mathÉmatiques financiÈres i (act2025) robert bédard

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

(ACT2025)

Robert Bédard

CHAPITRE IIntérêt et escompte

L’intérêt et sa mesure

• L'intérêt est ce qu'un emprunteur d'un capital versera à un prêteur pour l'utilisation de cette somme pendant un certain temps.

• C'est aussi ce que le prêteur demande à l'emprunteur à titre de compensation pour ne pas pouvoir utiliser le montant prêté pendant la durée du prêt.

• Les deux parties doivent se mettre d'accord sur ce montant.

Quelques facteurs agissant sur le montant d'intérêt demandé:

• Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur

Quelques facteurs agissant sur le montant d'intérêt demandé:

• Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur• Le risque de défaut de paiement de la part de l'emprunteur

Quelques facteurs agissant sur le montant d'intérêt demandé:

• Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur• Le risque de défaut de paiement de la part de l'emprunteur

• L'inflation

Quelques facteurs agissant sur le montant d'intérêt demandé:

• Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur• Le risque de défaut de paiement de la part de l'emprunteur

• L'inflation• Autres conditions afférentes: disposition permettant à

l'emprunteur de régler son prêt plustôt, …

Exemple 1:Alexandre emprunte 20000$ à la banque pour l’achat d’une automobile. Il rembourse ce prêt en faisant 48 paiements mensuels de 450$ à la fin de chaque mois. L’intérêt payé par Alex à la banque sera

48 X 450$ - 20000$ = 1600$. (Montant remboursé) - (montant emprunté)

Exemple 2:Bobby emprunte 5000$ à Cléo. Il rembourse ce prêt en faisant deux paiements: 2000$ après deux ans et 5000$ après six ans. L’intérêt payé par Bobby à Cléo sera

(2000$ + 5000$) - 5000$ = 2000$. (Montant remboursé) - (montant emprunté)

Une transaction financière banale est l'investissementd'une somme d'argent à intérêt.

Il suffit de penser à un dépôt dans un compte d’épargne à la banque.

Dans une telle situation, le montant initial est appelé leprincipal ou le capital, le montant total reçu après une période de temps est appelé la valeur accumulée et la différence entre les deux, l'intérêt.

• Nous désignerons par : le temps écoulé depuis la date de l'investissement avec comme convention que signifie qu'une année s'est écoulée depuis l'investissement initial. Cette unité de temps est appelée la période (de capitalisation) et comme nous l'avons indiqué, celle-ci sera pour l’instant d'une année à moins d'avis contraire.

CONVENTION:

• Nous désignerons par : le temps écoulé depuis la date de l'investissement avec comme convention que signifie qu'une année s'est écoulée depuis l'investissement initial. Cette unité de temps est appelée la période (de capitalisation) et comme nous l'avons indiqué, celle-ci sera pour l’instant d'une année à moins d'avis contraire.

• Nous utiliserons le dollar comme unité monétaire dans ce cours. Mais nous aurions tout aussi bien pu utiliser l'euro, le yen,... Ceci n'a aucune incidence pour les concepts présentés.

CONVENTION:

Il existe plusieurs mesures de l’intérêt.

Par exemple,

• Taux effectif d’intérêt

Par exemple,

• Taux effectif d’intérêt

• Taux nominal d’intérêt

Par exemple,

• Taux effectif d’intérêt

• Taux nominal d’intérêt

• Taux effectif d’escompte

Par exemple,

• Taux effectif d’intérêt

• Taux nominal d’intérêt

• Taux effectif d’escompte

• Taux nominal d’escompte

Par exemple,

• Taux effectif d’intérêt

• Taux nominal d’intérêt

• Taux effectif d’escompte

• Taux nominal d’escompte

• Taux instantané d’intérêt ou force de l’intérêt

L’intérêt peut aussi croître de plusieurs façons.

Exemples de formes de capitalisation communes de l’intérêt:

• Intérêt simple

Exemples de formes de capitalisation communes de l’intérêt:

• Intérêt simple• Intérêt composé

Exemples de formes de capitalisation communes de l’intérêt:

• Intérêt simple• Intérêt composé• Escompte simple

Exemples de formes de capitalisation communes de l’intérêt:

• Intérêt simple• Intérêt composé• Escompte simple • Escompte composé

Pour définir tous ces concepts, il nous faut premièrement parler de la

fonction de capitalisation.

Considérons l'investissement de 1$ de principal et désignons alors par : le

montant total accumulé au temps . Alors est la

fonction de capitalisation.

Exemple 3: (Intérêt simple)

Exemple 4: (Intérêt composé)

Exemple 5:

Exemple 6:

Propriétés anticipées de la fonction de capitalisation:

Propriétés anticipées de la fonction de capitalisation:

• est une fonction croissante

Propriétés anticipées de la fonction de capitalisation:

• est une fonction croissante

• est une fonction continue si l'intérêt croit continûment

Considérons l'investissement de $ de principal et désignons alors par : le

montant total accumulé au temps . Alors est la

fonction de accumulation.

CONVENTION:

Nous supposerons dans ce cours à moins d’avis contraire que

Taux effectif d’intérêt pour la 1e période:

Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la première période sur le montant investi initialement. En formule, nous obtenons

Taux effectif d’intérêt pour la 1e période:

Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la première période sur le montant investi au début. En formule, nous obtenons

où est l’intérêt gagné dans la 1e période.

Taux effectif d’intérêt pour la e période:

Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la e période sur le montant investi au début de la e

période. En formule, nous obtenons

où est l’intérêt gagné dans la e période.

Si nous connaissons les taux effectifs d’intérêt pour toutes les périodes, de la 1e à la e , et le capital initial, alors nous pouvons calculer le montant accumulé à

la fin de la e période, i.e.

En effet,

En effet,

En effet,

et ainsi de suite

Exemple 3:

Dans un placement, le taux effectif d’intérêt est de 5.75% pour la 1e année, 6% pour la 2e année, 5.5% pour la 3e année et 5% pour la 4e année. Si le principal investi est 8000$, alors • le montant accumulé après 4 ans est

Exemple 3:

Dans un placement, le taux effectif d’intérêt est de 5.75% pour la 1e année, 6% pour la 2e année, 5.5% pour la 3e année et 5% pour la 4e année. Si le principal investi est 8000$, alors • le montant accumulé après 4 ans est

Exemple 3:

Dans un placement, le taux effectif d’intérêt est de 5.75% pour la 1e année, 6% pour la 2e année, 5.5% pour la 3e année et 5% pour la 4e année. Si le principal investi est 8000$, alors • le montant accumulé après 4 ans est

• le montant d’intérêt gagné pendant la 3e année est

Exemple 3:

Dans un placement, le taux effectif d’intérêt est de 5.75% pour la 1e année, 6% pour la 2e année, 5.5% pour la 3e année et 5% pour la 4e année. Si le principal investi est 8000$, alors • le montant accumulé après 4 ans est

• le montant d’intérêt gagné pendant la 3e année est

c’est-à-dire .

Intérêt simple: (Description)

Considérons l'investissement de 1$ pour lequel le montant d'intérêt gagné à chacune des périodes est constant, disons égal à .

Noter que c’est le montant d'intérêt qui est constant et non le taux effectif

d'intérêt!

Calculons la fonction de capitalisation.

et ainsi de suite pour obtenir

Donc la fonction de capitalisation est

Si nous considérons plutôt la fonction d’accumulation, nous aurons

Dans ce qui précède,

désigne le taux d’intérêt simple. Nous avons

Calculons le taux effectif d’intérêt pour

chaque période:

Ainsi de suite, nous obtenons

Remarque

L’intérêt simple est surtout utilisé dans le court terme (semaine, mois) justement parce que le taux effectif d’intérêt décroit avec les périodes et ceci n’est pas intéressant comme investissement.

Intérêt composé: (Description)

Considérons l'investissement de 1$ pour lequel nous versons de l’intérêt sur le principal, mais aussi sur l’intérêt accumulé. Nous parlons d’intérêt sur l’intérêt.

Calculons la fonction de capitalisation.

et ainsi de suite pour obtenir

Donc la fonction de capitalisation est

Si nous considérons plutôt la fonction d’accumulation, nous aurons

Calculons le taux effectif d’intérêt pour

chaque période:

Ainsi de suite, nous obtenons

RemarqueL’intérêt composé est surtout utilisé dans le long terme (années) justement parce que le taux effectif d’intérêt est constant avec les différentes périodes.

À moins d’avis contraire, nous allons toujours supposer que nous avons de l’intérêt composé!