mécanique physique matériaux

1/85MPMAlain Ehrlacher

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Mécanique-physique des matériaux

et de comprendre les concepts utilisés par les codes de calcul industriels pour les calculs en grandes transformations.

L’objectif principal de cette partie du cours est de fournir la culture minimale permettant d’écrire

des comportements de matériaux en grandes déformations

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Programme indicatifSéance 1: Classification des matériaux

Séance 2: Une méthode générale de modélisation en mécanique:

description géométrique des objets, description du mouvement, déformation, contrainte,comportement.

L’exemple de la « MMC classique », la mécanique de Cauchy: concepts dedéformation et de contrainte en grandes transformations.

Séance 3: Écriture générale des relations constitutives.

Dérivée matérielle, équations de bilan, analyse thermodynamique des processus de déformation, objectivité, introduction des hypothèses de simplicité matérielle et d’indifférence matérielle, rôle de la rotation de la matière.

Forme la plus générale de l’écriture des comportements sous ces hypothèses.

Les difficultés de l’identification expérimentale

Questionnaire

Séance 4: Comportement des polymères et des élastomères:

élasticité entropique, élasticité enthalpique

Séance 5: Comportement hyperélastique. Identification expérimentale.

Séance 6: Etude de cas de calcul de structures en hyperélasticité

Rapport sur l’étude de cas ou devoir

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Séance 3

La Mécanique des milieux tridimensionnels classique suite et finNiveau 3: Thermodynamique et comportement

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La Mécanique des milieux tridimensionnels classique

Niveau 1: Géométrie et cinématique

Niveau 2: Définition des efforts

Niveau 3: Thermodynamique et comportement

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2/ Description du mouvement et cinématique

1/ Description de la famille d ’objets

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3/ Principe des puissances virtuelles

2/ Choix des formes linéaires définissant les efforts

1/ Choix de l ’espace vectoriel des mouvements virtuels

Méthode des puissances virtuelles

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3/ Relations constitutives

1/ Analyse thermodynamique du processus de déformation

2/ Objectivité

Mais d’abord quelques rappels de définitions et résultats généraux

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Conservation de la masse

dtxtM ,)(

0,.,,,)(

dStxntxvtxdtxt

0,,,)(

dtxvtxdivtxt

txvtxdivtxt

tPour tout domaine

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Dérivée matérielle

txvtxggradtxt

gtxg ,.,,,

ttXxgtXg ,,,~

Evolution de g attachée à la particule X

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Equations de bilan

G =Variation de G dans le temps en suivant la matière

GA = Apports extérieurs

GP = Production interne

Exemple:

G grandeur attachée à une quantité de matière (par exemple la masse M ).

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Equations de conservation

Exemples: Conservation de la masse Conservation de la quantité de mouvement (équilibre)Conservation de l ’énergie totale (Premier principe de la thermodynamique)

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Évolution de G attachée à un ensemble de particules

dtxgtxtG ,,)(

dStxntxvtxgtxdtxgtxt

tG ,.,,,,,)(

dtxvtxgtxdivtxgtxt

tG ,,,,,)(

Equations de bilan

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dtxvtxgtxdivtxgtxt

tG ,,,,,)(

txvtxgtxdiv ,,,

dtxgtxtG ,,)(

dvggradgt

gtG .)(

txvtxdivtxg ,,, txvtxtxggrad ,,.,

dtxvtxgtxdivtxgtxt

tG ,,,,,)(

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L’apport extérieur GA est décomposé en

Un apport volumique et un apport surfacique

dSt,xadt,xaA SG

dt,xpP GG

La production interne GP est généralement volumique

Equations de bilan

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GG PAG

dt,xgt,xG

dSt,xadt,xaA SG

dt,xpP GG

dSt,xadt,xpt,xat,xgt,x SGG

t,xn.t,xat,xa SG

SG Alors

t,xaSG sont les flux extérieurs

Equations de bilan

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GG PAG

dSt,xn.t,xadt,xpt,xat,xgt,x SGG

dt,xadivt,xpt,xat,xgt,xt

t,xadivt,xpt,xat,xgt,x SGG

Forme locale de l’équation de bilan

Equations de bilan

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t,xadivt,xpt,xat,xgt,x SGG

Forme locale de l’équation de bilan

Exemple: Bilan (conservation) de la quantité de mouvement

t,xdivt,xft,xvt,x 0

accélération Force de volume Contrainte de Cauchy

Conservation

Equations de bilan

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Inégalité de Clausius Duhem

Équation de bilan d ’entropie

Équation de conservation de l ’énergie totale

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1/ Analyse thermodynamique du processus de déformationOn postule l’existence de l’énergie totale T attachée à l’ensemble des particules considérées

L’énergie totale comprend l’énergie cinétique C

L’énergie totale moins l’énergie cinétique est appelée l’énergie interne E

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QPCE EXT

Le premier principe de la thermodynamique postule la conservation de l ’énergie totale

QPA EXTT

Les particules ne produisent pas d’énergie

L’apport extérieur d’énergie comprend la puissance des efforts extérieurs dans le champ de vitesses réelles

TAEXTP

La différence entre l’apport extérieur d’énergie et la puissance des efforts extérieurs est appelée apport de chaleur

TAEXTP Q

Équation globale de conservation de l’énergie totalePremier principe de la thermodynamique en MMC:

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dtxvtxvtxtC ,.,,2

dtxtxvtxtC ,.,,)(

txvtxvgradtxt

vtxvtx ,.,,,,

La dérivée matérielle de l’énergie cinétique n’est rien d’autre que la puissance des efforts d’accélération dans le champs de vitesse réelle .

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Le premier principe de la thermodynamique implique donc :

QPCE EXT 0 QPPE EXTACC

EXTACCINT PPP

0 QPE INT

Équation de bilan d’énergie interne

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dtxetxtE ,,)(

dtxdtxtPINT ,:,)(

dStxntxqdtxrtQ ,.,,)(

dtxqdivtxrtQ ,,)(

0QPE INT

dt,xqdivt,xrt,xd:t,xt,xet,x

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0,,,:,,, txqdivtxrtxdtxtxetx

Forme locale du premier principe de la thermodynamique.

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SS PAS

Le second principe de la thermodynamique postule que lesparticules ne peuvent avoir qu’une production positive d’entropie

On postule l’existence d’une grandeur scalaire Smesurant le désordre dans l’ensemble des particules

Cette grandeur scalaire S est appelée l’entropie

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Forme locale du deuxième principe de la thermodynamique :

dtxstxtS ,,)(

dtxptP SS ,)(

0, txpS

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L ’apport d’entropie est lié à l’apport de chaleur qui provoque au niveau microscopique une agitation des molécules.

terme surfacique dont le flux sortant sur estt txT

,terme de volume de densité

L’apport extérieur d’entropie

Nous postulons l’existence d’une grandeur scalaire positive appelée température absolue T telle que l’apport extérieur d’entropie est égal à l’apport de chaleur divisé par la température absolue.

Pour le même apport de chaleur, l’augmentation du désordre seramoindre si le matériau est déjà chaud et ses molécules très agitées.

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txntxqd

txrtAS ,

txqdiv

txrtAS ,

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Le bilan d’entropie peut se réécrire :

SS PAS

dtxptxT

txqdiv

txrtxstx S

,,, 2 txp

txTgradtxq

txqdiv

txrtxstx S

forme locale du bilan d’entropie

t,xTgrad.t,xq

t,xqdiv

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Forme locale du bilan d ’énergie interne

,,, 2 txp

txTgradtxq

txqdiv

txrtxstx S

0,,,:,,, txqdivtxrtxdtxtxetx

,.,,,,,,:, txptxT

txTgradtxqtxstxTtxetxtxdtx S

txr ,L’apport volumique de chaleur étant très difficile à connaître il est commode de combiner ces deux équations pour éliminer

forme locale du bilan d’entropie

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On introduit alors la définition de la densité massique d’énergie libre

,.,,,,,,:, txptxT

txTgradtxqtxstxTtxetxtxdtx S

txstxTtxetx ,,,,

.: STp

TgradqsTd

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Tgrad.qsTd.tr

.FJ 1 F.

F.F tt 1

Stt TJp

F.Tgrad.q.FJsTJF.d.F:F.FJ

11 F.FJ t F.d.Fe t J0 F.TgradTGrad

q.FJq 1

SS Jpp 0

0000 STp

TGrad.qsTe:

0 ss 0

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0, txpS

,.,,,,,,:,

txTgradtxqtxstxTtxtxtxdtx

dissipation intrinsèque volumique dissipation thermique volumique

.: STp

TgradqsTd

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t,xTgrad.t,xqt,xst,xTt,xt,xt,xd:t,x

dissipation intrinsèque volumique

dissipation thermique volumique

000 t,XT

t,XTGrad.t,Xqt,Xst,XTt,Xt,Xt,Xe:t,X

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2/Objectivité

Définition de l ’objectivité

Changement de référentiel

Pour les champs scalaires

Pour les champs vectoriels

Pour les champs tensoriels

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Changement de référentiel

orthogonaltOtbxtOx **** .

tbtXtOtX *** ,.,

tXFtOtXF ,., **

iiexx Dans R:

***ii exx Dans R*:

2/Objectivité

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Champs scalaires objectifs

tXFtOtXF ,., **

tXFtXF ,det,det * (invariant)

2/Objectivité

Exemple: élément de volume

0 dFdetd 0 dFdetd **

Donc: *dd

Sca(x,t) est un champ scalaire objectif, si et seulement siDéfinition:

t,xScat,xSca **

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Exemples de Champs scalaires objectifs

ttXxTttXxT ,,,,**

ttXxettXxe ,,,,**

ttXxrttXxr ,,,,**

ttXxsttXxs ,,,,** Densité massique d ’entropie

Apport volumique de chaleur

Densité massique d ’énergie interne

Température

2/Objectivité

t,xt,x** Masse volumique

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Champs de vecteurs objectifs

t,xVec.tOt,xVec ***

Vec(x,t) est un champ de vecteurs objectif si et seulement siDéfinition:

2/Objectivité

Exemple: vecteur matériel

0dM.FdM 0dM.FdM **

tXFtOtXF ,., **

dM.tOdM **

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Exemples de champs de vecteurs non objectifs

tbxtOx *** .

tbtXtOtX *** ,.,

tbtXtOtXVtOtXV**** ,.,.,

tbtbtXtOtOtXVtOtXV t ******* ,..,.,

Champ de vitesses non objectif

Position non objective

2/Objectivité

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Exemple de champ de vecteurs objectif

*** .,,,,x

xttXxgradttXxgrad

t,t,Xxgrad.tOtO.t,t,Xxgradx

x.t,t,Xxgrad **t

Le gradient d ’un champ scalaire objectif est un champ de vecteurs objectif

2/Objectivité

tbxtOx *** . tbxtOx t ***.

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Autres exemples de champs de vecteurs objectifs

txftOtxf ,., ***

txqtOtxq ,., ***

Le flux de chaleur est objectif

La force massique est objective

2/Objectivité

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Champs de tenseurs d ’ordre 2 objectifs

tO.t,xTen.tOt,xTen *t***

2/Objectivité

Exemple: MddM

dM.tOdM **

tO.MdMd.tOMd*t**

tO.MddM.tOMddM*t***

Ten(x,t) est un champ de tenseurs d’ordre 2 objectif si et seulement si

Définition:

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Exemples de champs de tenseurs d ’ordre 2 non objectifs

tXFtOtXF ,., **

tOtOtOVgradtOVgrad tt ****** ...

CtXFtXFtXFtOtOtXFFFC tttt ,.,,...,. *****

Tenseur de dilatation de Cauchy non objectif

Gradient du champ de vitesses non objectif

Gradient de la transformation non objectif

2/Objectivité

Chaque composante du tenseur de dilatation de Cauchy est objective

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Champs de tenseurs d ’ordre 2 objectifs

txVgradtxVgradtxd t ,,2

1, ********

tbtbxtOtOVtOV t ******* ...

tOtOtOVgradtOVgrad tt ****** ...

tOdtOd t *** ..

Exemple: Taux de déformation

Antisymétrique

2/Objectivité

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Exemples de champs de tenseurs d ’ordre 2 objectifs

tOdtOd t *** ..

tOtO t *** ..

Taux de déformation objectif

Tenseur de contrainte de Cauchy objectif

2/Objectivité

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Champs de tenseurs d ’ordre n objectifs

nnnn iiijijjj AOOA ....***

.... 1111......

***.... det......

1111OAOOA

nnnn iiijijjj

Définition:Un champ de tenseurs d ’ordre n est axialement objectif si:

Définition:Un champ de tenseurs d ’ordre n est objectif si:

2/Objectivité

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t,xBt,xB **

Bt,xV.t,xBgradt,xB *

********

Bbx.OV.O.O.BgradB

*****t*

***t***t* bx.O.O.Bgradt

Bbx.O.O.BgradV.BgradB

BV.BgradB*

Bt,xV.t,xBgradt,xB

Dérivée à X fixé

Dérivée à x* fixé

tbx.tOx *** tbx.tOx ***t

t,t,xxBt,xB ***

tb.tOtbx.tOt

x **t***t tb.tOx.tO.tO

x **t**t

tbx.tO.tOt

x ***t ***t

bx.O.O.Bgradt

2/Objectivité

Dérivée matérielle d ’un Champ scalaire B objectif

La dérivée matérielle d ’un champ scalaire objectif est objective.

Faux si le champ n ’est pas scalaire!!!

Antisymétrique

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1/ Analyse thermodynamique de la déformation

2/ Objectivité

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Forme la plus générale des relations constitutives

Principe d’indifférence matérielle

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Histoire jusqu’à l ’instant t d ’une grandeur g attachée à X: fonction définie sur pour tout tXg t

,XgXg t

XtXgXg t

0,0 surdéfinieg t

tetsurdéfinieg t 0,0

tXXgXg t ,,, 0,0

Notations:

Histoire de la Distribution de g sur jusqu’à l ’instant t :0

Distribution de g sur à l ’instant t :0

Exemple: trajectoire de X tX

Exemple: Configuration à l’instant t t,0

Exemple:Histoire de la Configuration

3/Relations constitutives (comportement)

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tetsurdéfinieT tt 0,, 00,

tXXXt ,,, 0,0

tXXTXT t ,,, 0,0

Définitions des processus:

(Inconnues principales):

Histoire de la Distribution de tetsurdéfiniesTet 0

Processus jusqu ’à t sur 0

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tetsurdéfinieft

tetsurdéfinier t 0,0

Données:

Histoire de la Distribution des forces massiques et des apports volumiques de chaleur sur jusqu’à l ’instant t0

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tsp ,0

Grandeurs constitutives:Histoire de la Distribution des inconnues auxiliaires sur jusqu’à l’instant t 0

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Histoire de la Distribution des inconnues auxiliaires sur 0 jusqu’à l’instant tfonctions du processus

tttt TEe ,,,, 0000,

ttttTQq ,,,, 0000

ttttT ,,,, 0000

tttt TSs ,,,, 0000,

tttts TPp ,,,, 0000,

Relations constitutives:

Ceci est la forme la plus générale du comportement dans le cadre de la mécanique des milieux de Cauchy.

Notez que ce comportement est « non local »

Par exemple la contrainte est fonction des positions de toutes les particules

Fonctionnelles d’Histoires de Distribution

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Hypothèse des Matériaux simples: Inconnues auxiliaires en X à l’instant t fonctions locales du processus

tttttX XTGradXTXFXEttXxe ,,,,, ,

tttttXXTGradXTXFXQttXxq ,,,,,

tttttXXTGradXTXFXttXx ,,,,,

tttttX XTGradXTXFXSttXxs ,,,,, ,

tttttXs XTGradXTXFXPttXxp ,,,,, ,

Relations constitutives:

Fonctionnelles d’Histoires

Le Comportement est local

Inconnues principales en X et dans le voisinage seulement (Premier gradient)

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Principe d ’indifférence matérielle:

tttttX XTGradXTXFXEe ,,,,

tbxOx *** .

,,,,** XeXe

tttttX XTGradXTXFXEe ****,

tbetO **

Comportement indépendant de l ’observateur

C’est la même fonctionnelle

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tttttX XTGradXTXFXEe ,,,,

tttttXtttttX XTGradXTXFXEXTGradXTXFXE ****,, ,,,,,,

tbetO **

tXbetO ,1 **

Premier choix:

L’observateur * suit la particule sans « tourner »

ttttttt XTGradXTGradXTXTXFXFX **** ;;;0

tttt,Xttttt,X XTGrad,XT,XF,EXTGrad,XT,XF,XE 0

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttttXtttttX XTGradXTXFXEXTGradXTXFXE ****,, ,,,,,,

tbetO **

,.,, XUXRXF

tbetXRO t 0, **

ttttXttttX XTGradXTXUXREXTGradXTXFEe ,,.,, ,,

Deuxième choix:

L’observateur * « tourne » avec la particule

ttttttXTGradXTGradXTXTXUXF *** ;;

Rotation de la particule

Déformation pure

Gradient par rapport à X

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

ttttX XTGradXTXUEttXxe ,,,, ,

ttttX XTGradXTXUSttXxs ,,,, ,

L ’énergie interne, l ’entropie et la production d’entropiene dépendent pas de la rotation de la matière

ttttXs XTGradXTXUPttXxp ,,,, ,

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttttXXTGradXTXFXQq ,,,

tbxOx *** .

ttXqtOttXq ,,.,, ***

tttttXXTGradXTXFXQq ****

tbetO **

Flux de chaleur

Rotation de l’observateur *

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttttXXTGradXTXFXQq ,,,

tttttXtttttXXTGradXTXFXQXTGradXTXFXQtO ****

* ,,,,,,.

tbetO **

tXbetO ,1 **

Premier choix:

Flux de chaleur

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttttXtttttXXTGradXTXFXQXTGradXTXFXQtO ****

* ,,,,,,.

tbetO **

tbetXRO t 0, **

ttttXttttXXTGradXTXUQtXRXTGradXTXFQq ,,.,,,

Deuxième choix:

Flux de chaleur

,.,, XUXRXF

Rotation de la particuleà l’instant t

Déformation pure

Gradient par rapport à X

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

ttttXXTGradXTXUQtXRttXxq ,,.,,,

Seule la rotation actuelle de la matière intervient dans l ’expression de q et non l ’histoire de la rotation.

Flux de chaleur

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttttXXTGradXTXFX ,,,

tbxOx *** .

tOttXtOttX t **** .,,.,,

tttttXXTGradXTXFX ****

tbetO **

Contrainte

Rotation de l’observateur *

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttttXXTGradXTXFX ,,,

tttttX

ttttttX

XTGradXTXFXtOXTGradXTXFXtO ****

* ,,,.,,,.

tbetO **

tXbetO ,1 **

Premier choix:

Contrainte

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttttX

ttttttX

XTGradXTXFXtOXTGradXTXFXtO ****

* ,,,.,,,.

tbetO **

tbetXRO t 0, **

tXRXTGradXTXUtXRXTGradXTXF tttttXttttX

,.,,.,,,,,

Deuxième choix:

Contrainte

,.,, XUXRXF

Déformation pure

Gradient par rapport à XRotation de la particuleà l’instant t

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tXRXTGradXTXUtXRttXx tttttX

,.,,.,,,,

Seule la rotation actuelle de la matière intervient dans l ’expression de la contrainte de Cauchy et non l ’histoire de la rotation.

Contrainte

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,.,,.,,,,

ttttXs XTGradXTXUPttXxp ,,,, ,

Seule la rotation actuelle de la matière intervient dans l ’expressiondes grandeurs constitutives et non l ’histoire de la rotation.

Récapitulons:

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

ttXxetXe ,,,0 t,t,Xxst,Xs 0

ttXxqtXFtXFtXq ,,.,,det, 1

tXFttXxtXFtXFtX t ,.,,.,,det, 11

,.,, XUXRXF ,.,, 11 XRXUXF t

,.,, 11 XUXRXF tt ,det,det XUXF

,.,,,, XUXUXFXFXC tt

tttXTGradXTXCEtXe

tX,,, 0

Point de vue lagrangien:

t,t,Xxpt,XFdett,Xp SS 0

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttXTGradXTXCStXs

tX,,, 0

ttXxetXe ,,,0 t,t,Xxst,Xs 0 t,t,Xxpt,XFdett,Xp SS 0

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

t,XF.t,t,Xx.t,XFt,XFdett,X t 11

tttt,XS XTGrad,XT,XUPt,t,Xxp

tttS XTGrad,XT,XCPt,XPt,X

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttXTGradXTXCQtXq

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

,.,,.,,,,

ttttXXTGradXTXCtX ,,,

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

ttttXXTGradXTXCtX ,,,

tttXTGradXTXCQtXq

tttXTGradXTXCStXs

tX,,, 0

tttXTGrad,XT,XCEt,Xe

Point de vue lagrangien (récapitulatif):

Souvent

ttttXs XTGradXTXCPttXxp ,,,, 0,0

Un comportement de matériau= 00000

t,Xt,Xt,Xt,Xt,X ,Q,P,S,E

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttXTGradXTXCStXs

tX,,, 0

tttXTGradXTXCtX

tX,,, 0

tttXTGradXTXCEtXe

tX,,, 0

est aussi une grandeur constitutive

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

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Grandeurs constitutives Observables

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Inégalité de Clausius Duhem en Lagrangien

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