m-ea-com-jmf-02.pdf

Exercices de Mathematiques

Module et conjugaison

Enonces

Enonces des exercices

Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]

Soit u une racine carree de zz. Montrer que |z|+ |z| =z + z2 + u

+ z + z2 u.

Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]

Determiner les complexes z tels que |z| = |z 2| et arg z = arg(z + 3 + i) (mod 2pi).

Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]

Determiner les complexes z tels que les modules de z,1

zet z 1 soient egaux.

Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]

x, y, z etant trois complexes de module 1, comparer |x+ y + z| et |xy + yz + zx|.

Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]

Soit ABCD un parallelogramme. Montrer que AC2 +BD2 = AB2 +BC2 + CD2 +DA2.

Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ]

Trouver une condition necessaire et suffisante sur z pour que les points A(z), B(z2), C(z3)forment un triangle isoce`le.

Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net cEduKlub S.A.Tous droits de lauteur des uvres reserves. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des uvres autre que la consultationindividuelle et privee sont interdites.

Exercices de Mathematiques

Module et conjugaison

Indications, resultats

Indications ou resultats

Indication pour lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]

Premie`re methode : on proce`de par elevation au carre.

Deuxie`me methode : on utilise a, b dans lC tels que a2 = z et b2 = z.

Indication pour lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]

On trouve z = 1 +i

3.

Indication pour lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]

On trouve z = exp(ipi

3) et z = exp(ipi

3).

Indication pour lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]

Utiliser legalite |z| = |z|, et limplication |z| = 1 1z= z.

Indication pour lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]

Montrer que cela equivaut a` |b+ d|2 + |b d|2 = 2(|b|2 + |d|2) pour tous a, b, c, d.

Indication pour lexercice 6 [ Retour a` lenonce ]

On trouve la reunion de deux cercles.

Page 2 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net cEduKlub S.A.Tous droits de lauteur des uvres reserves. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des uvres autre que la consultationindividuelle et privee sont interdites.

Exercices de Mathematiques

Module et conjugaison

Corriges

Corriges des exercices

Corrige de lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]

Pour cet exercice, on va voir deux methodes :

Premie`re methode

On proce`de par elevation au carre, en sachant que pour tous u, v de lC, on a :|u+ v|2 = (u+ v)(u+ v) = |u|2 + 2Re (uv) + |v|2

|u v|2 = (u v)(u v) = |u|2 2Re (uv) + |v|2

|u+ v|2 + |u v|2 = 2 |u|2 + 2 |v|2On en deduit :(z + z2 + u

+ z + z2 u)2 = z + z2 + u

2 + 2 (z + z)24 u2+ z + z2 u

2= 2

z + z22 + 2 |u2|+ 2 (z + z)24 zz

= (z + z)22+ 2 |z| |z|+ (z z)22

= |z|2 + 2 |z| |z|+ |z|2 = (|z|+ |z|)2

Ce qui est le resultat espere.

Deuxie`me methode

Soient a une racine carre de z et b une racine carree de z.

On a donc a2 = z, b2 = z et (ab)2 = zz = u2. Ainsi u = ab.Lenonce donne le meme role a` u et a` u. On peut donc choisir u = ab.On trouve alors :z + z2 + u

+ z + z2 u = a2 + b22 + ab

+ a2 + b22 ab

=

(a+ b)22+ (a b)22

= |a|2 + |b|2 = |z|+ |z|Et on retrouve le resultat (cette deuxie`me methode est un peu plus simple.)

Corrige de lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]

Soit m le point du plan complexe ayant pour affixe z.

Dire que |z| = |z 2|, cest dire que M est equidistant de O et de A(2).Cela equivaut donc a` dire que z secrit z = 1 + i, avec IR.Legalite arg z = arg(z + 3 + i) (mod 2pi) equivaut a` z + 3 + i = z, avec IR+.En remplacant z par 1 + i dans cette expression, on trouve :

4 + i(+ 1) = (1 + i) donc = 4 et =1

3.

Page 3 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net cEduKlub S.A.Tous droits de lauteur des uvres reserves. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des uvres autre que la consultationindividuelle et privee sont interdites.

Exercices de Mathematiques

Module et conjugaison

Corriges

Corrige de lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]

Legalite |z| =1z equivaut a` |z| = 1.

On doit donc chercher les nombres complexes de module 1 tels que |z| = |z 1|, cest-a` dire lespoints m(z) du cercle unite qui sont equidistants de lorigine et du point daffixe 1, cest-a`-dire

qui ont pour abscisse 12 .

Les deux reponses sont bien sur z = exp(ipi

3) et z = exp(ipi

3)

Corrige de lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]

On sait quun nombre complexe z de module 1 verifie legalite1

z= z. On a donc :

|x+ y + z| = |x+ y + z| = |x+ y + z| =1x + 1y + 1z

=

xy + xz + yzxyz = |xy + xz + yz||xyz| = |xy + xz + yz|

Corrige de lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]

Il sagit de montrer que dans un parallelogramme, la somme des carres des longueurs desdiagonales est egale a` la somme des carres des longueurs des cotes.

On ne perd aucune generalite a` supposer que le sommet A est a` lorigine.

Si b est laffixe de B et si d est celui de D, alors celui de C est c = b+ d.

Avec ces notations : AC = |c| = |b+ d|, BD = |b d|, AB = CD = |b|, BC = DA = |d|.La propriete a` demontrer devient alors |b+ d|2 + |b d|2 = 2(|b|2 + |d|2).

Effectivement, on a :

{ |b+ d|2 = (b+ d)(b+ d) = |b|2 + 2Re (bd) + |d|2|b d|2 = (b d)(b d) = |b|2 2Re (bd) + |d|2

Et |b+ d|2 + |b d|2 = 2(|b|2 + |d|2) apre`s addition terme a` terme.

Corrige de lexercice 6 [ Retour a` lenonce ]

La condition imposee secrit

{ |z2 z| = |z3 z| (1)ou |z2 z| = |z3 z2| (2)

On a (1) |z| |z 1| = |z| |z 1| |z + 1| {z = 0 ou z = 1ou |z + 1| = 1

De meme, (2) |z| |z 1| = |z|2 |z 1| {z = 0 ou z = 1ou |z| = 1

Les solutions sont les nombres complexes dont le point-image dans lC est sur la reunion ducercle de centre (1, 0) et de rayon 1 et du cercle de centre (0, 0) et de rayon 1.

Page 4 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net cEduKlub S.A.Tous droits de lauteur des uvres reserves. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des uvres autre que la consultationindividuelle et privee sont interdites.