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Exercices de Mathematiques

Racines carrees, cubiques, quatrie`mes

Enonces

Enonces des exercices

Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]

Calculer les racines carrees de Z = 4ab+ 2(a2 b2)i (avec a, b reels).

Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]

Dans lC, resoudre lequation z4 (5 14i)z2 2(5i+ 12) = 0.

Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]

Dans lC, resoudre lequation z3 i = 6(z + i).

Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]

Dans lC, resoudre lequation z2 2iz + 2 4i = 0.

Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]

Trouver les racines quatrie`mes de Z = 119 + 120i.

Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ]

Resoudre lequation z6 2z3 cos 3 + 1 = 0.

Exercice 7 [ Indication ] [ Correction ]

Soit Z =1 + i

4. Calculer les racines cubiques de Z.

Montrer quune seule dentre elles a une puissance quatrie`me reelle.

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Racines carrees, cubiques, quatrie`mes

Indications, resultats

Indications ou resultats

Indication pour lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]

Les racines carrees de Z sont z = (a+ b) + i(a b) et z.

Indication pour lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]

On utilise bien sur le changement de variable Z = z2.

Les solutions de lequation initiale sont donc 1 i,1 + i, 3 2i,3 + 2i.

Indication pour lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]

On factorise par z + i. Les solutions sont donc i, 12(i 33) et 1

2(i+ 3

3).

Indication pour lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]

Les solutions sont z1 = 1 + 3i et z2 = i (1 + 2i) = 1 i.

Indication pour lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]

On calcule les racines carrees des racines carrees de Z.

On trouve z1 = 3 + 2i, z2 = 2 + 3i, z3 = 3 2i et z4 = 2 3i.

Indication pour lexercice 6 [ Retour a` lenonce ]

On factorise z6 2z3 cos 3 + 1 en (z3 e3i)(z3 e3i).Les solutions sont les zk = exp

(2ikpi3

), avec 0 k 2.

Indication pour lexercice 7 [ Retour a` lenonce ]

Les racines cubiques de Z sont : z1 =12exp ipi4 , z2 = jz1 et z3 = j

2z1.

Seule la puissance quatrie`me de z1 est un nombre reel.

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Racines carrees, cubiques, quatrie`mes

Corriges

Corriges des exercices

Corrige de lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]

Si = a ib, alors 2 = a2 b2 2iab, donc 2i2 = 4ab+ 2i(a2 b2) = Z.Or 2i = (1 + i)2. On en deduit Z = ((1 + i)(a ib))2 = (a+ b+ i(a b))2.Ainsi les racines carrees de Z sont z et z, avec z = (a+ b) + i(a b).

Corrige de lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]

On resout Z2 (5 14i)Z 2(5i+ 12) = 0 puis on prend les racines carrees des solutions.Le discriminant est = (5 14i)2 + 8(5i+ 12) = 75 100i = (5 10i)2.On trouve Z1 =

1

2(5 14i 5 + 10i) = 2i, et Z2 = 1

2(5 14i+ 5 10i) = 5 12i.

Les racines carrees de Z1 sont z1 = 1 i et z1 = z1.Les racines carrees de Z2 sont z2 = 3 2i et z2 = z2.Les solutions de lequation initiale sont donc 1 i,1 + i, 3 2i,3 + 2i.

Corrige de lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]

On constate que le premier membre est factorisable par z + i :

z3 i = 6(z + i) z3 + i3 = 6(z + i) (z + i)(z2 iz 1) = 6(z + i) (z + i)(z2 iz 7) = 0

Le discriminant de z2 iz 7 est = 1 + 28 = 27 = (33)2.Les solutions de lequation initiale sont donc z1 =i, z2 = 1

2(i 33) et z3 = 1

2(i+ 3

3).

Corrige de lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]

Le discriminant reduit est = i2 (2 4i) = 3 + 4i = (1 + 2i)2.

Les solutions de lequation sont donc

{z1 = i+ (1 + 2i) = 1 + 3i

z2 = i (1 + 2i) = 1 i

Corrige de lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]

Il faut bien sur calculer les racines carrees des racines carrees de Z.

Posons z = x+ iy, avec (x, y) IR2. On constate qye |Z| = 1192 + 1202 = 169.

z2 = Z x

2 y2 = 1192xy = 120x2 + y2 = 169

x

2 = 25y2 = 144xy = 60

{(x, y) = (5, 12)ou (x, y) = (5,12)

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Racines carrees, cubiques, quatrie`mes

Corriges

On doit maintenant trouver les racines carrees de 5 + 12i et de 5 12i.Or 5 + 12i = (3 + 2i)2. Une racine quatrie`me de Z est donc z1 = 3 + 2i.

Toutes sobtiennent en multipliant z1 par les racines quatrie`mes de 1, donc par 1, i,1,i.

Finalement les racines quatrie`mes de Z sont

{z1 = 3 + 2i z2 = 2 + 3iz3 = 3 2i z4 = 2 3i

Corrige de lexercice 6 [ Retour a` lenonce ]

On a la factorisation z6 2z3 cos 3 + 1 = (z3 e3i)(z3 e3i).On a z3 = e3i z {ei, jei, j2ei}, et z3 = e3i z {ei, jei, j2ei}.Finalement, les solutions sont les zk = exp

(2ikpi3

), avec 0 k 2.

Corrige de lexercice 7 [ Retour a` lenonce ]

On a 1+i4 =24 exp

3ipi4 = 2

3/2 exp 3ipi4 . Les racines cubiques de Z sont :

z1 =12exp ipi4 , z2 = jz1 =

12exp 11ipi12 , z3 = j

2z1 =12exp 19ipi12

Les puissances quatrie`mes de ces nombres sont :

z41 =14 exp ipi =

14 , z

42 = jz

41 = 18 j, z43 = j2z41 =

14 j

2

Effectivement, seule la puissance quatrie`me de z1 est un nombre reel.

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