travaux dirigés de physique mécanique 2

Travaux Dirigés de PhysiqueMécanique 2

L1 S2 Phys–103a

Université Paris–Sud 112013–2014

Table des matières

1 Cinématique et Dynamique 51.1 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Abscisse curviligne, rayon de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Énergie 112.1 Travail-Circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Théorème de l’énergie cinétique, Énergie potentielle, stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Moment cinétique 15

4 Mouvement à force centrale 194.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Gravitation - Lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Dynamique spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Changement de référentiel 255.1 Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Dynamique dans un référentiel non galiléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3

Phys–103a Mécanique II TD 1

TD 1

Cinématique et Dynamique

1.1 Coordonnées polaires

Exercice 1.1.1 (F) : Un point mobile M , se déplace sur un cercle de centre O et de rayon R avec unevitesse dont la norme croît linéairement avec le temps ‖−→v ‖ = kt où k est une constante positive.

1. Donner l’expression du vecteur position−−→OM , dans la base locale associée aux coordonnées polaires.

2. Exprimer, dans la base locale associée aux coordonnées polaires, les composantes de la vitesse et del’accélération du point M . On note M0 la position du point à t = 0. On choisira le système d’axesOx, Oy tel que M0 soit situé sur l’axe Ox.

3. Déterminer les composantes de ces mêmes vecteurs en coordonnées cartésiennes.

4. Déterminer la distance parcourue le long du cercle, du point M0 au point M(t) à l’instant t.

Exercice 1.1.2 (FF) : On considère la courbe définie par l’équation en coordonnées polaires :

ρ(θ) = r0(1 + cos θ)

où r0 est est une constante positive. Un point matériel M décrit cette courbe de telle manière que θ = ωt(ω = constante). On prendra θ ∈ [0, 2π[.

1. Tracer la courbe ainsi définie, après avoir étudié les symétries et calculé ρ pour quelques valeurs deθ comprises entre 0 et π.

2. Calculer les composantes du vecteur vitesse de M dans la base (−→u ρ,−→u θ), où ~uρ, ~uθ est la base

locale associée aux coordonnées polaires. Reporter qualitativement sur la courbe le vecteur vitesseaux points θ = 0, π

2, π, 3π

2.

3. Montrer que ‖−→v ‖ = ω(2ρr0)12 .

4. Calculer l’accélération −→a et représenter ce vecteur aux points θ = 0, π2,π,3π

2.

Université Paris–Sud 11 5

TD 1 Mécanique II Phys–103a

1.2 Abscisse curviligne, rayon de courbure

Exercice 1.2.1 (FF) : Dans un repère orthonormé Oxy, les coordonnées d’une particule sont données enfonction du temps t par :

x(t) = ct

y(t) = bt(t− τ)

où c = 2 S.I, b = 4 S.I. et τ = 1 S.I.

1. Donner la dimension des constantes c et b.

2. Déterminer l’équation de la trajectoire en coordonnées cartésiennes ; la tracer.

3. Écrire l’élément infinitésimal d’abscisse curviligne ds en fonction de t et dt. Donner ensuite sous laforme d’une intégrale, la distance parcourue entre l’instant t = 0 et l’instant t = 2 s.

4. Calculer les composantes du vecteur vitesse −→v à la date t. Tracer −→v à t = 0 s et t = 0,5 s

5. Montrer que la particule possède une accélération constante dont on calculera les composantes tan-gentielle aT et normale aN . En déduire le rayon de courbure de la trajectoire à t = 0,5 s.

Exercice 1.2.2 (FF) : Une particule se déplace dans un plan. Son accélération est donnée au cours dutemps par l’expression −→a = α−→ut + βt4−→un où −→ut et −→un sont des vecteurs unitaires du repère intrinsèque liéà la trajectoire orientée et α et β sont des constantes positives. On suppose qu’à l’instant t = 0 la particuleest au repos à l’origine des coordonnées.

1. Donner les dimensions de α et β.

2. Calculer l’abscisse curviligne s(t) en fonction du temps.

3. Déterminer le rayon de courbure R(s) de la trajectoire en fonction de s. Vérifier l’homogénéité dela relation.

4. En déduire l’allure de la trajectoire.

5. Calculer la norme de l’accélération −→a en fonction de s. Vérifier l’homogénéité des résultats.

1.3 Coordonnées sphériques

Exercice 1.3.1 (F) : Un point sur la terre est repéré par deux angles : la latitude λ et la longitude l.

1. Donner la définition des deux angles. On fera un schéma.

2. Soient θ et φ les coordonnées sphériques d’un point à la surface de la terre. Exprimer θ et φ enfonction de λ et l. On choisira pour l’axe Oz, l’axe de la terre orienté du Sud vers le Nord, O étantle centre de la terre. L’axe Ox sera choisi de la façon la plus simple possible.

3. La latitude et la longitude de Paris sont : λp = 48◦52 N et lp = 2◦20′ E. Déterminer les coordonnéescartésiennes de Paris dans le repère Oxyz, sachant que le rayon de la Terre est : RT = 6400 km

4. En partant de Paris, on voyage à vitesse v constante, en maintenant une latitude constante. Détermi-ner l’expression de φ(t) en fonction du temps t.

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5. En partant de Paris, on se déplace à vitesse v constante, en maintenant une longitude constante.Déterminer l’expression de θ(t) en fonction du temps t.

Exercice 1.3.2 (FF) : SoientM1 etM2 deux point distincts, à la surface de la terre. On note θ1, φ1 et θ2, φ2

les coordonnées sphérique respectives des deux points M1 et M2. Le but de cet exercice est de déterminerla longueur l, du chemin le plus court reliant les deux points M1 et M2 sur la surface de la terre. On noteraOz l’axe de la terre orienté du Sud vers le Nord, O étant le centre de la terre. On supposera que la terre estparfaitement sphérique.

1. Donner l’expression des coordonnées cartésiennes des points M1 et M2 en fonctions de leurs coor-données sphériques.

2. Soit ψ l’angle entre les vecteurs−−−→OM1 et

−−−→OM2. Exprimer cosψ en fonctions des coordonnées sphé-

rique des points M1 et M2.

3. En déduire l’expression de l en fonction des coordonnées sphériques des points M1 et M2 et durayon de la terre RT.

4. Les latitude et longitude de Paris sont : 48◦52 N et 2◦20′ E. Celles de New York sont : 40◦40 Net 74◦00′ W. En déduire la distance l, la plus courte sur la terre entre ces deux villes. On donneRT = 6400 km.

1.4 Dynamique

Exercice 1.4.1 (F) Pendule simple : Un pendule simple est constitué d’un fil inextensible de longueur lconstante (fil toujours tendu), de masse négligeable, dont l’une des extrémités est fixée en O à un supportfixe et dont l’autre extrémité est liée à une bille de masse m, considérée comme ponctuelle. Soit Oz l’axevertical descendant passant par O, de vecteur unitaire ~k. Le référentiel lié aux axes Ox,Oy,Oz est considérécomme galiléen.

1. Déterminer la position d’équilibre M0 de la bille dans le champ gravitationnel terrestre supposéconstant, de norme g, et donner l’expression correspondante de la norme N0 = ‖

−→N0‖ de la tension

du fil (force que le fil tendu exerce sur la bille à l’équilibre).

2. On écarte la bille de sa position d’équilibre d’un angle θ0, fil toujours tendu, dans un plan verticalcontenant l’axe Oz. A un instant t0, pris comme instant initial, on lâche la bille sans vitesse initiale.On admet que le mouvement de la bille s’effectue dans le plan ainsi défini et on néglige tout frotte-ment. A l’instant t, on repère la position de la bille par ses coordonnées polaires l et θ dans le plandu mouvement où θ(t) = (Oz,OM). On notera ~ul et ~uθ les vecteurs unitaires de la base locale descoordonnées polaires.

(a) Faire le bilan des forces appliquées à la bille à l’instant t.

(b) Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la bille et obtenir les expressions descomposantes radiale et orthoradiale de l’accélération de la bille.

(c) Obtenir l’équation différentielle qui régit le mouvement du pendule. On se placera dans le casoù θ0 est petit. En déduire la pulsation ω et la période T des oscillations de la bille.



(d) Lorsque θ = 0 (le pendule passe par sa position d’équilibre), exprimer la tension du fil ~N enfonction de θ. Montrer que ‖

−→N ‖ est maximale en ce point.

Exercice 1.4.2 (FF) (Partiel Phys103-2010) : Dans la salle de travaux pratiques que l’on considèrecomme un référentiel galiléen, une bille de masse m décrit une trajectoire circulaire et uniforme, de centreO et de rayon R, dans le plan horizontal Oxy. La vitesse angulaire de la bille est ω. On supposera que labille est ponctuelle. La bille est attachée à un fil dont l’autre extrémité est fixée en un point C à la verticaleet au-dessus de O (voir figure 1.4.2). On repère la position M de la bille par ses coordonnées polaires (ρ, θ)dans le plan Oxy.

FIGURE 1.1 –

1. Sur un schéma, représenter l’axe Ox, le point M à un instant quelconque, ρ, θ et les vecteurs ~uρ, ~uθconstituant la base locale associée aux coordonnées polaires.

2. Donner l’expression des composantes du vecteur position−−→OM dans la base (~uρ, ~uθ), en fonction des

données.

3. Donner l’expression des composantes de la vitesse ~v de la bille dans la base (~uρ, ~uθ), en fonctiondes données.

4. Donner l’expression des composantes de l’accélération ~a dans la base (~uρ, ~uθ), en fonction desdonnées.

5. Faire le bilan des forces qui s’appliquent sur la bille. On représentera les vecteurs forces sur unschéma.

6. On note T la norme de la tension du fil et α l’angle que fait le fil avec la verticale. Donner l’expres-sion des composantes de ces forces sur la base (~uρ, ~uθ, ~k). ~k est un vecteur unitaire colinéaire à

−→OC

et de même sens. On exprimera ces composantes en fonction de T ,α, m et de l’accélération de lapesanteur g.

7. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, en déduire tanα en fonction de R, ω et g.



8. Le fil peut-il être horizontal ?

9. Application numérique : ω = 2rad.s−1, g ' 10m.s−2, R = 50cm. Calculer tanα puis en déduire α.On supposera α� 1.



TD 2

Énergie

2.1 Travail-Circulation

Exercice 2.1.1 (FF) Circulation : On considère un point matériel de masse m soumis à une force ~F (M).On note (~i,~j,~k) la base orthonormée d’un repère cartésien OXY Z et (~uρ,~uθ) la base orthonormée localeassociée aux coordonnées polaire dans le plan OXY . Pour chacune des forces suivantes, calculer la circu-lation (ou travail) de ~F (M) le long des trajectoires proposées :

(c)(b)(a)

x

y A

OR

3 21

CB

O AO

B

A

R

FIGURE 2.1 – Chemins pour le calcul des circulations.

1. ~F (M) =-K~uρ où K est une constante.On reliera les points A(0, R, 0) et B(0,−R, 0) situés sur la sphère d’équation x2 + y2 + z2 = R2

via un grand cercle ou la ligne droite joignant les deux points (voir figure 2.1(a)).2. ~F (M) = K [ρ cos θ~uρ + ρ sin θ~uθ], où K est une constante.

On considérera les chemins suivants reliant les points A(R,0) et C(R,π

4) en coordonnées polaires

placés sur un cercle de centre O et de rayon R : AC (le long de l’arc de cercle), AOC (sur lessegments de droite reliant ces points) et AOBC (sur AOB selon les segments de droite reliant cespoints et sur BC le long du cercle, B(R,

π

2)) (voir figure 2.1(b)).

3. Les vecteurs ~F1(M) = 3x2y~i+ (x3 + xy2)~j , ~F (M) = 3x2y~i+ (x3 − y3)~j et ~F2(M) = ~F1 − ~F .On calculera la circulation le long des trajectoires suivantes reliant l’origine O au point A (1,1,0) :la ligne droite d’équation y = x et un déplacement selon la parabole d’équation y = x2 (voirfigure 2.1(c)).



2.2 Théorème de l’énergie cinétique, Énergie potentielle, stabilité

Exercice 2.2.1 (FF) Rotation d’un pendule : Un pendule est constitué d’une masse ponctuelle m sus-pendue à l’extrémité d’une tige rigide de longueur l et de masse supposée négligeable. L’autre extrémité dela tige est fixée au point C. La tige peut tourner dans le plan xOz autour du point C. Le repère cartésienxOz, où l’axe Oz est vertical dirigé vers le haut, est muni de la base orthonormée (~i,~k). L’origine O dusystème de coordonnée coïncide avec la position la plus basse de la masse m. Au cours de son mouvement,la position de la masse m est repérée par l’angle θ que fait la tige avec la verticale (voir figure 2.2). Le but

C

O

M

z

x

uρ

uθθ

l

FIGURE 2.2 – Le pendule

de cet exercice est de déterminer la vitesse minimale qu’il faut donner à la masse m, initialement à l’équi-libre, pour que son mouvement soit un mouvement de rotation et non pas un mouvement d’oscillation. Onnégligera tous les frottements.

1. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur la masse m. On précisera quelles sont les forces quitravaillent au cours du mouvement du pendule.

2. Donner l’expression de l’énergie potentielle Ep de la masse m en fonction de sa hauteur z, puis enfonction de l’angle θ. On prendra l’origine de l’énergie potentielle en O.

3. Tracer le graphe représentant l’énergie potentielle Ep(θ) en fonction de θ, pour θ ∈ [−π, π]. Onprécisera la position des maxima et des minima de la courbe représentative de Ep(θ). En déduire lespositions d’équilibre stable et instable.

4. Le pendule est initialement immobile à sa position d’équilibre stable. En utilisant le graphe deEp(θ) précédent, déterminer l’énergie minimale E0 qu’il faut fournir à la masse m pour que sonmouvement soit un mouvement de rotation et non pas un mouvement d’oscillation.

5. En déduire la vitesse initiale minimale v0 qu’il faut donner à la masse m pour que son mouvementsoit un mouvement de rotation et non pas un mouvement d’oscillation. On donne l = 40 cm et onprendra pour l’accélération de la pesanteur g = 10 m s−2.

Exercice 2.2.2 (FF) Pendule et ressort : On considère une masse ponctuelle m accrochée à l’extrémitéd’un pendule de longueur L dont le point de suspension est fixé en C. La masse m est de plus accrochée



à un ressort de raideur k, dont l’autre extrémité est fixée au point A. Á l’équilibre le ressort est horizontalet la masse m est située en O, à la verticale du point de suspension C du pendule (voir figure 2.2.2). Onsupposera que le mouvement du pendule a lieu dans un plan.

O

L

A

C

M

FIGURE 2.3 – Pendule et ressort.

1. Calculer l’énergie potentielle du pendule supposé seul en fonction de l’angle θ, repérant sa positionpar rapport à la verticale. On prendra l’origine de l’énergie potentielle à l’équilibre.

2. Calculer l’énergie potentielle du ressort supposé seul lorsqu’on écarte le pendule de l’angle θ.3. Sachant que l’énergie potentielle totale est la somme des deux termes calculés précédemment, en

déduire son expression dans l’approximation des petits angles (on effectuera un développementlimité de l’énergie potentielle au deuxième ordre en θ ).

4. Calculer l’énergie cinétique du pendule en fonction de θ. En déduire une expression de l’énergietotale du système dans l’approximation des petits angles.

5. En déduire l’équation différentielle du mouvement vérifiée par θ. Déterminer la pulsation ω dumouvement de la masse m, dans l’approximation des petits angles.

6. Application numérique : on donne k = 100 N.m−1, m = 1 kg, L = 10 cm, g = 10 m.s−2. Calculerla fréquence des oscillations. On suppose que le pendule a été lâché sans vitesse initiale pour unevaleur θ0 = 1o, estimer l’énergie totale du système sachant que (1,8)2 = 3,24 et π2 ≈ 10. Calculerl’incertitude absolue sur l’énergie totale sachant que k et L sont connus avec une précision de 1%(les autres quantités sont connues avec précision).

Exercice 2.2.3 (FF) : Un petit morceau de glace de masse m, repéré par le point M , glisse sans frotte-ments sur la surface externe d’un igloo qui est une demi-sphère de rayon R dont la base est horizontale.Au temps t = 0, il est lâché sans vitesse initiale d’un point M0 de cote z0 = R sin θ0 où θ0 est l’angle

(Ox,

−−−→OM0) (voir figure 2.4).

1. Déterminer les composantes de la vitesse et de l’accélération dans la base locale associées auxcoordonnées polaires (O, ~uρ, ~uθ) lié à M (voir figure 2.4).

2. On désigne par ~N la réaction de la demi-sphère sur M . En utilisant la relation fondamentale de ladynamique, déterminer l’expression de ‖

−→N ‖ en fonction de la norme de la vitesse v = ‖−→v ‖ de M .



θ

R

x

z uθ

uρ

M

FIGURE 2.4 – Glissade sur un igloo.

3. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, donner l’expression de v puis ‖−→N ‖ en fonction de

l’angle θ.

4. Représenter la variation de ‖−→N ‖ en fonction de θ. Pour quelle valeur de θ, le point M “décolle-t-il”

de l’igloo ? Quelle est alors sa vitesse de décollage ? Quelle est la nature de la trajectoire quand lamasse m quitte la surface de l’igloo ?

5. Montrer que le cas particulier θ0 = π2

correspond à une position d’équilibre. Étudier sa stabilité.

6. Application numérique : On donnem = 80 kg, θ0 = 60◦, g = 10 m.s−2,R = 2 m. Calculer l’énergietotale du système (on prendra l’origine de l’énergie potentielle en θ = 0) avant et après le décollageen négligeant les frottements de l’air. Calculer la vitesse au décollage. Quelles sont les incertitudesrelatives pour ces trois quantités si on suppose une incertitude relative de 1% sur m, R et θ0 .



TD 3

Moment cinétique

Exercice 3.1 (F) Moment d’une force : Soient 3 forces :

~F1 =~i ~F2 = −2~j + ~k ~F3 = −~i+ 0, 5~j − 4~k

Déterminer la force résultante ~R. On suppose que les forces s’appliquent au point A(4,−3, 1) :

1. Calculer le moment ~Mi =−→OA ∧ ~Fi de chacune des forces par rapport à O(0, 0).

2. Calculer la somme ~M des moments.

3. Calculer le moment ~M ′=−→OA ∧ ~R de la résultante ~R par rapport à O.

4. Comparer ~M et ~M ′ .

5. Calculer l’angle de ~M′ avec ~R. Pouvait-on prévoir le résultat ?

Exercice 3.2 (FF) : Du sommet O d’une tour, on lance à l’instant t = 0, dans le champ de gravitationterrestre ~g = −‖−→g ‖−→uz , un objet assimilable à un point matériel A de masse m avec une vitesse initialehorizontale −→v0 = ‖−→v0‖−→uy . On néglige tout frottement, on suppose le référentiel terrestre galiléen et ‖−→g ‖ =9,81 m.s−2.

1. Rappeler l’expression des coordonnées y et z de A à l’instant t (origine des coordonnées en O).

2. En déduire l’expression :

(a) du moment par rapport à O des forces agissant sur A à l’instant t :−→MO(t).

(b) du moment cinétique de A par rapport à O, à l’instant t : ~LO(t).

3. Vérifier le théorème du moment cinétique.

Exercice 3.3 (FF) : Un point matériel M de masse m glisse sans frottements sur un plan horizontal P . Ilest retenu par un fil de masse négligeable qui coulisse à travers un petit trou situé en O du plan horizontalet on fait varier manuellement la distance ρ = ‖

−−→OM‖ selon la loi ρ = −V t + ρ0 où V est une constante

positive (voir figure 3.1). A t = 0, M se trouve en M0(ρ0) et possède une vitesse ~v0 située dans le plan Pet faisant un angle α avec

−−→OM0.

1. En appliquant le théorème du moment cinétique, trouver une première quantité conservée.



M

OP

FIGURE 3.1 – Le fil coulisse à travers un petit trou . . .

2. Dans le bon choix des coordonnées, exprimer la vitesse ~v de M en fonction des données.3. Calculer la tension exercée par le fil sur le point mobile. Montrer que sa norme, au voisinage deρ = 0 tend vers une limite non physique.

4. Déterminer la trajectoire du point M

Exercice 3.4 (FF) : Un point matériel M de masse m glisse sans frottements sur un plan horizontal P .Il est retenu par un fil de masse négligeable qui s’enroule autour d’un cylindre fixe de rayon a et d’axeOz, O étant dans le plan P . On note r la distance HM , H étant le point où le fil rejoint le cylindre (H estégalement dans le plan P ). On repère H par ses coordonnées polaires et on repère M dans la base localeliée à H (~uρ, ~uθ) (voir figure 3.2). On désigne par l la longueur totale du fil. A t = 0, le point M est lancéde telle façon que le fil s’enroule autour du cylindre en restant tendu.

M

M

H

H

z

O

P

O

θθu ρu

r

xa

FIGURE 3.2 – Le fil s’enroule autour d’un cylindre . . .

1. Faire le bilan des forces s’exerçant sur M à l’instant t.

2. En remarquant que :−−→OM = a~uρ + r~uθ , calculer la vitesse ~v du point M et montrer qu’elle est

toujours perpendiculaire à HM . En déduire que ‖−→v ‖ et donc l’énergie cinétique Ec de M sontconstantes.



3. Calculer en fonction de m, r et Ec le moment cinétique de M en O puis la force s’exerçant sur M.

Exercice 3.5 (FF) Atome de Bohr : On considère un électron de charge −e et de masse m en orbiteautour d’un proton fixe de charge +e situé à l’origine O du système de coordonnées. Soit M le pointreprésentant la position de l’électron, soient r = ‖

−−→OM‖ et ~ur =

−−→OMr

.

1. Montrer que la trajectoire de l’électron est plane. Dans la suite, on utilisera des coordonnées polaires(r, θ) pour décrire la position de l’électron. On négligera les effets de gravitation.

2. La force ~F subie par l’électron a pour expression dans la base polaire (~ur, ~uθ) : ~F = −K~ur/r2 (ona posé K = e2/(4πε0)). Montrer que ~F dérive d’une énergie potentielle Ep(r) qu’on exprimera enfonction de K et r (on prendra une énergie potentielle nulle à l’infini).

3. On note ~uI = ~ur ∧ ~uθ. Soit ~L le moment cinétique de l’électron par rapport à O. Exprimer lescoordonnées de ~L dans la base (~ur, ~uθ, ~uI) en fonction de m, r, et θ = dθ

dt.

4. On considère désormais que l’électron reste sur une orbite circulaire de rayon R. En utilisant leprincipe fondamental de la dynamique en déduire :

(a) que le mouvement est circulaire uniforme

(b) l’expression de la norme v de la vitesse de l’électron en fonction de K, m et R.

(c) que l’énergie mécanique totale est E = − K2R

.

5. Calculer la norme L du moment cinétique de l’électron en fonction de K, m et R. Retrouver cerésultat – à une constante près – par une équation aux dimensions (c’est-à-dire chercher α, β, γ telsque L = KαmβRγ).

6. En 1913 Niels Bohr a fait l’hypothèse que L ne pouvait prendre que des valeurs du type suivant :Ln = n~ où n ∈ N et ~ = 1.055 × 10−34 J.s (~ est appelé constante de Planck). Montrer alors queles valeurs possibles pour le rayon R et l’énergie mécanique totale E se mettent sous la forme :

Rn = RBn2 et En = −EB

n2.

On exprimera RB et EB en fonction de ~, m et K. Donner les valeurs numériques de RB et EBrespectivement en angstroms (1 = 10−10 m) et en électron-volts (1 eV = 1.602 × 10−19 J). Ondonne K = 2.31× 10−28 S.I et m = 9.11× 10−31 kg.



TD 4

Mouvement à force centrale

4.1 Généralités

Exercice 4.1.1 (F) : Un point matériel M de masse m est soumis à une force dont le support passeconstamment par un point fixe O. L’intensité de cette force est inversement proportionnelle au cube dela distance r = ‖

−−→OM‖. On posera F = Km

r3, en convenant que K et F sont positifs si la force est répulsive,

négatifs si elle est attractive.

1. Montrer que le mouvement de M est plan et qu’il satisfait à la loi des aires.

2. Dans le plan de la trajectoire, on repère le point M à l’aide des coordonnées polaires (r, θ) d’origineO. On posera r2θ = C. En appliquant le principe fondamental de la dynamique et en tenant comptede la loi des aires, montrer que r(t) est solution d’une équation différentielle du second ordre qu’onappellera équation (I).

3. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, montrer que r(t) est solution d’une équation dif-férentielle du premier ordre qu’on appellera équation (II).

4. Les équations (I) et (II) sont-elles équivalentes ?

5. On suppose que les conditions initiales sont telles qu’à l’instant t = 0, le point M se trouve en Ade coordonnées r0 = a, θ0 = 0. La vitesse initiale est perpendiculaire à

−→OA. On orientera le plan de

telle sorte que C soit positive. Quelle valeur particulière C0 faut-il donner à C pour que la trajectoiresoit un cercle de centre O ? Quelle doit être la nature de la force ? Quelle est en fonction de K et ala période du mouvement ?

4.2 Gravitation - Lois de Kepler

Exercice 4.2.1 (F) : Une comète décrit une orbite elliptique autour du Soleil. On considère deux points Aet B de cette orbite, A étant plus éloigné du Soleil que B . Comparer en A et B les valeurs des grandeursphysiques relatives à la comète :

1. énergie potentielle ;

2. vitesse (en module) ;

3. accélération (en module) ;



4. moment cinétique (par rapport au Soleil).

Exercice 4.2.2 (FF) Kepler et Newton : Kepler énonce entre 1609 et 1618 les trois lois qui régissentdans une très bonne approximation le mouvement des planètes autour du Soleil.

L1 : Les planètes décrivent des orbites planes elliptiques dont le Soleil est l’un des foyers.

L2 : En des temps égaux, le rayon vecteur−→SP (Soleil-Planète) balaie des aires égales.

L3 : Le rapport du cube du demi-grand axe de la trajectoire d’une planète au carré de la période orbitaleest une constante indépendante de la planète.

Newton (1680) énonce la forme bien connue de la loi de l’attraction gravitationnelle entre deux corps. Onse propose ici de la déduire des trois lois de Kepler.

1. Montrer que les lois L1 et L2 permettent de prouver que r2θ2

est une constante du mouvement qu’onnote C.

2. Montrer alors que l’accélération de chaque planète est centripète. En déduire que la force de Newtonest attractive et s’écrit :

−→F = −m4C2

p

1

r2−→u r

où p est le paramètre de l’ellipse d’équation : r = p(1+e cos θ)

.

3. En déduire que :−→F = −m4π2a3

T 2

1

r2−→u r

où T est la période du mouvement de la planète. Montrer à partir de L3 et du principe de l’action etde la réaction que G = 4π2a3

MST 2 , MS désignant la masse du soleil.

4.3 Dynamique spatiale

Exercice 4.3.1 (F) Lancement d’un satellite : Un satellite de massem est lancé d’un point P de la surfacede Terre (rayon R) à la latitude λ puis il est mis sur une orbite circulaire (C) de rayon r = R + h, dans unplan incliné de λ par rapport au plan équatorial.

1. Calculer, dans les deux cas suivants, l’énergie Ef qu’il a fallu fournir à ce satellite pour le mettresur une telle orbite :

(a) En négligeant la rotation de la Terre sur elle-même.

(b) La Terre tourne sur elle-même d’un mouvement uniforme de vitesse angulaire ω. Distinguerles 2 sens de rotation du satellite par rapport à la Terre. En déduire la latitude λo et le sens delancement les plus avantageux pour un tel lancement.

2. On suppose que λ = λo et m = 80 kg. Quel est l’écart relatif ∆Ef

Efdû à la rotation de la Terre pour

h� R On donne : R = 6370 km, go = 9, 8 m.s−2.

3. On suppose le satellite géostationnaire. Que vaut alors h ? Reprendre la question 2 avec la nouvellevaleur du rayon.



Exercice 4.3.2 (FF) Changement d’orbite : Un satellite de masse m tourne autour de la Terre sur uneorbite circulaire (orbite "basse" de rayon r1 et de vitesse v1). On veut le transférer sur une autre orbitecirculaire (orbite "haute" de rayon r2 > r1 et de vitesse v′2). Pour cela on lui fait décrire une demi-ellipsedite orbite de transfert, dont un foyer est le centre de la Terre et qui se raccorde tangentiellement aux deuxorbites circulaires précédentes. On allume donc les propulseurs du satellite pendant une durée brève audébut et à la fin de cette demi-ellipse. Ceci correspond à communiquer à chaque fois au satellite, de façoninstantanée, un supplément de vitesse sans changement de sa direction. Le but de cet exercice est de calculerces suppléments de vitesse ∆v1 = v′1 − v1 et ∆v2 = v′2 − v2 en fonction des rayons, r1, r2, du rayon R, dela Terre et de g0 l’accéleration de pesanteur à la surface de la Terre.

1. Faire un schéma représentant la Terre, les deux orbites cirulaires et l’orbite de transfert.

2. Déterminer la norme de la vitesse v1 du satellite sur l’orbite circulaire de rayon r1 en fonction de R,g0 et r1.

3. Déterminer la norme de la vitesse v′2 du satellite sur l’orbite finale circulaire de rayon r2 en fonctionde R, g0 et r2.

4. En se servant des lois de conservation, établir deux relations reliant la vitesse initiale v′1 et la vitessefinale v2 sur l’orbite de transfert. En déduire v′1 et v2 en fonction de R, g0 et r1 et r2.

5. Calculer les supléments de vitesse ∆v1 = v′1 − v1 et ∆v2 = v′2 − v2 en fonction de R, g0 et r1 et r2.On prendra r1 = 7000 km, r2 = 42000 km, le rayon de la Terre R = 6400 km et g0 = 9, 81 ms−2

Exercice 4.3.3 (FF) Retour d’un satellite : Pour ramener sur la Terre un satellite géostationnaire S, onle ralentit au moment où il atteint un certain point A de sa trajectoire, sa vitesse passant donc d’une valeur usur l’orbite géostationnaire à vA < u, mais gardant la même direction. On appellera T le centre de la Terre.

1. calculer u et le rayon rs de la trajectoire géostationnaire.

2. A.N. :RT = 6400 km, g0 = 10 m/s2.

3. Comparer l’énergie de S sur l’orbite géostationnaire et après ralentissement. En déduire la nature desa nouvelle trajectoire (E).

4. On veut que le satellite atterrisse en un point C tel que TA ⊥ TC. Que reprèsentent les points T etA, et la distance TC pour (E) ?

5. Calculer la vitesse vA pour que l’atterrissage se déroule ainsi. Monter que vA s’exprime simplementen fonction de u, RT et rs. Aide : calculer d’abord a le demi-grand axe de E en fonction de RT etde rs.

6. Faire l’application numérique.

Exercice 4.3.4 (FFF) Survol de Saturne par Voyager 2 (26-8-81) : On assimile Saturne et la SondeVoyager 2 à deux points matériels, notés respectivement O et P et de masse M et m, avec m � M .On se place dans le référentiel galiléen lié au point O qui est supposé immobile pendant la rencontre (carm � M ). Soit ~v0 la vitesse d’approche, quand la sonde est très éloignée de Saturne. On note b la distancede O à la droite passant par P et parallèle à ~v0. b est appelé le paramètre d’impact (voir figure 4.1).



x O

PA

vA

b ρθ a

v0

FIGURE 4.1 – Survol de saturne par Voyager 2

1. Conditions de survol : L’interaction gravitationnelle infléchit la trajectoire au voisinage de Saturne.Soit a la distance minimale de survol ‖

−→OA‖,−→vA la vitesse de P en A et G la constante de gravitation

universelle. Expliquer simplement l’orthogonalité de−→OA et −→vA. À partir des lois de conservation

s’appliquant au mouvement de P , exprimer vA en fonction de v0, a et b et calculer le rapport ba. On

prendra v0 = 15 km.s−1, a = 161500 km, M = 5.7× 1026 kg et G = 6.673× 10−11 SI.

2. Trajectoire : On repère ici le point P par ses coordonnées polaires ρ(t) et θ(t). Soit −→v (t) la vitessedu point P .

(a) Justifier et exprimer en coordonnées polaires deux lois de conservation s’appliquant au mouve-ment de P .

(b) On pose C = v0b et u = 1ρ

. Reformuler le carré de la vitesse v2 en fonction de C, u et dudθ

.

(c) La loi de conservation de l’énergie conduit à une équation différentielle dont la solution est dela forme :

u(θ) =1

ρ(θ)=GM

C2(1 + e cos(θ − θ0))

Calculer e en fonction de v0, b, G et M . Vérifier que e > 1.

(d) En utilisant la condition limite en θ = 0, chercher la relation donnant θ0. Quelle est la significa-tion physique de θ0 ?

(e) On note θe l’angle d’éloignement de la sonde. C’est à dire l’angle θ qui repère la sonde quandelle est à une grande distance de Saturne après son survol. Déterminer l’expression de θe enfonction des données du problème.

(f) L’angle de déviation χ de la sonde est l’angle entre les vecteurs vitesses de la sonde, avant etaprès son survol de Saturne. Donner la valeur numérique de χ.

Exercice 4.3.5 (FF) La comète Hale-Bopp :

1. On admet que la Terre décrit un cercle de rayon ρ autour du Soleil S à la vitesse u = 30 km.s−1.

(a) Écrire la relation entre u, ρ et la masse du Soleil MS .

(b) Exprimer la période τ de rotation de la Terre autour du soleil en fonction de ρ et de MS .

Dans la suite du problème, les quantités u, ρ et τ serviront d’unités de base pour exprimer respecti-vement les vitesses, les distances et les temps.



FIGURE 4.2 – Comète Hale-Bopp. Observer : Wally Pacholka Location : Joshua Tree National Park, Cali-fornia Date : April 5, 1997 05 :30-05 :50 UT. (http ://www.jpl.nasa.gov/comet)

2. Dans un premier temps, on suppose que la comète C de Hale-Bopp (1997) suit une trajectoireparabolique de foyer S dont le périhélie 1 q est égal à 0.9145ρ. Caractériser cette trajectoire. Endéduire la vitesse de C au périhelie P en fonction de u, ρ et q. On fera l’application numérique.(pour comparaison, la comète de Hale-Bopp est passée à 1.3ρ de la terre environ).

3. En réalité, la trajectoire de C est elliptique, d’excentricité e = 1− x avec x = 4.75× 10−3

(a) Déterminer la distance SA où A est l’aphélie 2, et la vitesse de C en A. on fera l’applicationnumérique.

(b) Dans combien d’année T “reverra-t-on” Hale-Bopp ? Dans ce but, établir la formule suivante :

T = τ

(q

ρx

) 32

En admettant que e et qρ

ont été déterminés chacun avec une précision de 0.03% en déduire laprécision sur T . Exprimer T lui même avec son incertitude.

1. le périhélie est le point de l’orbite le plus rapproché du Soleil2. l’aphélie est le point de l’orbite le plus éloigné du soleil



TD 5

Changement de référentiel

5.1 Cinématique

Exercice 5.1.1 (F) : Des flocons de neige tombent verticalement par rapport au sol, en parcourant 8 m parseconde. A quelle vitesse les passagers d’une voiture, roulant à 50 km.h−1 sur une route droite, les voient-ilsfrapper le pare-brise du véhicule ?

Exercice 5.1.2 (FF) : Un enfant lâche une bille dans la cage de l’escalier de son immeuble depuis le 4èmeétage, à l’instant où l’ascenseur y passe. Son père, qui monte par l’ascenseur jusqu’au 10ème étage avec unevitesse constante, observe aussi la chute de la bille. Les grandeurs physiques suivantes sont-elles identiquespour l’enfant et pour son père :

1. la vitesse de la bille à un instant donné ?

2. le temps de chute total ?

3. l’accélération de la bille à un instant quelconque ?

4. la distance totale parcourue par la bille ?

Exercice 5.1.3 (FF) : Un avion s’envole de Brest vers Bâle. Sa vitesse, constante par rapport à l’air, estégale à 360 km.h−1 et le vent souffle du Nord-Ouest à 60 km.h−1. On admettra que Brest est à l’Ouest deBâle à environ 1000 km.

1. Quel doit être le cap suivi par le pilote ?

2. Quelle est la durée du voyage ?

3. Reprendre les question 1 et 2 pour le voyage de retour.

Exercice 5.1.4 (FF) Le manège : Un manège d’enfant tourne avec une vitesse angulaire ω constante.Le propriétaire doit, pour ramasser les tickets, parcourir la plate-forme en rotation. On considère R′, leréférentiel lié au manège, muni du repère O′x′y′, et de la base orthonormée correspondante (~i′,~j′), dontl’origine O′ coïncide avec le centre du manège. On notera R le référentiel lié à la terre, muni du repèreOxy, où O = O′, avec la base orthonormée associée (~i,~j).



1. Partant du centre, le propriétaire suit un rayon de la plate-forme avec une vitesse constante ~v′ parrapport au manège.

(a) Établir les équations du mouvement du propriétaire x′(t), y′(t), dans le référentiel R′ (mouve-ment vu par les enfants). On choisira l’axe O′x′ de telle sorte que la vitesse du propriétaire soitparallèle à cet axe : ~v′ = v′~i′

(b) Déterminer les composantes des vecteurs (~i′,~j′) sur la base (~i,~j). On supposera, qu’à l’instantinitial, les deux repères O′x′y′ et Oxy sont confondus.

(c) En déduire les équations du mouvement du propriétaire en coordonnées cartésiennes x(t) et y(t),puis en coordonnées polaires ρ(t), θ(t), dans le référentiel R (vu par les parents). On donneral’équation de la trajectoire ρ(θ) dans le référentiel R.

(d) Déterminer la vitesse ~v du propriétaire dans le référentiel R, à partir des équations de son mou-vement.

(e) Retrouver l’expression de la vitesse ~v, en utilisant les lois de composition des mouvements.

(f) Déterminer l’accélération ~a du propriétaire, mesurée dans le référentiel R, à partir de l’expres-sion de ~v.

(g) Retrouver l’expression de l’accélération ~a en utilisant la composition des accélérations.

2. Le propriétaire parcourt maintenant la plate-forme en suivant un arc de cercle de rayon r0, concen-trique à la plate-forme, donc sa vitesse linéaire, par rapport au manège, r0ω

′ est constante. Reprendrel’ensemble des questions précédentes. Que se passe-t-il en particulier si ω′ = −ω ?

5.2 Dynamique dans un référentiel non galiléen

Exercice 5.2.1 (F) : Une personne se tient sur un pèse-personne situé dans un ascenseur. L’ascenseur étantà l’arrêt, le pèse-personne indique 70 kg. L’ascenseur monte en décrivant trois phases :

phase 1 : Une phase d’accélération constante de 2,0 ms−2.phase 2 : Une phase d’accélération nulle.phase 3 : Une phase de décélération constante de 2,0 ms−2.

1. Quelle indication fournit le pèse-personne durant chacune des phases du mouvement de l’ascenseur ?On prendra g = 9,8 ms−2.

2. Après l’arrêt, le câble casse et l’ascenseur tombe en chute libre. Qu’indique alors le pèse-personne ?

Exercice 5.2.2 (FF) Pendule dans un référentiel non galiléen : Le pendule décrit dans l’exercice 1.4.1est suspendu en O au plafond d’un véhicule se déplaçant avec un mouvement de translation horizontaleuniformément accéléré, d’accélération ~at, par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen.

1. Soit M ′0 la position de la masse m à l’équilibre définissant l’axe Oz′. Déterminer cette position

d’équilibre par l’angle non orienté entre les axes Oz et Oz′.



2. A l’instant t = 0, on écarte la masse m de sa position d’équilibre dans le plan vertical contenant Ozet Oz′, du même angle θ0 qu’au 1.4.1.2 et on la lâche sans vitesse initiale. En prenant, dans le plandu mouvement, l’axe Oz′ comme axe polaire et pour θ′ l’angle (Oz′, OM ′(t)), obtenir les équationsdifférentielles en θ′ du mouvement de la massem. Dans le cas des petits angles, quelle est la périodeT ′ des oscillations ?

Exercice 5.2.3 (F) Coriolis et le lavabo : vous avez peut être entendu cette affirmation : “Le sens derotation de l’eau qui s’écoule d’un lavabo n’est pas le même dans l’hémisphère Sud et dans l’hémisphèreNord, c’est l’effet Coriolis !”.

1. La vitesse d’écoulement de l’eau étant de l’ordre de 0,1 m/s, donner un ordre de grandeur de l’in-tensité de l’accélération de Coriolis.

2. En déduire un ordre de grandeur de la vitesse engendrée par l’accélération de Coriolis après uneseconde d’écoulement.

3. Pensez vous que l’accélération de Coriolis peut déterminer le sens de rotation de l’écoulement ?

Exercice 5.2.4 (FF) Le manège : Un manège d’enfant tourne avec une vitesse angulaire ω constante. Lepropriétaire (de masse m) doit, pour ramasser les tickets, parcourir la plate-forme en rotation. On considèreR′, le référentiel lié au manège, muni du repère O′x′y′, et de la base orthonormée correspondante (~i′,~j′),dont l’origine O′ coïncide avec le centre du manège. On notera R le référentiel lié à la terre, muni du repèreOxy, où O = O′, avec la base orthonormée associée (~i,~j). On suppose que le référentiel R est galiléen.

1. Partant du centre, le propriétaire suit un rayon de la plate-forme avec une vitesse constante ~v′ parrapport au manège.

(a) Déterminer le vecteur vitesse angulaire ~ω qui décrit le mouvement du référentiel R′ par rapportau référentiel R.

(b) En raisonnant dans le référentiel R′, donner les expressions des forces d’inertie qui s’appliquentsur le propriétaire du manège.

(c) Quelle est la force ~F que doit exercer le propriétaire pour maintenir sa trajectoire. On déter-minera les valeurs numériques des composantes de ~F aux instants où le propriétaire est à unedistance r = 5 m du centre du manège.

(d) A.N : ω = 10 tours/min, m = 70 kg, ‖−→v′ ‖ = 2 km/h.

2. Le propriétaire parcourt maintenant la plate-forme en suivant un arc de cercle de rayon r0, concen-trique à la plate-forme, donc sa vitesse linéaire, par rapport au manège, r0ω

′ est constante. Reprendrel’ensemble des questions précédentes. On décrira la trajectoire du propriétaire dans le référentiel R′

par ses coordonnées polaires.

3. A.N : ω′ = 2 tours/min, r0 = 3 m.

Exercice 5.2.5 (FF) Pendule et rotation de la Terre : Le comportement d’un fil à plomb ou d’un penduledoit aussi être affecté par le mouvement de rotation diurne de la Terre. Considérons un fil à plomb, immobiledans le référentiel terrestre et observé au voisinage de la surface terrestre.



1. Faites un bilan des forces et forces d’inertie s’appliquant à la masselotte au bout du fil à plomb.

2. A quel(s) endroit(s) de la Terre la direction du fil à plomb passe bien par le centre de la Terre ?

3. A quelle latitude l’écart à cette direction est-il maximum ?

4. Evaluez cet écart.Application numérique : rayon de la Terre RT = 6400 km, accélération de la pesanteur g0 =9, 8 m/s2. Comment peut-on le mesurer ?

5. Estimez la variation de pesanteur apparente due à la rotation terrestre, entre le Pôle Nord et l’Equa-teur. Comment la période d’un pendule en sera-t-elle affectée ?J. Richer fit une telle mesure en Guyanne dès 1671, et observa bien une variation de la période.Cependant, cet effet peut également à raison être attribué à une autre raison physique. Laquelle ?

6. La mise en évidence de la rotation de la Terre par un pendule évoque plutôt une démonstration cé-lèbre sous le dome du Panthéon à Paris, en 1851. Quel physicien la proposa ? Quel en est brièvementle principe ? (sans équations)

Exercice 5.2.6 (FFF) Balistique et rotation de la Terre : Un projectile, assimilé à un point matériel,est lancé à la latitude λ = 45◦ dans un plan méridien avec une vitesse initiale v0 = 800 m.s−1 dirigée duNord vers le Sud et faisant un angle α = 6◦ avec le plan horizontal. On néglige les forces de frottement.

1. On suppose que la Terre est un référentiel galiléen. Calculer :

(a) La durée du trajet.

(b) La portée du tir. En déduire la variation de latitude du projectile entre le point de tir et le pointd’impact.

(c) La hauteur maximale atteinte par le projectile.

2. On tient compte de la rotation de la Terre.

(a) Quelle est l’influence de la force centrifuge sur la position du point de chute ? Déterminer ladurée de la trajectoire et la portée du tir.

(b) Quelle est l’influence de la force de Coriolis sur la position du point de chute ? On procéderapar approximations successives en supposant que, pour calculer la force de Coriolis, on peutremplacer la vitesse du projectile par son expression approchée.


travaux dirigés de physique mécanique 2

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