mathématiques sn module 8 les fonctions sinusoÏdales réalisé par : sébastien lachance en...
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Mathématiques Mathématiques SNSN
MODULE 8MODULE 8Les fonctionsLes fonctions
SINUSOÏDALESSINUSOÏDALES
Réalisé par :Réalisé par : Sébastien Lachance Sébastien Lachance
En collaboration avec :En collaboration avec : Jean-Pierre Rousseau Jean-Pierre Rousseau
Équations et graphiquesÉquations et graphiques
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les fonctions - Les fonctions SINUSOÏDALESSINUSOÏDALES - -
f(x) = f(x) = sinsin x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
f(x) = f(x) = aa sinsin [ [ bb ( x – ( x – hh ) ] + ) ] + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)
Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction)(dilatation ou contraction), , l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.
Exemple :Exemple : f(x) = - 2 f(x) = - 2 sinsin [ 3 ( x – 1 ) ] + 4 [ 3 ( x – 1 ) ] + 4
aa bb hh kk
a a == - 2 - 2
b b == 3 3
h h == 1 1
k k == 4 4
f(x) = f(x) = coscos x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
f(x) = f(x) = aa coscos [ [ bb ( x – ( x – hh ) ] + ) ] + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)
Fonction Fonction SINUSSINUS
Fonction Fonction COSINUSCOSINUS
- 1- 1
11
f(x) = f(x) = sinsin x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
xx f(x)f(x)
00 00
00
11
00
-1-1
22
3322
22
22
- 2- 211
-1-1
00
5522
33
7722
22
33
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22 55
22
33 77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
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-3-3-7-7
22
L’angle « x » L’angle « x » n’est pasn’est pas en en DEGRÉDEGRÉ, il , il est en est en RADIANRADIAN ! !
Attention avec votre Attention avec votre calculatricecalculatrice* ! * ! *Appuyer sur « *Appuyer sur « MODEMODE » et « » et « RADIANRADIAN » »
Fonction Fonction SINUSSINUS
f(x) = f(x) = sinsin x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
xx f(x)f(x)
00
-1-1
00
- -
11
- - 22
- 3- 322
- 2- 2
-1-1
11
00
- 5- 522
- 3- 3
- 7- 722
- 1- 1
11
22
- 2- 2
22
33
22
22 55
22
33 77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
L’angle « x » L’angle « x » n’est pasn’est pas en en DEGRÉDEGRÉ, il , il est en est en RADIANRADIAN ! !
Attention avec votre Attention avec votre calculatricecalculatrice* ! * ! *Appuyer sur « *Appuyer sur « MODEMODE » et « » et « RADIANRADIAN » »
Fonction Fonction SINUSSINUS
- 1- 1
11
f(x) = f(x) = coscos x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
xx f(x)f(x)
00 11
-1-1
00
11
00
22
3322
22
22
- 2- 200
00
-1-1
--22
--
-3-322
22
33
22
22 55
22
33 77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
Fonction Fonction COSINUSCOSINUS
f(x) = f(x) = sinsin x x
- 1- 1
11
22
- 2- 2
22
33
22
22 55
22
33 77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
- 1- 1
11
22
- 2- 2
22
33
22
22 55
22
33 77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
f(x) = f(x) = coscos x x
f(x) = f(x) = coscos x x
f(x) = f(x) = sinsin x x
- 1- 1
11
22
- 2- 2
22
33
22
22 55
22
33 77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
f(x) = f(x) = coscos x x
– – / 2/ 2– – / 2/ 2
coscos x = x = sinsin ( x + ( x + / 2 / 2 )
La fonction La fonction COSINUSCOSINUS est une fonction est une fonction SINUSSINUS qui a subie une translation qui a subie une translation horizontale de horizontale de / 2/ 2 vers la gauche. vers la gauche.
Cette translation est appelée Cette translation est appelée DÉPHASAGEDÉPHASAGE..
Comme c’est le paramètre « Comme c’est le paramètre « hh » qui représente la translation horizontale de » qui représente la translation horizontale de la courbe, on peut donc écrire que :la courbe, on peut donc écrire que :
(car h = - (car h = - / 2/ 2))
OUOUsinsin x = x = coscos ( x – ( x – / 2 / 2 ) (car h = (car h = / 2/ 2))
La fonction La fonction COSINUSCOSINUS est donc une fonction est donc une fonction SINUSOÏDALESINUSOÏDALE..
f(x) = f(x) = sinsin x x
Les fonctions Les fonctions SINUSOÏDALESSINUSOÏDALES sont des fonctions CYCLIQUES. sont des fonctions CYCLIQUES.
- 1- 1
11
22
- 2- 2
22
33
22
55
22
33 77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
CYCLE : Plus petite portion de la courbe qui se répète.CYCLE : Plus petite portion de la courbe qui se répète.
22
PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.
AMPLITUDE : Variation de la hauteur de la fonction.AMPLITUDE : Variation de la hauteur de la fonction.
CycleCycle
PériodePériode
P = P = 22
| | bb | |
A = A = Max – MinMax – Min
22
AA
A = | A = | aa | |
f(x) = 2 f(x) = 2 sinsin ( x ) ( x )
- 1- 1
11
22
- 2- 2
22
33
22
55
22
77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
22
PÉRIODE = PÉRIODE = 33
AMPLITUDE = AMPLITUDE = 22
CycleCycle
PériodePériode
P = P = 22
| | bb | |
A = A = Max – MinMax – Min
22
AA
Exemple :Exemple : 22
33
33
P = P = 2222
33
= = 22 x x 33
22
= 3= 3
A = A = 2 – -22 – -2
22= = 22 A = | A = | aa | | A = | 2 |A = | 2 |
A = 2A = 2
Représentation graphiqueReprésentation graphique
Méthode du Méthode du RECTANGLERECTANGLE : :
On forme un rectangle qui contient On forme un rectangle qui contient unun cyclecycle de la fonction. de la fonction.
SINUSSINUS COSINUSCOSINUS
PériodePériode PériodePériode
AA AA
AA AA
((hh, , kk)) ((hh, , kk))
((hh, , k k ++ a a))
ATTENTION ! Le signe des paramètres ATTENTION ! Le signe des paramètres aa et et bb influencent l’orientation du graphique ! influencent l’orientation du graphique ! Donc si Donc si aa est est négatifnégatif ou ou bb est est négatifnégatif, on obtient :, on obtient :
SINUSSINUS COSINUSCOSINUS
PériodePériode PériodePériode
AA AA
AA AA
((hh, , kk)) ((hh, , kk))
((hh, , k k –– a a))
Tracer f(x) = 2 Tracer f(x) = 2 sinsin 2 ( x + 2 ( x + ) + 2 ) + 2
11
22
44
33
22
33
22
55
22
77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
22
PP
AA
Exemple #1 :Exemple #1 :
33
P = P = 22
| | bb | |= = 22
| 2 || 2 |= =
((hh, , kk) =) = (- (- , 2), 2)
A = | A = | aa | | = | 2 | = 2= | 2 | = 2
Tracer f(x) = - 2 Tracer f(x) = - 2 sinsin ( x – ( x – /2 ) + 1/2 ) + 1
11
22
44
33
22
33
22
55
22
77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
22
AA
Exemple #2 :Exemple #2 :
33
P = P = 22
| | bb | |= = 22
| 1 || 1 |= 2= 2
((hh, , kk) =) = ((/2 , 1)/2 , 1)
A = | A = | aa | | = | - 2 | = 2= | - 2 | = 2
PP
Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous sous la forme :sous la forme :
22
44
88
66
22
33
22
55
22
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--
22
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22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
22
AA
Exemple #3 :Exemple #3 :
33
P = P = 22
| | bb | |
22
| | bb | |33 = =
((hh, , kk) =) = (- (- , 3) , 3)
A = | A = | aa | | 5 = 5 = aa
PP
A)A) f(x) = a f(x) = a sinsin b( x – h ) + k b( x – h ) + k B)B) f(x) = a f(x) = a coscos b( x – h ) + k b( x – h ) + k
22
33| | bb | = | = ==
22
33
f(x) = 5 f(x) = 5 sinsin ( x + ( x + ) + 3 ) + 3Réponse :Réponse : 22
33
Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous sous la forme :sous la forme :
22
44
88
66
22
33
22
55
22
77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
22
Exemple #3 :Exemple #3 :
33
P = P = 22
| | bb | |
22
| | bb | |33 = =
((hh, , kk) =) = (- (- , 3) , 3)
A = | A = | aa | | 5 = 5 = aa
A)A) f(x) = a f(x) = a sinsin b( x – h ) + k b( x – h ) + k B)B) f(x) = a f(x) = a coscos b( x – h ) + k b( x – h ) + k
22
33| | bb | = | = ==
22
33
P = P = 22
| | bb | |
22
| | bb | |33 = =
((hh, , kk) =) = (- (- /4 , 3)/4 , 3)
A = | A = | aa | | 5 = 5 = aa
22
33| | bb | = | = ==
22
33
f(x) = 5 f(x) = 5 sinsin ( x + ( x + ) + 3 ) + 3Réponse :Réponse : 22
33
AA
PP
f(x) = 5 f(x) = 5 coscos ( x + ) + ( x + ) + 33
Réponse :Réponse : 22
33
44
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les fonctions - Les fonctions SINUSOÏDALESSINUSOÏDALES - -
Cercle trigonométriqueCercle trigonométrique
DÉFINITION :DÉFINITION :
Le cercle trigonométrique est Le cercle trigonométrique est un cercle centré à l’origine du un cercle centré à l’origine du plan cartésien et ayant un plan cartésien et ayant un rayon égal à 1.rayon égal à 1.
11 22 33-1-1-2-2-3-3
11
22
33
-1-1
-2-2
-3-3
yy
xx
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
Coordonnées d’ANGLES remarquablesCoordonnées d’ANGLES remarquables
côté adjacentcôté adjacent
hypoténusehypoténuse
cos cos = =
xx
11
cos cos ==
cos cos = = xx
11
P(P() = ( , )) = ( , )xx yy
xx
yy
côté opposécôté opposé
hypoténusehypoténuse
sin sin = =
yy
11
sin sin ==
sin sin = = yy
cos cos sin sin
On sait que :On sait que :
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
Coordonnées d’ANGLES remarquablesCoordonnées d’ANGLES remarquables
P(50P(50oo) = ( , )) = ( , )cos 50cos 50oo sin 50sin 50oo
Exemple :Exemple :
A)A) Angle de 50 Angle de 50oo
xx
yy
11
505000
x x = cos = cos x x = cos 50 = cos 50oo
x x ≈ 0,64 ≈ 0,64
yy = sin = sin yy = sin 50 = sin 50oo
yy ≈ 0,77 ≈ 0,77
P(50P(50oo) = ( , )) = ( , )0,640,64 0,770,77
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
Coordonnées d’ANGLES remarquablesCoordonnées d’ANGLES remarquables
P(73P(73oo) = ( , )) = ( , )cos 73cos 73oo sin 73sin 73oo
Exemple :Exemple :
B)B) Angle de 73 Angle de 73oo
x x = cos = cos x x = cos 73 = cos 73oo
x x ≈ 0,29 ≈ 0,29
yy = sin = sin yy = sin 73 = sin 73oo
yy ≈ 0,96 ≈ 0,96
P(73P(73oo) = ( , )) = ( , )0,290,29 0,960,96
11
xx
yy
737300
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
303000
11
Coordonnées d’ANGLES remarquablesCoordonnées d’ANGLES remarquables
Angle de Angle de 3030oo
Dans un triangle rectangle, la
mesure du côté opposé à l’angle
de 30o est la moitié de celle de
l’hypoténuse !
Dans un triangle rectangle, la
mesure du côté opposé à l’angle
de 30o est la moitié de celle de
l’hypoténuse !
Par Pythagore :Par Pythagore :
xx
11
22
xx22 + = 1 + = 12222
11
44
xx22 + = 1 + = 1
11
44
xx22 = 1 – = 1 –
33
44
xx22 = =
33
44
x =x =
33
22
x =x =
33
22
11
22
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
Coordonnées d’ANGLES remarquablesCoordonnées d’ANGLES remarquables
Angle de Angle de 3030oo
Dans un triangle rectangle, la
mesure du côté opposé à l’angle
de 30o est la moitié de celle de
l’hypoténuse !
Dans un triangle rectangle, la
mesure du côté opposé à l’angle
de 30o est la moitié de celle de
l’hypoténuse !
Par Pythagore :Par Pythagore :
11
22
xx22 + = 1 + = 12222
11
44
xx22 + = 1 + = 1
11
44
xx22 = 1 – = 1 –
33
44
xx22 = =
33
44
x =x =
33
22
x =x =
P(30P(30oo) = ( , )) = ( , )11
22
33
22
303000
11
33
22
11
22
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
Coordonnées d’ANGLES remarquablesCoordonnées d’ANGLES remarquables
Angle de Angle de 4545oo
Par Pythagore :Par Pythagore :
xx22 + x + x22 = 1 = 122
11
22
xx22 = =
11
22
22
22
x =x =
454500
11
xx
xx
2x2x22 = 1 = 1
x = x =
11
22
x = x = Il faut rationnaliser !
Il faut rationnaliser !
22
22
22
22
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
Coordonnées d’ANGLES remarquablesCoordonnées d’ANGLES remarquables
Angle de Angle de 4545oo
Par Pythagore :Par Pythagore :
xx22 + x + x22 = 1 = 122
11
22
xx22 = =
11
22
22
22
x =x =
2x2x22 = 1 = 1
x = x =
11
22
x = x = Il faut rationnaliser !
Il faut rationnaliser !
454500
11
22
22
22
22
P(45P(45oo) = ( , )) = ( , )22
22
22
22
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
Coordonnées d’ANGLES remarquablesCoordonnées d’ANGLES remarquables
Angle de Angle de 6060oo
606000
11 303000
Dans un triangle rectangle, la
mesure du côté opposé à l’angle
de 30o est la moitié de celle de
l’hypoténuse !
Dans un triangle rectangle, la
mesure du côté opposé à l’angle
de 30o est la moitié de celle de
l’hypoténuse !
11
22
xx
Par Pythagore :Par Pythagore :
11
22
xx22 + = 1 + = 12222
11
44
xx22 + = 1 + = 1
11
44
xx22 = 1 – = 1 –
33
44
xx22 = =
33
44
x =x = 33
22
x =x =
33
22
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
Coordonnées d’ANGLES remarquablesCoordonnées d’ANGLES remarquables
Angle de Angle de 6060oo
303000
Dans un triangle rectangle, la
mesure du côté opposé à l’angle
de 30o est la moitié de celle de
l’hypoténuse !
Dans un triangle rectangle, la
mesure du côté opposé à l’angle
de 30o est la moitié de celle de
l’hypoténuse !Par Pythagore :Par Pythagore :
11
22
xx22 + = 1 + = 12222
11
44
xx22 + = 1 + = 1
11
44
xx22 = 1 – = 1 –
33
44
xx22 = =
33
44
x =x = 33
22
x =x =
606000
11
11
22
33
2233
22
11
22
P(60P(60oo) = ( , )) = ( , )
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
Coordonnées d’ANGLES remarquablesCoordonnées d’ANGLES remarquables
P(30P(30oo) = ( , )) = ( , )
22
33
2211
P(60P(60oo) = ( , )) = ( , )
22
33
22
11
P(45P(45oo) = ( , )) = ( , )
2222
2222P(135P(135oo) = ( , )) = ( , )
2222
2222--
P(150P(150oo) = ( , )) = ( , )
2233
2211--
P(120P(120oo) = ( , )) = ( , )
22
33
22
11--
--P(240P(240oo) = ( , )) = ( , )
2233
22
11 --
P(225P(225oo) = ( , )) = ( , )
2222
2222-- --
P(210P(210oo) = ( , )) = ( , )
2233
22
11-- --
P(300P(300oo) = ( , )) = ( , )
2233
22
11 --
P(315P(315oo) = ( , )) = ( , )
2222
2222--
P(330P(330oo) = ( , )) = ( , )
2233
2211--
P(0P(0oo) = ( 1 , 0 )) = ( 1 , 0 )
P(90P(90oo) = ( 0 , 1 )) = ( 0 , 1 )
P(180P(180oo) = ( - 1 , 0 )) = ( - 1 , 0 )
P(270P(270oo) = ( 0 , - 1 )) = ( 0 , - 1 )
P( 360P( 360oo ) = ( 1 , 0 ) ) = ( 1 , 0 )
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les fonctions - Les fonctions SINUSOÏDALESSINUSOÏDALES - -
RadiansRadians
DÉFINITION :DÉFINITION :
Il correspond à la mesure de Il correspond à la mesure de l’angle au centre dont les côtés l’angle au centre dont les côtés interceptent interceptent un arcun arc dont la dont la longueur est longueur est égale au rayonégale au rayon..
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
11 11
Le radian est une autre façon de Le radian est une autre façon de mesurer un angle.mesurer un angle. 1 radian1 radian
yy
xx
1 radian1 radian
1 radian1 radian
1 radian1 radian
1 radian1 radian
1 radian1 radian
1 radian1 radian
≈ ≈ 0,2832 radian0,2832 radian
Le cercle trigonométrique ayant un Le cercle trigonométrique ayant un rayonrayon égal à égal à 11, calculons sa , calculons sa circonférence.circonférence.
C = 2C = 2 r r
C = 2C = 2 x 1 x 1
C = 2C = 2
On retrouve donc On retrouve donc 22 radians radians dans un cercle trigonométrique.dans un cercle trigonométrique.
Soit ≈ 2 x 3,1416 ≈ Soit ≈ 2 x 3,1416 ≈ 6,2832 radians6,2832 radians..
(1 radian ≈ 57,3(1 radian ≈ 57,300))
11
11
11
11
11
11
yy
xx
1 radian1 radian
1 radian1 radian
1 radian1 radian
1 radian1 radian
1 radian1 radian
1 radian1 radian
≈ ≈ 0,2832 radian0,2832 radian
11
11
11
11
11
11
Conversions Conversions DEGRÉSDEGRÉS <---> <---> RADRAD
OU OU
On peut donc effectuer la proportion On peut donc effectuer la proportion suivante :suivante :
360360oo = 2 = 2 rad rad
180180oo = = rad rad
DegrésDegrés
360360oo
RadiansRadians
22==
OUOU
DegrésDegrés
180180oo
RadiansRadians
==
Conversions Conversions DEGRÉSDEGRÉS <---> <---> RADRAD
Exemples : Exemples :
909000
36036000
xx
22 == 22 x x 909000
36036000
= x= x x = x = 22
A)A) Angle de Angle de 9090oo
303000
36036000
xx
22 ==
22 x x 303000
36036000
= x= x x = x = 66
B)B) Angle de Angle de 3030oo
rad rad
rad rad
454500
36036000
xx
22 ==
22 x x 454500
36036000
= x= x x = x = 44
C)C) Angle de Angle de 4545oo
rad rad
606000
36036000
xx
22 ==
22 x x 606000
36036000
= x= x x = x = 33
D)D) Angle de Angle de 6060oo
rad rad
Conversions Conversions DEGRÉSDEGRÉS <---> <---> RADRAD
0000oo
DEGRÉSDEGRÉS RADIANSRADIANS
Angles IMPORTANTS :Angles IMPORTANTS :
66
3030oo
44
4545oo
33
6060oo
9090oo
22
180180oo
2233270270oo
360360oo 22
Conversions Conversions DEGRÉSDEGRÉS <---> <---> RADRAD
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P(30P(30oo) = ( , )) = ( , )
22
33
2211
P(60P(60oo) = ( , )) = ( , )
22
33
22
11
P(45P(45oo) = ( , )) = ( , )
2222
2222P(135P(135oo) = ( , )) = ( , )
2222
2222--
P(150P(150oo) = ( , )) = ( , )
2233
2211--
P(120P(120oo) = ( , )) = ( , )
22
33
22
11--
--P(240P(240oo) = ( , )) = ( , )
2233
22
11 --
P(225P(225oo) = ( , )) = ( , )
2222
2222-- --
P(210P(210oo) = ( , )) = ( , )
2233
22
11-- --
P(300P(300oo) = ( , )) = ( , )
2233
22
11 --
P(315P(315oo) = ( , )) = ( , )
2222
2222--
P(330P(330oo) = ( , )) = ( , )
2233
2211--
P(0P(0oo) = ( 1 , 0 )) = ( 1 , 0 )
P(90P(90oo) = ( 0 , 1 )) = ( 0 , 1 )
P(180P(180oo) = ( - 1 , 0 )) = ( - 1 , 0 )
P(270P(270oo) = ( 0 , - 1 )) = ( 0 , - 1 )
Cercle trigonométriqueCercle trigonométrique
P( 360P( 360oo ) = ( 1 , 0 ) ) = ( 1 , 0 )
Conversions Conversions DEGRÉSDEGRÉS <---> <---> RADRAD
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
2211--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
2211--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
Cercle trigonométriqueCercle trigonométrique
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les fonctions - Les fonctions SINUSOÏDALESSINUSOÏDALES - -
Résolutions d’équationsRésolutions d’équations
Exemple #1 : Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 sinsin x – 3 x – 3
0 = 2 0 = 2 sinsin x – 3 x – 3
3 = 2 3 = 2 sinsin x x
33
22
= = sinsin x x
33
22
sinsin-1-1 ( ) = x ( ) = x
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? 33
22
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
Exemple #1 : Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 sinsin x – 3 x – 3
0 = 2 0 = 2 sinsin x – 3 x – 3
3 = 2 3 = 2 sinsin x x
33
22
= = sinsin x x
33
22
sinsin-1-1 ( ) = x ( ) = x
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? 33
22
33
xx11 = = 2233
xx22 = = etet
Comme Comme xx11 et et xx22 sont les zéros à l’intérieur de sont les zéros à l’intérieur de 1 cycle 1 cycle seulement, il faut seulement, il faut
aussi nommer tous les autres ! aussi nommer tous les autres !
33
22
33
+ 1 P+ 1 P + 1 P+ 1 P
P = P = 22| | bb | |
22| 1 || 1 |
P =P =
PériodePériode
= 2= 2
Réponse :Réponse :
x x + 2 + 2n , + 2n , + 2n n où n où n 33
2233
+ 1 P+ 1 P + 1 P+ 1 P– – 1 P1 P – – 1 P1 P– – 1 P1 P – – 1 P1 P
sinsin-1-1 ( ) = 3x ( ) = 3x
Exemple #2 : Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - Trouver les zéros de g(x) = - sinsin 3x + 0,5 3x + 0,5
0 = - 0 = - sinsin 3x + 0,5 3x + 0,5
= - = - sinsin 3x 3x
11
22
= = sinsin 3x 3x
11
22
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?11
22
-1-1
22
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
66
3x = 3x = 5566
3x = 3x = etet
P = P = 22| | bb | |
22| 3 || 3 |
P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x + n , + n + n , + n où n où n 1818
551818
sinsin-1-1 ( ) = 3x ( ) = 3x
Exemple #2 : Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - Trouver les zéros de g(x) = - sinsin 3x + 0,5 3x + 0,5
0 = - 0 = - sinsin 3x + 0,5 3x + 0,5
= - = - sinsin 3x 3x
11
22
= = sinsin 3x 3x
11
22
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?11
22
-1-1
22
1818
xx11 = = 551818
xx22 = = 2233
==
2233
2233
coscos-1-1 ( ) = (x + ( ) = (x + ) )
Exemple #3 : Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 coscos (x + (x + ) – 1 ) – 1
0 = 2 0 = 2 coscos (x + (x + ) – 1 ) – 1
= = cos cos (x + (x + ) )
11
22
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ?11
22
11
22
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
coscos-1-1 ( ) = (x + ( ) = (x + ) )
Exemple #3 : Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 coscos (x + (x + ) – 1 ) – 1
0 = 2 0 = 2 coscos (x + (x + ) – 1 ) – 1
= = cos cos (x + (x + ) – 1 ) – 1
11
22
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ?11
22
11
22
33
x + x + = = 5533
x + x + = = etet
-2-233
xx11 = = 2233
xx22 = =
P = P = 22| | bb | |
22| 1 || 1 |
P =P =
PériodePériode
= 2= 2
Réponse :Réponse :
x x + 2 + 2n , + 2n , + 2n n où n où n -2-233
2233
sinsin-1-1 ( ) = ( ) = (x + 1) (x + 1)
Exemple #4 : Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = Trouver les zéros de h(x) = sinsin (x + 1) + 0,5 (x + 1) + 0,5
0 = 0 = sinsin (x + 1) + 0,5 (x + 1) + 0,5
= = sinsin (x + 1) (x + 1)
-1-1
22
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?-1-1
22
-1-1
22
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
sinsin-1-1 ( ) = ( ) = (x + 1) (x + 1)
Exemple #4 : Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = Trouver les zéros de h(x) = sinsin (x + 1) + 0,5 (x + 1) + 0,5
0 = 0 = sinsin (x + 1) + 0,5 (x + 1) + 0,5
= = sinsin (x + 1) (x + 1)
-1-1
22
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?-1-1
22
-1-1
22
7766
(x + 1) = (x + 1) = 111166
(x + 1) = (x + 1) = etet
P = P = 22| | bb | |
22
| | | |P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x + 2n , + 2n + 2n , + 2n où n où n 11
66
55
66
11
66
xx11 = = 55
66
xx22 = =
= 2= 2
77
66
x + 1 = x + 1 = 1111
66
x + 1 = x + 1 =
77
66
x + 1 = x + 1 = 1111
66
x + 1 = x + 1 =
coscos-1-1 ( ) = ( ) = x x
Exemple #5 : Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 coscos x + 2 x + 2
0 = 2 0 = 2 coscos x + 2 x + 2
= = cos cos x x
- 2- 2
22
Quel est l’angle dont la valeur en
« x » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en
« x » est ?- 2- 2
22
- 2- 2
22
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
coscos-1-1 ( ) = ( ) = x x
Exemple #5 : Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 coscos x + 2 x + 2
0 = 2 0 = 2 coscos x + 2 x + 2
= = cos cos x x
- 2- 2
22
Quel est l’angle dont la valeur en
« x » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en
« x » est ?- 2- 2
22
- 2- 2
22
3344
x = x = 5544
x = x = etet
33
44x = x =
33
44xx11 = =
55
44x = x =
55
44xx22 = = P = P = 22
| | bb | |
22
| | | |P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x + 2n , + 2n + 2n , + 2n où n où n 33
44
55
44
= 2= 2
sinsin-1-1 ( ) = ( ) = (x – 0,25) (x – 0,25)
Exemple #6 : Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 Trouver les zéros de j(x) = -45 sinsin (x – 0,25) + 15 (x – 0,25) + 15
0 = -45 0 = -45 sinsin (x – 0,25) + 15(x – 0,25) + 15
= = sinsin (x – 0,25) (x – 0,25)
11
33
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?11
33
11
33Il ne fait pas partie des
16 coordonnées remarquables !
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( P( 11 ) = ( , ) ) = ( , )
11
11
3311
33
P( P( 22 ) = ( , ) ) = ( , )11
3322
22 ==
–– 11
11
sinsin-1-1 ( ) = ( ) = (x – 0,25) (x – 0,25)
Exemple #6 : Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 Trouver les zéros de j(x) = -45 sinsin (x – 0,25) + 15 (x – 0,25) + 15
0 = -45 0 = -45 sinsin (x – 0,25) + 15(x – 0,25) + 15
= = sinsin (x – 0,25) (x – 0,25)
11
33
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?11
33
11
33Il ne fait pas partie des
16 coordonnées remarquables !
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
0,340,34 = = (x – 0,25)(x – 0,25) etet –– 0,340,34 = = (x – 0,25)(x – 0,25)
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( P( 11 ) = ( , ) ) = ( , )
11
11
3311
33
P( P( 22 ) = ( , ) ) = ( , )11
3322
22 ==
–– 0,34 0,34
0,340,34- 0,34- 0,34
22 ==
2,82,8
sinsin-1-1 ( ) = ( ) = (x – 0,25) (x – 0,25)
Exemple #6 : Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 Trouver les zéros de j(x) = -45 sinsin (x – 0,25) + 15 (x – 0,25) + 15
0 = -45 0 = -45 sinsin (x – 0,25) + 15(x – 0,25) + 15
= = sinsin (x – 0,25) (x – 0,25)
11
33
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?11
33
11
33Il ne fait pas partie des
16 coordonnées remarquables !
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
0,340,34 = = (x – 0,25)(x – 0,25) etet –– 0,340,34 = = (x – 0,25)(x – 0,25)
0,35820,3582 = x= x11 2,82,8 = = (x – 0,25)(x – 0,25)
1,14131,1413 = x = x22
P = P = 22| | bb | |
22
| | | |P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x 0,35820,3582 + 2n , + 2n , 1,14131,1413 + 2n + 2n où n où n
= 2= 2
coscos-1-1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 ( 0,4 ) = 0,5x – 2
Exemple #7 : Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 Résoudre 7 = 5 coscos (0,5x – 2) + 5 (0,5x – 2) + 5
7 = 5 7 = 5 cos cos (0,5x – 2) + 5(0,5x – 2) + 5
2 = 5 2 = 5 cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ?
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ?
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
0,4 = 0,4 = cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( P( 11 ) = ( 0,4 , ) ) = ( 0,4 , )
11
P( P( 22 ) = ( 0,4 , ) ) = ( 0,4 , )
22
22 ==
22
–– 11
11
0,40,4
coscos-1-1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 ( 0,4 ) = 0,5x – 2
Exemple #7 : Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 Résoudre 7 = 5 coscos (0,5x – 2) + 5 (0,5x – 2) + 5
7 = 5 7 = 5 cos cos (0,5x – 2) + 5(0,5x – 2) + 5
2 = 5 2 = 5 cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ?
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ?
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
0,4 = 0,4 = cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)
1,16 1,16 = 0,5x – 2= 0,5x – 2 etet 22 –– 1,161,16 = 0,5x – 2= 0,5x – 2
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( P( 11 ) = ( 0,4 , ) ) = ( 0,4 , )
11
P( P( 22 ) = ( 0,4 , ) ) = ( 0,4 , )
22
1,161,16
0,40,4
- 1,16- 1,16
22
22 ==
22 –– 1,16
1,16
22 ==
5,123
5,123
coscos-1-1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 ( 0,4 ) = 0,5x – 2
Exemple #7 : Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 Résoudre 7 = 5 coscos (0,5x – 2) + 5 (0,5x – 2) + 5
7 = 5 7 = 5 cos cos (0,5x – 2) + 5(0,5x – 2) + 5
2 = 5 2 = 5 cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ?
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ?
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
0,4 = 0,4 = cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)
1,16 1,16 = 0,5x – 2= 0,5x – 2 etet 22 –– 1,161,16 = 0,5x – 2= 0,5x – 2
6,32 6,32 = x= x115,1235,123 = 0,5x – 2 = 0,5x – 2
14,2514,25 = x = x22
P = P = 22| | bb | |
22| 0,5 || 0,5 |
P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x 6,32 6,32 + 4+ 4n , n , 14,25 14,25 + 4+ 4n n où n où n
= 4= 4
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les fonctions - Les fonctions SINUSOÏDALESSINUSOÏDALES - -
Résolutions d’inéquationsRésolutions d’inéquations
Exemple : Exemple : Résoudre 2 Résoudre 2 sinsin 2 (x + 2 (x + ) ) ≥ 0≥ 0
11
22
44
33
22
33
22
55
22
77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
22 33
+ 1 P+ 1 P + 1 P+ 1 P
Résoudre 2 Résoudre 2 sinsin 2 ( x + 2 ( x + ) ) ≥ 0≥ 0Exemple :Exemple :
2 (x + 2 (x + ) ≥ ) ≥ sinsin-1-1 ( 0 )( 0 )
2 2 sinsin 2 (x + 2 (x + ) ≥ 0 ) ≥ 0
sinsin 2 (x + 2 (x + ) ≥ 0 ) ≥ 0 Quel est l’angle dont la valeur en
« y » est 0 ?
Quel est l’angle dont la valeur en
« y » est 0 ?
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
Résoudre 2 Résoudre 2 sinsin 2 ( x + 2 ( x + ) ) ≥ 0≥ 0Exemple :Exemple :
2 (x + 2 (x + ) = ) = sinsin-1-1 ( 0 )( 0 )
2 2 sinsin 2 (x + 2 (x + ) = 0 ) = 0
sinsin 2 (x + 2 (x + ) = 0 ) = 0 Quel est l’angle dont la valeur en
« y » est 0 ?
Quel est l’angle dont la valeur en
« y » est 0 ?
2 (x + 2 (x + ) = ) = 00 2 (x + 2 (x + ) = ) = etet
P = P = 22| | bb | |
22| 2 || 2 |
P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x [ [ - - + + n , + n , + n ] où n n ] où n - - 22
- - 22
==
xx11 = = - - xx22 ==