérimentale
menée ne vérifie pas les conditions de plaques infinies (géométrie de l'éprouvette
200 x 40 mm², la longueur de la fissure a=6 mm), contrairement aux hypothèses permettant
d'obtenir l'expression théorique (1.12). De plus, la méthode optique choisie permet d'extraire
qu'une seule composante du déplacement dans le plan lors d'un essai, donc seul le calcul
direct de KI peut être entrepris car le calcul de l'intégrale J nécessitent les deux composantes
des déplacements dans le plan.
2.2.2.3 Mesures de déplacement hors-plan.
Ces travaux basés sur la mesure de déplacement hors-plan permettent de dimensionner
directement la zone tridimensionnelle en comparant les résultats expérimentaux et la
formulation théorique (1.19). Les travaux d'Humbert et al [33] ont confirmé la présence de
cette zone 3D dont l'étendue n'excède pas R=r/h=0,5, soit la demie-épaisseur de la plaque
dans la direction du front de fissure. Pour recaler les données expérimentales, les auteurs ont
fait l'hypothèse d'un état de contraintes planes dans la zone 0,5<R<0,8. Dans la zone 3D,
l'utilisation de l'hypothèse des contraintes planes s'avère erronée pour caractériser le champ de
contraintes, ainsi des développements [32] [33] [82] de formulations empiriques (2.3) (2.4) du
déplacement hors-plan ont été faits pour caractériser le déplacement proche de la pointe de
fissure. Nous constatons que cette zone reste constante indépendamment du chargement
extérieur appliqué. Pour représenter les résultats expérimentaux obtenus, une formulation
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 67 -
0,h
he,2avec
2π
1ce12
cos,2bE
hνKh,/u
12
I3Dstat
RdhR
RE
RRθ
RθaEθrR
i
i
212
12
2226a15a
2
4
2π
5
622
1313a
1
22
111a
Iz_Pfaff
ee29
7
ππ31
6e
πa
2cos.
e54
11.ea1.
e11
E
hνK,u
nr
nrnrnr
nrnrnr
nrnr
nn rθr
tridimensionnelle u3Dstat(R,) tenant compte de la zone 3D en pointe de fissure a été
développée (2.3).
(2.3)
où b, c sont des constantes inconnues et a() une fonction inconnue de .
Dans cette expression, on peut reconnaître le terme de l'expression bidimensionnelle (1.19)
auquel est ajouté un terme permettant de caractériser la zone 3D. Précédemment, une autre
expression avait été développée à partir de la mesure de relief obtenue par une méthode
interférométrique (interféromètre de Twyman-Green) [32]. Cette expression fait apparaître six
variables à minimiser.
(2.4)
avec h
2πr
rn et a1=1,07473, a2=0,130624, a3=3,025, a4=1,05335, a5=0,7258 et a6=0,7172.
Pour obtenir les valeurs des constantes ai (i=1 à 6) de la formulation (2.4), les champs
numériques des déplacements hors-plan obtenus à partir du modèle de Nakamura et Parks
[71] sont utilisés pour minimiser les écarts avec l'expression précédente.
2.3 Méthode optique choisie pour l'étude de fissures stationnaires.
Jusqu'à présent aucune méthode optique donnant accès à des mesures dans le plan n'a pu être
mise en œuvre pour déterminer l'étendue de la zone tridimensionnelle. Différentes méthodes
optiques ont été appliquées à la mécanique de la rupture pour des fissures statiques, mais peu
2.4 Etude expérimentale des champs de déplacements dans le plan.
- 68 -
d'entre elles donnent accès directement aux champs de déplacements dans le plan lors d'un
même essai (excepté la corrélation et la méthode des grilles). Toutefois l'utilisation de la
corrélation dans le cadre de la mécanique de la rupture peut s'avérer difficile si l'amplitude des
déplacements est faible car la taille du grain doit être petite et le système d'enregistrement doit
avoir une grande résolution (§ 1.7.3.1).
Nous avons donc choisi un motif structuré (i.e. grilles), dont le principe a été présenté
précédemment dans ce mémoire (§ 1.7.3.2). La limitation spatiale des grilles, de l'ordre de
quelques millimètres carrés, ne permettait pas d'entreprendre des études macroscopiques. Au
sein du laboratoire, nous maîtrisons maintenant l'élaboration de grille de grande surface par
vaporisation sous vide (150 x 150 mm² avec un pas fixe compris entre 50 et 175 m),
permettant l'étude des déplacements dans une zone de dimensions suffisantes entourant la
pointe.
Concernant le processus d'extraction de l'information mécanique, nous avons choisi la
méthode MPC (en anglais pour : Modulated Phase Correlation) qui permet d'extraire la phase
d'un réseau de grille en chacun point de l'image (i.e. une précision du 20ième de pas
(6,25.10-3 mm pour une grille avec un pas de 125 m)). Nous aurions pu utiliser d'autres
méthodes pour extraire les champs de déplacements, comme par exemple la méthode 'Npas'
[83] [84] où la technique de corrélation même si le motif est structuré. Les travaux de
Doumalin [85] sur l'utilisation de la technique de corrélation sur des grilles simulées montrent
que cette technique est quatre fois moins précise que pour un mouchetis aléatoire numérique
(précision de 1.10-2 mm pour une grille de pas p = 125 m et un grandissement
= 25 m.pixel-1).
Par l'utilisation de la méthode des grilles permettant de déterminer les champs de
déplacements dans le plan sur la surface libre de la plaque, nous pouvons directement calculer
les FIC sur tout le champ d'étude à partir des relations (1.14) (1.15) et en dérivant les champs
obtenus, nous avons accès aux valeurs de l'intégrale J. Ainsi, si le caractère tridimensionnel en
pointe de fissure perturbe les champs de déplacements, les facteurs d'intensité des contraintes
et l'intégrale J ne seront pas constants, comme le prédit la théorie 2D.
2.4 Etude expérimentale des champs de déplacements dans le plan.
Pour extraire l'information mécanique des déplacements à partir d'une image de grille, il faut
d'abord extraire la phase des images. Pour cela, nous utilisons la méthode MPC [26] [30]
basée sur le principe de corrélation entre des franges réelles et des franges virtuelles, qui sera
présentée ultérieurement (§ 3.3.1). En modifiant l'expression mathématique pour pouvoir
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 69 -
γξγξγξ
γξγξγξγξ
l
l
,B,sincosp
cos
,sincosp
cos.,A,f
_
_
B,p
cos.,p
cos.A,f __
ll
l'adapter à l'analyse des grilles, nous sommes en mesure d'extraire les phases (l_x(x,y),
l_ y(x,y)) suivant les deux directions x et y et pour chaque état de chargement (l).
2,5 mm
1,75
mm
l
l
y
x
Zone d'étude
figure 2.2 : Définition de la zone d'étude pour une image de grille.
Définie sur une zone d'étude de dimensions (l, l.), l'expression mathématique des grilles
virtuelles (1.20) s'écrit sous la forme suivante :
(2.5)
avec : l_(,), l_(,) les phases contenant l'information mécanique, p, p le pas de la grille
suivant et .
Cette expression dépend de huit variables A(,), B(,), p, p, , , l_(,) et l_(,). Sur
la zone d'étude, l'amplitude de modulation A(,) et le fond continu B(,) sont considérés
comme constants. Les champs de déplacements dans le plan peuvent être extraits à partir des
phases l_(,) et l_(,), sachant qu'expérimentalement p = p = p. Si les axes de la caméra
sont confondus avec les axes de la grille et si les rotations restent négligeables lors de l'essai
(HPP), l'expression (2.5) se simplifie et s'exprime de la façon suivante :
(2.6)
2.4 Etude expérimentale des champs de déplacements dans le plan.
- 70 -
Après extraction des phases, nous pouvons calculer les déplacements avec les équations
mathématiques (1.58) (1.59).
Nous résumons, à l'aide du synoptique suivant les différentes étapes aboutissant à l'extraction
des champs de déplacements expérimentaux dans la zone proche de la pointe de fissure.
Matériau élastique à comportement
fragile
Taillage éprouvette
PSM4 et PMMA
Réalisation d'une fissure
Dépôt de la grille sur la surface par
vaporisation
Sollicitation mode I + Acquisition image autour de la fissure
Caméra CCD (1600 x 1200 pixels²)
ou (3072 x 2048 pixels²)
Démodulation
MPC
l_x(x,y) et l_y(x,y)
l_x(xf,yf) =0 et l_y(xf,yf) =0
en pointe de fissure (xf,yf)
ux(x,y) et uy(x,y)
),(_0
),(_
.2π
p),(u yx
iyx
ilyxi avec i=x,y
p= 125 ou 50 m
figure 2.3 : Organigramme pour obtenir les déplacements expérimentaux ux et uy.
Dans cet organigramme nous présentons, à partir d'une plaque fissurée, l'ordre chronologique
permettant l'obtention des champs de déplacements dans le plan (ux et uy). Nous étudions deux
matériaux ayant un comportement fragile, le polyuréthane (PSM4) et le PMMA. Le PMMA
étant plus rigide que le PSM4, l'amplitude des déplacements sera moins importante que pour
le PSM4.
2.4.1 Détermination des caractéristiques mécaniques des matériaux.
Pour les deux matériaux employés, les caractéristiques mécaniques ont été obtenues en
utilisant une méthode optique développée au sein du laboratoire de Mécanique des Solides : le
suivi de marqueurs [86]. Selon cette technique, on réalise quatre marqueurs sur la surface de
l'éprouvette normalisée (figure 2.4) et taillée dans la même plaque que les éprouvettes
fissurées. Pour chaque état de charge, ces marqueurs sont enregistrés par la caméra CCD.
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 71 -
Zone d'étude enregistrée par la caméra CCD.
4 marqueurs
Fenêtre de calcul
x
y
150
105
20
10
figure 2.4 : Principe du suivi de marqueurs.
Un logiciel Deftac spécialement étudié pour le suivi de marqueurs a été développé au sein de
l'équipe photomécanique de rhéologie, notamment par Valle et Dupré [87] et il permet de
suivre la position des taches au cours du chargement. Les déformations sont considérées
homogènes sur la base de mesure (5x5 mm) qui est délimitée par les taches. Les déformations
associées (xx, yy, xy) sont calculées à partir de la théorie des grandes déformations appliquée
à un parallélogramme élémentaire (déformable) dont les milieux des côtes correspondent aux
taches. Le logiciel offre la possibilité d'entourer initialement chacune des taches d'une fenêtre
de calcul qui se déplace avec la tache. C'est une méthode de mise en œuvre facile sur
n'importe quelles surfaces et convenant sur tous types de matériaux. Cette méthode optique
donne une précision sur les déformations de l'ordre de 2.10-4. Nous obtenons pour le PMMA
et pour le PSM4 aux courbes contraintes-déformations suivantes :
2.4 Etude expérimentale des champs de déplacements dans le plan.
- 72 -
σ
εE yy
yy
xx
ε
εν
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Déformation
Con
trai
nte
(MP
a)
-yy -xx -yy
-xx
Con
trai
nte
(MP
a)
Déformation
a) b)
figure 2.5 : a) courbe contraintes-déformations pour le PMMA. b) courbe contrainte-
déformation pour le PSM4.
La courbe de la figure 2.5b a été obtenue par Germaneau [70] dont les travaux portaient sur
l'étude de la réponse tridimensionnelle d'une structure soumise à un chargement.
Dans la partie linéaire des courbes, nous pouvons déterminer les caractéristiques mécaniques
(E, ) du matériau étudié, en utilisant les relations suivantes :
(2.7)
(2.8)
Les caractéristiques mécaniques (E, ) des deux matériaux sont présentées dans le tableau 2.1.
Caractéristiques mécaniques E [MPa]
PMMA 2825 25 0,4 0,04
PSM4 3 0,4 0,46 0,04
tableau 2.1: Caractéristiques mécaniques (E, ) du PMMA et du PSM4.
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 73 -
2.4.2 Montage expérimental.
2.4.2.1 Montage expérimental pour le PMMA.
Pour l'étude des déplacements à partir de la méthode des grilles sur une plaque fissurée en
PMMA, le chargement (figure 1.3) est réalisé par une machine de traction INSTRON
(10 kN maxi). La caméra CCD utilisée est une caméra de marque DALSA modèle
DS-13-06M03 dont le capteur est de 3072 x 2048 pixels² (figure 2.6). Le pas du réseau de la
grille est de 50 m. La zone analysée (38,33 x 25,56 mm²) de l'éprouvette est centrée en
pointe de fissure (i.e. un grandissement = 0,01248 mm.pixel-1).
Caméra CCD
Eprouvette fissurée + grille
P
P
figure 2.6 : Montage expérimental pour le PMMA.
2.4.2.2 Montage expérimental pour le PSM4.
Pour le PSM4 moins rigide que le PMMA, l'amplitude des déplacements est plus grande.
Nous utiliserons alors une machine de traction de plus faible capacité (500 N maxi)
développée entièrement au laboratoire avec une caméra de 1600 x 1200 pixels² de marque
Marlin modèle : F501B. Le pas du réseau de la grille est de 125 m. La zone étudiée est de
1000 x 1000 pixels² correspondant à 30,5 x 30,5 mm² (i.e. un grandissement
= 0,0305 mm.pixel-1).
2.4 Etude expérimentale des champs de déplacements dans le plan.
- 74 -
Grille (p =125 m) 30.5 mm
Caméra CCD
P
P
figure 2.7 : Montage expérimental pour le PSM4.
2.4.3 Présence de nodules sur les cartographies de phase.
Pour les deux montages expérimentaux, les axes principaux de la grille sont confondus avec
les axes de la caméra et la direction du chargement se fait suivant un axe principal (vertical).
De plus entre l'état chargé (l) et l'état non-chargé (0), la caméra est fixe donc la pointe de
fissure s'est déplacée spatialement par rapport à la grille CCD. Un repère de coordonnées (r,,
z) est centré en pointe de fissure pour les deux états de charge. Après démodulation avec une
zone d'étude de largeur (l = l = 32 pixels) (figure 2.2), nous constatons la présence de
"nodules" sur les cartographies de phase (figure 2.8) traduisant un comportement non
homogène, ce qui ne peut être représentatif du comportement d'une plaque fissurée.
Nodules
a) b)
r
y
x
figure 2.8 : a) Cartographie de phase x(r,) présentant des nodules. b) Extraction d'une
ligne de phase comportant des nodules.
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 75 -
Pour obtenir cette cartographie de phase, nous avons soustrait le champ de phase à l'état non
chargé (état 0) notée 0_x(x,y)) à la phase (l_x(x,y)) à l'instant de chargement (l). Sur la figure
suivante, nous avons extrait un profil de phase (ligne noire) où l'on remarque ces nodules
("vagues"). En aucun cas, une éprouvette en PMMA avec un comportement purement
élastique ne peut avoir un tel comportement local même si le milieu est fissuré. De ce fait, la
présence des ces nodules est obligatoirement engendrée lors de l'acquisition de la grille
déformée au cours du chargement.
Si des nodules apparaissent dans les cartographies de phase, c'est qu'ils apparaissent
physiquement lors de l'enregistrement des images. Plusieurs possibilités peuvent être la cause
de ces défauts, à savoir l'orientation de la grille par rapport à la grille de la CCD et les
problèmes de distorsion de champ liés au montage optique. En confondant les axes de la grille
expérimentale avec les axes de la caméra CCD, nous suspections, lors de la numérisation, la
présence d'un effet de moiré provoqué par les interférences entre les deux grilles (physique et
CCD). Pour examiner cet effet, nous réalisons deux tests en faisant varier l'orientation de la
grille (16 et 45 degrés), et en appliquant un mouvement de solide rigide à l'éprouvette. Pour
les doutes émis sur la distorsion du champ, ceux-ci peuvent être liés à l'utilisation de trois
bagues allonges, de longueurs respectives 8, 12 et 27,5 mm devant l'objectif de 28 mm. Pour
évaluer l'influence de ces bagues, nous choisissons de recaler manuellement la pointe de
fissure au même pixel pour les différents états de charge. Le tableau suivant récapitule les
différents paramètres modifiés et indique la pertinence ou non de nodules sur les
cartographies de phase dans ces nouvelles conditions.
Paramètres Présence de nodules
Orientation à 45° de la grille / caméra OUI
Orientation à 16° de la grille / caméra OUI
Recalage spatial de la caméra NON
tableau 2.2: Paramètres modifiés pour éliminer les nodules.
En orientant à 45 degrés la grille réseau par rapport aux axes de la caméra, nous observons
toujours la présence de modules (figure 2.9a), il en est de même pour l'orientation à 16 degrés
(figure 2.9b). La présence de nodules est amplifiée car nous avons seulement appliqué un
mouvement de solide rigide. Lorsque nous recalons spatialement la grille de la caméra par
2.4 Etude expérimentale des champs de déplacements dans le plan.
- 76 -
rapport à la pointe de fissure (i.e. toujours le même point de la CCD en pointe de fissure)
avant acquisition de l'image, on parlera alors de "recalage manuel", les nodules disparaissent
(figure 2.9c). Un plan subsiste qui sera soustrait pour obtenir une symétrie pour le
déplacement ux et une antisymétrie pour les déplacements uy par rapport au front de fissure, la
détermination de ce plan sera présentée ultérieurement, au paragraphe § 3.4.1.
Rot
atio
n de
45
degr
és
Rot
atio
n de
16
degr
és
a)
b)
Rec
alag
e m
anue
l
c)
figure 2.9 : a) Cartographie de phase pour une grille inclinée à 45 degrés. b) Cartographie de
phase pour une grille inclinée à 16 degrés. c) Cartographie de phase pour une grille recalée
spatialement par rapport à la grille CCD.
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 77 -
yxyxyx _xl_xx_ ,,2
p,u 0exp
yxyxyx _yl_yy_ ,,2
p,u 0exp
θrθθr
θrD sinE2
cos1
2
2sin
2
K,u 2I
2y
θr
θθrθrD cos
E2sin
1
1
2cos
2
K,u 2I
2x
Après un "recalage manuel", nous constatons qu'il n'y a plus de nodule, mais un bruit de
mesure subsiste, relativement important par rapport à l'amplitude de la phase. C'est pour cela
que dans le paragraphe suivant, nous ferons une étude des déplacements expérimentaux sur du
PSM4 avec un pas de grille de 125 m, car l'amplitude des déplacements est plus important
que pour le PMMA.
2.4.4 Etude des champs de déplacements expérimentaux et théoriques ux et uy.
Maintenant que nous avons des cartographies de phases sans nodules, l'étude du
comportement mécanique d'une plaque fissurée peut être faite. Nous rappelons les relations
optico-géométriques (1.58) (1.59) permettant d'obtenir les champs de déplacements
expérimentaux (ux_exp, uy_exp) à partir des champs de phases.
RAPPELS :
(1.58)
(1.59)
Pour les données expérimentales, nous faisons un changement de repère pour passer en
coordonnées cylindriques (r,) centrées en pointe de fissure, pour pouvoir comparer les
résultats expérimentaux et les formulations théoriques (1.14) (1.15). Nous rappelons les
équations des déplacements obtenues pour un état de contraintes planes (CP) à partir des
champs de contraintes.
RAPPELS :
(1.14)
(1.15)
Les données géométriques de l'éprouvette et les caractéristiques mécaniques du matériau,
déterminées à partir de suivi de marqueurs, sont présentées dans le tableau 2.3.
2.4 Etude expérimentale des champs de déplacements dans le plan.
- 78 -
Matériau Mod. d'Young
E [MPa]
Coef.
Poisson
Longueur fissure
a [mm]
Largeur
W [mm]
KI
[MPamm]
Epaisseur
h [mm]
PSM4 3 0,4 0,46 0,04 9 0,02 40 0,02 0,30305
0,00187 6 0,02
tableau 2.3: Caractéristiques mécaniques et géométriques de l'éprouvette en PSM4.
Nous traçons les champs de déplacements ux et uy théoriques et expérimentaux obtenus
(figure 2.10).
30,5
mm
30
,5 m
m
30,5 mm
Déplacements expérimentaux
r
x
y
30,5 mm
r
x
y
ux-2D(r,)
uy-2D(r,)
30,5
mm
30
,5 m
m
30,5 mm
Déplacements théoriques
r
x
y
30,5 mm
r
x
y
uy_exp(r,)
ux exp(r,) [mm]
[mm]
figure 2.10 : Champs de déplacements théoriques et expérimentaux ux et uy.
En comparant les champs théoriques et expérimentaux (figure 2.10), nous pouvons constater
que les résultats diffèrent en ce qui concerne les deux composantes planes du déplacement.
Dans les deux cas, l'amplitude des déplacements n'est pas conservée. Pour mieux visualiser
les écarts entre les résultats expérimentaux et les déplacements théoriques (figure 2.11 et
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 79 -
figure 2.12), nous avons choisi d'extraire les valeurs des déplacements autour de la pointe de
fissure pour des angles définis ( = 0, 45, 90 et 135 °).
figure 2.11 : Déplacements théoriques et expérimentaux ux pour différents angles .
figure 2.12 : Déplacements théoriques et expérimentaux uy pour différents angles .
2.5 Etude numérique des champs de déplacements dans le plan.
- 80 -
2.4.5 Discussion et conclusions.
Nous pouvons mieux constater les écarts entre la solution bidimensionnelle et les données
expérimentales sur la figure 2.11 et la figure 2.12. Ces écarts peuvent être de nature différente,
une solution théorique développée pour des plaques infinies faisant l'hypothèse d'un état de
contraintes planes alors que expérimentalement ce n'est généralement jamais le cas, des effets
tridimensionnels présents pouvant aussi modifier les déplacements dans le plan, ou une
extrémité de fissure insuffisamment éloignée d'un bord de l'éprouvette entraînant des effets de
bord.
La question que nous sommes en droit de nous poser, est que si la théorie bidimensionnelle
n'exprime pas les champs de déplacements proche de la pointe de fissure, qu'en est-il des
valeurs des facteurs d'intensité des contraintes KI ou de l'intégrale J de contour?
Le calcul expérimental direct de KI est difficilement envisageable car le bruit de mesure
perturbe la minimisation. Mais cela devient presque impossible pour les valeurs de l'intégrale
J car elles nécessitent de calculer le produit de gradients de déplacements. Donc deux
possibilités nous sont offertes pour obtenir ces deux paramètres à partir des données
expérimentales : d'une part filtrer les données (§ 2.2.2.2.1), d'autre part interpoler les
déplacements (§ 2.2.2.2.2) par des formulations appropriées permettant de dériver ces
déplacements et ainsi de calculer l'intégrale J. En raison de l'amplitude du bruit, nous avons
choisi de ne pas filtrer les données, même si le nombre de points de mesure est important
(106 points).
Nous avons basé nos formulations empiriques sur la formulation existante (2.2) et sur les
résultats expérimentaux et numériques. L'étude numérique proposée est basée sur une
modélisation développée lors de travaux antérieurs au sein du laboratoire [88] ce qui permet
de comparer les résultats numériques et expérimentaux, et ainsi de valider les champs de
déplacements et d'étendre les formulations proposées au calcul des gradients de déplacements,
nécessaires pour l'intégrale J
2.5 Etude numérique des champs de déplacements dans le plan.
2.5.1 Etude numérique pour une modélisation 3D de plaque infinie.
Cette étude consiste à reprendre un programme éléments finis développé initialement pour
comparer les déplacements hors-plan numériques et ceux obtenus par interférométrie et ainsi
valider les conditions aux limites et la loi de comportement [88]. Les phénomènes liés à la
présence d'une fissure dans un milieu nécessitent de réaliser un maillage adapté en pointe de
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 81 -
fissure. La modélisation choisie s'appuie sur celle développée par Nakamura et Parks [71]
pour l'étude de plaque élastique mince fissurée (sollicité en mode I). La modélisation se
schématise par l'extraction d'une zone entourant la pointe de fissure d'une plaque d'épaisseur
(h). Le maillage modélise la zone proche de la pointe de fissure par un cylindre de rayon (r)
égal à la longueur de fissure (r = a) (figure 2.13). Pour une analyse par éléments finis, on
remarque que seul un quart de l'éprouvette à réellement besoin d'être modélisée (figure 2.17).
En effet, si nous considérons un chargement uniaxial (=P/S avec S=W.h) perpendiculaire à
la surface fissurée, le problème est symétrique par rapport aux plans de la fissure et du
ligament ( y
=0). Il y aussi une symétrie par rapport au plan médian de la plaque ( z
=0). Le
modèle peut tenir compte d'un front de fissure parabolique mis en évidence par les travaux de
Bazant et Estenssoro [72]. En analysant la forme du front de fissure expérimental, nous avons
choisi un front de fissure rectiligne utilisé par Nakamura et Parks. Pour une étude numérique,
les paramètres nécessaires pour analyser le comportement mécanique en pointe de fissure
sont : E, , KI et la contrainte appliquée (tableau 2.3.). Une bonne concordance entre les
résultats expérimentaux et les simulations numériques a permis de valider le programme
éléments finis (maillage, conditions aux limites et loi de comportement). Les mesures
expérimentales du déplacement hors-plan avait été réalisées sur une plaque fissurée avec les
dimensions suivantes : la longueur L = 270 mm, la largeur W = 190 mm, l'épaisseur h = 6 mm
et pour une longueur de fissure a=62 mm [88].
Front de fissure rectiligne
Lèvre supérieure de la fissure
Surface libre
Ligament (Plig)
x
z
y
rmax
(Pcyl)
figure 2.13 : Représentation et maillage du quart de cylindre.
Le maillage de la zone entourant la pointe de fissure est constitué d'héxaèdres trilinéaires à
huit nœuds. On construit un maillage rayonnant proche de la pointe de fissure (figure 2.17).
2.5 Etude numérique des champs de déplacements dans le plan.
- 82 -
0
dzd.rsin.,,rσcos.,,rσ
dzd.rsin.,,rσcos.,,rσ
0
f
f
felem
maxmaxyymaxxy
elem
maxmaxxymaxxx
elem2
elem1
elem zz
zz
La taille des éléments augmente lorsque l'on s'éloigne de la pointe de fissure. Il en de même
dans l'épaisseur de la plaque lorsque l'on s'éloigne de la surface libre. Cela se justifie par des
variations importantes des grandeurs cinématiques près de la surface libre et de forts gradients
de déplacements présents en pointe. Cette modélisation impose des conditions aux limites
proches des conditions expérimentales.
2.5.1.1 Conditions aux limites.
Sur le plan ligament (Plig) et le plan médian (z=0), les symétries imposées par le chargement
et la forme de l'éprouvette induisent les conditions suivantes pour les déplacements :
(2.9)
où uy et uz sont les composantes cartésiennes du déplacement dans le repère de la
figure 2.17.
Une condition aux limites supplémentaire suivant x
doit être apportée. Nous considérons,
comme la solution bidimensionnelle, que le déplacement ux_num en pointe de fissure est nul
(ux_num = 0 au point (x, y, z) = (0,0,0)).
Pour les conditions aux limites de chargement, nous rappelons que pour les éléments finis, le
chargement surfacique extérieur est toujours exprimé par des forces nodales appliquées aux
nœuds. L'opérateur fsur implantée dans CAST3M permet alors d'appliquer les forces nodales
élémentaires relatives à la contrainte appliquée () sur la surface extérieure du cylindre. Pour
calculer ces forces nodales, nous considérons chacun des éléments de surface (i.e. des
quadrilatères qua4) du cylindre extérieur (Pcyl). Avec la normale extérieure n
[cos sin 0] à (Pcyl) en tout point, l'effort élémentaire est obtenu de la façon suivante :
(2.10)
avec les contraintes xx, yy, xy égales aux expressions (1.10) pou r=rmax.
med
lig
P),,(M,0)M(u
P),,(M,0)M(u
zyx
zyx
z
y
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 83 -
2.5.1.2 Déplacements ux_num et uy_num de la surface libre.
Nous pouvons maintenant extraire les champs de déplacements numériques et les comparer
aux données expérimentales. Pour cela nous définissons une zone commune de
18 x 18 mm² sur les champs numériques et expérimentaux. Sur la figure 2.14, nous présentons
les résultats numériques et expérimentaux obtenus en considérant dans le modèle numérique
une loi de comportement purement élastique, sans plasticité présente au confinement de la
pointe de fissure.
ux exp(r,) ux num(r,)
uy exp(r,) uy num(r,)
[mm]
[mm]
18 mm
18 m
m
18 mm 18 mm
Déplacements expérimentaux Déplacements numériques
r
x
y
18 mm 18 mm
r
x
y
r
x
y
r
x
y
figure 2.14 : Champs de déplacements expérimentaux et champs de déplacements
numériques pour une modélisation de plaque infinie.
Comme pour la comparaison entre les données expérimentales et les formulations
bidimensionnelles, nous extrayons les deux champs de déplacements suivant les mêmes
angles .
2.5 Etude numérique des champs de déplacements dans le plan.
- 84 -
figure 2.15 : Evolution des déplacements ux expérimentaux, théoriques et numériques pour
une plaque infinie.
figure 2.16 : Evolution des déplacements de uy expérimentaux, théoriques et numériques
pour une plaque infinie.
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 85 -
Nous constatons que les déplacements suivant ux sont différents entre la solution 2D et les
résultats numériques. Au contraire de uy, où les écarts sont très faibles. Pour les résultats
expérimentaux, les champs numériques ne sont pas égaux. Des divergences non négligeables
apparaissent. Nous savons que ce programme donne de bons résultats pour les déplacements
hors-plan lorsque la plaque a des dimensions importantes (160 x 270 mm²) et une fissure plus
avancée dans la plaque (60 < a < 64 mm). Pour nos études expérimentales, nous ne pouvons
pas étudier de plaques aussi grandes car nous sommes limités par la taille de l'enceinte de la
machine de vaporisation sous vide, ainsi que par les dimensions de la grille maîtresse. Ainsi
lors de sollicitation mécanique, des effets de structures non négligeables sont créés lors de
l'étude expérimentale et qui ne sont pas pris en compte lors de la modélisation numérique.
Ceci peut expliquer les écarts constatés entre les déplacements numériques et expérimentaux.
De plus la longueur de fissure est de 9 mm et des effets de bord sont présents, qui influencent
les champs de contraintes et de déplacements loin de la zone singulière. C'est dans le but de
réaliser une modélisation tenant compte des effets de structure et des effets de bord que nous
avons choisi de modéliser la plaque "entière". Comme pour la modélisation de la plaque
infinie, seul un quart de l'éprouvette a été modélisée du fait des symétries de chargement.
2.5.2 Etude numérique pour une modélisation 3D de plaque finie.
Les progrès informatiques et la géométrie de la plaque, nous permettent de modéliser
entièrement la plaque. Pour modéliser l'éprouvette "entière", nous sommes partis de la
modélisation du cylindre de matière entourant la fissure auquel nous avons ajouté le "reste" de
la plaque. Ainsi sur la figure 2.17, nous retrouvons le cylindre de la figure 2.13 sur l'ensemble
de la plaque.
(1)
(2)
x
z
yW
a
L/2h/2
Ligament
Surface libre
Surface fissurée
r
θ
Eprouvette SEN
Front de fissure
figure 2.17 : Représentation et maillage du quart de l'éprouvette.
2.5 Etude numérique des champs de déplacements dans le plan.
- 86 -
2.5.2.1 Conditions aux limites.
Nous avons appliqué les mêmes conditions aux limites sur les déplacements que
précédemment, pour la modélisation 3D de la plaque infinie (§ 2.5.1.1), seule la condition aux
limites de chargement est modifiée. Le chargement n'a plus lieu aux nœuds extérieurs du
cylindre, mais directement sur la surface de chargement. Nous utilisons toujours l'opérateur
fsur pour appliquer les forces nodales élémentaires équivalentes à la contrainte appliquée ().
2.5.2.2 Résultats de l'étude numérique.
Pour chacun des déplacements ux_num et uy_num, nous extrayons les isovaleurs en chacun des
nœuds et nous les comparons avec les données expérimentales figure 2.18.
ux exp(r,) ux num(r,)
uy exp(r,) uy num(r,)
[mm]
[mm]
30,5 mm
30,5 m
m
30,5 mm 30,5 mm
Déplacements expérimentaux Déplacements numériques
r
x
y
30,5 mm 30,5 mm
r
x
y
r
x
y
r
x
y
figure 2.18 : Champs de déplacements expérimentaux et numériques sur la surface libre.
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 87 -
Les évolutions de ux et uy sont également représentées suivant quatre orientations angulaires
(=0, 45, 90 et 135 °)
figure 2.19 : Evolutions de ux pour les résultats expérimentaux, numériques et théoriques.
figure 2.20 : Evolutions de uy pour les résultats expérimentaux, numériques et théoriques.
2.6 Calcul de l'intégrale J.
- 88 -
Nous pouvons constater que les déplacements sont nuls en pointe de fissure et que les données
numériques et expérimentales sont très proches. Les déplacements évoluent de façon
monotone, quelque soit l'angle . En modélisant entièrement la plaque, nous avons pris en
compte, la présence des effets de structure et la présence des effets de bord. Ces effets jouent
un rôle important dans la forme et dans l'amplitude des champs de déplacements. Maintenant
que le programme d'éléments finis permet de prendre en compte les effets engendrés par la
présence d'une fissure et par la présence des effets de structures, nous allons déterminer les
paramètres caractérisant la mécanique de la rupture. En comparant les données numériques
aux données théoriques, KI peut alors être déterminé. La valeur des FIC est directement liée
aux conditions limites imposées dans le modèle numérique et aux solutions théoriques (1.11)
(1.12). Par exemple, si un autre nœud du front de fissure est bloqué, un mouvement de solide
rigide est alors ajouté modifiant les champs de déplacements. Si les champs de déplacements
sont modifiés alors le calcul des facteurs d'intensité des contraintes est erroné. Contrairement
à cela, l'intégrale J, qui fait appel aux gradients de déplacements aura une valeur inchangée.
2.6 Calcul de l'intégrale J.
A partir des résultats numériques et des données expérimentales, nous ne pouvons pas
comparer directement les gradients nécessaires au calcul de l'intégrale J de contour. Comme le
montrent les courbes de la figure 2.20, les données sont entachées de bruit ne permettant pas
l'extraction directe des gradients. Dans la littérature, l'équation (2.2), minimisée à partir des
données expérimentales, permet de caractériser le champ de déplacements suivant l'axe de
chargement, mais en aucun cas elle ne permet de calculer à elle seule l'intégrale J. Une
comparaison entre les gradients numériques numF et ceux calculées à partir de l'expression
d'Arakawa (Fyx_Arakawa, Fyy_Arakawa) permettrait d'étendre le domaine de validité de cette relation
au calcul des gradients de déplacements pour la détermination de l'intégrale J.
2.6.1 Gradients de déplacements de la formulation d'Arakawa.
Après résolution du problème avec les éléments finis, la procédure Grad de CAST3M permet
d'extraire les valeurs des gradients de déplacements ou de température, en chacun des nœuds
du maillage. Dans le but d'étendre au calcul des gradients la formulation empirique
d'Arakawa, nous minimisons l'expression (2.2) par rapport au champ de déplacement
numérique uy_num et nous obtenons ainsi les valeurs des constantes (C = 2,25 et =5,755).
Ensuite, il vient les gradients de déplacements au moyen des équations suivantes [9]
(équations (1.47)).
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 89 -
Pour une meilleure visualisation des écarts entre les différents gradients, nous avons choisi
d'extraire les résultats suivant deux angles ; =+45° et =+160°.
figure 2.21 : Extraction des gradients de déplacements numériques et de la formulation
d'Arakawa.
En amont de la pointe de fissure =+45°, les gradients sont sensiblement égaux mais lorsque
augmente, des différences non négligeables apparaissent conduisant même à une pente
inversée. Les gradients de déplacements obtenus par la formulation d'Arakawa ne représentent
pas au mieux les gradients numériques (ex : =+160°). Donc la formulation d'Arakawa
permet de caractériser le champ de déplacement suivant l'axe de chargement, mais pas de
façon assez précise pour le calcul des gradients Fyx et Fyy. Dans ce cas, nous nous sommes
orientés vers le développement de deux formulations (ux et uy,) permettant d'exprimer à la fois
les déplacements suivant les deux directions et le calcul du tenseur gradient F . Comme la
formulation empirique d'Arakawa (2.2), citée précédemment, les formulations proposées sont
basées sur le principe de superposition et sur les développements d'Arakawa.
2.6.2 Nouvelles formulations de ux et uy.
2.6.2.1 Expressions mathématiques de ux et uy.
En analysant les résultats des gradients et la figure 2.21, la formulation d'Arakawa est adaptée
pour représenter les gradients numériques lorsque -140°<<140°. Pour les déplacements
suivant l'axe x, le principe de superposition [81] est utilisé pour exprimer la relation de la
manière suivante :
2.6 Calcul de l'intégrale J.
- 90 -
xrx
xx θθrθr a-
e-1.εa.).(Gcos..εν.,u
yry
yy θθrθr a-
e-1.εa.).(Gsin..ε,u
(2.11)
où x, x, sont des constants, )(G θx est une fonction de θ .
Pour le déplacement ux, les deux termes suivants correspondent au principe de superposition.
Le terme ( θr cos..εν. ) caractérise les déplacements perpendiculaires au chargement en
coordonnées cylindriques sans présence de fissure et le second terme
xrx
x θa
-
e-1.εa.).(G correspond aux déplacements induits par le chargement des lèvres
de la fissure suivant l'axe x.
(2.12)
où y y sont des constants, )(G θx est une fonction de θ .
Pour le déplacement uy, l'expression d'Arakawa a peu évolué. Le premier terme n'a pas
changé et correspond toujours aux déplacements relatifs à une plaque non fissurée soumise à
de la traction dans le domaine élastique. Le second terme a été modifié et une constante y a
été ajoutée par rapport à l'expression d'Arakawa.
Chacune des expressions développées fait intervenir une fonction de (Gx() et Gy()). Une
étude de ces deux fonctions est menée pour leur donner une expression mathématique et
simplifier les relations (2.11) et (2.12).
2.6.2.2 Etude des termes Gx() et Gy().
Dans cette partie, nous avons choisi une expression mathématique pour chacun des deux
termes. En aucun cas, nous ne pouvons donner une signification physique précise qui
exigerait du reste un nombre important d'expérimentations avec différents types de matériaux,
pour différentes longueurs de fissure. Pour obtenir, les fonctions Gx() et Gy(), nous avons
minimisé les expressions (2.11) et (2.12) par rapport aux déplacements numériques. Ainsi,
nous obtenons les tracés suivants des fonctions de :
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 91 -
figure 2.22 : Evolution de Gx() dans l'intervalle ]- , [.
figure 2.23 : Evolution de Gy() dans l'intervalle ]- , [.
La fonction
2
3cos.
2cos. 21 xx CC minimise bien les données obtenues pour Gx() avec
C1x et C2x égales à des constantes. La fonction
2sin. 3
yC exprime bien les résultats obtenus
en privilégiant l'intervalle ]- 3/4, 3/4[. C1x, C2x, Cy sont des constantes à minimiser.
L'expression mathématique proposée du terme Gy() est identique à celle obtenue par
Arakawa. Ainsi, les formulations du déplacement dans le plan peuvent s'exprimer de la façon
suivante :
(2.13)
xrx
xxxθ
Cθ
Cθrθr a-
21 e-1ε'..a2
3cos.
2cos..cosν.ε'.,u
2.6 Calcul de l'intégrale J.
- 92 -
(2.14)
Pour obtenir l'ensemble des sept constantes x, y, x, y, C1x, C2x et Cy, un programme C++ a
été développé permettant de minimiser les écarts entre les expressions proposées et les
résultats numériques.
2.6.2.3 Etude des formulations ux et uy sur les déplacements numériques.
Après minimisation des écarts entre les champs de déplacements numériques et les
formulations proposées, nous obtenons les valeurs des sept constantes (tableau 2.4).
Déplacements Valeurs de constantes
C1x C2x x x Horizontal
ux 7.95 4.6 0.105 0.545
Cy y y Vertical
uy 3.1 1.62 0.63
tableau 2.4 : Valeurs des constantes intervenant dans les formulations proposées ux et uy.
A partir de ces constantes, nous pouvons tracer les champs de déplacements ux, uy et les
comparer aux champs numériques.
yry
yyθ
Cθrθr a-
3 e-1ε'..a2
sin..sinε'.,u
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 93 -
ux exp(r,) ux num(r,)
uy exp(r,) uy num(r,)
[mm]
[mm]
30,5 mm
30,5 m
m
30,5 mm 30,5 mm
Déplacements issus des formulations proposées Déplacements numériques
r
x
y
30,5 mm 30,5 mm
r
x
y
r
x
y
r
x
y
figure 2.24 : champs de déplacements (ux et uy) obtenus à partir des formulations proposées
et des simulations numériques.
Nous constatons que les champs numériques et ceux obtenus à partir des formulations sont
sensiblement identiques. Il est important de s'intéresser au développement de ces formulations
empiriques pour le calcul de gradients de déplacements nécessaires à la détermination de
l'intégrale J.
2.6.2.4 Gradients de déplacements des formulations proposées ux et uy.
Les gradients des formulations proposées sont calculés à partir des expressions (1.47) et sont
comparés aux gradients de déplacements numériques obtenus à partir de la procédure Grad
implantée dans le logiciel CAST3M. Nous traçons leurs évolutions suivant = 45 et
160 degrés.
2.6 Calcul de l'intégrale J.
- 94 -
figure 2.25 : Profils des gradients numériques, des gradients des formulations proposées et
des gradients de la formulation d'Arakawa.
La formulation proposée suivant x est adaptée pour représenter les gradients de déplacement
où peu d'écarts sont constatés avec les gradients de déplacements numériques. Contrairement
à la formulation d'Arakawa qui ne caractérise pas assez bien les gradients numériques à
l'arrière de la fissure, l'expression proposée (uy) représente mieux les gradients de
déplacements sur tout le champ (figure 2.25).
Les nouvelles formulations proposées, basées sur le principe de superposition et sur la
formulation d'Arakawa, permettent de caractériser les champs de déplacements comportant
des effets de structures et des effets de bord, et s'adaptent aussi au calcul des gradients de
déplacements.
2.6.3 Calcul de l'intégrale J pour le PSM4.
Le but des formulations développées est de calculer l'intégrale J de contour à partir des
données expérimentales bruitées. Cette étude a permis d'étendre le domaine de validité des
formulations empiriques, pour calculer les déplacements mais surtout les gradients de
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 95 -
E
KJG
2I
theo
déplacement. Avec les gradients, nous pouvons calculer l'intégrale J pour différents contours
circulaires de rayon (r). Le facteur d'intensité des contraintes KI apparaît comme un paramètre
intrinsèque de la rupture fragile et il est directement relié au taux de restitution d'énergie (G)
(§ 1.5.2).
RAPPELS
(1.42)
Nous pouvons tracer l'évolution de l'intégrale J à partir de la relation précédente (Jtheo) que
nous comparons à celle obtenue à partir des gradients numériques (Jnum) de CAST3M, à celle
issue des gradients des formulations proposées interpolées sur les déplacements numériques
(Jint/num) ainsi qu'à celle déterminée par exploitation des déplacements expérimentaux (Jint/exp)
obtenus pour différents contours ().
2.6.3.1 Essai sur le PSM4.
Nous minimisons les écarts entre les formulations proposées et les données expérimentales
(figure 2.10), ainsi les valeurs des sept variables seront déterminées (tableau 2.5) pour un état
de charge de 9,53 N.
Déplacements Valeurs de constantes
C1x C2x x x Horizontal
ux 7,2 3,85 0,1 0,68
Cy y y Vertical
uy 3,0 1,3 0,73
tableau 2.5 : Valeurs des sept variables pour le PSM4 et un chargement de 9,53 N.
En comparant les valeurs des 14 variables obtenues (tableau 2.4 et tableau 2.5) et en
minimisant d'une part les écarts entre les données numériques et les formulations et d'autre
part les écarts entre les résultats expérimentaux et les formulations, nous constatons que les
valeurs des variables sont assez proches les unes des autres. Le bruit de mesure expérimental
perturbe peu le processus de minimisation, mais des écarts sont constatés qui peuvent être dû
aux caractéristiques mécaniques (E, ) du modèle numérique, pouvant être légèrement
2.6 Calcul de l'intégrale J.
- 96 -
différentes des caractéristiques expérimentales. Les valeurs des différentes intégrales J sont
tracées en fonction du rayon r.
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Jtheo
Jnum
Jint/num
Jint/expZone 3D
Ecart In
tégr
ale
J [M
Pa.
mm
]
r [mm]
figure 2.26 : Calcul des différentes intégrales J pour le PSM4.
Les valeurs des intégrales J sont faibles (<3,2.10-2 N/mm²). Une différence non négligeable
apparaît entre la solution théorique Jtheo (1.42) et le calcul des autres intégrales Jnum, Jint/exp et
Jint/num. Les effets de structures pris en compte dans l'essai expérimental et dans la
modélisation éléments finis, modifient considérablement ( 50 %) les valeurs de J. Les écarts
quoique très faibles, entre Jnum et Jint/num sont dus aux formulations proposées qui ne s'adaptent
pas parfaitement aux gradients de déplacements, mais cela reste faible devant les écarts avec
la solution théorique. Les formulations proposées sont donc bien adaptées pour caractériser
les déplacements, les gradients de déplacements et le calcul de l'intégrale J qui en découle.
Les écarts entre Jint/num et Jint/exp sont liés aux écarts entre les valeurs des gradients de
déplacement, toutefois cela reste très largement acceptable. Lorsque r<1,5 mm (R 0,25), les
intégrales Jnum, Jint/exp et Jint/num diminuent traduisant la présence d'effets 3D. L'écart
(figure 2.26) avec les valeurs théoriques de Jtheo peut être dû aussi aux effets de bord non pris
en compte dans la solution bidimensionnelle.
Le calcul de l'intégrale J, à partir de données expérimentales bruitées, peut être réalisé à partir
des deux expressions des déplacements (2.13) (2.14) et de l'expression des gradients de
déplacements (1.47), cependant l'amplitude des déplacements est relativement importante.
Dans le but de vérifier si nos formulations proposées sont adaptées au calcul de l'intégrale J
sur d'autres matériaux, nous allons maintenant étudier un matériau fragile, plus rigide, comme
le PMMA dont l'amplitude des déplacements est plus faible pour un même chargement. Le
rapport signal sur bruit de mesure sera donc plus important.
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 97 -
2.6.3.2 Essais sur le PMMA.
Le chargement extérieur est toujours en mode I, nous rappelons les caractéristiques
mécaniques du matériau obtenues à partir du suivi de marqueurs et présentons dans le tableau
2.6 les dimensions de l'éprouvette. Nous avons enregistré le réseau déformé pour deux états
de charge P1 = 498,5 N et P2 = 1255 N (KI1 = 7,135150,0329 MPamm et
KI2 = 17,96310,0462 MPamm.).
Matériau Mod. d'Young E
[MPa]
Coef.
Poisson
Longueur fissure
a [mm]
Largeur
W [mm]
Epaisseur h
[mm]
PMMA 2825 25 0,4 0.04 7 0,02 60 0,02 6,61 0,02
tableau 2.6: Caractéristiques mécaniques et géométriques de l'éprouvette en PMMA.
2.6.3.2.1 Interpolation sur les données numériques.
Nous présentons les résultats des valeurs des sept variables des formulations proposées dont
nous avons minimisé les écarts avec les résultats des déplacements numériques pour les deux
états de charge.
Déplacements Valeurs de constantes
C1x C2x x x Horizontal
ux 6,0 3,0 0,22 0,55
Cy y y Vertical
uy 3,6 1,335 0,595
tableau 2.7 : Valeurs des sept variables pour le PMMA et un chargement de 498,5 N.
Déplacements Valeurs de constantes
C1x C2x x x Horizontal
ux 6,6 3,2 0,2 0,55
Cy y y Vertical
uy 3,6 1,335 0,595
tableau 2.8 : Valeurs des sept variables pour le PMMA et un chargement de 1255 N.
2.6 Calcul de l'intégrale J.
- 98 -
Théoriquement les valeurs de sept variables devraient être égales pour les deux états de
charge car la différence entre les deux essais est seulement due à une modification du
chargement et comme nous utilisons un matériau purement élastique, les effets de structures
sont identiques pour les deux états de charge. Dans la simulation numérique par éléments
finis, il n'y a pas de bruit pouvant perturber la minimisation et ainsi modifier les valeurs des
variables. Pour les deux états de charge, les valeurs des variables de l'expression uy sont
identiques traduisant une expression bien appropriée. Concernant ux des écarts sont apparus
pouvant aller jusqu'à 10% ce qui reste largement acceptable. Cela provient certainement du
coefficient de Poisson () qui n'apparaît pas explicitement dans le second terme de
l'expression de ux, ce qui modifie directement les valeurs de C1x et C2x.
2.6.3.2.2 Interpolation sur les données expérimentales.
Les valeurs des 14 variables après minimisation pour les deux états de charge des champs de
déplacements expérimentaux obtenus après extraction des phases l_x(x,y) et l_y(x,y) sont
données dans les tableaux suivants.
Déplacements Valeurs de constantes
C1x C2x x x Horizontal
ux 4,0 1,75 0,31 0,625
Cy y y Vertical
uy 2,75 1,79 0,4
tableau 2.9 : Valeurs des sept variables pour le PMMA et un chargement de 498,5 N.
Déplacements Valeurs de constantes
C1x C2x x x Horizontal
ux 11,7 4,6 0,1 0,475
Cy y y Vertical
uy 3,0 1,7 0,6
tableau 2.10 : Valeurs des sept variables pour le PMMA et un chargement de 1255 N.
Entre les 14 valeurs obtenues à partir des données expérimentales et pour les deux
chargements, on constate que les quatre variables de ux sont éloignés. Cela s'explique en
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 99 -
visualisant la figure 2.29 et la figure 2.31, où l'amplitude du bruit est de l'ordre de l'amplitude
du signal. La minimisation par moindre carrés s'avère alors délicate. Les valeurs Cy et y,
sont-elles sensiblement égales au contraire de y.
2.6.3.2.3 Résultats.
Pour les deux chargements, les champs théoriques (ux_2D, uy_2D), les champs numériques
(ux_num, uy_num), les champs interpolés sur les déplacements numériques (ux_int-num, uy_int-num), les
champs expérimentaux (ux_exp, uy_exp) et les champs interpolés sur les déplacements
expérimentaux (ux_ int-exp, uy_int-exp) peuvent être tracés en fonction r et .
Dépl. théo. Dépl. num. Dépl. int/num. Dépl. int/exp. Dépl. exp.
figure 2.27 : Champs de déplacements (ux, uy) pour le PMMA et pour P1 = 498,5 N.
2.6 Calcul de l'intégrale J.
- 100 -
Dépl. int/exp. Dépl. exp. Dépl. int/num. Dépl. num. Dépl. théo.
figure 2.28 : Champs de déplacements (ux, uy) pour le PMMA et pour P2 = 1255 N.
Comme pour le PSM4, nous avons choisi d'extraire des profils de déplacements pour les
angles suivants : = 0°, 45°, 90°, 135°.
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 101 -
figure 2.29 : Evolution des déplacements ux pour le PMMA et pour P1 = 498,5 N.
figure 2.30 : Evolution des déplacements uy pour le PMMA et pour P1 = 498,5 N.
2.6 Calcul de l'intégrale J.
- 102 -
figure 2.31 : Evolution des déplacements ux pour le PMMA et pour P2 = 1255 N.
figure 2.32 : Evolution des déplacements uy pour le PMMA et pour P2 = 1255 N.
Après minimisation des écarts avec les données expérimentales bruitées, les formulations
proposées représentent relativement bien les champs de déplacements. La multitude de points
CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.
- 103 -
(2.106 points) de calcul pour déterminer les valeurs de sept variables permet de s'affranchir
du bruit. Le calcul des différentes intégrales J est maintenant possible, pour cela il faut
déterminer les gradients de déplacements. Sur la figure suivante, nous présentons les résultats
des intégrales J relatives aux deux chargements (P1 = 498,5 N et
P2 = 1255 N).
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Jtheo
Jnum
Jint/num
Jint/exp
Zone 3D r [mm]
Inté
gral
e J
[N/m
m]
Chargement P1
Chargement P2
0.000
0.020
0.040
0.060
0.080
0.100
0.120
0.140
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Inté
gral
e J
[N/m
m]
r [mm] Zone 3D
Chargement P1 Chargement P2 a) b)
Décrochement
figure 2.33 : a) Calcul des intégrales J pour le chargement P1=498,5N. b) Calcul des
intégrales J pour le chargement P2=1255N.
2.6.3.3 Discussion.
Cette étude sur un matériau plus rigide comme le PMMA a permis d'étendre le domaine de
validité des formulations proposées. De plus sur la figure précédente, nous pouvons constater
que l'intégrale J (Jint/num) calculée à partir des formulations correspond assez bien à l'intégrale
J (Jnum), donc les formulations proposées permettent de caractériser les champs de
déplacements et les gradients de déplacements proches de la zone singulière. La présence du
bruit lors du calcul des champs de phase n'est pas préjudiciable au calcul de Jint/exp, sauf pour
le chargement à P1 = 498,5 N où un décrochement entre Jnum et Jint/exp est très largement
visible (figure 2.33a). Autrement dit, le calcul de l'intégrale J à partir des champs extraits pour
ce chargement est difficilement envisageable car le rapport signal/bruit est très important.
Le bruit de mesure a une importance non négligeable sur les valeurs des 14 variables, ce qui
rend impossible une identification physique des sept variables à partir des données
expérimentales du PMMA pour de faibles états de chargement.
Pour l'essai avec un chargement P2 = 1255 N (figure 2.33b), nous constatons que pour
r > 1,5 mm (R 0,25), les différentes intégrales J sont sensiblement égales. Lorsque
2.7 Influence des effets de bords dans la modélisation numérique.
- 104 -
r < 1,5 mm, nous remarquons une divergence entre Jtheo et les autres intégrales J traduisant la
présence d'effets tridimensionnels en pointe de fissure, ce qui définie la zone 3D.
Dans les prochaines parties de ce chapitre, nous réalisons deux études à partir des champs
numériques de déplacements. Ces études consistent à définir d'une part les dimensions
géométries optimales pour l'étude des champs cinématiques à partir de la modélisation de
plaque infinie et d'autre part, une première étude d'indentification physique des variables des
deux formulations proposées en fonction de l'épaisseur (h) et de la longueur des fissure (a) des
modèles numériques.
Précédemment, nous avons conclu qu'une fissure non assez avancée dans l'éprouvette faisait
apparaître des effets de bord. Par cette étude numérique (§ 2.7) nous allons définir la longueur
de fissure à prendre en compte pour pouvoir simuler le comportement mécanique d'une
plaque par le modèle numérique cylindrique (figure 2.13). Il faut rester prudent sur la valeur
de (a) obtenue car elle est directement liée aux dimensions géométriques imposées (L et W) et
aux caractéristiques mécaniques (E et ).
Une identification physique des sept variables intervenant dans les deux équations proposées,
à partir de résultats expérimentaux serait coûteuse en temps, car il faudrait faire varier
différents paramètres comme la longueur de fissure (a), les dimensions géométriques des
éprouvettes (L, W, et h) et les caractéristiques mécaniques des matériaux (E et ). Toutefois,
nous disposons d'un outil numérique adapté pour caractériser les champs de déplacements.
Dans l'étude proposée dans la partie 2.8, nous choisissons de simuler différents modèles en
faisant varier les deux paramètres suivants (h et a).
2.7 Influence des effets de bords dans la modélisation numérique.
Pour étudier l'influence des effets de bords sur la modélisation, nous simulons une plaque
finie (pf) de dimensions 150 x 150 mm², avec les valeurs de E et du tableau 2.3. Pour
comparer l'influence de structure sur les champs de déplacements dans le plan, nous simulons
des plaques avec des longueurs de fissure (a) différentes, puis nous extrayons du programme
éléments finis la valeur du FIC KI_num. Nous prenons la valeur de KI_num et le chargement
comme paramètres d'entrée de la simulation de plaque infinie (pi). Puis, nous définissons deux
critères (un pour chaque déplacement) pour minimiser les effets de bord présents dans les
déplacements ux et uy. Pour mieux comprendre le principe, un récapitulatif de la démarche est
présenté sur la figure suivante.
CHAPITRE 2 : Fissures stationnaires : Analyse des champs de déplacements plans.
- 105 -
Modélisation 3D plaque finie (pf)
Calcul de G et KI num
Chps déplacement (ux-pf, uy-pf)
a, F,
Modélisation 3D plaque infinie (pi)
KI num,
Chps déplacement (ux-pi, uy-pi)
CALCUL DES DEUX CRITERES
Données d'entrée
Données d'entrée
Comparaison des effets de bord
figure 2.34 : Organigramme pour le calcul des deux critères.
Pour visualiser la même zone sur les deux simulations, nous modifions le maillage de la
plaque finie (plaque "entière"). Auparavant un maillage rayonnant était utilisé en pointe de
fissure de rayon égal à la longueur de fissure (a) (figure 2.17). Dans cette partie, nous
choisissons un maillage rayonnant constant de rayon égal à (r = 1,5 x h) centré en pointe de
fissure pour avoir les nœuds des deux maillages (pf et pi) aux mêmes coordonnées spatiales.
Ceci nous permettra de faire des calculs directement aux nœuds du maillage sans faire
d'interpolation sur les déplacements. Nous simulons des modèles avec des fissures de
longueur différente (9 < a < 141 mm). Pour la modélisation de la plaque infinie, un cylindre
de rayon (r = 1,5 x h) est généré (figure 2.13).
2.7.1 Calcul du facteur d'intensité des contraintes numériques KI_num.
Dans Cast3M, la procédure G_théta [75] permet de calculer le taux de restitution d'énergie G
en chaque nœud des lignes constituant le front de fissure et une moyenne Gmoy est calculée sur
le front de fissure. Cette procédure requiert deux objets en entrée qui sont les éléments
constituant les lèvres et le front de fissure. Il faut préciser le nombre de couches d'éléments
autour de la fissure qui se déplace pour simuler une propagation de fissure. Les travaux
d'Humbert [1] ont mis en évidence que le nombre de couches choisi ne modifie que très peu le
résultat de Gmoy, donc nous choisissons le nombre de couche égal à 1. Le calcul de KI_num,
pour un état de contraintes, s'écrit de la façon suivante :
2.8 Etude des sept variables des formulations ux et uy.
- 106 -
1/2moyI_num .EGK
(2.15)
Nous présentons les valeurs KI_num et de KI-2D (équation (1.21)) obtenus pour un chargement
extérieur constant (F = 30 N) et pour des modélisations de plaques finies.
a [mm] 10 12 20 30 40 42 44 46
KI_2D
[MPamm] 0,21455 0,23779 0,327 0,4444 0,5804 0,6108 0,64259 0,67583
KI_num
[MPamm] 0,22874 0,25503 0,36182 0,50621 0,6742 0,71189 0,74948 0,78993
a [mm] 50 60 72 90 102 120 138 /
KI_2D
[MPamm] 0,74735 0,96407 1,33068 2,2589 3,28995 5,837 10,2023012 /
KI_num
[MPamm] 0,87587 1,1206 1,5037 2,4537 3,6401 8,0514 33,377 /
tableau 2.11 : Tableau récapitulatif des KI_num obtenu pour des plaques finies.
Les écarts entre KI_num et de KI-2D deviennent importants (> 10%) lorsque la fissure est assez
avancée dans le modèle. A partir des différents KI_num obtenus en fonction de la longueur de
fissure, nous modélisons le maillage rayonnant caractérisant une plaque infinie et les
paramètres d'entrée qui sont : la contrainte appliquée () et le FIC (KI-num) obtenu à partir de
la formulation (2.15) qui tient compte des effets de bord. Du fait du grand nombre d'essais,
aucun champ de déplacements ne sera présenté pour les plaques finies et infinies. Pour
quantifier la présence des effets de bord dans les champs extraits de la modélisation
numérique, nous définissons deux critères (norm_x (équation (2.16)) et norm_y (équation
(2.17))) dépendant des déplacements (ux et uy) des plaques finies et infinies et s'écrivant sous
les expressions mathématiques (2.16) (2.17).
2.7.2 Calcul des deux critères norm_x et norm_y.
Ces deux critères sont basés sur les i valeurs de déplacements extraits en chacun de 2702
nœuds (xi,yi) placées aux mêmes coordonnées entre les modélisations des plaques finies et
infinies. Les deux critères sont normalisés par rapport KI-num et s'écrivent sous la forme
suivante :
CHAPITRE 2 : Fissures stationnaires : Analyse des champs de déplacements plans.
- 107 -
(2.16)
(2.17)
où ux-pf(xi,yi), ux-pi(xi,yi) représentent respectivement les déplacements suivant x de la plaque
finie et de la plaque infinie, et uy-pf(xi,yi), uy-pi(xi,yi) les déplacements suivant y de la plaque
finie et de la plaque infinie.
A partir des champs de déplacements et KI_num, nous traçons les deux critères en fonction de
(a) (
figure 2.35).
0.1
1
10
100
0 25 50 75 100 125 150
norm_x [mm³/N²]
a 0.1
1
10
100
0 25 50 75 100 125 150
norm_y [mm³/N²]
aminimum minimum a[mm] a[mm]
[mm5/N²] [mm5/N²]
figure 2.35 : Evolution de deux critères en fonction de (a).
En analysant la figure précédente, nous constatons que les effets de bord sont présents dans la
plaque finie et jouent un rôle important sur la valeur des champs de déplacements lorsque la
fissure est peu ou très avancée. L'influence des effets de bord sur les champs de déplacements
est identique suivant les deux directions. Lorsque que la longueur de la fissure augmente, les
effets de bord diminuent car les normes diminuent jusqu'à une limite (a = 42 mm). Les
normes augmentent ensuite par accroissement de la longueur de fissure trop proche de la
tranche opposée. Pour mieux visualiser les valeurs des deux critères, nous les rapportons dans
le tableau 2.12.
2702
1
2
I_num
pixpfx_x K
,u,unorm
i
iiii yxyx
2702
1
2
I_num
piypfyy_ K
,u,unorm
i
iiii yxyx
2.8 Etude des sept variables des formulations ux et uy.
- 108 -
a [mm] 10 12 20 30 40 42 44 46
a/W 0,0667 0,08 0,1333 0,2 0,2667 0,28 0,2933 0,3067
norm_x
[mm5/N²] 22,813507 2,777551 1,197248 0,577663 0,39815 0,381601 0,387073 0,396123
norm_y
[mm5/N²] 2,274838 1,694626 0,721954 0,382436 0,28668 0,27847 0,280873 0,283098
a [mm] 50 60 72 90 102 120 138
a/W 0,333 0,4 0,48 0,6 0,68 0,8 0,92
norm_x
[mm5/N²] 0,383012 0,479496 0,569271 0,706308 0,990914 2,600046 17,941576
norm_y
[mm5/N²] 0,291506 0,332315 0,377599 0,447578 0,590166 1,443406 9,845916
tableau 2.12 : Tableau des valeurs de norm_x et norm_y.
Avec les résultats présentés pour visualiser "seulement" les effets 3D présents et pour
minimiser l'influence des effets de bord dans une modélisation, (a) doit être égale à 42 mm
soit un rapport (a/W) de 0,28. Il faut rester prudent sur la valeur de ce rapport car les effets de
bord sont aussi liés aux caractéristiques du matériau et notamment à =0,46. Dans nos études
expérimentales sur le PSM4 et le PMMA, nos rapports (a/W) sont de 0,225 et 0,117..
2.8 Etude des sept variables des formulations proposées ux et uy.
Après minimisation par la méthode des moindres carrés, des écarts entre les déplacements
numériques et les formulations proposées, l'évolution des sept variables est tracée en fonction
de la grandeur physique analysée, puis une identification de certaines de ces variables sera
proposée permettant ainsi de paramétrer leur évolution.
2.8.1 Influence de l'épaisseur (h) sur les sept variables.
Pour modéliser les différentes éprouvettes, nous imposons : L = 62 mm, W = 60 mm,
a = 7 mm, E = 2825 MPa, KI = 17,96 MPamm, = 0,4 et 0,5 h 15 mm. Nous obtenons
différents champs de déplacements numériques et nous minimisons les écarts avec les
formulations proposées (2.13) (2.14) (§ 2.6.2.2). Sur la figure 2.36, nous présentons
l'évolution des sept variables en fonction de (h) ainsi que les valeurs des écarts au carré
(norme_x et nome_y) obtenus pour 2406 points de mesures.
CHAPITRE 2 : Fissures stationnaires : Analyse des champs de déplacements plans.
- 109 -
Variables de ux Variables de uy Ecarts de ux et uy [mm²]
h [mm] h [mm]
h [mm]
h [mm]
h [mm]
h [mm]h [mm]
h [mm] h [mm]
C2x
C2x=C1x/2
x
Cy
C1x
x
y
norme_y
norme_x
y
figure 2.36 : Evolutions des sept variables en fonction de l'épaisseur (h).
Sur le tracé de (C2x), deux types de valeurs sont tracés : les valeurs obtenues par minimisation
(carré plein) et le rapport C1x/2 (carré vide). Nous constatons que les valeurs sont relativement
proches. Une dérivée numérique est présente car l'évolution des variables x, C1x, C2x n'est pas
continue. Il en est de même pour les valeurs de (norme_x). L'évolution de x en fonction de
2.8 Etude des sept variables des formulations ux et uy.
- 110 -
(h) n'est pas significative, c'est pour cela que l'on considérera x comme constant par rapport à
(h) (x = 0,545 ; trait pointillé sur la figure 2.36). Pour la variable x et hormis les résultats
pour h < 4 mm, nous choisissons une évolution linéaire de cette variable
(x=0,0312.h).
Pour les variables (Cy, y et y) de uy, peu d'évolutions sont à noter donc nous imposons Cy et
y constants par rapport à (h) (Cy = 3,65 et y = 0,59). A partir des variables imposées, nous
minimisons les écarts et traçons sur la figure suivante les valeurs des sept variables (triangles)
et leurs normes obtenues.
CHAPITRE 2 : Fissures stationnaires : Analyse des champs de déplacements plans.
- 111 -
Variables de ux Variables de uy Ecarts de ux et uy [mm²]
h [mm]
h [mm]
h [mm]
h [mm]
h [mm]
h [mm]h [mm]
h [mm] h [mm]
C2x C2x=C1x/2
x
Cy C1x
x
y
norme_y
norme_x
y
Cp1x Cpy
Cp2x
Cp2x=Cp1x/2
norme_yp
norme_xp
py
py
px
px
figure 2.37 : Evolutions paramétrées des sept variables en fonction de l'épaisseur (h).
En choisissant d'imposer quatre variables, nous constatons que C1x et C2x ont une évolution
continue en fonction de (h) et tendent vers une singularité lorsque h0. Les écarts au carré
(norme_x) de la formulation ux ont peu varié.
2.8 Etude des sept variables des formulations ux et uy.
- 112 -
Pour les variables de uy, seul la variable y n'est pas imposée et l'on peut s'apercevoir qu'elle
peut être approchée par une fonction linéaire. Les valeurs des écarts au carré (norme_y) ont
peu varié, mise à part lorsque h 3mm.
2.8.2 Influence de la longueur de fissure (a) sur les sept variables.
Nous venons de montrer que certaines variables étaient plus ou moins sensibles à l'épaisseur
(h) du modèle. Pour savoir si la longueur de fissure (a) a une influence sur à les sept variables,
nous avons simulé plusieurs éprouvettes en faisant varier la longueur de la fissure
(10 a 120 mm). Les caractéristiques mécaniques des modèles sont celles du PSM4
(tableau 2.3) et les dimensions géométriques sont 150 x 150 mm² pour une épaisseur de h=6
mm. A partir des champs de déplacements numériques, nous minimisons les écarts pour
obtenir les valeurs des sept variables. Comme pour la figure 2.36 et la figure 2.37, l'évolution
des variables est tracée, mais cette fois-ci en fonction de (a).
CHAPITRE 2 : Fissures stationnaires : Analyse des champs de déplacements plans.
- 113 -
Variables de ux Variables de uy Ecarts de ux et uy [mm²]
a [mm] a [mm]
a [mm]
a [mm]
a [mm]
a [mm]a [mm]
a [mm] a [mm]
C2x
C2x=C1x/2
x
Cy C1x
x
y
norme_y
norme_x
y
figure 2.38 : Evolutions des sept variables en fonction de la longueur de fissure (a).
Pour les variables de ux et en fonction de (a) une évolution croissante pour C1x et C2x et une
décroissante pour x sont à noter. Pour la dernière variable (x), les valeurs obtenues peuvent
être approchées par une fonction linéaire (x = 5,961.10-4.a+0,5451). Concernant les variables
de uy, l'évolution de y est constante et est égale à 0,59. Cy présente une asymptote verticale
2.8 Etude des sept variables des formulations ux et uy.
- 114 -
lorsque (a) est grand. Les écarts au carré (norme_x et norme_y) entre les déplacements
numériques et les formulations proposées (ux et uy) sont plus importants que pour l'étude faite
en fonction de l'épaisseur (h).
Variables de ux Variables de uy Ecarts de ux et uy [mm²]
a [mm]
a [mm]
a [mm]
a [mm]
a [mm]
a [mm]a [mm]
a [mm] a [mm]
C2x
C2x=C1x/2
x
Cy C1x
x y
norme_y
norme_x
y
Cp1x Cpy
Cp2x
Cp2x=Cp1x/2
norme_yp
norme_xp
py
py px
px
figure 2.39 : Evolutions paramétrées des sept variables en fonction (a).
CHAPITRE 2 : Fissures stationnaires : Analyse des champs de déplacements plans.
- 115 -
En imposant des variables pour l'étude en fonction de(a), nous constatons que C1x et C2x ont
une évolution non continue et les écarts au carré (norme_x) de la formulation ux ont peu varié
sauf pour a=10 mm où l'écart a plus que doublé.
En choisissant y constant, l'évolution de Cy a été peu modifiée et présente toujours une
singularité. Pour y aucune tendance significative n'apparaît en fonction de (a). Pour les écarts
au carré (norme_y) peu de différences sont apparues en fixant y.
2.8.3 Conclusions.
Cette étude s'inscrit dans une démarche d'identification physique des sept variables des
équations proposées, ainsi nous pouvons conclure que certaines variables ont une évolution
linéaire ou pas d'évolution en fonction des deux variables géométriques (h, a) des modèles
numériques. Pour réaliser une identification physique complète de ces variables, il faudrait
faire au minimum sept modèles en faisant varier une caractéristique géométrique ou
mécanique des modèles numériques, soit un total de 77 simulations numériques, car quatre
paramètres géométriques (L, W, h, a) et trois caractéristiques mécaniques (, E, ) peuvent
modifier les champs de déplacements.
2.9 Conclusion générale.
Le but de cette partie est de mettre en évidence la présence d'effets 3D par des mesures dans
le plan. Pour cela, nous avons comparé les données expérimentales à la théorie
bidimensionnelle et nous nous sommes aperçus que des divergences non négligeables
existaient. Nous avons développé une méthode de mesure des déplacements dans le plan
initialement limité spatialement. Avec l'utilisation de grilles de tamisage et une machine de
vaporisation sous vide, nous pouvons maintenant élaborer des grilles de grandes dimensions
(150 x 150 mm²). Nous appliquons cette méthode optique sur des plaques fissurées pour
extraire les champs de déplacements proche de la pointe de fissure. Pour comparer les
résultats expérimentaux avec la théorie bidimensionnelle, nous avons choisi deux matériaux
différents avec un comportement fragile (PSM4 et PMMA). Parallèlement à ces travaux
expérimentaux, un modèle numérique par éléments finis d'une plaque entière est réalisé pour
tenir compte des effets de bord présents dans notre étude expérimentale. Les premiers champs
de déplacements expérimentaux obtenus à partir d'une méthode d'extraction de phase à une
seule image (MPC) présentent des nodules, traduisant un comportement non homogène mais
non-représentatif du comportement d'une plaque fissurée. Les recherches ont permis
d'éliminer les nodules en recalant spatialement la pointe de fissure toujours sur le même pixel
2.9 Conclusion générale.
- 116 -
de la grille CCD. Après comparaison des déplacements expérimentaux, numériques et
théoriques, nous nous apercevons que les résultats sont proches. Le calcul de l'intégrale J est
possible à partir des dérivées des résultats expérimentaux mais le bruit de mesure
expérimental nous incite à développer deux formulations basées sur l'expression d'Arakawa et
sur le principe de superposition. Les champs de déplacements des deux formulations
proposées sont obtenus en minimisant les écarts avec les données expérimentales. Le calcul
des différentes intégrales J montrent une zone de décrochement dite "zone tridimensionnelle"
correspondant à la même étendue (R0,25) que celle obtenue à partir des champs de
déplacement hors-plan. Les deux modèles numériques, pour des plaques semi-infinies et pour
des plaques finies, nous permet de définir l'influence des effets de bord dans les champs de
déplacements et ainsi de dimensionner une plaque où les effets de bord seront moins
influents. Avec les caractéristiques géométriques imposées dans les modèles numériques, la
longueur de fissure où les effets de bords sont les plus faibles est de 42 mm soit (a/W) = 0,28.
La dernière partie de ce chapitre traite d'une première étude sur l'identification physique des
paramètres des deux formulations proposées. Pour cela, nous avons simulé différentes
géométries d'éprouvettes pour deux matériaux, puis nous avons minimisé les écarts entre les
formulations proposées et les champs de déplacements numériques. Cette première étude
d'indentification physique doit être poursuivie en étudiant tous les paramètres géométriques et
mécaniques, ainsi une signification physique des variables pourra être fournie.
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 117 -
CHAPITRE 3 :
Propagation de fissures : Etude des
déplacements hors-plan.
Une fois qu'on a goûté au futur
on ne peut pas revenir en arrière
Paul Auster
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 119 -
3 Propagation de fissures : Etude des
déplacements hors-plan.
3.1 Introduction.
Au sein de l'équipe, le comportement mécanique de plaques fissurées fragiles ou ductiles lors
d'essais statiques a largement été étudiée par des mesures de champs (interférométrie de
Michelson, photoélasticimétrie, caustiques, granularité "speckle"). Nous souhaitons étendre
nos études aux fissures en dynamique. Une première étude réalisée par Sohier [50] en 1993
portait sur l'étude des Facteurs d'Intensité des Contraintes en dynamique (d-FIC), avant et
pendant le branchement des fissures sur des matériaux fragiles (ex : polymères, verre) en
utilisant la méthode des caustiques. Dans cette partie, nous nous proposons d'étudier le
comportement tridimensionnel en pointe de fissure lors de propagation de fissure sur des
plaques élastiques fragiles soumises à un chargement extérieur constant. Des mesures
expérimentales de déplacement hors-plan ont déjà été réalisées sur des fissures stationnaires
car l'expression de la théorie bidimensionnelle fait état d'une solution singulière inadaptée au
voisinage de la pointe de fissure, et ainsi les écarts entre ces deux solutions sont directement
l'étendue de la zone 3D. Il est vraisemblable qu'une même constatation soit faite lors de
propagation de fissures Le caractère dynamique des essais fait apparaître des effets
transitoires jouant un rôle non négligeable et s'ajoutant aux effets tridimensionnels toujours
présents. Il est donc nécessaire de mesurer des champs cinématiques nous permettant de
comparer ces résultats expérimentaux à la théorie bidimensionnelle et ainsi définir la zone de
décrochement appelée "zone des effets tridimensionnels et transitoires". Actuellement des
travaux numériques, basés sur la mécanique de la rupture dynamique, émergent dont les plus
connus font appel à la Méthode des Eléments Finis étendues (en anglais : XFEM pour
eXtented Finite Element Method) [89]. Ces développements reposent actuellement
essentiellement sur une approche bidimensionnelle pour caractériser une propagation de
fissure. Les effets tridimensionnels et transitoires présents ne peuvent être mis en avant. Ce
chapitre va s'articuler suivant différents aspects permettant de fournir un état de l'art des
avancées numériques réalisées ces dernières années et des méthodes optiques utilisées en
mécanique de la rupture élastique dynamique. Nous nous limiterons aux études en dynamique
couplant méthodes optiques et plaques présentant une propagation de fissure. Puis, nous
développerons les moyens techniques mis en œuvre pour obtenir des champs expérimentaux
3.2 Etude de l'art en mécanique de la rupture dynamique.
- 120 -
proches de la pointe de fissure lors de sa propagation. Les résultats des essais expérimentaux
seront présentés pour différentes vitesses de propagation et une formulation basée sur trois
constantes sera développée. Une analyse des résultats en fonction de la vitesse de propagation
(V) et du chargement appliqué () sera entreprise permettant d'évaluer l'évolution de la zone
tridimensionnelle. Une étude de sensibilité de la formulation empirique des déplacements
hors-plan sera réalisée permettant de valider les hypothèses expérimentales imposées pour
obtenir les champs de déplacements hors-plan expérimentaux. Enfin, une analyse post-
mortem de la surface créée lors de la propagation de fissure sera faite pour corréler les
résultats obtenus à partir des champs cinématiques à ceux fournis par cette topographie.
3.2 Etude de l'art en mécanique de la rupture dynamique.
Dans ce paragraphe, nous relatons les travaux permettant d'étudier les phénomènes
dynamiques lors de propagation de fissure. Pour ce travail, nous limiterons notre présentation
aux études de propagation de fissure sur différents matériaux utilisant des méthodes optiques
ou des simulations numériques. Nous ne ferons pas état des travaux s'intéressant aux
propagations de fissure sous sollicitations cycliques (fatigue). Les méthodes optiques déjà
présentées antérieurement, comme les caustiques, les méthodes interférentielles ou la
photoélasticimétrie ont été largement utilisées pour ce type d'investigation en dynamique. Les
simulations numériques en mécanique de la rupture dynamique sont assez récentes. Les
premières études permettent de propager des fissures, de définir des critères de propagation ou
de simuler la direction et la vitesse de la fissure. Une comparaison entre les directions de
propagation obtenues numériquement et expérimentalement a permis aux auteurs d'extraire
des grandeurs mécaniques des modèles numériques , comme la contrainte équivalente de
Von Mises.
3.2.1 Approches numériques.
Le couplage mécanique de la rupture dynamique et simulation numérique date de la fin des
années 1990. Les problèmes rencontrés sont difficiles à appréhender par des simulations de
fissures stationnaires car la géométrie évolue perpétuellement au cours du temps. Il faut
nécessairement vérifier les problèmes théoriques fondamentaux (vérification des équations de
conservation de l'énergie, de quantité de mouvement et de masse). Dans certains cas,
l'historique (problèmes transitoires, existences de phénomènes irréversibles …) est nécessaire
pour procéder à des opérations de projection des champs d'une discrétisation à l'autre.
Autrement dit lors de propagation de fissure de type fragile (i.e. avec une plasticité confinée
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 121 -
très proche de la pointe de fissure), les résultats de champs cinématiques sont différents pour
une fissure de longueur (a(t)) par rapport à une fissure stationnaire de même longueur, en
raison principalement des effets transitoires. C'est pour ces raisons que des développements
numériques ont été entrepris par la Méthode des Eléments Finis (MEF). Nous nous limiterons
à la méthode des éléments finis étendus (X-FEM) [89] [90], actuellement l'une des plus
utilisées. Il s'agit de l'extension de la MEF qui utilise la méthode de partition de l'unité des
fonctions de forme éléments finis dans le but d'enrichir l'approximation. Ainsi, les
discontinuités (fissure) ne sont pas maillées explicitement mais sont prises en compte grâce à
des fonctions d'interpolation étendues, ainsi le maillage n'a plus qu'à se conformer aux
surfaces physiques de discontinuités. Les développements entrepris dans ces différentes
approches concernent essentiellement un milieu essentiellement bidimensionnel donc
négligeant les effets tridimensionnels. Actuellement des comparaisons entre les mesures de
champ de déplacements plans et des champs numériques permettent de calculer les FIC au
cours d'un essai de fissuration. Les premiers travaux de X-FEM en 3D apparaissent depuis
peu [91], autorisent des comparaisons entre les données expérimentales et les simulations.
A notre connaissance, l'un des seuls logiciels commerciaux permettant de traiter du problème
de propagation de fissure en 3D en utilisant la X-FEM est le Code ASTER. Nous avons donc
entrepris de réaliser, par ce code, la modélisation d'une plaque élastique soumise à un
chargement extérieur pour simuler une propagation de fissure.
3.2.1.1 Propagation de fissure avec le logiciel Code ASTER.
Pour modéliser la propagation de fissure avec le logiciel commercial Code ASTER [92], il
faut d'abord modéliser la plaque entière avec le logiciel GMSH, puis réaliser le programme
sous EFICAS. Pour cela, nous définissons au préalable la fissure "virtuelle" avec la procédure
DEFI_FISS_XFEM. Puis nous modifions le modèle en introduisant des éléments finis
spécifiques pouvant être traversés par une fissure, grâce à la procédure
MODI_MODELE_XFEM. L'ensemble des procédures précédentes nécessite de calculer
l'évolution mécanique en utilisant la fonction STAT_NON_LINE. Celle-ci calcule l'évolution
mécanique d'une structure en considérant une situation non linéaire. La non-linéarité est liée
soit au comportement du matériau (par exemple : plastique), soit à la géométrie (par exemple :
grands déplacements). Dans le code de calcul, la procédure PROPA_XFEM permet de
propager une fissure à partir de la loi de Paris. Cette dernière a été développée pour une
rupture par fatigue. Au cours de la phase de propagation, la longueur de la fissure (a) croît au
cours du temps, donc à chaque cycle. La vitesse de propagation de la fissure (da/dN) (N étant
3.2 Etude de l'art en mécanique de la rupture dynamique.
- 122 -
2
221
22
2221
max
max
3/2o
1/2
max
max
3/2o
1/2
Id
βββ1
β1β4β.
δ
D
chλ3z
2π2
)V(f.δ
D
chλ3z
2π2)(K
t
tt
mIKC
dN
d
a
le nombre de cycles) est fonction d'une part, de l'amplitude de la sollicitation = max - min
qui est constante pendant l'essai et d'autre part, de la taille de fissure (a). Il en résulte une
augmentation de cette vitesse, au cours de l'essai, puisque la fissure a une taille croissante au
cours du temps. Paris et Erdogan [93] ont montré que cette vitesse est fonction de la variation
du FIC KI = (a)1/2 et l'expression suivante est communément appelée Loi de Paris.
(3.1)
Pour les polymères, la constante (m) est de l'ordre de 4 [94], tandis que (C) est une
caractéristique qui évolue avec la température. Si cette relation permet de présenter
simplement des résultats, elle ne précise pas l'influence des paramètres intrinsèques ou
extrinsèques sur la propagation. Elle ne décrit pas non plus le comportement de la fissure au
moment de la rupture ou au seuil de non propagation.
3.2.1.2 Conclusion.
La loi de Paris ne représente pas le problème expérimental exposé ultérieurement et la
procédure PROPA_XFEM est actuellement en cours de développement. Des problèmes de
convergences sont apparus en pointe de fissure ne permettant pas actuellement l'étude de
propagation de fissure en modélisation 3D.
3.2.2 Approches expérimentales.
3.2.2.1 Méthode des caustiques.
Les premiers travaux utilisant la méthode des caustiques en mécanique de la rupture
dynamique datent de 1978 [95]. Comme pour les fissures stationnaires, des auteurs [96] [97]
ont étudié les caustiques pour exprimer le facteur d'intensité des contraintes dynamiques lors
de propagation de fissure (3.2).
(3.2)
avec () le grandissement et (c) la constante de la contrainte optique [m².N-1].
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 123 -
Le terme f(V) est identique à l'expression (1.25) (§ 1.4.2.1, page 33) pour tenir compte du
caractère dynamique des essais. Le terme max est un paramètre à minimiser permettant de
s'approcher au mieux de la caustique expérimentale. L'expression (3.2) permet de déterminer
le facteur d'intensité des contraintes dynamique. Les données expérimentales du FIC sont
comparées aux résultats extraits de la théorie bidimensionnelle, modifiée pour tenir compte de
la vitesse de propagation de fissure (V) [98] [51]. Les auteurs concluent que KI(t) ne dépend
pas seulement de (V) mais aussi de l'accélération ( a ). Lorsque la fissure accélère, la valeur de
KI(t) est plus faible que lorsque la fissure décélère pour une même vitesse (V).
Une étude au sein de l'équipe photomécanique et Rhéologie de Poitiers a été réalisée par
Sohier [50] concernant l'étude des d-FIC et de la vitesse de propagation de la fissure à l'instant
de branchement sur différents matériaux fragiles et pour différentes vitesses de propagation
(V) allant jusqu'à V1550 m.s-1. Mais à ces vitesses, la caustique générée est floue donc
difficilement analysable.
3.2.2.2 La méthode CGS (Coherent Gradient Sensing).
La méthode CGS a été très largement utilisée pour des ruptures dynamiques et pour différents
matériaux, nous pouvons citer les travaux de Pandolfi et al sur l'acier [39], ceux de
Lambros et al sur les matériaux composites [38] ou sur les bi-matériaux [99], ou encore ceux
de Kitey et al sur les résines d'époxy avec inclusion d'un cylindre de verre [40]. Ces études
ont pu être réalisées avec des caméras ultra-rapides (2.105 à 2.106 im.s-1). Une étude a été
effectuée sur une plaque de PMMA par Tippur et al [100] et en analysant les courbes fournies
par les auteurs, nous constatons que la zone de décrochement, entre la théorie
bidimensionnelle et les données expérimentales, est proche de R = r/h 0,8. Les auteurs ont
ainsi mis en évidence le caractère transitoire créé lors de la propagation d'une fissure. Pour
plus de simplicité et pour ne pas faire de distinction entre les études faites en statique et en
dynamique, nous appelons la zone des écarts entre la solution bidimensionnelle et les données
expérimentales : zone tridimensionnelle ou zone 3D bien que des effets transitoires soient
aussi présents en dynamique. Nous remarquons que cette zone 3D évolue lors d'un essai avec
une propagation de fissure par rapport au cas statique (R 0,25 ou R 0,5 suivant les
auteurs).
3.2.2.3 Interférométrie de Michelson.
Ces travaux réalisés par Washabaugh et al [13] [37] ont été entrepris pour obtenir des mesures
de champ proche de la pointe de fissure en dynamique sur une éprouvette en PMMA. Ils ont
3.2 Etude de l'art en mécanique de la rupture dynamique.
- 124 -
mis en évidence que la surface libre de l'éprouvette pas parfaitement plane, entachait de façon
significative la mesure du relief. Pour prendre en compte cette réalité, les auteurs ont choisi de
soustraire le relief correspondant au premier interférogramme (relief initial) aux reliefs. Ces
reliefs nécessitent quelques précisions concernant leurs particularités.
3.2.2.3.1 Particularités du premier interférogramme.
Cet interférogramme doit seulement représenter la non-planéité de la surface de l'éprouvette et
non le comportement mécanique d'une plaque fissurée. En aucun cas, la fissure ne doit être
présente dans le champ optique. Le caractère dynamique de l'expérience ajouté à la présence
d'une zone 3D en amont nécessite qu'il soit enregistré quelques instants avant son passage.
3.2.2.3.2 Particularités des autres interférogrammes.
Concernant les autres interférogrammes, la présence de la fissure dans le champ optique est
obligatoire, ainsi le phénomène dynamique et la non-planéité de la plaque sont enregistrés. Si
le système d'acquisition des images utilise plusieurs caméras, comme la caméra rapide de type
Cranz-Schardin (plusieurs systèmes d'acquisitions indépendants les uns des autres)
(figure 3.1), une zone commune avec le premier interférogramme est indispensable pour
pouvoir soustraire la non-planéité de la plaque et ainsi obtenir la variation de relief engendrée
par le passage de la fissure.
figure 3.1 : La caméra Cranz-Schardin du L.M.S de Poitiers.
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 125 -
3.2.2.4 Moiré interférométrique.
Le moiré interférométrique permet d'avoir accès à un seul déplacement lors d'un essai.
Arakawa et al [35] ont réalisé deux essais pour obtenir les champs de déplacements (ux et uy)
dans une zone entourant la pointe de fissure sur un alliage d'aluminium et sur un polymère. A
partir des résultats de champs de déplacements, les auteurs ont pu calculer les d-FIC en
fonction du contour d'intégration de l'intégrale J.
3.2.2.5 Corrélation d'images numériques.
Cette méthode ne nécessite la prise que de deux images correspondant à un état non chargé et
chargé. Son utilisation lors de phénomène dynamique est envisageable. En analysant les
résultats publiés par Kirugulige et al [58] couplant cette technique et l'étude de fissuration
dynamique, les auteurs ont pu extraire les facteurs d'intensité des contraintes à partir des
champs de déplacements suivant la direction de chargement (mode I). Les auteurs, comme
Zhou et al [101], font mention d'une vitesse de propagation de la fissure constante au cours du
temps.
3.2.3 Conclusion.
Pour étudier et comparer les phénomènes tridimensionnels et transitoires présents lors de
propagation de fissure dans la zone singulière, les travaux précédents ont montré la nécessité
de corriger les expressions théoriques 2D statiques pour tenir compte des phénomènes
dynamiques. De plus, le caractère transitoire a été présenté et a permis de montrer que la zone
de décrochement entre les données expérimentales et la théorie bidimensionnelle était plus
grande (R 0,8) que pour des essais statiques. Les mesures de déplacement hors-plan ont mis
en évidence que la non-planéité de la surface libre était perturbante pour ces mesures
nécessitant de soustraire le relief du 1er interférogramme aux autres reliefs.
3.3 Méthode optique choisie pour l'étude lors de propagation de fissure.
Ce choix est conforté par la théorie bidimensionnelle qui fait état d'un champ de déplacement
hors-plan asymptotique (équation (1.19)) en pointe de fissure. Les écarts entre les données
expérimentales et l'expression théorique seront plus facilement visualisables et analysables.
Ces écarts représentent directement les effets tridimensionnels entourant la pointe de fissure
couplés à des effets transitoires liés à la vitesse de propagation de la fissure (V). La
propagation de la fissure (V) impose de mettre en œuvre une technique d'extraction de phase à
partir d'une seule image car le caractère dynamique empêche les techniques quasi-hétérodynes
3.3 Méthode optique choisie pour l'étude lors de propagation de fissure.
- 126 -
yxyxyxyx ,B,cos.,A,I
,B,cos.,A,f
d'être utilisées puisqu'elles nécessitent la prise de trois images au minimum du même instant
(t). Au sein du laboratoire, l'extraction de phase à partir d'une seule image de franges est
possible depuis les travaux menés par Eric Robin [25]. Cette technique, (MPC pour
Modulated Phase Correlation) [26] dont le premier principe était de corréler des franges
simulées et des franges réelles, sera présentée dans le paragraphe suivant. La MPC a été
depuis étendue à l'étude de grilles réelles. C'est cette technique et son extension qui ont
précédemment été utilisées dans ce mémoire pour l'exploitation des mesures par grilles en
statique. L'interférométrie de Michelson est la méthode optique qui permet de réaliser des
mesures de relief à partir de franges. Pour enregistrer plusieurs images lors d'une propagation,
un matériel spécifique a été développé [102], avec la même architecture que celle de la Cranz-
Schardin, et permet des acquisitions d'images avec une fréquence élevée et un temps
d'intégration faible.
3.3.1 La méthode MPC ("Modulated Phase Correlation").
Cette méthode a été développée pour l'étude de réseaux de franges expérimentaux. Le
principe de cette méthode consiste à minimiser une fonction "coût". Cette dernière est
composée d'un modèle nous permettant d'approcher le réseau de franges. En photomécanique,
une image de franges est généralement représentée par l'expression mathématique suivante :
(3.3)
où I(x,y), A(x,y), B(x,y) et (x,y) désignent respectivement au point de coordonnée (x,y), la
valeur de l'intensité lumineuse du pixel en niveau de gris, l'amplitude de modulation, le fond
continu et la fonction de phase.
Les fonctions A(x,y), B(x,y) et (x,y) sont difficilement exprimables de façon analytique à
partir de réseaux de franges expérimentales, c'est pour cela que l'étude est réalisée sur une
fenêtre d'étude. Une fonction de voisinage noté f(,) est alors utilisée :
(3.4)
L'expression (3.3) devient donc la fonction (3.4) des variables et définies dans un repère
de la fenêtre et ayant comme origine son centre (le point (x,y)).
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 127 -
B,cos.A,f
Øαsin-yαcos-xp
2,
flx
flx
fhy
fhy
2,f-,I,,,,C pBA
6,5
mm
l
l
y
Zone d'étude
x
figure 3.2 : Définition de la zone d'étude pour une image de franges.
La fenêtre d'étude "scanne" l'ensemble du réseau de franges réelles dans le but de traiter
entièrement l'image expérimentale. Des hypothèses sont faites sur la fenêtre d'étude, à savoir
les fonctions A(,), B(,) constantes et le réseau de franges composé de franges parallèles et
orientables. Finalement le modèle mathématique de la MPC pour des franges parallèles
s'exprime par la relation suivante :
(3.5)
avec :
(3.6)
où (p) est le pas du réseau de franges, Ø le déphasage entre le motif et le point de coordonnée
(x,y) et l'inclinaison des franges.
La détermination des paramètres A, B, p, et consiste à minimiser la fonction de
corrélation C utilisée pour des images numérisées.
(3.7)
où lf et hf représentent respectivement la largeur et la hauteur de la fenêtre d'étude.
3.3 Méthode optique choisie pour l'étude lors de propagation de fissure.
- 128 -
Le processus de démodulation se divise en deux parties : tout d'abord la recherche des
différentes variables (A, B, p, , ) minimisant au mieux la fonction de corrélation et ensuite
la seconde étape consiste à obtenir le champ de phase correctement orienté.
3.3.2 Caméra ultra-rapide.
C'est un matériel spécifique, financé par le XII Contrat Plan Etat Région (CPER), entièrement
développé et réalisé au sein du Laboratoire de Mécanique des Solides par Valéry Valle [102].
Comme le montre la figure suivante, cette caméra est basée sur l'architecture d'une caméra
Cranz-Schardin (autant d'objectifs que de prise de vue), c'est-à-dire six rangées de quatre
caméras chacune. Actuellement 12 images sont utilisées. Cette caméra ne nécessite pas d'arc
électrique à haute tension (15 kV) pour générer une source lumineuse de forte puissance lors
de l'acquisition des images.
Caractéristiques
Fréquence d'acquisition 1.106 im.s-1
Temps d'exposition (t) 150 ns
a) b)
figure 3.3 : a) Prototype de la caméra. b) Caractéristiques de la caméra.
Le principe de fonctionnement (figure 3.4) de ce prototype de caméra se caractérise par 12
caméras dites "indépendantes", plus 12 intensifieurs de lumière et objectifs placés en amont
permettant de visualiser une zone commune d'étendue suffisante. Le déclenchement des 12
caméras se fait successivement, dans nos études, avec un intervalle constant (t). Lors de
l'acquisition des images, une synchronisation est nécessaire entre les intensifieurs et les
caméras, permettant ainsi d'augmenter le niveau de gris de l'image lors de l'enregistrement.
Chaque caméra est constituée d'un capteur CCD de 640 x 480 pixels² et lors d'un essai,
chacune enregistre une image. Les caractéristiques sont rappelées dans la figure 3.3b. Le
temps d'exposition minimal d'une caméra est de 150 ns du fait de la présence d'intensifieurs.
Un compromis est nécessaire entre temps d'exposition et intensité lumineuse en niveaux de
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 129 -
gris (contraste de l'image). Plus on diminue le temps d'exposition de la caméra, plus
l'amplitude des niveaux de gris est faible.
PC
OSCILLOSCOPE
A B Voie:
GENERATEUR Basse Fréquence
MAIN OUT EXT TRIGGER
SYNCHRO INTENSIFIEUR
OUT IN
TRIGGER CAMERA
Alim 4,5V
EprouvetteSEN
CAMERA
CCD Ultra rapide
Photomultiplicateur (PM)
figure 3.4 : Principe de fonctionnement des caméras et des intensifieurs.
La principale difficulté d'utilisation de cette caméra ultra-rapide est la synchronisation du
déclenchement des caméras et des intensifieurs pour des vitesses d'acquisition aussi
importantes et des temps d'exposition aussi faibles. De plus la vitesse de propagation de la
fissure du matériau étudié peut atteindre 700 m.s-1, ce qui rend l'acquisition des images assez
difficile. Pour synchroniser le début de l'acquisition de la caméra et le passage de la fissure
dans le champ optique, un dépôt de peinture d'argent est réalisé sur la surface libre de
l'éprouvette. Lors d'un essai, la fissure rompt le dépôt entraînant le déclenchement et la
synchronisation des caméras et des intensifieurs.
3.4 Obtention des déplacements hors-plan en dynamique.
L'utilisation d'un interféromètre de Michelson ne permet pas d'obtenir directement le
déplacement hors-plan, mais un relief relatif. Humbert, lors de ses travaux en statique [1],
considérait que les données expérimentales étaient égales à la théorie bidimensionnelle
lorsque 0,5 < R < 0,8, puis cela a été validé par la modélisation numérique. Mais, l'étendue de
3.4 Obtention des déplacements hors-plan en dynamique.
- 130 -
2sinα
λ.
2π
,,,,u exp
tyxtyx
tyxftyxtyx ,,,,u,,U expz
tyxgyxtyxf oyx u,.p.p,,
cette zone n'a jamais été vérifiée en dynamique. Nous avons donc choisi de formaliser
l'obtention du déplacement hors-plan absolu à partir de la connaissance des reliefs relatifs.
Nous présenterons alors les moyens expérimentaux mis en œuvre pour obtenir un champ de
déplacement hors-plan absolu lors d'une propagation de fissure.
3.4.1 Approche théorique.
L'utilisation de la MPC sur des interférogrammes permet d'obtenir des cartographies de phase
(x,y,t). A partir de la relation optico-géométrique, nous pouvons avoir accès au relief relatif
uexp(x,y,t) en tout point (x,y) de l'image.
(3.8)
où est la longueur d'onde (=514,5 nm) et l'angle d'incidence du faisceau lumineux sur la
surface étudiée (= /2).
Ce relief appelé aussi "relief relatif" ne correspond pas au déplacement hors-plan absolu car la
surface de la plaque étudiée n'est pas parfaitement plane [13] et nous n'avons pas
connaissance de la phase à l'origine de la plaque. Pour connaître la phase à l'origine c'est-à-
dire pour passer d'un système de coordonnées relatives à un système de coordonnées absolues,
il faut connaître la position et l'orientation du miroir de référence.
Le changement de système de coordonnées est obtenu en utilisant la relation mathématique
suivante :
(3.9)
où Uz(x,y,t) est le déplacement hors-plan absolu, uexp(x,y,t) le relief relatif et f(x,y,t) une
fonction de forme qui peut être développée par :
(3.10)
Le terme (px.x+py.y) correspond à l'orientation du miroir de référence, considéré comme plan.
g(x,y) est une fonction de forme quelconque liée à la non-planéité de la surface libre de
l'éprouvette étudiée sans présence de fissure.
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 131 -
tyxhtyx
tyxgyxtyxtyx
oexp
oyxexpz
u,,,u
u,.p.p,,u,,U
0uet0,,U oooz ttyx
0,,,u
0u,,,u,,U
oexp
ooexpoz
yxhtyx
tyxhtyxtyx
tyxhtyxtyx oexpz u,,,u,,U
uo(t) est le déplacement hors-plan absolu en un point de l'image permettant de recaler le relief
relatif uexp(x,y,t). Finalement en substituant l'équation (3.9) dans (3.10), nous obtenons la
relation suivante caractérisant le déplacement hors-plan absolu Uz(x,y,t) :
(3.11)
où h(x,y) est une fonction de forme indépendante du temps (t) et regroupant les variations de
relief de la surface de l'éprouvette et l'orientation du miroir de référence.
Pour prendre en compte la non-planéité de la surface, nous avons vu précédemment
(§ 3.2.2.3) qu'il fallait soustraire le déplacement hors-plan absolu initial Uz(x,y,to).
Considérons maintenant uexp(x,y,to) le relief relatif correspondant au relief du 1er
interférogramme (i.e. le relief lorsque la fissure n'est pas encore présente dans le champ de la
caméra) et uexp(x,y,t) le relief relatif quand la fissure est maintenant présente. A t = to, nous
imposons deux conditions correspondant à un déplacement hors plan Uz(x,y,to) = 0 et un
déplacement hors-plan absolu en un point uo(to)=0, ainsi nous pouvons écrire :
(3.12)
A t = to, le déplacement hors-plan absolu Uz(x,y,to) s'écrit alors :
(3.13)
Lors du passage de la fissure dans le chemin optique à l'instant (t), le champ de déplacement
hors-plan absolu s'écrit sous la forme suivante :
(3.14)
En substituant (3.13) dans l'équation (3.14), le champ de déplacement hors-plan absolu
Uz(x,y,t) (3.15), durant une propagation de fissure, consiste à une constante uo près, à
soustraire du relief relatif uexp(x,y,t) à l'instant t le relief relatif initial uexp(x,y,to).
3.4 Obtention des déplacements hors-plan en dynamique.
- 132 -
ttyxtyxtyx ooexpexpz u,,u,,u,,U
2
n)(uo
tt
(3.15)
3.4.2 Moyens expérimentaux.
Pour obtenir le déplacement hors-plan absolu dans une zone entourant la pointe de fissure,
nous utiliserons un interféromètre de Michelson avec la méthode MPC, ainsi nous obtenons
les reliefs relatifs uexp(x,y,t). Pour la détermination du déplacement hors-plan absolu uo(t) en
un point, nous choisissons de placer un photomultiplicateur (PM) dans le chemin optique
[103] (figure 3.6 et figure 3.7). Ce type de matériel capte la variation d'intensité lumineuse
induite par les interférences lors de la propagation de fissure. En synchronisant l'acquisition
du photomultiplicateur et le déclenchement successif des caméras, nous pouvons extraire le
déplacement hors-plan absolu uo(t) en un point. En comptant le nombre de franges n(t), nous
calculons par l'emploi de la relation 2.14 le relief absolu uo(t).
(3.16)
Cette relation est identique à l'expression (3.8) car l'angle incidence , entre le faisceau
lumineux et le photomultiplicateur, est égal à 90°. Pour une évolution de 2 de phase (),
correspondant à un passage d'une frange devant le photomultiplicateur, le déplacement hors-
plan est égal à la longueur d'onde ().
Pour accéder au nombre de franges, nous visualisons le signal du photomultiplicateur sur un
oscilloscope (figure 3.5) puis nous comptons manuellement le nombre de franges n(t) pour
chaque déclenchement des caméras. Nous considérons qu'à chaque pic du signal une frange
passe devant le photomultiplicateur.
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 133 -
Pic correspondant aux déclenchements des
caméras
Signal enregistré par le photomultiplicateur
t [ms]
Inte
nsit
é lu
min
euse
figure 3.5 : signaux du photomultiplicateur et du déclenchement des caméras.
En analysant le signal du photomultiplicateur, nous remarquons qu'entre les temps de
déclenchement des caméras 3 et 8 la densité du signal est très importante traduisant une
grande densité des franges et le comptage des franges peut s'avérer difficile. Ainsi, l'erreur
commise sur la valeur uo(t) peut-être de 1 frange.
Le nombre de franges, entre les temps 0 et 2, est de 3 franges correspondant à un déplacement
hors-plan uo(t) de 0,772 mm (pour =514,5 nm).
Au bilan, pour obtenir le champ de déplacement hors-plan absolu Uz(x,y,t), nous avons besoin
de l'expression (3.15), de deux champs de déplacement à deux instants différents et du
déplacement hors-plan absolu uo(t) en un point de l'image. Expérimentalement avec un
interféromètre de Michelson, une caméra ultra-rapide et un photomultiplicateur, nous pouvons
obtenir expérimentalement le déplacement hors-plan absolu Uz(x,y,t) pour chaque instant (t).
Un tableau suivant synthétise les besoins et les moyens mis en œuvre pour obtenir un champ
de déplacements hors-plan lors de la propagation de fissure.
Moyens expérimentaux Moyens numériques Relations mathématiques
uexp(x,y,t) Interféromètre de Michelson
+ Caméra CCD ultra-rapide
MPC
2sinα
λ.
2π
,, tyx
uexp(x,y,to) Interféromètre de Michelson
+ Caméra CCD ultra-rapide
MPC
2sinα
λ.
2π
o,, tyx
uo(t) Photomultiplicateur 2
n
t
tableau 3.1: Tableau récapitulatif des besoins et des moyens pour le déplacement hors-plan.
3.4 Obtention des déplacements hors-plan en dynamique.
- 134 -
Une étude comparative de cette expression (3.15) avec la théorie bidimensionnelle permet de
définir les écarts et de visualiser l'étendue de la zone 3D en fonction de la vitesse V et du
chargement . Les données expérimentales nécessaires au calcul des champs expérimentaux
des déplacements hors-plan nécessitent un montage expérimental approprié donc nous allons
présenter les différents organes et leur implantation.
3.5 Etude expérimentale des champs de déplacement hors-plan lors de
propagation de fissure.
3.5.1 Montage expérimental.
Pour mettre en œuvre des essais de fissuration en dynamique, le montage expérimental s'avère
lourd en moyens (matériels) et une photographie du montage peut paraître d'une lecture
complexe. Sur la figure 3.6, nous présentons le montage expérimental.
Laser 5W
Caméra CCD ultra-rapide
Plaque SEN
Photomultiplicateur
Chargement
figure 3.6 : Montage expérimental pour l'étude en dynamique.
Pour mieux visualiser l'implantation des différents organes sur le montage expérimental, une
modélisation sous SolidWorks a faite (figure 3.7). Tous les organes utilisés y figurent à
savoir : le photomultiplicateur, l'interféromètre de Michelson, le laser, ainsi que tous les autres
composants et leurs dispositions sur le montage.
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 135 -
figure 3.7: Schématisation numérique du montage expérimental.
Pour réaliser un essai de fissuration en dynamique, nous utilisons le dispositif suivant.
L'éprouvette est sollicitée en mode I par le biais de deux vérins hydrauliques actionnés par
une pompe. Une énergie de déformation (W) est générée au sein de la plaque étudiée. Pour
initier la propagation, une énergie supplémentaire (Wa) est apportée par l'impact d'une lame
de cutter en contact avec une pré-fissure d'une longueur de 1 mm, préalablement réalisée dans
l'épaisseur de l'éprouvette. L'ajout de l'énergie (Wa) à l'énergie de déformation (W) est
suffisant pour initier et propager la fissure. Pour un meilleur contraste des franges, la plaque
est recouverte d'une fine couche d'aluminium d'une épaisseur de 50 nm. La réalisation de
mesures de champ de déplacements en dynamique lors de propagation de fissure s'avère
énormément complexe, nécessitant la mise au point et l'optimisation de chacun des éléments
constitutifs de la chaîne expérimentale. Ce travail préalable conduit à réaliser un grand
nombre d'essais permettant de rendre beaucoup plus fiable le processus expérimental
développé. Nous indiquons l'évolution de certains éléments constituant le montage
expérimental ayant contribué à diminuer le nombre d'échecs au cours des tests.
3.5.2 Les différents problèmes rencontrés.
Les différents problèmes, pour obtenir des images analysables par MPC et représentatives du
phénomène physique de propagation, sont de nature diverses mais sont parfois dépendants les
uns des autres.
Le premier problème rencontré est un manque de puissance lumineuse. Nous avons
utilisé un laser Argon de puissance 1W insuffisante pour obtenir des images
exploitables (contraste) par la MPC. Donc pour obtenir plus de contraste, nous avons
augmenté le temps d'intégration de la caméra, mais lors du temps de pose, la fissure se
3.5 Etude expérimentale des champs de déplacement hors-plan lors de propagation de fissure.
- 136 -
propage. Deux phénomènes apparaissent et se concentrent autour de la fissure : une
zone floue et un dédoublement des franges. Si la MPC est utilisée sur ce type d'image
(figure 3.8), la phase ne peut pas être extraite dans la zone floue, car les franges sont
insuffisamment définies et à l'endroit du "dédoublement de franges", une phase est
obtenue qui n'est pas représentative du relief relatif en pointe de fissure car résultant
d'un temps d'intégration trop important.
0
5
10
15
20
25
30
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300
Dédoublement des franges
Inte
nsit
é lu
min
euse
pixels
Ligne de mesure
figure 3.8 : Présence de dédoublement de franges sur l'interférogramme pour V = 540 m.s-1.
Solution : Nous avons changé le laser pour un laser de 5W continu, permettant ainsi de
diminuer le temps d'intégration de la caméra et ainsi d'obtenir les images suivantes
(figure 3.9). La zone entourant la pointe de fissure n'est plus floue pour des faibles vitesses,
l'étendue des niveaux de gris est plus importante et il n'y a plus de dédoublement de franges.
Une zone floue subsiste toutefois dans une faible zone confinée à la pointe de fissure.
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 137 -
fissure
pointe
a) b)
figure 3.9 : a) Interférogramme pour une vitesse de propagation de 220 m.s-1.
b) Interférogramme pour une vitesse de propagation de 480 m.s-1.
Le second problème est aussi dû à l'utilisation du laser Argon 1W. Pour optimiser le
contraste des images, le champ optique analysé à la surface de l'éprouvette était de
20 x 20 mm². Lors d'un chargement en mode I, la propagation de fissure est
théoriquement perpendiculaire au chargement mais expérimentalement cela n'est pas
toujours vérifié, ayant pour conséquence une fissure déviée et ne passant sur le chemin
optique. Les images enregistrées sont alors inexploitables. L'écart maximum admissible
ne doit pas dépasser 5 mm pour rendre possible l'exploitation de l'image recueillie.
L'augmentation du champ d'étude nécessite le recours à une source lumineuse plus
puissante, l'emploi d'un laser 5W continu ayant ainsi permis de diminuer le nombre
d'échecs.
Le troisième problème est de corréler l'acquisition des images et le passage de la
fissure. Pour cela, le déclenchement des caméras était réalisé par un "interrupteur"
élaboré avec de la laque argentée sur la face opposée au dépôt d'aluminium.
L'acquisition des images intervient lorsqu'il y a rupture de "l'interrupteur" générant un
front descendant sur la tension électrique (figure 3.4).
3.5 Etude expérimentale des champs de déplacement hors-plan lors de propagation de fissure.
- 138 -
interrupteur
fissure
Alimentation électrique
30 mm
figure 3.10 : Interrupteur en argent peint à la surface de la plaque.
Pour un souci de répétabilité des essais et pour visualiser la même zone de la plaque, le début
du déclenchement des caméras a toujours lieu pour une longueur de fissure identique
(a = 30 mm). Cette longueur est choisie arbitrairement. Néanmoins dans cette zone, la vitesse
de propagation de la fissure est considérée comme constante.
Le quatrième problème concerne l'emplacement du photomultiplicateur sur le chemin
optique, car son encombrement ne permet pas de le placer dans le chemin optique sans
qu'une partie des franges ne soit cachée et donc inexploitable.
Détecteur intensité lumineuse
figure 3.11 : Le photomultiplicateur.
Solution : Nous avons choisi de placer un petit miroir à 45 degrés qui renvoie le faisceau
d'interférence sur le photomultiplicateur placé perpendiculairement au chemin lumineux
(figure 3.7). Cette configuration provoque l'apparition d'une zone sombre, correspondant au
petit miroir, sur les interférogrammes (figure 3.12). Après analyse du signal enregistré par le
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 139 -
photomultiplicateur, nous avons accès au déplacement hors-plan absolu uo(t), en ce point de
l'image.
Petit miroir
figure 3.12 : Visualisation du petit miroir sur un interférogramme.
Le dernier problème expérimental, survenu sur l'étude du comportement mécanique en
pointe de fissure lors de sa propagation est le système de déclenchement de la fissure.
Nous nous sommes aperçus que pour un chargement extérieur () de faible amplitude,
nous étions dans l'incapacité d'initier et de propager la fissure, car l'énergie apportée Wa
était insuffisante au moyen du système initial de sollicitation par ressort (figure 3.13a).
Solution : Pour y remédier, nous avons préféré l'emploi d'un canon à air comprimé propulsant
un cylindre de laiton qui vient impacter une lame de cutter en contact avec la pré-fissure
(figure 3.13b).
a
b
figure 3.13 : a) système de déclenchement à ressort, b) système de déclenchement à air
comprimé.
3.5 Etude expérimentale des champs de déplacement hors-plan lors de propagation de fissure.
- 140 -
Cette partie a permis de présenter les principales difficultés survenues au cours des essais de
propagations de fissure et les différentes solutions permettant d'y remédier. Les solutions
apportées permettent de s'affranchie, partiellement voire complètement, des problèmes
initialement rencontrés. La répétabilité des essais ainsi obtenue autorise donc la multiplication
des tests en vue d'accéder aux déplacements hors-plan en cours de propagation.
3.5.3 Résultats expérimentaux.
Le but est d'étudier le déplacement hors-plan, dans une zone proche et entourant une fissure
pour différentes vitesses de propagation (V). Pour déterminer la vitesse moyenne (V), nous
analysons le déplacement de la pointe de fissure entre deux interférogrammes et pour chaque
chargement () (figure 3.14). Nous présentons cinq essais pour différentes vitesses (200 m.s-1
à 690 m.s-1), correspondant à des chargements différents réalisés sur des éprouvettes en
PMMA, sollicitées en mode I, ainsi qu'un essai pour une fissure stationnaire sur une même
éprouvette.
figure 3.14 : Vitesse de propagation de fissure V en fonction du chargement .
Les dimensions géométriques et les caractéristiques mécaniques des plaques sont : une
longueur L = 290 0,4mm, une largeur W = 190 0,4mm, une épaisseur h = 6 0,2 mm, un
module d'Young E = 3000 25 MPa et un coefficient de Poisson = 0,35 0.04.
Expérimentalement, la vitesse (V) tend vers une limite, la vitesse de Rayleigh du matériau
(Vmax 700 m.s-1). Sachant que la vitesse est liée au chargement, si nous appliquons un
chargement > max, la vitesse de propagation ne croît plus et il y a alors branchement du
matériau. Dans les travaux suivants, nous appliquerons toujours un chargement < max et les
phénomènes de branchement ne seront pas étudiés dans ce mémoire.
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 141 -
3.5.3.1 Champ de déplacements hors-plan relatif.
Le tableau suivant récapitule les valeurs des données expérimentales : le chargement constant
appliqué (), la vitesse de propagation, (V) les fréquences d'acquisition (f) et le temps
d'exposition (t) de la caméra ultra-rapide, pour chacun des essais.
Essai [MPa] V [m.s-1] f [kHz] t [ns]
0 0,750 0 / /
1 1,570 220 100 200
2 3,140 430 100 200
3 3,925 480 100 200
4 5,495 540 250 320
5 7,851 690 125 320
tableau 3.2: tableau récapitulatif des données expérimentales des 5 essais.
Nous présentons ici deux successions d'interférogrammes relatifs à deux états de chargement.
a)
b)
Zones blanches = Zones non calculées
R=r/h=1
R=r/h=1
Fissure
t=0 s t=80 s t=90 s t=100 s
t=100 s t=90 s t=80 s t=0 s
xy
r
x
y
r
x
y
r
figure 3.15 : a) Interférogrammes enregistrés par la caméra ultra-rapide pour V=220 m.s-1.
b) Champs de phase (x,y,t) correspondant aux différents interférogrammes.
3.5 Etude expérimentale des champs de déplacement hors-plan lors de propagation de fissure.
- 142 -
t=0 s t=60 s t=70 s t=90 s t= 80 s a)
b)
t=0 s t=60 s t=70 s t= 80 s t=90 s
Zones blanches =Zones non calculées
FissureR=r/h=1
x
y
r x
y
r x
y
r
x
y
r
figure 3.16 : a) Interférogrammes enregistrés par la caméra ultra-rapide pour V=480 m.s-1.
b) Champs de phase (x,y,t) correspondant aux différents interférogrammes.
Sur ces deux figures, le premier interférogramme (t = 0 s) correspond à la non planéité de la
plaque, c'est-à-dire au relief relatif uexp (x,y,to). Les autres cartographies correspondent aux
reliefs relatifs uexp (x,y,t) avec présence de la fissure au cours de l'événement dynamique. Les
cartographies de phases sont obtenues par la méthode MPC pour chacun des
interférogrammes. Les zones blanches (figure 3.15b et figure 3.16b) correspondent aux zones
non démodulées par la MPC. Cela peut s'expliquer soit par un contraste des franges
insuffisant, soit par une densité de franges trop importante. Toutefois nous obtenons plus de
150 000 points de mesures par image. A partir des cartographies de phases (figure 3.15b et
figure 3.16b) et la relation (3.8), nous pouvons calculer le déplacement hors-plan absolu
Uz(x,y,t) en tout point. Nous extrayons sur la figure 3.17 et sur la figure 3.18 les déplacements
absolus Uz(x,y,t) pour les deux vitesses (V=220 et V=480 m.s-1) aux instants t= 90 et 60 s et
pour les angles =0, 45, 90, 135° pour visualiser la forme et la valeur du déplacement
absolu uo(t).
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 143 -
figure 3.17 : Profils du déplacement hors-plan absolu Uz(x,y) pour t=90 s et V=220 m.s-1.
figure 3.18 : Profils du déplacement hors-plan absolu Uz(x,y) pour t=60 s et V=480 m.s-1.
Nous observons que Uz(x,y,t) est borné en pointe de fissure. En aucun cas, un champ
asymptotique n'est présent en pointe de fissure comme le prédit la théorie bidimensionnelle.
Maintenant que nous pouvons extraire des déplacements hors-plan absolus dans une zone
entourant la pointe de fissure, nous allons comparer ces données expérimentales à la théorie
bidimensionnelle, modifiée pour tenir compte du caractère dynamique des essais.
3.5.3.2 Comparaison des données expérimentales à la théorie bidimensionnelle.
Connaissant les longueurs de fissures (a), le chargement appliqué (F), la vitesse de
propagation (V) et les dimensions géométriques (h, W) correspondant à chaque
interférogramme et en utilisant la relation (1.19), nous sommes en mesure d'exprimer un relief
théorique uz-2D(R,,t) en coordonnées cylindriques centrées en pointe de fissure. En comparant
les résultats expérimentaux et les déplacements théoriques pour chacun des essais, nous nous
3.5 Etude expérimentale des champs de déplacement hors-plan lors de propagation de fissure.
- 144 -
sommes aperçus que nous avons deux comportements différents en fonction de la vitesse de
propagation (V), un comportement où les écarts entre les résultats sont confinés en pointe et
un comportement où la zone des écarts est plus étendue. Nous illustrons nos propos par un
exemple pour chaque cas, toutefois, les autres essais seront présentés en annexe.
3.5.3.2.1 Décrochement confiné en pointe de fissure.
Les résultats suivant montrent les déplacements hors-plan absolus expérimentaux et la
solution théorique bidimensionnelle U2D(R,,t) correspondant à chaque interférogramme pour
les différents instants t (t = 80, 90, 100 s) et pour une vitesse de propagation V = 220 m.s-1.
Pour une meilleure visualisation des déplacements hors-plan, nous avons extrait les données
suivant des angles prédéfinis ( = 0°, 45°, 90° et 135 °).
figure 3.19 : Profils des déplacements hors-plan expérimentaux et théoriques pour l'essai 1
(V = 220 m.s-1).
Nous constatons que l'évolution des déplacements est faible entre deux instants (t). L'écart,
entre la théorie bidimensionnelle et les données expérimentales, est confiné en pointe de
fissure (R = 0,5). Lorsque R > 0,5, la théorie bidimensionnelle corrigée tenant compte du
phénomène dynamique est adaptée pour caractériser le champ de déplacement hors-plan en
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.0100.012
0.014
0.016
0.018
0.020
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Uz_exp(0°)Uz_2D(0°)
R=r/h
[mm]
= 0°
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.0100.012
0.014
0.016
0.018
0.020
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Uz_exp(45°)Uz_exp(-45°)Uz_2D(45°)
[mm]
R=r/h
= 45°
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
0.016
0.018
0.020
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Uz_exp(90°)Uz_exp(-90°)Uz_2D(90°)UoU
[mm]
R=r/h
= 90°
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
0.016
0.018
0.020
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Uz_exp(135°)Uz_exp(-135°)Uz_2D(135°)Uo
[mm]
R=r/h
= 135°
t croissant
t croissant t croissant
t croissant
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 145 -
pointe de fissure. Lorsque nous sommes à l'arrière de la fissure ( = 135°), nous observons
un mouvement hors-plan relatif à un déplacement des lèvres de la fissure caractéristique d'un
léger mode III. A partir de cette analyse, nous constatons que pour de faibles vitesses de
propagation V, la zone de décrochement entre la théorie bidimensionnelle et les données
expérimentales est confinée en pointe de fissure.
3.5.3.2.2 Décrochement loin de la pointe de fissure.
Les résultats suivant montrent les déplacements hors-plan absolus expérimentaux et la
solution théorique bidimensionnelle U2D(R,,t) correspondant à chaque interférogramme
(t = 60, 70, 80, 90 s, pour une vitesse constante V = 480 m s-1.
figure 3.20 : Profils des déplacements hors-plan expérimentaux et théoriques pour l'essai 3
(V = 480 m.s-1).
L'écart, entre la théorie bidimensionnelle et les données expérimentales, n'est plus confiné en
pointe de fissure (R>0,5) [104]. Lorsque R > 0,5, la théorie bidimensionnelle corrigée n'est
pas adaptée pour caractériser le champ de déplacement hors-plan en pointe de fissure, pour
V = 480 m.s-1. Cette zone de décrochement demeure dans un champ éloigné (R > 2).
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
0.016
0.018
0.020
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Uz_exp(0°)Uz_2D(0°)
[mm]
R=r/h
= 0°
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
0.016
0.018
0.020
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Uz_exp(45°)Uz_exp(-45°)Uz_2D(45°)
[mm]
R=r/h
= 45°
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
0.016
0.018
0.020
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Uz_exp(90°)Uz_exp(-90°)Uz_2D(90°)Uo
[mm]
R=r/h
= 90°
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
0.016
0.018
0.020
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Uz_exp(135°)Uz_exp(-135°)Uz_2D(135°)Uo
[mm]
R=r/h
= 135°t croissant
t croissant
t croissant
t croissant
3.5 Etude expérimentale des champs de déplacement hors-plan lors de propagation de fissure.
- 146 -
Grâce aux données expérimentales obtenues pour les différentes vitesses de propagation, une
étude des facteurs d'intensité des contraintes expérimentaux KId-2D est faite. Cette dernière
permet de définir une zone d'effets tridimensionnels. Elle est semblable aux travaux de
Rosakis et al [46] dont le but est d'extraire les FIC à partir des diamètres des caustiques. Nous
extrayons un champ de déplacement hors-plan pour chacune des vitesses de propagation et
nous calculons les d-FIC (KId) correspondants, notés dans le tableau suivant.
Essai [MPa] V [m.s-1] KId [MPamm]
0 0,750 0 22,11
1 1,570 220 30
2 3,140 430 57,89
3 3,925 480 71,18
4 5,495 540 72,88
5 7,851 690 105,96
tableau 3.3 : Tableau récapitulatif des vitesses V et des d-FIC associés.
3.5.3.3 Facteur d'intensité des contraintes obtenu à partir de la théorie
bidimensionnelle.
A partir de la relation théorique (1.19) et des données expérimentales, nous pouvons extraire
KI-2D (3.17).
(3.17)
Théoriquement pour obtenir des champs cinématiques, le FIC est considéré comme constant.
Nous choisissons d'extraire les d-FIC pour =0° (front de fissure). Les résultats obtenus pour
les différentes vitesses de propagation sont les suivants :
R
RR
2.
2cos
1.
hν
.E0,U0,K z
2DId
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 147 -
0
10
20
30
40
50
60
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
V=0 m/s
V=220 m/s
V=430 m/s
V=480 m/s
V=540 m/s
V=690 m/s
R=r/h
[MPamm]
figure 3.21 : Valeurs de KId-2D pour chacun des essais en fonction R et = 0°.
Nous constatons l'évolution des différents d-FIC en fonction de (R). Pour un essai comportant
une fissure stationnaire (V = 0 m.s-1), le décrochement, entre le FIC calculé empiriquement
(KI = 22,11 MPamm) et le KId-2D extrait, se situe proche de R = 0,25. Lorsque R > 0,25,
KId-2D est proche de la valeur imposée. Pour V = 220 m.s-1, le décrochement est proche de
R = 0,5. Au dessus de cette valeur, la valeur du KId-2D est proche de 30 MPamm.
Pour des vitesses de propagation supérieures, la zone de décrochement avec la théorie
bidimensionnelle augmente (R > 1) et n'est plus observable puisque la taille de la zone d'étude
n'est pas assez importante, donc la zone tridimensionnelle augmente de façon significative
avec la vitesse de propagation (V). La théorie bidimensionnelle ne peut être représentative du
déplacement hors-plan lors de propagation de fissure. Dans le but de définir la zone de
décrochement (zone 3D) entre la théorie et les données expérimentale, nous choisissons
d'utiliser une formulation 3D minimisée à partir des données expérimentales et permettant de
caractériser les déplacements hors-plan en pointe de fissure. Cette formulation est basée sur
les développements déjà entrepris pour des études en mécanique de la rupture élastique avec
une éprouvette présentant une fissure stationnaire. Cette formulation considère que loin de la
fissure, un champ théorique bidimensionnel est applicable.
3.5.4 Formulation tridimensionnelle du déplacement hors-plan.
3.5.4.1 Expression théorique.
Il existe différentes formulations pour représenter le champ de déplacement en pointe de
fissure [82]. La première, développée par Pfaff et al [32] (équation (2.4)), pour des matériaux
fragiles, fait intervenir six constantes à minimiser. La seconde utilisée par Humbert et al [33]
nécessite deux constantes et une fonction de (équation (2.3)). Dans un but d'optimiser le
3.5 Etude expérimentale des champs de déplacement hors-plan lors de propagation de fissure.
- 148 -
TermenouveauR
θθR
2
1.
2cos
E
hKν,U Id
3D
R
θR
R
RTermenouveau
2
1.
2cosce
c1
cec
E
hKν 3
1
12Id
nombre de paramètres, une nouvelle formulation a été développée, basée sur celle existante
d'Humbert. Cette expression fait intervenir seulement trois constantes à minimiser sur tout le
champ. La solution suivante permet de caractériser le champ de déplacements en pointe de
fissure pour des fissures stationnaires ou dynamiques. La vitesse de propagation (V) est prise
en compte par KId (1.24).
(3.18)
avec :
(3.19)
La première partie de l'expression (3.18) est la formulation bidimensionnelle à laquelle on lui
ajoute un terme (nouveau Terme). Pour mieux comprendre l'influence de chacun des termes
des expressions (3.18) (3.19), nous divisons ces expressions en trois termes.
R
Rterme
1
12
c1
cec1
,
R
θterme
2
1.
2cos2 ,
R
θRterme
2
1.
2cos
ce3 3 .
Le terme (terme2) correspond à la solution bidimensionnelle et devient prédominant par
rapport aux deux autres termes lorsque l'on s'éloigne de la pointe de fissure (figure 3.22). Le
terme (terme1) permet de borner le déplacement hors-plan en pointe de fissure et devient nul
lorsque R devient grand. Le terme (terme3) annule l'asymptote induite par la solution
bidimensionnelle en pointe de fissure et permet de relier les deux termes précédents pour
obtenir une expression du déplacement hors-plan continue et monotone. Pour mieux visualiser
le comportement de ces termes en fonction de R, nous traçons leur évolution en fonction de
(R, = 0°) (figure 3.22) pour c1, c2 et c3 respectivement égaux à 1,52, 0,41 et 0,64.
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 149 -
-0.4
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
R=r/h
RRθ
R
R
2
1ce12
cosc1
cec 3
1
12
terme 3terme 1
terme 2
figure 3.22: Comportement des trois termes de la formulation 3D en fonction de (R, = 0°).
A partir des relations (3.18) et (3.19), nous obtenons la formulation 3D suivante pour
représenter le déplacement hors-plan en pointe de fissure :
(3.20)
où c1, c2 et c3 sont des constantes inconnues.
Lors de la minimisation des écarts entre la formulation 3D et les données expérimentales,
certaines hypothèses expérimentales sont établies, comme la localisation de la pointe de
fissure sur les interférogrammes, ou le grandissement obtenu à partir d'une repère par les
différentes caméras. Nous avons toujours considéré un mode I de chargement mais
expérimentalement, une propagation non perpendiculaire au chargement (i.e. inclinaison du
front de fissure dans le plan image) peut apparaître, due par exemple à des défauts inclus dans
l'éprouvette qui favorise le passage de la fissure à des endroits spécifiques. Une erreur sur le
comptage du numéro de franges (uo(t)) a pour conséquence un mauvais recalage des données
expérimentales et entraîne des erreurs. Dans le paragraphe suivant, aucune comparaison sera
faite sur les erreurs pouvant être dues aux variations du module d'Young (E) et du coefficient
de Poisson ().
3.5.4.2 Etude de sensibilité de la formulation 3D.
Pour évaluer l'influence de ces hypothèses sur les résultats expérimentaux, un champ "non-
perturbé" (noté U3Dimp) est simulé en utilisant la relation (3.20) pour E = 3000 MPa, = 0,35 ,
R
Rθ
R
RθR
2
1ce12
cosc1
cec
E
hKν,U 3
1
12Id
3D
3.5 Etude expérimentale des champs de déplacement hors-plan lors de propagation de fissure.
- 150 -
n
n
n
n
1
23Dcal3Dimpsd
13Dcal3Dimp
SeUU1
1
UU1
Se
KId = 72,88 MPamm, c1_imp = 1,52, c2_imp = 0,41 et c3_imp = 0,64. Nous minimisons les écarts
entre le champ "non-perturbé" et les champs "perturbés" (notés U3Dcal) en tenant compte des
hypothèses énoncées précédemment. Après minimisation, nous obtenons les valeurs de trois
constantes notées c1_cal, c2_cal, c3_ cal. Le tableau suivant récapitule les différentes hypothèses
expérimentales et les bornes choisies. Pour simplifier le problème de localisation de la pointe
de fissure, nous l'avons divisé en quatre parties, avec une pointe de fissure : soit en amont, soit
en aval, soit à 45 degrés ou soit à 90 degrés de sa position réelle. Pour le comptage manuel de
uo(t), différents cas seront étudiés avec une erreur maximale de 10 franges. L'inclinaison du
font de fissure et l'erreur sur le grandissement sont respectivement de 20 degrés et de 25%
du grandissement imposé.
Bornes choisies Hypothèses expérimentales
Valeurs
imposées Min Max
Avant 0 1 20
Arrière 0 1 20
à 45° 0 1 20
Translation dans le plan de la pointe de fissure
[pixel]
à 90° 0 1 20
Translation verticale de la pointe de fissure [mm] 0 -2,57 10-3 2,57 10-3
Inclinaison du front de fissure [degré] 0 0,1 20
Grandissement [mm.pixel-1] 0,05625 0,0421875 0,0703125
tableau 3.4 : Tableau récapitulatif des paramètres modifiés pour l'étude de sensibilité.
Après minimisation, nous comparons les résultats de c1_cal, c2_cal, c3_cal avec les valeurs
imposées de c1_imp, c2_imp, c3_imp. Il est possible de déterminer l'erreur systématique (Se) (i.e.
justesse) et l'écart-type sd entre le champ imposé et le champ obtenu à partir c1_imp, c2_imp,
c3_imp. La fidélité u ( sdσ.2u ) est déterminée avec un intervalle de confiance de 95%
(3.21).
(3.21)
où n est le nombre de points de mesure (640 x 480 points²).
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 151 -
3.5.4.2.1 Erreur sur la localisation de la pointe de fissure dans le plan.
Pour étudier l'influence de l'erreur commise sur la localisation de la pointe de fissure, nous
avons imposé des déplacements de pixel entier (de 1 à 20 pixels) de la pointe de fissure. Sur
les figures suivantes (figure 3.23, figure 3.24, figure 3.26 et figure 3.25), nous avons tracé sur
le graphique noté (a), les valeurs de c1_cal, c2_cal, c3_cal (i.e. points) et de c1_imp, c2_ imp, c3_ imp
(i.e. traits en pointillé). Sur les graphiques notés (b), nous avons tracé l'erreur de mesure en
déplacement, c'est-à-dire la justesse et la fidélité entre le champ imposé et le champ obtenu
après minimisation.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0 5 10 15 20déplacement [pixel]
c1_c
al, c
2_ca
l, c3
_cal
a)
c1_imp
c3_imp
c2_imp
c1_cal
c3_cal
c2_cal
-0.0004
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0.0000
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0 5 10 15 20
erre
ur [
mm
]
déplacement [pixel]
b)
figure 3.23 : a) c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une position en amont de la pointe. b) erreur de
mesure en déplacement (justesse + fidélité).
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0 5 10 15 20déplacement [pixel]
c1_c
al, c
2_ca
l, c3
_cal
a)
c1_imp
c3_imp
c2_imp
c1_cal
c3_cal
c2_cal
-0.0004
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0.0000
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0 5 10 15 20
erre
ur [
mm
]
déplacement [pixel]
b)
figure 3.24 : a) c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une position en aval de la pointe. b) erreur de
mesure en déplacement (justesse + fidélité).
3.5 Etude expérimentale des champs de déplacement hors-plan lors de propagation de fissure.
- 152 -
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0 5 10 15 20déplacement [pixel]
c1_c
al, c
2_ca
l, c 3
_cal
a)
c1_imp
c3_imp
c2_imp
c1_cal
c3_cal
c2_cal
-0.0005
-0.0004-0.0003
-0.0002-0.0001
0.0000
0.00010.0002
0.00030.0004
0.0005
0 5 10 15 20déplacement [pixel]
erre
ur [
mm
]
b)
figure 3.25 : a) c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une position à 45 degrés de la pointe. b) erreur de
mesure en déplacement (justesse + fidélité).
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0 5 10 15 20déplacement [pixel]
c1_c
al, c
2_ca
l, c 3
_cal
a)
c1_imp
c3_imp
c2_imp
c1_cal
c3_cal
c2_cal
-0.0004
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0.0000
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0 5 10 15 20
erre
ur [
mm
]
déplacement [pixel]
b)
figure 3.26 : a) c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une position à 90 degrés de la pointe. b) erreur de
mesure en déplacement (justesse + fidélité).
Valeurs de c1_cal, c2_cal, c3_cal : Les valeurs de c2_cal, c3_cal des configurations
précédentes restent proche des valeurs imposées, même lorsque l'on s'éloigne de la
vraie position de la pointe de fissure. La position de la pointe de fissure dans le plan
n'influence pas les termes c2_cal, c3_cal. Pour c1_cal lorsque l'écart entre la position vraie et
la position imposée est perpendiculaire au front de fissure une petite variation est à
noter. Un décrochement de cette valeur apparaît pour une localisation en amont ou à
45 degrés de la pointe de fissure, supérieure à 10 pixels. Pour le cas où la fissure est en
aval, la valeur de c1_cal varie rapidement lorsque l'on s'écarte de la position puis reste
constante (c1_cal = 1,6).
Justesse et fidélité : La valeur de la justesse est toujours proche de 0. Pour la fidélité,
la valeur augmente plus on s'éloigne de la pointe de fissure jusqu'à atteindre
4 10-4 mm pour un écart de 20 pixels entre la position imposée et la vraie position.
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 153 -
3.5.4.2.2 Erreur sur la détermination de uo(t).
Pour étudier la sensibilité des paramètres c1_cal, c2_cal et c3_cal, nous avons ajouté au
déplacement hors-plan simulé (c1_imp, c2_imp et c3_imp,) une constante (B), en millimètre
(-2,5725 10-3 mm < B < 2,5725 10-3 mm), correspondant à une erreur de comptage de franges
de 10 franges.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-0.003 -0.002 -0.001 0.000 0.001 0.002 0.003
décalage [mm]
c1_c
al, c
2_ca
l, c 3
_cal
a)
c1_imp
c3_imp
c2_imp
c1_cal
c3_cal
c2_cal
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
-0.003 -0.002 -0.001 0.000 0.001 0.002 0.003décalage [mm]
erre
ur [
mm
]
b)
figure 3.27 : c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une erreur de uo(t). b) erreur de mesure en déplacement
(justesse + fidélité).
Valeurs de c1_cal, c2_cal, c3_cal : Nous constatons que les valeurs varient très vite en
fonction du décalage imposé. Les constantes c1, c2 et c3 sont donc très sensibles au
numérotage des franges.
Justesse et fidélité : Si nous voulons avoir une erreur inférieure au micromètre, il faut
déterminer le nombre de franges à 2 franges près.
3.5.4.2.3 Inclinaison du front de fissure.
Pour étudier la sensibilité des paramètres c1_cal, c2_cal et c3_cal pour une inclinaison du front de
fissure, nous avons imposé une rotation (0 < [degrés] < 20) par rapport au champ imposé,
correspondant à la présence d'une propagation de fissure non perpendiculaire au chargement.
3.5 Etude expérimentale des champs de déplacement hors-plan lors de propagation de fissure.
- 154 -
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0 5 10 15 20rotation [degrés]
c1_c
al, c
2_ca
l, c 3
_cal
a)
c1_imp
c3_imp
c2_imp
c1_cal
c3_cal
c2_cal
-0.0015
-0.0010
-0.0005
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0 5 10 15 20rotation [degrés]
erre
ur [
mm
]
b)
figure 3.28 : c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une inclinaison du front de fissure. b) erreur de mesure
en déplacement (justesse + fidélité).
Valeurs de c1_cal, c2_cal, c3_cal : Les valeurs de c2_cal, c3_cal pour des configurations
précédentes, elles restent proche des valeurs imposées, même lorsque une grande
rotation est appliquée au front de fissure. L'inclinaison du front de fissure dans le plan
image n'influence pas les termes c2_cal, c3_cal. Concernant c1_cal, une modification de la
valeur apparaît pour une rotation supérieure à 10 degrés.
Justesse et fidélité : La valeur moyenne calculée entre les champs imposé et calculé
est proche de 0. L'écart-type croît avec une inclinaison du front de fissure et atteint
1 m pour une rotation de 20 degrés.
3.5.4.2.4 Erreur sur le grandissement.
Pour étudier l'influence du grandissement sur les valeurs de c1_cal, c2_cal, c3_cal, nous avons
simulé des champs de déplacement en faisant varier le grandissement
0,0421875 < < 0,703125 (25 %) en sachant que la valeur imposée de imp est de
0,05625 mm.pixel-1.
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 155 -
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.0400 0.0450 0.0500 0.0550 0.0600 0.0650 0.0700grandissement [mm/pixel]
c1_c
al, c
2_ca
l, c 3
_cal
a)
c1_imp
c3_imp
c2_imp
c1_cal
c3_cal
c2_cal-0.00020
-0.00015
-0.00010
-0.00005
0.00000
0.00005
0.00010
0.00015
0.00020
0.00025
0.040 0.045 0.050 0.055 0.060 0.065 0.070
erre
ur [
mm
]
grandissement [mm/pixel]
b)
figure 3.29 : c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une variation du grandissement. b) erreur de mesure en
déplacement (justesse + fidélité).
Valeurs de c1_cal, c2_cal, c3_cal : Les valeurs de c2_cal et c3_cal ne sont pas sensibles aux
erreurs commises sur le grandissement, au contraire de c1_cal qui s'éloigne de la valeur
imposée lorsque diffère de imp.
Justesse et fidélité : Sur la figure 3.29-b, on peut constater que l'équation développée a
une bonne justesse vis-à-vis du grandissement mais sa fidélité diminue lorsque l'on
s'éloigne du grandissement imposé. Avec une erreur sur le grandissement de 25 %,
l'erreur (justesse + fidélité) commise n'excède pas 2.10-4 mm. Expérimentalement,
l'erreur générée sur le grandissement ne dépasse pas 5 %.
3.5.4.2.5 Conclusions.
Les hypothèses expérimentales choisies influencent peu les valeurs de c1, c2 et c3 par rapport
aux valeurs imposées. Une attention toute particulière doit être faite sur le comptage manuel
de uo(t), paramètre le plus sensible pour la détermination des champs de déplacements hors-
plan expérimentaux. Pour une identification des paramètres c1, c2 et c3 en fonction des
caractéristiques mécaniques, géométriques et expérimentales, la localisation de la pointe de
fissure doit être obtenue à moins de 10 pixels près; l'inclinaison du front de fissure dans le
plan image doit être inférieure à 10 degrés; l'erreur sur le grandissement doit être inférieure à
10% et l'erreur sur le comptage de franges doit être inférieure de 1 frange.
3.5.4.3 Application de la formulation 3D.
Dans notre cas expérimental, nous sommes inférieurs aux valeurs maximales du paragraphe
précédent. Pour la localisation de la fissure sur les interférogrammes, l'écart est de l'ordre de
3.5 Etude expérimentale des champs de déplacement hors-plan lors de propagation de fissure.
- 156 -
5 pixels. La rotation du front sur les interférogramme est faible et inférieure à 5 degrés
(figure 3.15 et figure 3.16). Pour le grandissement et le comptage des franges, les erreurs
commises sont respectivement de l'ordre de 3% et inférieure à une frange.
A partir des champs de déplacement hors-plan expérimentaux des six essais, nous pouvons
minimiser les écarts avec la formulation (3.20) par la méthode des moindres carrés et ainsi
obtenir les constantes c1, c2 et c3. Les valeurs des constantes sont données dans le tableau 3.5.
La détermination de c1, c2 et c3 reste toutefois liée au nombre de points de mesures
expérimentales (plus de 150 000 points dans nos différents essais) et au bruit de mesure.
Essais c1 c2 c3
0 10 1,40 9
1 1,512 0,805 1,854
2 0,805 0,634 0,512
3 1,122 0,537 0,585
4 1,40 0,38 0,50
5 1,70 0,40 0,40
tableau 3.5 : valeurs de c1, c2 et c3 obtenus par minimisation pour les différents essais.
Pour l'essai en statique (essai 0), les valeurs de c1, c3 sont très élevées par rapport aux valeurs
obtenues en dynamique. Pour les essais 2, 3, 4 et 5, c1 augmente alors que c2, c3 diminuent par
rapport à la vitesse de propagation (V). Pour l'essai 1, les valeurs de c1, c3 sont différentes
mais la formulation 3D représente bien les données expérimentales (figure 3.30).
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 157 -
figure 3.30 : Evolution de la formulation 3D minimisée par rapport aux données
expérimentales pour V=220 m.s-1.
figure 3.31 : Evolution de la formulation 3D minimisée par rapport aux données
expérimentales pour V=480 m.s-1.
3.5 Etude expérimentale des champs de déplacement hors-plan lors de propagation de fissure.
- 158 -
Pour l'essai 1 (V = 220 m.s-1 et t = 90 s) et l'essai 3 (V = 480 m.s-1 et t = 60 s), nous
extrayons les profils, des déplacements expérimentaux et de la formulation 3D suivant les
différents angles (figure 3.32 et figure 3.33). Nous constatons que la formulation 3D est
adaptée pour caractériser le champ de déplacement en pointe de fissure pour des fissures
stationnaires et dynamiques. De plus, uo(t) est superposée avec la formulation 3D.
figure 3.32 : Formulation 3D et données expérimentales pour V=220 m.s-1 et t=90 s.
figure 3.33 : Formulation 3D et données expérimentales pour V=480 m.s-1 et t=60 s.
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 159 -
3.5.4.4 Facteur d'intensité des contraintes obtenu à partir de la formulation 3D.
Comme pour KId-2D, le FIC KId-3D expérimental (équation (3.22)) peut être extrait à partir de la
formulation 3D.
(3.22)
Nous présentons les résultats obtenus à partir de la relation (3.22) pour les différentes vitesses
de propagation.
0
20
40
60
80
100
120
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
V=0 m/s V=220 m/s
V=430 m/s V=480 m/s
V=540 m/s V=690 m/s
R=r/h
KId
[M
Pam
m]
figure 3.34 : Valeurs de KId-3D pour chacun des essais en fonction R et = 0°.
Contrairement à la théorie bidimensionnelle, les valeurs obtenues sont très proches de la
valeur calculée de KId et peuvent être considérées comme constantes. Par exemple pour
V=540 m.s-1, les valeurs de KId-3D sont proches de la valeur KId imposée de 72,88 MPamm
(tableau 3.3). Toutefois il reste de petites variations (<10 %) du bruit de mesure. La
formulation 3D est adaptée pour caractériser le champ de déplacement hors-plan en pointe de
fissure pour des plaques ayant des fissures statiques ou dynamiques.
3.6 Etendue de la zone tridimensionnelle.
Dans les zones expérimentales, définies par 135°< et - <-135° (l'arrière de la
fissure), les données expérimentales ne sont pas assez nombreuses, donc les déplacements
calculés pour la formulation 3D peuvent ne pas refléter le champ de déplacement
Rθ
RRθR
RR
2π.e1.
2cos
1
ec
c1
hν
E0,U0,K
3c1c2
1z3DId
3.6 Etendue de la zone tridimensionnelle.
- 160 -
expérimental réel. Toutefois le grand nombre de points de mesure en amont de la fissure
permet de caractériser les déplacements. Pour estimer la taille de la zone 3D, nous
considérons un cercle (cercle délimité par une ligne en pointillé sur la figure 3.35) de rayon
R3D obtenu pour = 0°, ainsi la zone 3D sera maximisée. La ligne continue noire sur la
figure 3.35 (différence entre la zone bleue et la zone du dégradé de couleurs), représente les
limites quand la différence entre la solution 2D U2D(R,,t) et la formulation 3D U3D(R,,t) est
supérieure à un critère, dont la valeur est basée sur une étude issue de la littérature [46], où
Rosakis trace le rapport des FIC expérimentaux et des FIC théoriques. Nous pouvons noter,
pour l'étude réalisée sur du PMMA, que la zone 3D est proche de R 0,25. La figure 3.21
confirme que dans le cas statique, le décrochement se situe proche de cette valeur.
3.6.1 Etendue de la zone 3D pour les cas expérimentaux.
Pour dimensionner la zone 3D en fonction de la vitesse de propagation (V), il faut déterminer
un critère permettant de définir la zone 3D à partir de l'expression 3D et de la relation
bidimensionnelle. Ce critère doit respecter les travaux de Rosakis et al [46] et s'appuie sur les
résultats de la figure 3.21. La valeur de (Crit) est MPa
mm1.10 5 . Elle permet d'avoir une zone
3D limité à R0,25, dans le cas statique. Nous appliquons ce critère à l'ensemble de nos tests
et nous normalisons la formulation 3D par rapport au d-FIC, ainsi l'expression (3.23) est
adimensionnée par rapport à la longueur de fissure (a) et au chargement ().
(3.23)
Nous visualisons sur la figure 3.35, les résultats de l'étendue de la zone 3D en fonction de la
vitesse de propagation (V).
CritK
Uu
Id
D32D-z
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 161 -
V=0 m/s V=220 m/s V=430 m/s V=480 m/s V=540 m/s
R=4 R=4 R=4
R=4 R=4R
R R R
R=0,5 R
Zone 3D délimitée R3D 3DR3D
R3DR 3D
R 3DR 3D
R=4
V=690 m/s
R
R
-0.00019-0,00015-0,00011-7E-005 -3E-005 1E-005 5E-005 9E-005 0,000130,000170,000210,000250,000290,000330,00037
MPamm
R=0,5
R
R 3D
figure 3.35 : Etendue de la zone 3D en fonction de la vitesse de propagation V.
Comme pour les résultats déjà présentés pour les déplacements hors-plan, nous constatons
deux comportements différents. Pour V = 0 et V = 220 m.s-1, la zone 3D est confinée en
pointe de fissure. Pour ces deux vitesses, nous avons zoomé sur la pointe de fissure avec un
grandissement de 8, pour visualiser la zone 3D. Pour les autres vitesses, nous notons que la
zone 3D augmente de façon continue avec la vitesse de propagation V, jusqu'à R 4,5 lorsque
V approche la vitesse de Rayleigh (Vmax 700 m.s-1). Dans ce cas, la solution
bidimensionnelle du déplacement hors-plan ne peut pas être utilisée pour caractériser les
déplacements en pointe de fissure, au contraire des essais 0 et 1 où l'étendue de la zone 3D est
faible.
3.6.2 Etude de la zone 3D en fonction du chargement () et de la vitesse (V).
Ayant obtenu la zone 3D pour plusieurs vitesses de propagation, différentes études peuvent
être entreprises, parmi lesquelles l'influence du chargement et de la vitesse de propagation sur
la zone 3D. Pour cela nous définissons le paramètre R3D caractérisant le rayon de la zone 3D
comme le paramètre étudié.
Zone 3D en fonction du chargement
Nous traçons les valeurs de R3D correspondant aux valeurs du chargement imposé () pour
chacun des essais.
3.6 Etendue de la zone tridimensionnelle.
- 162 -
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8
R=r/hR=r/h
[MPa]
BA
Seuil de propagation
figure 3.36 : Extraction de R3D fonction du chargement pour les différents essais.
Sur la figure 3.36, nous pouvons remarquer deux zones différentes notés A et B. Dans la zone
A, la fissure est stationnaire (essai 0), R3D est égal à 0,262. Comme le comportement du
matériau est purement élastique et qu'il n'y a pas de propagation de fissure, la zone 3D ne croît
pas et donc R3D reste constant. Dans la seconde zone (zone B), pour une valeur de chargement
supérieure à 1,5 MPa (V 220 m.s-1), R3D augmente en fonction de et peut être approché
par une fonction Logarithmique (en pointillé).
La zone hachurée dite "seuil de propagation de fissure" ou de "transition" correspond à la
zone où la fissure est instable, dont la longueur est difficile à évaluer dynamique. Une autre
étude est effectuée en comparant les valeurs de (R3D) à la vitesse de propagation (V).
0
1
2
3
4
5
6
0 100 200 300 400 500 600 700
R=r/hR=r/h
V [m.s-1]
DC
Tippur et al [78]Tippur et al [100]
figure 3.37 : Extraction de R3D fonction de la vitesse de propagation V pour les différents
essais.
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 163 -
Id
zzn
Id
3D3Dn K
),(U),(U
K
),(U),(U
θRθR
θRθR
Sur la figure 3.37, nous pouvons remarquer deux zones différentes notées C et D. Dans la
zone C (V < 220 m.s-1), aucun essai expérimental ne peut être mené car pour un chargement
inférieur à 1,5 MPa et la fissure initiée par l'impact d'une lame de cutter est stoppée. En
conséquence la détermination de la zone 3D pour des vitesses de propagation V dans cette
zone ne peut pas être faite.
Dans la zone D, pour des vitesses de propagation (V) supérieures à V = 220 m.s-1, l'évolution
de R3D augmente en fonction de V et peut être approchée par une fonction linéaire. Nos
résultats sont proches de ceux obtenus par l'exploitation des données de Tippur et al [100]
(R 0,8 sur la figure 3.37). Proche de la vitesse de Rayleigh (Vmax), le diamètre de la zone 3D
peut atteindre 54 mm pour une épaisseur de plaque égale à 6 mm. L'augmentation de l'étendue
de la zone 3D est due à la présence d'effets transitoires.
3.6.3 Normalisation des déplacements hors-plan théorique et expérimentaux.
Cette étude permet de voir l'influence des effets transitoires sur la forme du déplacement en
pointe de fissure. Pour cela la formulation 3D et les données expérimentales sont normalisées
par rapport à KId et sont respectivement nommées ),(U 3Dn θR et ),(U zn θR .
(3.24)
Les résultats sont tracés pour = 0°.
figure 3.38 : a) Déplacements hors-plan théoriques normalisés. b): Déplacements hors-plan
expérimentaux normalisés.
Nous pouvons constater qu'il y a peu d'écarts entre la solution 2D (notée U2D) et la
formulation 3D (notée V=0 ms-1). Les seules différences sont le déplacement asymptotique
3.7 Etude post-mortem du faciès de rupture.
- 164 -
pour l'un et borné pour l'autre (figure 3.38a) et le décrochement pour R 0,25. Dans ce cas,
les différences sont dues à la présence seule des effets 3D (pas d'effets transitoires). Pour les
différents essais où les données ont été enregistrées, la formulation 3D représente bien les
données expérimentales (figure 3.38a et figure 3.38b). Pour les cas dynamiques, le
comportement du déplacement hors-plan normalisé est modifié. Pour une augmentation de la
vitesse de propagation (V), la valeur maximale du déplacement hors-plan normalisé est de
plus en plus faible. Proche de la vitesse de Rayleigh Vmax, nous pouvons définir le
déplacement hors-plan normalisé comme de l'ordre du quart de la valeur du déplacement
statique.
3.6.4 Conclusion.
Lors de propagation de fissure, nous pouvons constater une augmentation de l'étendue de la
zone 3D qui peut être assimilée à une évolution linéaire. Néanmoins le déplacement hors-plan
normalisé en pointe de fissure quant à lui diminue considérablement lorsque l'on approche de
Vmax. Cela ne peut pas être expliqué par la présence de plasticité car après rupture totale de la
plaque nous constatons que les deux surfaces créées (i.e. faciès de rupture) se superposent.
Cela aussi est dû à la présence d'effets transitoires qui ont pour conséquence d'étendre la zone
3D mais en contrepartie ils diminuent le déplacement hors-plan normalisé en pointe de
fissure.
3.7 Etude post-mortem du faciès de rupture.
Sur la figure 3.39, la rugosité du faciès de rupture augmente proportionnellement à la vitesse
de propagation (V). Pour de faibles vitesses, la surface est poli-miroir. Pour 430<V<540 m.s-1,
la surface créée fait apparaître des stries. Pour V > 540 m.s-1, des microcavités et de petites
fissures se forment permettant de consommer plus d'énergie lors de la création de la surface.
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 165 -
0
1
2
3
4
5
6
0 100 200 300 400 500 600 700
R=r/hR=r/h
V [m.s-1]
Poli-miroir
Stries
Microcavités et petites fissures
Tippur et al [78]
Poli-miroir
Stries
Microcavités
Tippur et al [100]
figure 3.39 : Extraction de R3D fonction de la vitesse de propagation V pour les différents
essais et analyse du faciès de rupture.
Selon Griffith, l'énergie totale (E) ne varie pas au cours d'un accroissement de fissure (da)
(§ 1.5.1). Si (WPOT) augmente, l'énergie dissipée par la création de nouvelles surfaces doit
augmenter (i.e. augmentation de l'aire des nouvelles surfaces créées). C'est ainsi que pour
petit, la surface créée est dite "poli miroir" car les surfaces créées n'ont pas besoin de
consommer énormément d'énergie. Pour tendant vers max, la vitesse de propagation V
s'approche de Vmax et la rugosité du faciès de rupture est très importante, ainsi des
microcavités apparaissent. Si > max le phénomène de branchement apparaît, multipliant
ainsi l'aire des nouvelles surfaces créées et ainsi augmentant l'énergie consommée pour la
création de faciès de rupture.
Nous allons maintenant étudier la rugosité des faciès de rupture en fonction du chargement
pour comparer ces résultats aux études précédentes. Une étude topographique a été conduite
pour étudier la rugosité du faciès de rupture créé. Au sein du laboratoire, nous disposons un
microscope confocal interférométrique de marque Taylor Hobson qui permet de réaliser des
mesures de relief sur de petits échantillons (figure 3.40b).
3.7 Etude post-mortem du faciès de rupture.
- 166 -
a) b)
Faciès de rupture
Objectif
figure 3.40 : a) Microscope confocal Taylor Hobson. b): Echantillon de PMMA placé devant
l'objectif.
3.7.1 Principe.
Un microscope interférométrique en lumière blanche (figure 3.40a) (aussi appelé
"interféromètre à balayage vertical ou "VSI" pour Vertical Scanning Interferometry) permet
de mesurer la topographie d'une surface avec une grande précision. L'objectif
interférométrique balaie la surface selon la direction verticale (figure 3.41). La caméra
enregistre alors en chaque pixel la succession des intensités lumineuses décalées.
Parallèlement, le système enregistre l'historique de l'altitude (suivant z) de l'objectif. Proche
de la focalisation, chaque pixel "voit" les franges d'interférences. Le système détermine le
maximum de l'amplitude du signal (franges) en prenant le maximum de la courbe "enveloppe"
pour chaque pixel. Ce dernier correspond à une différence de chemin optique nulle. L'altitude
correspondant à ce maximum est l'altitude du point considéré de la surface.
Source de lumière blanche
Mouvement vertical
Chemin optique 1
Lame semi réfléchissante
Miroir de référence
Chemin optique 2
Z(x
,y)
(nm
)
Signal
Intensité lumineuse
Différence de chemin optique =0
Courbe "enveloppe"
Z
figure 3.41 : Principe du microscope interférométrique en lumière blanche.
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 167 -
Les données fournies par le constructeur font mention d'une résolution spatiale de 0,35 m et
d'une résolution verticale de 0,1 Å (10 pm).
3.7.2 Avantages et inconvénients.
La microscopie interférométrique permet de mesurer le relief sur des surfaces réfléchissantes
de manière fiable et rapide. Cependant un objectif interférométrique présente souvent une
ouverture plus petite qu'un objectif classique. De ce fait, les pentes mesurable seront faibles
(22° d'après le constructeur). L'étendue de la zone d'étude pour la mesure topographique
varie en fonction de l'objectif choisi. Par exemple pour des pentes supérieures à 15 degrés,
nous choisissons l'objectif 50x où la zone d'étude se limite à 0,36x0,36 mm² et les pentes
peuvent attendre au maximum 22°. Le tableau 3.6 récapitule les objectifs utilisés et leurs
caractéristiques.
Objectif
microscopique
Champ
[mm x mm]
Pente
[degrés]
Recouvrement
[mm] Nb acquisition
Champ
d'étude
[mm x mm]
Tps total
[min]
20x 0,9 x 0,9 14,5 0,2 4 1,6 x 1,6 16
50x 0,36 x 0,36 22 0,16 49 1,56 x 1,56 196
tableau 3.6 : Caractéristiques des objectifs.
Pour réaliser une étude comparative en fonction du chargement , nous imposons un champ
d'étude sensiblement égal (figure 3.42) pour tous les faciès étudiés. Pour l'objectif 20x, la
zone d'étude est de 1,6 x 1,6 mm² et elle est de 1,56 x 1,56 mm² pour l'objectif 50x. Avec le
logiciel Talymap Gold 4.1, un module permet d'augmenter le champ d'étude en superposant
plusieurs reliefs ayant une zone commune (i.e. recouvrement). Le temps d'acquisition peut
atteindre plusieurs heures.
3.7 Etude post-mortem du faciès de rupture.
- 168 -
1,6 mm
15
6
4
5
3
2
1
Objectif 20x Objectif 50x
4 images 49 images
1 2
3 4
7
13
11
12
10
9
8
14
20
18
19
17
16
21
27
25
26
24
23
22
28
34
32
33
31
30
29
35
41
39
40
38
37
36
42
48
46
47
45
44
43
49
Recouvrement
1,56 mm
figure 3.42 : Construction des champs d'étude.
3.7.3 Résultats.
Dans les résultats de déplacements hors-plan de la surface libre, nous n'avons accès qu'à
seulement cinq reliefs pour les essais dynamique. Toutefois, nous avons réalisé d'autres essais
pour des chargements différents. De ce fait, les essais menés font état de chargements non
présentés précédemment dans l'étude de la zone 3D. Avant de "scanner" les surfaces fissurées,
nous avons réalisé une mesure sur la surface libre (figure 3.43).
figure 3.43 : Relief de la surface libre d'une plaque.
CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
- 169 -
Nous pouvons voir que la zone d'étude est de 1,6 x 1,6 mm². L'amplitude du relief (uz) est
faible (-0,05 m < uz < 0,15 m). Les valeurs de la rugosité et de l'aire développée obtenues
pour cette zone seront choisies comme valeurs pour l'essai en statique. Voici les résultats du
relief obtenus pour différents chargements dans une zone proche de la demie-épaisseur
(z = 0) de la plaque et pour une longueur de fissure fixe (a = 40 mm).
=1,57 MPa =3,14 MPa =3,92 MPa
=4,71 MPa =5,49 MPa =6,28 MPa
=7,06 MPa =7,85 MPa =9,42 MPa
Dir
ecti
on d
e pr
opag
atio
n de
la f
issu
re
figure 3.44 : topographies des faciès de rupture.
Sur les topographies de la figure 3.44, les différents reliefs sont comparés au relief de la
surface libre et plusieurs remarques peuvent être notées :
Les points noirs correspondent aux points non calculés car les pentes locales sont
supérieures aux pentes admissibles par les deux objectifs.
3.7 Etude post-mortem du faciès de rupture.
- 170 -
1N
0
1M
0,a z
NM
1S
x yyx
100*
Surface
Surface-SurfaceA
ehorizondal
ehorizondaldéveloppéed
Nous pouvons clairement constater que pour un chargement de 1,57 MPa, le relief est
peu prononcé, on parle aussi effet "miroir" du front de la face fissurée (figure 3.37).
Pour un chargement 3,14 < < 5,5 MPa, des stries apparaissent qui sont orientées
perpendiculairement au sens de propagation de la fissure.
Pour des chargements supérieurs à 6 MPa, des îlots et des creux prononcés
apparaissent, traduisant une "forte" rugosité.
3.7.4 Analyse.
La rugosité Sa et l'aire développée Ad en % sont des données pouvant être calculées par le
logiciel dont les formules mathématiques sont exprimées de la façon suivante :
(3.25)
(3.26)
avec N, M, les dimensions de la zone d'étude, zx,y la valeur du relief au point (x,y).
Les surfaces horizontales (Surfacehorizontale) et développées (Surfacedévelopée) correspondent
respectivement à l'aire de la zone analysée et à l'aire du relief développé. Pour la surface libre,
Sa et Ad sont égaux à 0,0126 µm et 0,173 %. Elles peuvent être négligées. Nous traçons les
résultats obtenus pour les différentes topographies.
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Air
e dé
velo
ppée
Ad
[%]
[Mpa]
0.00E+00
1.00E+00
2.00E+00
3.00E+00
4.00E+00
5.00E+00
6.00E+00
7.00E+00
8.00E+00
9.00E+00
1.00E+01
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Rug
osit
é Sa
[µ
m]
[Mpa]
Impacteur à air comprimé
Système à ressort
Air
e dé
velo
ppée
Ad
[%]
Rug
osit
é S a
[m
]
[MPa] [MPa]
figure 3.45 : Aire développée et rugosité du faciès de rupture en fonction de ().
CHAPITRE 3 : Etude lors de propagation de fissures.
- 171 -
Les résultats montrent une augmentation de la rugosité en fonction de . Cependant, cette
évolution n'est pas continue un "décrochement" apparaît pour > 5 MPa et peut s'expliquer
par un changement de phase visible sur la figure 3.44 où des microfissures apparaissent, mais
elles ne sont pas visualisables avec cette mesure surfacique du relief.
Pour un même chargement et un même système de déclenchement, nous pouvons voir de
grands écarts de rugosité et d'aires développées. Plusieurs raisons peuvent expliquer cela :
Pour un chargement élevé, nous pouvons remarquer que des microfissures se forment
traduisant une augmentation de la surface fissurée. Cela n'est pas pris en compte lors de
la mesure.
La indétermination du relief lorsque les pentes sont importantes ne permet pas de
calculer précisément l'aire développée et la rugosité.
La dernière explication est la base de mesure de l'échantillon analysée qui traduit dans
certains cas, un phénomène local et non un phénomène de structure.
3.7.5 Conclusion.
Cette étude a permis de mesurer la topologie des faciès de rupture pour différents états de
chargement et ainsi de montrer un changement de phase du relief de la nouvelle surface créée.
Aucune corrélation n'a pu être obtenue, principalement à cause des topographies parfois
ininterprétables car les fortes pentes, les microcavités ou les microfissures ne sont pas prises
en compte dans la mesure du relief de l'échantillon. Tout ceci perturbe énormément les
résultats.
3.8 Conclusion générale.
Dans cette partie, nous avons développé un montage expérimental permettant d'avoir accès au
déplacement hors-plan dans une zone entourant la pointe de fissure lors de sa propagation. Le
calcul direct du déplacement hors-plan absolu est difficilement réalisable. Nous devons
soustraire le relief relatif uexp(x,y,t) au relief initial relatif uexp(x,y,to) correspondant à la non-
planéité de la surface libre de la plaque et ajouter ensuite une constante uo(t) correspondante
au déplacement hors-plan absolu en un point. Cette constante est obtenue par la mise en place
d'un photomultiplicateur (PM) sur le montage expérimental. La dernière difficulté est
l'acquisition des interférogrammes lors de vitesses de propagation élevées (V 700 m.s-1).
Pour cela, un matériel spécifique a été entièrement conçu au laboratoire. La comparaison des
résultats expérimentaux avec la théorie bidimensionnelle montre des divergences évoluant
3.8 Conclusion générale.
- 172 -
avec la vitesse de propagation et pouvant être séparées en deux familles distinctes. L'une où
les écarts sont confinés en pointe de fissure et l'autre où les écarts sont loin de la singularité.
Ces écarts entre les valeurs expérimentales et les valeurs empiriques caractérisent la zone des
effets tridimensionnels et des effets transitoires, appelée zone tridimensionnelle ou zone 3D.
Le champ expérimental n'étant pas assez étendu, dans certain cas, pour définir cette zone, une
formulation 3D est proposée permettant de caractériser les déplacements hors-plan. Pour
obtenir ces déplacements hors-plan expérimentaux Uz(x,y,t), des hypothèses sont établies,
concernant la localisation de la fissure sur les images ou le comptage manuel des franges sur
les signaux acquis par le photomultiplicateur. Dans l'étude de sensibilité menée sur
l'expression U3D(R,), nous avons pu déterminer les limites maximales des hypothèses
expérimentales qui ont une grande influence sur les résultats. L'hypothèse expérimentale
prédominante que nous devons vérifier est la constante uo(t) obtenue à partir de l'analyse du
signal du photomultiplicateur. Cette formulation empirique caractérise bien les données
expérimentales pour différentes vitesses de propagation (V). L'expression U3D(R,) permet
d'avoir une valeur des facteurs d'intensité des contraintes dynamiques (KId) constante sur tout
le champ, contrairement aux valeurs déterminées par la minimisation de la solution
bidimensionnelle. L'étude de la zone 3D montre que l'étendue de cette zone évolue de façon
logarithmique par rapport à la contrainte appliquée () et de façon linéaire par rapport à la
vitesse de propagation (V). De plus, l'étude expérimentale montre que le relief normalisé par
rapport au facteur d'intensité des contraintes (KI) diminue en pointe de fissure, et en même
temps la vitesse de propagation de la fissure (V) augmente. L'étude post-mortem du faciès de
rupture à partir d'un interféromètre confocal en lumière blanche permet d'obtenir une mesure
surfacique du relief sur la surface créée. Nous pouvons voir un changement de phase
(5,49 < < 6,28 MPa) du relief du faciès de rupture. Aucune corrélation n'a pu être faite avec
la zone 3D obtenue précédemment, en raison principalement de la présence de microfissures
et aux microcavités qui ne sont pas prises en compte pour ces mesures de surface lorsque
> 6,28 MPa.
Conclusions et perspectives.
- 173 -
Conclusions et perspectives.
Nous rappelons que nos travaux traitent de l'étude du comportement des plaques élastiques
fissurées, sollicitées en mode I, pour des fissures stationnaires et lors de propagations de
fissure. Pour cela, nous avons mis en œuvre, développé et adapté des méthodes optiques pour
obtenir des grandeurs cinématiques dans une zone entourant la pointe de fissure. Ce mémoire
étant constitué de deux parties expérimentales distinctes, nous choisissons de découpler nos
conclusions et nos perspectives relatives aux deux études menées en statique et en dynamique.
Pour l'étude en statique, l'objet est, par des mesures cinématiques dans le plan, d'analyser les
déplacements obtenus et de les comparer avec la théorie bidimensionnelle obtenue en faisant
les hypothèses d'un milieu infini et 2D. Une étude précédente conduite au sein de l'équipe
"photomécanique et rhéologie", avait permis de montrer le caractère tridimensionnel présent
en pointe de fissure par une étude expérimentale et numérique par éléments finis des
déplacements hors-plan. La première difficulté de notre étude était de choisir une méthode
optique adaptée à nos besoins. Par les recherches en cours au GDR 2519 et par notre maîtrise
de la réalisation de grilles pour de grandes surfaces, nous avons choisi la méthode des grilles,
associée à une méthode d'extraction de phase à une seule image (MPC) pour obtenir les deux
champs de déplacements dans le plan. La comparaison des résultats expérimentaux et
numériques obtenus à partir du modèle caractérisant un cylindre de matière entourant la
pointe de fissure, nous a obligé à modifier notre modèle numérique pour tenir compte des
effets de bord présents, l'extrémité de fissure étant insuffisamment éloignée de la tranche de
nos plaques. La bonne concordance entre les nouveaux champs numériques et les résultats
expérimentaux nous permet de valider notre programme éléments finis et de développer de
nouvelles expressions empiriques des déplacements plans, conduisant ainsi à la détermination
de l'intégrale J. Le calcul de cette dernière permet de dimensionner une zone 3D dont
l'étendue est relativement proche des résultats obtenus auparavant, par des mesures de
déplacement hors-plan. Cette étude statique a été effectuée sur deux matériaux (PSM4 et
PMMA) au comportement fragile mais aux caractéristiques mécaniques (E, ) différentes.
Toutefois une attention toute particulière à la loi de comportement ou aux paramètres
mécaniques imposés dans le modèle numérique doit être portée.
La démarche hybride adoptée pourrait être étendue à d'autres matériaux fragiles ou ductiles et
pour des conditions de chargement (mode II, mode III ou mode mixte). Cette extension, qui
Conclusions et perspectives.
- 174 -
nécessiterait de faire évoluer notre programme éléments finis à d'autres configurations,
permettrait de généraliser ou d'adapter les expressions empiriques développées pour traduire
la simultanéité des effets des champs cinématiques (effets 3D mais aussi conditions aux
limites et effets de bord). Les travaux expérimentaux présentés dans ce mémoire et ceux
développés par L. Humbert se limitent à une approche surfacique des problèmes
tridimensionnels. Il serait intéressant de déterminer les champs de déplacements et de
quantifier l'étendue de cette zone 3D au cœur de l'éprouvette. C'est dans ce sens qu'une
nouvelle thèse initiée en 2007 au laboratoire, porte sur les aspects cœur/surface dans les
structures sollicitées mécaniquement et dont l'un des thèmes est de quantifier l'effet
tridimensionnel au sein d'un milieu élastique fissuré par des mesures cinématiques
expérimentales obtenues par corrélation volumique. Une comparaison des déplacements
expérimentaux et des champs cinématiques numériques est envisageable car jusqu'à présent le
modèle numérique était le seul moyen de visualiser ces effets au sein d'un matériau.
Pour l'étude du comportement en cours de propagation de fissure, l'objet est d'étendre en
dynamique les travaux développés en statique au sein du laboratoire se rapportant à l'analyse
des déplacements hors-plan obtenus par mesures interférométriques. Avant d'envisager une
telle extension des travaux expérimentaux, deux moyens doivent être disponibles et maîtrisés :
posséder un système d'acquisition d'images adapté aux phénomènes rapides et transitoires en
dynamique et posséder un programme d'extraction de phase à partir d'une seule image pour
l'exploitation de chacun des interférogrammes au cours de l'événement dynamique. Ces
moyens expérimentaux et numériques ayant été développés et maîtrisés, une étude du
comportement en pointe de fissure lors de sa propagation était envisageable. Concernant le
montage expérimental, nous avons modifié le montage "classique" pour pouvoir acquérir une
information du déplacement hors-plan absolu au cours des essais. Dans cet objectif un
photomultiplicateur (PM) vient compléter la chaîne expérimentale (système de chargement,
dispositif interférométrique, système d'acquisition dynamique). La comparaison des
déplacements hors-plan expérimentaux ainsi obtenus avec ceux issus de la formulation 2D
permet de dimensionner directement la zone 3D. Nous constatons que cette zone évolue en
fonction de la vitesse de propagation (V) impliquant les phénomènes transitoires lors de
l'accroissement de la fissure. Nous constatons aussi que le relief maximal normalisé par
rapport aux facteurs d'intensité des contraintes en pointe de fissure diminue, alors que dans le
même temps la vitesse de propagation de fissure (V) augmente. Nos travaux ont été complétés
par une étude sur le relief du faciès de rupture, qui n'a pas permis de confirmer les résultats
Conclusions et perspectives.
- 175 -
de la rugosité de cette surface créée avec la zone tridimensionnelle. Les écarts de rugosités et
d'aire développée sont induits par l'apparition d'un changement de phase, la création de
microfissures et microcavités qui ne sont pas pris en compte par des mesures surfaciques du
relief, réalisées par le microscope confocal. Lorsque le relief est très prononcé, les limites
physique de l'appareil sont atteintes (pentes 22°) et la topographie du relief présente des
points non calculés, qui sont déterminants dans le calcul de ces deux grandeurs (rugosité et
aire développée).
Ces travaux initiés en dynamique mériteraient d'être complétés par l'étude sur d'autres
matériaux à comportement fragile pour valider les premiers constats faits ici sur l'étendue de
la zone 3D et sur l'influence de la vitesse de propagation sur ce comportement tridimensionnel
Le même type d'études pourrait être conduit sur des matériaux à comportement ductile.
L'investigation du comportement mécanique par des champs de déplacements dans le plan
lors de propagation de fissure permettrait de mettre en évidence l'étendue de la zone 3D à
partir du calcul de l'intégrale J. On adapterait ainsi à des conditions dynamiques d'étude, les
travaux que nous avons développés pour des fissures stationnaires. Toutefois, le choix de la
méthode optique peut s'avérer compliqué car cela nécessiterait soit de modifier notre montage
expérimental pour l'utilisation de la corrélation, soit d'adapter une méthode moins
consommatrice d'énergie lumineuse. Nos travaux expérimentaux présentés dans ce mémoire
indiquent qu'une approche tridimensionnelle du problème de propagation de fissure doit être
prise en compte. Une comparaison entre les données expérimentales et les champs
numériques obtenus avec une modélisation numérique tridimensionnelle (ex : la méthode des
éléments finis étendus (X-FEM)) serait intéressante pour valider les conditions aux limites
et/ou la loi de comportement imposée dans le modèle numérique. Le savoir faire du
laboratoire, la maîtrise des méthodes optiques de mesure et leur exploitation pourrait
avantageusement être mis à profit pour alimenter par nos données expérimentales cette
méthode numérique prometteuse.
Les travaux présentés dans ce mémoire, ainsi que les autres travaux réalisés au Laboratoire de
Mécanique des Solides de Poitiers, mettant à profit les méthodes optiques dans le domaine de
la fissuration statique en mode I, permettent aujourd'hui d'appréhender une multitude de
problèmes en élasticité linéaire ou en élasto-plasticité. Le Laboratoire dispose de la maîtrise
de plusieurs méthodes optiques (méthode des caustiques, méthode des grilles, interférométrie,
corrélation 2D et volumique) pouvant être utilisées spécifiquement dans le but d'extraire une
ou des grandeur(s) mécanique(s) sur les surfaces extérieures ainsi qu'au sein de structures
Conclusions et perspectives.
- 176 -
fissurées et sollicitées. Les développements de montages expérimentaux ont été entrepris dans
le but de comprendre les phénomènes mécaniques proches de la pointe de fissure. La création
de programmes d'éléments finis représentatifs, du comportement linéaire ou non linéaire
présent en pointe de fissure par comparaison de champs cinématiques expérimentaux, a
largement contribué aux formulations mathématiques empiriques des champs de
déplacements 3D. La comparaison surfacique de ces résultats a permis de valider le choix du
maillage, les conditions aux limites et les lois de comportement imposées dans les modèles.
Les comparaisons qui vont être menées avec des mesures à cœur conduiront alors à une
représentation globale et très fine des champs cinématiques d’un milieu fissuré. Nous avons
montré, par nos travaux et l’apport des mesures de champs par voie optique, que ce type
d’étude devait être étendu à la compréhension de la rupture dynamique. La conjugaison du
développement de systèmes d'acquisition plus rapides, de sources plus puissantes et de
moyens numériques mieux appropriés (traitement d'images et éléments finis) ouvre de
nombreuses perspectives pour généraliser aux phénomènes de rupture dynamique les
démarches hybrides successivement développées.
Annexe.
- 177 -
Annexe.
Cette annexe présente les interférogrammes, les résultats des déplacements théoriques,
expérimentaux et de la formulation empirique proposée pour les différentes vitesses de
propagation (V) (V= 430, 540 et 690 m.s-1).
t=0 s t=60 s t=70 s t=80 s
R=r/h=1
x
y
r
xy
r
yx
r
figure 1 : Interférogrammes enregistrés par la caméra ultra-rapide pour V=430 m.s-1.
R=r/h
R=r/h R=r/h
R=r/h
[mm] [mm]
[mm] [mm]
=0° =45°
=90° =135°
figure 2 : Profils des déplacements hors-plan expérimentaux, théoriques et de la formulation
3D proposée pour l'essai 2 (V=430 m.s-1).
Sur la figure 2, nous distinguons la zone de décrochement et la zone où les déplacements de la
formulation 3D et de la théorie bidimensionnelle sont égaux, elle se situe autour de R3.
Annexe.
- 178 -
La figure 3 représente les interférogrammes obtenus pour une vitesse de propagation
V = 540 m.s-1.
t=0 s t=20 s t=24 s
R=r/h=1
rx
y
rx
y
figure 3 : Interférogrammes enregistrés par la caméra ultra-rapide pour V=540 m.s-1.
R=r/h
R=r/h R=r/h
R=r/h
[mm] [mm]
[mm] [mm]
=0° =45°
=90° =135°
figure 4 : Profils des déplacements hors-plan expérimentaux, théoriques et de la formulation
3D proposée pour l'essai 4 (V=540 m.s-1).
Sur la figure 4, la zone de décrochement n'est pas directement visible à partir du champ
d'étude expérimental, mais ale développement de la formulation 3D permet de dimensionner
la zone 3D pour V=540 m.s-1.
Annexe.
- 179 -
La figure 5 représente les interférogrammes obtenus pour une vitesse de propagation
V = 690 m.s-1.
t=0 s t=40 s
R=r/h=1
rx
y
figure 5 : Interférogrammes enregistrés par la caméra ultra-rapide pour V=690 m.s-1.
R=r/h
R=r/h R=r/h
R=r/h
[mm] [mm]
[mm] [mm]
=0° =45°
=90° =135°
figure 6 : Profils des déplacements hors-plan expérimentaux, théoriques et de la formulation
3D proposée pour l'essai 5 (V=690 m.s-1).
Sur la figure 6, nous présentons les différents résultats pour une vitesse V=690 m.s-1, soit une
vitesse proche de la vitesse de Rayleigh (V700 m.s-1), autrement dit nous sommes proche du
branchement de fissures.
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Liste des illustrations.
- 189 -
Liste des illustrations.
Chapitre 1 : Mécanique de la rupture bidimensionnelle et méthodes
optiques mise en œuvre en fissuration.
Figure :
figure 1.1 : Schéma d'une barre d'Hopkinson en compression................................................. 22
figure 1.2 : Représentation d'une éprouvette fissurée d'épaisseur (h) et sollicitée en mode I.. 23
figure 1.3 : Différents modes de chargement d'une éprouvette fissurée. ................................. 24
figure 1.4 : Plaque fissurée, milieu bidimensionnel infini en mode mixte............................... 26
figure 1.5 : Déplacement ux selon les formulations (1.11), (1.14) et (1.16)............................. 29
figure 1.6 : Eprouvettes normalisées pour un mode I de chargement. ..................................... 30
figure 1.7 : Rapport entre l'expression de Labbens et l'expression de Tada. ........................... 32
figure 1.8 : a) Contour d'intégration circulaire. b) Contour d'intégration rectangulaire. ......... 39
figure 1.9 : a) Principe de l'interféromètre de Michelson. b) Interférogramme obtenu en pointe
de fissure [1]..................................................................................................................... 42
figure 1.10 : Principe du moiré................................................................................................. 44
figure 1.11 : Principe du moiré interférométrique.................................................................... 45
figure 1.12 : Schéma du montage expérimental CGS en réflexion. ......................................... 48
figure 1.13 : a) Principe physique de la formation des caustiques [1]. b) Exemples de
caustiques obtenues en transmission. ............................................................................... 49
figure 1.14 : a) Mouchetis déposé sur la surface d'une éprouvette en polycarbonate (taille du
grain 50-100 m). b) Vecteur déplacement associé pour un chargement F = 1010 N. ... 51
figure 1.15 : Paramètres principaux définissant une grille (p=50 m)..................................... 52
Tableau :
tableau 1.1 : Avantages et inconvénients des différentes méthodes optiques. ......................... 56
Liste des illustrations.
Chapitre 2 : Fissures stationnaires : Analyse des champs de déplacements
plans.
Figure :
figure 2.1 : Principe de superposition [81] ............................................................................... 66
figure 2.2 : Définition de la zone d'étude pour une image de grille. ........................................ 69
figure 2.3 : Organigramme pour obtenir les déplacements expérimentaux ux et uy. ................ 70
figure 2.4 : Principe du suivi de marqueurs. ............................................................................ 71
figure 2.5 : a) courbe contraintes-déformations pour le PMMA. b) courbe contrainte-
déformation pour le PSM4. .............................................................................................. 72
figure 2.6 : Montage expérimental pour le PMMA.................................................................. 73
figure 2.7 : Montage expérimental pour le PSM4.................................................................... 74
figure 2.8 : a) Cartographie de phase x(r,) présentant des nodules. b) Extraction d'une
ligne de phase comportant des nodules. ........................................................................... 74
figure 2.9 : a) Cartographie de phase pour une grille inclinée à 45 degrés. b) Cartographie de
phase pour une grille inclinée à 16 degrés. c) Cartographie de phase pour une grille
recalée spatialement par rapport à la grille CCD. ............................................................ 76
figure 2.10 : Champs de déplacements théoriques et expérimentaux ux et uy.......................... 78
figure 2.11 : Déplacements théoriques et expérimentaux ux pour différents angles . ............ 79
figure 2.12 : Déplacements théoriques et expérimentaux uy pour différents angles . ............ 79
figure 2.13 : Représentation et maillage du quart de cylindre. ................................................ 81
figure 2.14 : Champs de déplacements expérimentaux et champs de déplacements numériques
pour une modélisation de plaque infinie. ......................................................................... 83
figure 2.15 : Evolution des déplacements ux expérimentaux, théoriques et numériques pour
une plaque infinie. ............................................................................................................ 84
figure 2.16 : Evolution des déplacements de uy expérimentaux, théoriques et numériques pour
une plaque infinie. ............................................................................................................ 84
figure 2.17 : Représentation et maillage du quart de l'éprouvette............................................ 85
figure 2.18 : Champs de déplacements expérimentaux et numériques sur la surface libre...... 86
figure 2.19 : Evolutions de ux pour les résultats expérimentaux, numériques et théoriques.... 87
figure 2.20 : Evolutions de uy pour les résultats expérimentaux, numériques et théoriques.... 87
Liste des illustrations.
- 191 -
figure 2.21 : Extraction des gradients de déplacements numériques et de la formulation
d'Arakawa......................................................................................................................... 89
figure 2.22 : Evolution de Gx() dans l'intervalle ]- , [. ....................................................... 91
figure 2.23 : Evolution de Gy() dans l'intervalle ]- , [. ....................................................... 91
figure 2.24 : champs de déplacements (ux et uy) obtenus à partir des formulations proposées et
des simulations numériques. ............................................................................................ 93
figure 2.25 : Profils des gradients numériques, des gradients des formulations proposées et des
gradients de la formulation d'Arakawa............................................................................. 94
figure 2.26 : Calcul des différentes intégrales J pour le PSM4. ............................................... 96
figure 2.27 : Champs de déplacements (ux, uy) pour le PMMA et pour P1 = 498,5 N............. 99
figure 2.28 : Champs de déplacements (ux, uy) pour le PMMA et pour P2 = 1255 N............ 100
figure 2.29 : Evolution des déplacements ux pour le PMMA et pour P1 = 498,5 N............... 101
figure 2.30 : Evolution des déplacements uy pour le PMMA et pour P1 = 498,5 N............... 101
figure 2.31 : Evolution des déplacements ux pour le PMMA et pour P2 = 1255 N................ 102
figure 2.32 : Evolution des déplacements uy pour le PMMA et pour P2 = 1255 N................ 102
figure 2.33 : a) Calcul des intégrales J pour le chargement P1=498,5N. b) Calcul des intégrales
J pour le chargement P2=1255N..................................................................................... 103
figure 2.34 : Organigramme pour le calcul des deux critères. ............................................... 105
figure 2.35 : Evolution de deux critères en fonction de (a).................................................... 107
figure 2.36 : Evolutions des sept variables en fonction de l'épaisseur (h). ............................ 109
figure 2.37 : Evolutions paramétrées des sept variables en fonction de l'épaisseur (h). ........ 111
figure 2.38 : Evolutions des sept variables en fonction de la longueur de fissure (a)............ 113
figure 2.39 : Evolutions paramétrées des sept variables en fonction (a)................................ 114
Tableau :
tableau 2.1: Caractéristiques mécaniques (E, ) du PMMA et du PSM4. ............................... 72
tableau 2.2: Paramètres modifiés pour éliminer les nodules. ................................................... 75
tableau 2.3: Caractéristiques mécaniques et géométriques de l'éprouvette en PSM4.............. 78
tableau 2.4 : Valeurs des constantes intervenant dans les formulations proposées ux et uy. .... 92
tableau 2.5 : Valeurs des sept variables pour le PSM4 et un chargement de 9,53 N. .............. 95
tableau 2.6: Caractéristiques mécaniques et géométriques de l'éprouvette en PMMA............ 97
tableau 2.7 : Valeurs des sept variables pour le PMMA et un chargement de 498,5 N. .......... 97
tableau 2.8 : Valeurs des sept variables pour le PMMA et un chargement de 1255 N. ........... 97
Liste des illustrations.
tableau 2.9 : Valeurs des sept variables pour le PMMA et un chargement de 498,5 N. .......... 98
tableau 2.10 : Valeurs des sept variables pour le PMMA et un chargement de 1255 N. ......... 98
tableau 2.11 : Tableau récapitulatif des KI_num obtenu pour des plaques finies. .................... 106
tableau 2.12 : Tableau des valeurs de norm_x et norm_y......................................................... 108
Chapitre 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.
Figure :
figure 3.1 : La caméra Cranz-Schardin du L.M.S de Poitiers. ............................................... 124
figure 3.2 : Définition de la zone d'étude pour une image de franges.................................... 127
figure 3.3 : a) Prototype de la caméra. b) Caractéristiques de la caméra. .............................. 128
figure 3.4 : Principe de fonctionnement des caméras et des intensifieurs.............................. 129
figure 3.5 : signaux du photomultiplicateur et du déclenchement des caméras. .................... 133
figure 3.6 : Montage expérimental pour l'étude en dynamique.............................................. 134
figure 3.7: Schématisation numérique du montage expérimental. ......................................... 135
figure 3.8 : Présence de dédoublement de franges sur l'interférogramme pour V = 540 m.s-1.
........................................................................................................................................ 136
figure 3.9 : a) Interférogramme pour une vitesse de propagation de 220 m.s-1. b)
Interférogramme pour une vitesse de propagation de 480 m.s-1. ................................... 137
figure 3.10 : Interrupteur en argent peint à la surface de la plaque........................................ 138
figure 3.11 : Le photomultiplicateur. ..................................................................................... 138
figure 3.12 : Visualisation du petit miroir sur un interférogramme. ...................................... 139
figure 3.13 : a) système de déclenchement à ressort, b) système de déclenchement à air
comprimé........................................................................................................................ 139
figure 3.14 : Vitesse de propagation de fissure V en fonction du chargement . .................. 140
figure 3.15 : a) Interférogrammes enregistrés par la caméra ultra-rapide pour V=220 m.s-1. b)
Champs de phase (x,y,t) correspondant aux différents interférogrammes. .................. 141
figure 3.16 : a) Interférogrammes enregistrés par la caméra ultra-rapide pour V=480 m.s-1. b)
Champs de phase (x,y,t) correspondant aux différents interférogrammes. .................. 142
figure 3.17 : Profils du déplacement hors-plan absolu Uz(x,y) pour t=90 s et V=220 m.s-1.143
figure 3.18 : Profils du déplacement hors-plan absolu Uz(x,y) pour t=60 s et V=480 m.s-1.143
figure 3.19 : Profils des déplacements hors-plan expérimentaux et théoriques pour l'essai 1
(V = 220 m.s-1). .............................................................................................................. 144
Liste des illustrations.
- 193 -
figure 3.20 : Profils des déplacements hors-plan expérimentaux et théoriques pour l'essai 3
(V = 480 m.s-1). .............................................................................................................. 145
figure 3.21 : Valeurs de KId-2D pour chacun des essais en fonction R et = 0°..................... 147
figure 3.22: Comportement des trois termes de la formulation 3D en fonction de (R, = 0°).
........................................................................................................................................ 149
figure 3.23 : a) c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une position en amont de la pointe. b) erreur de mesure
en déplacement (justesse + fidélité). .............................................................................. 151
figure 3.24 : a) c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une position en aval de la pointe. b) erreur de
mesure en déplacement (justesse + fidélité)................................................................... 151
figure 3.25 : a) c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une position à 45 degrés de la pointe. b) erreur de
mesure en déplacement (justesse + fidélité)................................................................... 152
figure 3.26 : a) c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une position à 90 degrés de la pointe. b) erreur de
mesure en déplacement (justesse + fidélité)................................................................... 152
figure 3.27 : c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une erreur de uo(t). b) erreur de mesure en déplacement
(justesse + fidélité). ........................................................................................................ 153
figure 3.28 : c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une inclinaison du front de fissure. b) erreur de mesure en
déplacement (justesse + fidélité). ................................................................................... 154
figure 3.29 : c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une variation du grandissement. b) erreur de mesure en
déplacement (justesse + fidélité). ................................................................................... 155
figure 3.30 : Evolution de la formulation 3D minimisée par rapport aux données
expérimentales pour V=220 m.s-1. ................................................................................. 157
figure 3.31 : Evolution de la formulation 3D minimisée par rapport aux données
expérimentales pour V=480 m.s-1. ................................................................................. 157
figure 3.32 : Formulation 3D et données expérimentales pour V=220 m.s-1 et t=90 s. ....... 158
figure 3.33 : Formulation 3D et données expérimentales pour V=480 m.s-1 et t=60 s. ....... 158
figure 3.34 : Valeurs de KId-3D pour chacun des essais en fonction R et = 0°..................... 159
figure 3.35 : Etendue de la zone 3D en fonction de la vitesse de propagation V................... 161
figure 3.36 : Extraction de R3D fonction du chargement pour les différents essais. ........... 162
figure 3.37 : Extraction de R3D fonction de la vitesse de propagation V pour les différents
essais............................................................................................................................... 162
figure 3.38 : a) Déplacements hors-plan théoriques normalisés. b): Déplacements hors-plan
expérimentaux normalisés.............................................................................................. 163
Liste des illustrations.
figure 3.39 : Extraction de R3D fonction de la vitesse de propagation V pour les différents
essais et analyse du faciès de rupture. ............................................................................ 165
figure 3.40 : a) Microscope confocal Taylor Hobson. b): Echantillon de PMMA placé devant
l'objectif.......................................................................................................................... 166
figure 3.41 : Principe du microscope interférométrique en lumière blanche. ........................ 166
figure 3.42 : Construction des champs d'étude....................................................................... 168
figure 3.43 : Relief de la surface libre d'une plaque............................................................... 168
figure 3.44 : topographies des faciès de rupture..................................................................... 169
figure 3.45 : Aire développée et rugosité du faciès de rupture en fonction de ()................. 170
Tableau :
tableau 3.1: Tableau récapitulatif des besoins et des moyens pour le déplacement hors-plan.
........................................................................................................................................ 133
tableau 3.2: tableau récapitulatif des données expérimentales des 5 essais. .......................... 141
tableau 3.3 : Tableau récapitulatif des vitesses V et des d-FIC associés. .............................. 146
tableau 3.4 : Tableau récapitulatif des paramètres modifiés pour l'étude de sensibilité. ....... 150
tableau 3.5 : valeurs de c1, c2 et c3 obtenus par minimisation pour les différents essais........ 156
tableau 3.6 : Caractéristiques des objectifs. ........................................................................... 167
ANNEXE :
Figure :
figure 1 : Interférogrammes enregistrés par la caméra ultra-rapide pour V=430 m.s-1.......... 177
figure 2 : Profils des déplacements hors-plan expérimentaux, théoriques et de la formulation
3D proposée pour l'essai 2 (V=430 m.s-1). ..................................................................... 177
figure 3 : Interférogrammes enregistrés par la caméra ultra-rapide pour V=540 m.s-1.......... 178
figure 4 : Profils des déplacements hors-plan expérimentaux, théoriques et de la formulation
3D proposée pour l'essai 4 (V=540 m.s-1). ..................................................................... 178
figure 5 : Interférogrammes enregistrés par la caméra ultra-rapide pour V=690 m.s-1.......... 179
figure 6 : Profils des déplacements hors-plan expérimentaux, théoriques et de la formulation
3D proposée pour l'essai 5 (V=690 m.s-1). ..................................................................... 179
Publications.
- 195 -
Publications.
Article dans une revue internationale : HEDAN, S., POP O., VALLE, V., COTTRON, M. « Dynamic optical interferometry applied to analyse out-of-plane displacement fields for crack propagation in brittle materials », Journal de Physique IV, 134, pp 597-601, (2006). HEDAN, S., VALLE, V., COTTRON, M. « Localisation expérimentale des effets 3D et transitoires en pointe de fissure pour différentes vitesses de propagation sur des matériaux fragiles », C.R. de Mécanique, 335(4), pp 238-244, (2007). HEDAN, S., VALLE, V., COTTRON, M. « Revisited in-plane displacements formulation for finite plate under mode I from grids method and finite element analysis. », Accepté pour publication Experimental Mechanics. HEDAN, S., POP O., VALLE, V., COTTRON, M. « FE and experimental investigation with shadow optical method for measuring plastic zone in a ductile cracked plate. », Accepté pour publication Strain.
Communications dans un congrès international avec publications des actes : HEDAN, S., VALLE, V., COTTRON, M. « Experimental study of the out-of-plane displacement fields for different crack propagation velocities », 13th International Conference on Experimental Mechanics, Alexandroupolis (Greece), 1-6 July 2007. HEDAN, S., VALLE, V., COTTRON, M., BREMAND, F. « Out-of-plane displacement measurement near the crack tip during a crack propagation: Validation of a 3D formulation for a specimen in PMMA loaded in mode I », 6th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (ICIAM) session GAMM, Zurich (Swiss), 16-20 July 2007.
Communications dans un congrès national avec publications des actes : HEDAN, S., VALLE, V., COTTRON, M. « Mesure du déplacement hors-plan en pointe de fissure lors de sa propagation : Validation d’une formulation 3D pour une plaque en PMMA sollicitée en mode I », 18ème Congrès Français de Mécanique, Août 2007, Grenoble.
Conférence invitée : HEDAN, S., VALLE, V., COTTRON, M. « Interférométrie dynamique pour l’étude de la propagation de fissures sur des matériaux fragiles. Etendue de la zone des effets tridimensionnels et transitoires en pointe de fissure », MESUREXPO, colloque ASTELAB : session Extensiométrie, 25-27 Septembre 2007.
Mesures par voie optique de champs cinématiques pour l'étude du comportement de plaques élastiques fissurées et chargées en mode I : Formulation des déplacements 2D
par confrontation numérique/expérience en statique. Analyse des effets 3D en dynamique.
Résumé : Ce mémoire porte sur l'étude des champs de déplacements expérimentaux dans les plaques élastiques fissurées, chargées en mode I. L'extraction des déplacements expérimentaux est réalisée à partir d'une méthode d'extraction de phase à une seule image. La première partie de ce mémoire, concerne l'étude des champs de déplacements entourant la pointe de fissure pour des fissures stationnaires. La méthode des grilles est utilisée pour déterminer les champs de déplacements dans le plan sur la surface libre. Parallèlement aux essais expérimentaux, une modélisation par éléments finis est réalisée pour valider les conditions aux limites numériques et les formulations empiriques proposées. Ces formulations caractérisent les déplacements dans le plan et les gradients de déplacements nécessaires au calcul de l'intégrale J. La seconde partie de ce mémoire porte sur l'étude des effets 3D et transitoires par confrontation de la formulation théorique et des résultats expérimentaux des déplacements hors-plan. L'accès aux déplacements hors-plan absolus par interférométrie de Michelson n'est pas direct, l'utilisation d'un photomultiplicateur et la soustraction d'un relief initial est nécessaire. La zone de décrochement évoluant avec la vitesse de propagation (V) nous incite à développer une formulation empirique du déplacement minimisée par rapport aux données expérimentales. Mots clés : Rupture ; Méthode des grilles ; Déplacements plans ; Eléments finis ; Intégrale J; Propagation de fissure dynamique ; Interférométrie de Michelson ; Déplacement hors-plan ; Effets tridimensionnels et transitoires ; Facteur d'Intensité de contraintes. Optical measurement of kinematic fields for the behaviour study of elastic plates loaded
in mode I: Formulation of two-dimensional displacements by confrontation numerical/experimental in static. Analysis of the 3D effects in dynamics
Abstract: This work concerns the study of the experimental displacement fields in the elastic cracked plates, loaded in mode I. The experimental displacement extraction is realised from a method of extraction from in the single picture. The first part of this memory, concerns the study of the displacements fields in the vicinity of the crack tip for stationary cracks. The grids method is used to determine the in-plan displacement fields on the free surface. At the same time as experimental tries, a finite element model is making to validate numerical conditions in the borders and displacement empirical formulations. These formulations characterize in plan displacements and gradients displacements necessary for the J-integral calculation. The second part of this memory concerns the study of the 3D and transient effects by confrontation of the theoretical formulation and the experimental data of the out-of-plane displacement for a propagating crack. The determination of the absolute out-of-plane displacements by Michelson interferometer is not directly, the purpose of a photomultiplier and the subtraction of an initial relief is necessary. The detachment zone according to the crack propagation velocity (V) we incite to develop an empirical formulation of out-of-plane displacements with minimised from the experimental results. Keywords: Fracture mechanics; Grids method; In-plane displacements; J-integral; Finite element analysis; Dynamic crack propagation; Michelson interferometer; Out-of-plane displacement; 3D and transient effects; Stress intensity factor.
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