mathématiques sn les coniques réalisé par : sébastien lachance

Mathématiques Mathématiques SNSN

Les Les CONIQUESCONIQUES

Réalisé par :Réalisé par : Sébastien Lachance Sébastien Lachance

Les 4 coniquesLes 4 coniques

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les - Les CONIQUESCONIQUES --

CercleCercle

EllipseEllipse

ParaboleParabole

HyperboleHyperbole

Proviennent de la Proviennent de la coupecoupe du du cônecône..

C’est la forme de la C’est la forme de la sectionsection..

Le cercleLe cercle

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les - Les CONIQUESCONIQUES --

A) DéfinitionA) Définition

Lieu d’un point Lieu d’un point situé à une même distancesitué à une même distance (r)(r) d’un autre point fixe d’un autre point fixe (O)(O), , appelé appelé centrecentre..

OO

rrrrrrrrrr

rr

rrrr rr

rr

rrrr

rr

B) ÉquationB) Équation

OO

rr

(x, y)(x, y)

x x

y y

xx22 ++ yy22 = r = r22

Par Pythagore :Par Pythagore :

C) InéquationsC) Inéquations

rr

xx22 ++ yy2 2 rr22

rr

xx22 ++ yy2 2 rr22

C) InéquationsC) Inéquations

rr

xx22 ++ yy22 rr2 2

rr

xx22 ++ yy2 2 rr2 2

D) Recherche de l’équationD) Recherche de l’équation

Ex. #1 :Ex. #1 : Trouver l’équation d’un cercle centré à l’origine dont le point Trouver l’équation d’un cercle centré à l’origine dont le point A(-2, -3)A(-2, -3) appartient au cercle.appartient au cercle.

A(-2, -3)A(-2, -3)

xx22 ++ yy22 = r = r22

(-2)(-2)22 ++ (-3)(-3)22 = r = r22

44 ++ 9 = r9 = r22

13 = r13 = r22

xx22 ++ yy22 = 13 = 13

D) Recherche de l’équationD) Recherche de l’équation

Ex. #2 :Ex. #2 : a) Quelle est l’équation d’un cercle centré à l’origine dont le a) Quelle est l’équation d’un cercle centré à l’origine dont le diamètrediamètre est de est de 16 unités16 unités ? ?

Le rayon est de Le rayon est de 8 unités8 unités..

xx22 ++ yy22 = 8 = 822

xx22 ++ yy22 = 64 = 64

b) Est-ce que le point b) Est-ce que le point P(5, 7)P(5, 7) fait partie de la région fait partie de la région intérieureintérieure de ce de ce cercle ?cercle ?

Il faut que l’inégalité Il faut que l’inégalité 5522 + 7 + 722 64 64 soit VRAIE. soit VRAIE.

2525 ++ 49 49 64 64

74 74 64 64

Le point Le point P(5, 7)P(5, 7) ne fait pas partie de la région ne fait pas partie de la région intérieure de ce cercle.intérieure de ce cercle.

FAUX !FAUX !

E) Équation de la tangenteE) Équation de la tangente

Ex. :Ex. : L’équation d’un cercle est L’équation d’un cercle est xx22 + y + y22 = 289 = 289 . Si une droite est . Si une droite est tangentetangente à à ce cercle au point ce cercle au point P(15, 8)P(15, 8), quelle est l’équation de cette droite ?, quelle est l’équation de cette droite ?

P(15, 8)P(15, 8)

Pente du Pente du rayonrayon : :

rr

y y

x x

mmrayonrayon = =

OO

= = 8 – 0 8 – 0

15 – 0 15 – 0

= = 8 8

1515

Équation de la Équation de la tangentetangente : :

mmtangentetangente = = -15 -15

88

y = x + by = x + b-15 -15

88

88 = ( = (1515) + b) + b-15 -15

88

avec le point (avec le point (1515,, 8 8))

= + b= + b-225 -225

88

6464

88

b = b = 289289

88Réponse :Réponse : y = x +y = x + 289289

88

-15 -15

88

L’ellipseL’ellipse

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les - Les CONIQUESCONIQUES --

A) DéfinitionA) Définition

Lieu d’un point dont la Lieu d’un point dont la somme des distancessomme des distances à deux points fixes à deux points fixes ((foyers F foyers F etet F’ F’) est ) est constante constante ((kk).).

L’ellipseL’ellipse

A) DéfinitionA) Définition

Lieu d’un point dont la Lieu d’un point dont la somme des distancessomme des distances à deux points fixes à deux points fixes ((foyers F foyers F etet F’ F’) est ) est constante constante ((kk).).

PP

F’F’

dd(P, (P, FF) + ) + dd(P, (P, F’F’) = ) = kk

FFPP

PP

PPPP

PP

L’ellipseL’ellipse

A) DéfinitionA) Définition

Lieu d’un point dont la Lieu d’un point dont la somme des distancessomme des distances à deux points fixes à deux points fixes ((foyers F foyers F etet F’ F’) est ) est constante constante ((kk).).

SommetSommet SommetSommet

SommetSommet

SommetSommet

Petit axePetit axe

Grand axeGrand axe

CentreCentreFoyer (F’)Foyer (F’) Foyer (F)Foyer (F)

Distance Distance focalefocale

B) Relations entre B) Relations entre aa, , bb et et cc..

(-a, 0)(-a, 0) (a, 0)(a, 0)

(0, b)(0, b)

(0, -b)(0, -b)

bb

aa

Avec Avec aa bb

cc

aa : distance entre le centre et un sommet : distance entre le centre et un sommet horizontalhorizontal..

bb : distance entre le centre et un sommet : distance entre le centre et un sommet verticalvertical..

cc : distance entre le centre et un : distance entre le centre et un foyerfoyer..

(c, 0)(c, 0)(-c, 0)(-c, 0)

aa22 = = bb22 + + cc22

B) Relations entre B) Relations entre aa, , bb et et cc..

(-a, 0)(-a, 0) (a, 0)(a, 0)

(0, b)(0, b)

(0, -b)(0, -b)

bb

aa

Avec Avec bb aa

cc

aa : distance entre le centre et un sommet : distance entre le centre et un sommet horizontalhorizontal..

bb : distance entre le centre et un sommet : distance entre le centre et un sommet verticalvertical..

cc : distance entre le centre et un : distance entre le centre et un foyerfoyer..

(0, c)(0, c)

(0, -c)(0, -c)

bb22 = = aa22 + + cc22

Ex. :Ex. : Le grand axe d’une ellipse mesure 24 unités et le petit axe 10 unités. Quelle Le grand axe d’une ellipse mesure 24 unités et le petit axe 10 unités. Quelle est la est la distance focaledistance focale ? ?

(-12, 0)(-12, 0) (12, 0)(12, 0)

(0, 5)(0, 5)

(0, -5)(0, -5)

10 unités10 unités

24 unités24 unités

Distance Distance focale = 2cfocale = 2c (c, 0)(c, 0)(-c, 0)(-c, 0)

aa

a = 12a = 12

bb

b = 5b = 5aa22 = = bb22 + + cc22

121222 = = 5522 + + cc22

10,910,9 ≈≈ cc

Réponse :Réponse : La La distance focaledistance focale est d’environ est d’environ 21,8 21,8 unités.unités.

C) ÉquationC) Équation

xx22

aa22++

yy22

bb22== 11

D) InéquationsD) Inéquations

xx22

aa22++

yy22

bb22 11

xx22

aa22++

yy22

bb22 11

C) ÉquationC) Équation

xx22

aa22++

yy22

bb22== 11

D) InéquationsD) Inéquations

xx22

aa22++

yy22

bb22 11

xx22

aa22++

yy22

bb22 11

L’hyperboleL’hyperbole

A) DéfinitionA) Définition

Lieu d’un point dont la Lieu d’un point dont la différence des distancesdifférence des distances (en valeur absolue)(en valeur absolue) à à deux points fixes (deux points fixes (foyers F foyers F etet F’ F’) est ) est constante constante ((kk).).

FFF’F’

|| d d(P, (P, FF) – ) – dd(P, (P, F’F’) | = ) | = kk

PPPP

PP

PP

PP

L’hyperboleL’hyperbole

A) DéfinitionA) Définition

Lieu d’un point dont la Lieu d’un point dont la différence des distancesdifférence des distances (en valeur absolue)(en valeur absolue) à à deux points fixes (deux points fixes (foyers F foyers F etet F’ F’) est ) est constante constante ((kk).).

Foyer (F)Foyer (F)Foyer (F’)Foyer (F’)

CentreCentre

SommetSommetSommetSommet

Asymptote

AsymptoteAsymptote

Asymptote

B) Équations et relations entre B) Équations et relations entre aa, , bb et et cc..

Axe focal Axe focal horizontalhorizontal

cc22 = = aa22 + + bb22

(-a, (-a, 0)0)

(a, 0)(a, 0)

aacc

(c, 0)(c, 0)(-c, 0)(-c, 0)

(0, b)(0, b)

bb

(0, -b)(0, -b)

xx22

aa22––

yy22

bb22== 11

B) Équations et relations entre B) Équations et relations entre aa, , bb et et cc..

Axe focal Axe focal horizontalhorizontal

cc22 = = aa22 + + bb22

aa

bb

(a, b)(a, b)

(0, 0)(0, 0)

Équation de l’Équation de l’asymptoteasymptote : : PentePente a = a = y y

xx

= = bb

aa

Ordonnée à l’origine (b) = 0Ordonnée à l’origine (b) = 0

B) Équations et relations entre B) Équations et relations entre aa, , bb et et cc..

Axe focal Axe focal horizontalhorizontal

cc22 = = aa22 + + bb22

Équation de l’Équation de l’asymptoteasymptote : : y = y = bb x x

y = y = bb x x

aa

y = y = -- bb x x

aa

aa

B) Équations et relations entre B) Équations et relations entre aa, , bb et et cc..

Axe focal Axe focal verticalvertical

cc22 = = aa22 + + bb22

(-a, (-a, 0)0)

(a, 0)(a, 0)

aa

cc

(0, c)(0, c)

(0, -c)(0, -c)

(0, b)(0, b)

bb

(0, -b)(0, -b)

xx22

aa22––

yy22

bb22== - 1- 1

C) InéquationsC) Inéquations

xx22

aa22––

yy22

bb22 11

xx22

aa22––

yy22

bb22 11

C) InéquationsC) Inéquations

xx22

aa22––

yy22

bb22 -1-1

xx22

aa22––

yy22

bb22 -1-1

C) InéquationsC) Inéquations

xx22

aa22––

yy22

bb22 -1-1

xx22

aa22––

yy22

bb22 -1-1

xx22

aa22––

yy22

bb22 11

xx22

aa22––

yy22

bb22 11

Même ensembles-solutions Même ensembles-solutions que précédemment, mais que précédemment, mais avec des hyperboles formées avec des hyperboles formées de de lignes pointilléeslignes pointillées..

C) InéquationsC) Inéquations

Ex. :Ex. : La distance entre La distance entre deux sommetsdeux sommets d’une hyperbole est de d’une hyperbole est de 12 unités12 unités et l’un et l’un de ses de ses foyersfoyers a pour coordonnées a pour coordonnées (0, 9(0, 9)).. Le point Le point P(10, 8)P(10, 8) fait-il partie de fait-il partie de la région la région extérieureextérieure de cette hyperbole ? de cette hyperbole ?

(0, 9)(0, 9)FF

F’F’

xx22

aa22––

yy22

bb22== - 1- 1

12 unités12 unités

(0, 6)(0, 6)

bbcc

cc22 = = aa22 + + bb22

9922 = = aa22 + + 6622

4545 = = aa22

ÉquationÉquation : :

xx22

4545––

yy22

3636== - 1- 1

C) InéquationsC) Inéquations

Ex. :Ex. : La distance entre La distance entre deux sommetsdeux sommets d’une hyperbole est de d’une hyperbole est de 12 unités12 unités et l’un et l’un de ses de ses foyersfoyers a pour coordonnées a pour coordonnées (0, 9(0, 9)).. Le point Le point P(10, 8)P(10, 8) fait-il partie de fait-il partie de la région la région extérieureextérieure de cette hyperbole ? de cette hyperbole ?

(0, 9)(0, 9)FF

F’F’

12 unités12 unités

(0, 6)(0, 6)

bbcc

Est-ce que Est-ce que P(10, 8)P(10, 8) fait partie de la fait partie de la région région extérieureextérieure ? ?

xx22

aa22––

yy22

bb22 -1-1

Il faut que :Il faut que :

101022

4545––

8822

3636 - 1- 1

44

99 - 1- 1

VRAIVRAIRéponse :Réponse : Le point Le point P(10, 8)P(10, 8) fait partie de la fait partie de la

région région extérieureextérieure de l’hyperbole. de l’hyperbole.

La paraboleLa parabole (centrée à l’origine)(centrée à l’origine)

A) DéfinitionA) Définition

Lieu d’un point situé à une Lieu d’un point situé à une mêmemême distancedistance d’un point fixe ( d’un point fixe (foyer Ffoyer F) et ) et d’une droite fixe, appelé d’une droite fixe, appelé directricedirectrice ((dd).).

Foyer (F)Foyer (F)

SommetSommet

Directrice Directrice (d)(d)

PP

PP

PP

PP

dd(P, (P, FF) = ) = dd(P, (P, dd))

cc(0, c)(0, c)

B) Équations B) Équations (centrées à l’origine)(centrées à l’origine)

ddxx22 = 4 = 4ccyy

dd

xx22 = - 4 = - 4ccyy

B) Équations B) Équations (centrées à l’origine)(centrées à l’origine)

dd

yy22 = 4 = 4ccxx

dd

yy22 = - 4 = - 4ccxx

B) Équations B) Équations (centrées à l’origine)(centrées à l’origine)

Ex. :Ex. : Une parabole centrée à l’origine a pour foyer le point Une parabole centrée à l’origine a pour foyer le point F(0, -6)F(0, -6). Cette . Cette parabole passe-t-elle par le point parabole passe-t-elle par le point P(-12, -6)P(-12, -6) ? ?

dd

(0, -6)(0, -6)

cc

xx22 = - 4 = - 4ccyy

ÉquationÉquation : :

xx22 = - 4 = - 4(6)(6)yy

xx22 = - 24y = - 24y

Est-ce que la parabole passe par le Est-ce que la parabole passe par le point point P(-12, -6) P(-12, -6) ??

(-12)(-12)22 = - 24(-6) = - 24(-6)

144 = 144144 = 144

VRAIVRAI

Réponse :Réponse :

La parabole passe par La parabole passe par le point le point P(-12, -6)P(-12, -6)..

C) Inéquations C) Inéquations (centrées à l’origine)(centrées à l’origine)

ddxx22 4 4ccyy

dd

xx22 - 4 - 4ccyy

C) Inéquations C) Inéquations (centrées à l’origine)(centrées à l’origine)

ddxx22 4 4ccyy

dd

xx22 - 4 - 4ccyy

C) Inéquations C) Inéquations (centrées à l’origine)(centrées à l’origine)

dd

yy22 4 4ccxx

dd

yy22 - 4 - 4ccxx

C) Inéquations C) Inéquations (centrées à l’origine)(centrées à l’origine)

dd

yy22 4 4ccxx

dd

yy22 - 4 - 4ccxx

C) Inéquations C) Inéquations (centrées à l’origine)(centrées à l’origine)

En résumé…En résumé…

yy22 … …

xx22 … …

ou ou Ensemble-solutions à l’Ensemble-solutions à l’intérieurintérieur de la parabole de la parabole

yy22 … …

xx22 … …

ou ou Ensemble-solutions à l’Ensemble-solutions à l’extérieurextérieur de la parabole de la parabole

yy22 … …

xx22 … …

ou ou

yy22 … …

xx22 … …

ou ou

Même ensemble-solutions que ci-haut, mais la Même ensemble-solutions que ci-haut, mais la parabole est parabole est pointilléepointillée (ne fait pas partie de l’ens.-solutions)(ne fait pas partie de l’ens.-solutions)ouou

(x – (x – hh))22 = 4 = 4cc(y – (y – kk))

FF

(0, 0)(0, 0)

dd

dd

((hh, , kk))

xx22 = 4 = 4ccyy

Centrée à l’origine :Centrée à l’origine : Translatée :Translatée :

D) Équations D) Équations translatéestranslatées

FF

(0, 0)(0, 0)

dd

dd

((44, , -2-2))

Ex. :Ex. :

(x – (x – hh))22 = 4 = 4cc(y – (y – kk)) (x – (x – 44))22 = 4 = 4cc(y + (y + 22))

D) Équations D) Équations translatéestranslatées

dd

(x – (x – hh))22 = 4 = 4cc(y – (y – kk))

dd

((hh, , kk))

(x – (x – hh))22 = -4 = -4cc(y – (y – kk))

((hh, , kk))

D) Équations D) Équations translatéestranslatées

dd

dd

((hh, , kk))

((hh, , kk))

(y – (y – kk))22 = 4 = 4cc(x – (x – hh))

(y – (y – kk))22 = -4 = -4cc(x – (x – hh))

D) Équations D) Équations translatéestranslatées

Ex. #1 :Ex. #1 : Résoudre le système d’équations suivant :Résoudre le système d’équations suivant :

xx22

99++

yy22

44== 11

y – x = 0y – x = 0

Représentation graphiqueReprésentation graphique : :

xx22

99++

yy22

44== 11

y – x = 0y – x = 0 Droite y = xDroite y = x

Ellipse où a Ellipse où a b b

((xx11, , yy11))

((xx22, , yy22))

Intersection de coniquesIntersection de coniques

Résolution pour trouver Résolution pour trouver (x(x11, y, y11)) et et (x(x22, y, y22)) : :

xx22

99++

yy22

44== 11

y = xy = x (1)(1)

(2)(2)

(1) dans (2) :(1) dans (2) : xx22

99++

xx22

44== 11

4x4x22

3636++

9x9x22

3636== 11

13x13x22

3636== 11

xx22 ≈≈ 2,772,77

xx11 ≈≈ 1,661,66

xx22 ≈≈ - 1,66- 1,66

(3)(3)

(4)(4)

(3) dans (1) :(3) dans (1) : yy11 ≈≈ 1,66 1,66

(4) dans (1) :(4) dans (1) : yy22 ≈≈ - 1,66 - 1,66

Réponse :Réponse : (1,66 ; 1,66)(1,66 ; 1,66)

etet

(-1,66 ; -1,66)(-1,66 ; -1,66)

Ex. #2 :Ex. #2 : Résoudre le système d’équations suivant :Résoudre le système d’équations suivant :

yy22 = -16(x – 7) = -16(x – 7)

xx22 + y + y22 = 25 = 25

Représentation graphiqueReprésentation graphique : :

Cercle de rayon 5Cercle de rayon 5

Parabole de sommet (Parabole de sommet (77, , 00))yy22 = -16(x – 7) = -16(x – 7)

xx22 + y + y22 = 25 = 25

dd

((77, , 00))

Résolution pour trouver Résolution pour trouver (x(x11, y, y11)) et et (x(x22, y, y22)) : :

(1)(1)

(2)(2)

(2) dans (1) :(2) dans (1) :

yy22 = -16(x – 7) = -16(x – 7)

xx22 + y + y22 = 25 = 25

xx22 + + -16(x – 7)-16(x – 7) = 25 = 25

xx22 – 16x + 112 = 25 – 16x + 112 = 25

xx22 -16x + 87 = 0 -16x + 87 = 0

x x

Réponse :Réponse : Il n'y a aucun solution.Il n'y a aucun solution.