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Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques

Emmanuel Risler, INSA de Lyon

4 - systèmes différentiels dans l’espace, dynamiques complexes

Systèmes différentiels en dimension 3 : comportements « complexes »

Application du boulanger

Attracteur étrange et transformation du boulanger

Exemples de systèmes chaotiques• Mécanique celeste• Double pendule (voir vidéos)• Convection • Fontaine chaotique de Lorentz : analogue mécanique du phénomène de convection (en régime d’apparition des rouleaux de convection) (voir vidéo)• Billards

Modèle de Lorenz

Convection

Dessin de PoincaréPoincaré (fin 19ème siècle), découvre des orbites homoclines à des solutions périodiques dans le problème des trois corps plan restreint

Approximation dans laquelle • les trois corps se meuvent dans un même plan• le mouvement des deux corps les plus massifs (le soleil et la terre) est Keplerien (on néglige la masse du troisième, la lune)

Poincaré a découvert l’existence d’orbites homoclines à des orbites périodiques « hyperboliques » dans ce système

Application de premier retour… au voisinage d’une orbite périodique

= application (« mapping ») du plan, défini au voisinage d’un point fixe

Application de premier retour au voisinage d’une orbite périodique « hyperbolique »

•Chacune des deux variétés (stable et instable) s’accumule sur elle-même.•Infinité d’orbites homoclines •Caractère « autosimilaire » du dessin. •Fer à cheval

Applications dilatantes de l’intervalle

E0

E0

I0I1

f(x)

x

0

I0

I1

f : E0 R E1 = f-1(E0) = I0 U I1

En = f-n(E0)Pour tout n N, En a 2n composantes connexes, pour toute composante connexe J de En , fn définit une bijection : J E0

K = f-∞ (E0) ensemble de Cantor

h : K S2+ = {0,1}N , x (a0, a1, a2, …)

ai = 0 si fi(x) I0 ai = 1 si fi(x) I1

h bijection bicontinue, qui conjugue f avec ss : S2

+ S2+ le shift sur deux symboles

S2+ S2

+

K K

f

h hs

Conséquences : • Infinité d’orbites périodiques (et orbites périodiques de toutes les périodes)• Pour toute paire d’orbites périodiques, infinité d’orbites homoclines à ces orbites périodiques• Sensibilité aux conditions initiales (« effet papillon »)

« Shadowing lemma » : impossibilité de savoir, par l’observation des solutions, si le système est purement déterministe, ou s’il est soumis à une petite pertubation aléatoire

Analogies : • S1 S1, q nq , n N• [0;1] [0;1] , x 10x mod 1 (décalage de la virgule en base 10)

Fer à cheval de Smale

K+ = f-∞ (E0) ensemble de Cantor K- = f+∞ (E0) ensemble de CantorK = K+ K-

h : K S2 = {0,1}Z , x (…, a-2, a-1, a0, a1, a2, …)ai = 0 si fi(x) I0 ai = 1 si fi(x) I1

h bijection bicontinue, qui conjugue f avec ss : S2

S2 le shift sur deux symboles S2 S2

K K

f

h hs

Conséquences : • Infinité d’orbites périodiques (et orbites périodiques de toutes les périodes)• Pour toute paire d’orbites périodiques, infinité d’orbites homoclines à ces orbites périodiques• Sensibilité aux conditions initiales (« effet papillon »)

« Shadowing lemma » : impossibilité de savoir, par l’observation des solutions, si le système est purement déterministe, ou s’il est soumis à une petite pertubation aléatoire

Application de premier retour au voisinage d’un point « saddle focus »

Re

Im

l1

l2

l3

l1 = - + r iwl2 = - - r iwl3 = g

(codimension 1)

Re

Im

l1

l2

l3

r < gr > g

Re

Im

l1

l2

l3

Dans ce cas, on va avoir de nouveau des horseshoes au voisinage de l’orbite homocline au point saddle-focus

Les horseshoes persistent par perturbation de la dynamique

Application de premier retour au voisinage d’un point « saddle focus » (suite)

l1

l2

l3l1

l2

l3

Un attracteur d’un mapping de R3: le solénoïde

Attracteur de Hénon

Application logistique

Point fixe du groupe de renormalisation, universalité

• Opérateur de renormalisation• Point fixe• Génériquement, le point fixe est hyperbolique• Le fait que, dans une famille générique à un paramètre (la famille quadratique) on traverse la variété stable du point fixe pour une seule valeur du paramètre « montre » que cette variété stable est de codimension un• Variété instable de dimension un• Sous-variétés pour lesquelles les bifurcations de doublement de période se produisent s’accumulent sur la variété stable• La valeur de la valeur propre instable se retrouve universellement dans les rapports entre les valeurs successives des paramètres de bifurcations dans les phénomènes de cascades de doublement de périodes

Polynômes de degré 2 dans C

z z2+c , c C , z C

Re(c)

Im(c)

R.M. May (1976). "Simple mathematical models with very complicated dynamics". Nature 261: 459