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La Météorologie 8 e série - n° 5 - mars 1994 93

LU POUR VOUS DIEU JOUE-T-IL AUX DÉS ?

Les mathématiques du chaos

lan Stewart

La lecture de ce l ivre, publ ié dans la Nouvel le b ibl io thèque scientifique de Flammarion en 1992 (pour la version française ; la version originale anglaise date de 1989), consti tue un remarquable complément à celle de Hasard et Chaos, de David Ruelle , évoqué dans la rubrique «Lu pour vous» du numéro 3 de la revue. L 'ouvrage présenté cette fois est plus mathémat ique , mais les indéniables quali tés

de vulgarisateur de l 'auteur en rendent la matière accessible au lecteur (motivé) ayant à son actif une ou deux années d ' é tudes scientifiques supérieures.

Pour entrer dans le vif du sujet, dès le chapitre 1, rien de tel q u ' u n petit jeu à pratiquer avec une calculette - ou mieux, un micro-ordinateur - (par exemple dans le transport vers Hypér ion) : calculer, à partir d ' une condit ion initiale X , la succession des états d 'une variable qui, de la seconde n a la suivante n + 1 , saute de la valeur X à la valeur X ,= k .X - 1 ,

n n+1 n 7

k étant un nombre fixé connu. Cette loi, exemple élémentaire de sys tème dynamique , est déterministe : on sait parfaitement calculer les valeurs futures de X à partir de sa valeur actuelle, il n 'y a pas de hasard dans l 'évolut ion. Et pourtant, pour certains choix de k et certaines valeurs de X , un compor tement «aléatoire», imprévisible, s ' installe à long terme, et deux condi t ions ex t rêmement proches à un certain momen t peuvent donner à la longue des choses complè tement indépendantes . C 'es t un exemple s imple du chaos, qui est un compor tement aléatoire («sans loi») se produisant dans un système déterministe («ent ièrement gouverné par une loi»).

Flash back.. . Une première partie du livre (en gros les chapitres 1 à 4) remet en perspect ive historique le développe­ment depuis les origines des deux grands courants d ' appréhen­sion mathémat ique du réel :

- l ' ana lyse mathémat ique déterministe «de haute préci­s ion», née avec Newton , Euler, Laplace, à base d 'équat ions différentielles, applicable universel lement en principe, mais en prat ique efficace seulement dans des problèmes relative­ment s imples , «ordonnés» , «à peu de degrés de liberté» ;

- l 'analyse statistique, introduite par Galton et Maxwel l , permettant de décrire les caractérist iques grossières des systè­mes complexes , «désordonnés», possédant «beaucoup de de­grés de liberté» .

Acquis à la fin du X I X è m e siècle, ces deux paradigmes ont opéré de façon séparée j u squ ' au milieu du X X è m e siècle, sur la croyance de base que «les sys tèmes s imples se comportent de manière s imple , les sys tèmes complexes de manière complexe». . . , à l ' in termède près consti tué par les travaux d 'Henr i Poincaré , créateur de la topologie, dernier universaliste des mathémat iques , qui a mis en évidence q u ' u n compor tement vraiment très compl iqué peut se produire dans un problème aussi «simple» que le mouvemen t d 'un grain de poussière soumis pass ivement à

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l 'at traction gravitat ionnelle - déterministe - de deux gros corps (le problème restreint des 3 corps, de Hill).

Retour au présent.. . Poincaré était très en avance sur son temps, et il a fallu at tendre les années 60 et suivantes pour 1 ' éclosion réelle des invest igations du chaos (avec, par exemple , Lorenz, Ruelle et Takens , Smale , Fe igenbaum, Mandelbrot , . . . ) . Dans le livre de Stewart , celles-ci sont développées dans une seconde grande partie (chapitres 7 à 13), après un chapitre 5 de transition introduisant, dans l ' exemple simple du pendule, l ' essence de la vision géométr ique qualitative de la dynamique , adoptée par les «chaologues», et un chapitre 6 plus technique présentant les not ions de base de l 'é tude des sys tèmes dynamiques : portrait de phase et ses caractéris t iques «typiques», stabilité et instabilité structurelles, at tracteurs (no tamment «étranges») , sections de Poincaré, . . .

Cette seconde partie est une merveil le ; pas seulement parce qu 'e l le est bien faite et «suscite l ' admirat ion» (Larousse) , mais également au sens «pays des merveil les» du mot (Lewis Carroll , lui aussi mathématicien. . . ) .

Le lecteur y joue au jeu d ' échecs cl imatique, gr impe au figuier des bifurca­tions, descend dans la vallée des h ippocampes , en bordure du b o n h o m m e de pain d 'ép ices des ensembles de Julia, arrive (enfin) sur Hypér ion, rencontre les hôtes d 'un véritable zoo fractal, telles ces souris de plus en plus infinitésimales grignotant le fromage de Cantor (et aussi, diront de mauvaises langues , quelques lapins tirés d 'un chapeau !), . . .

On l 'aura compris , l 'auteur ne ménage pas son imaginat ion pour rendre séduisante sa vulgarisat ion, et le recours au mervei l leux n ' e n n 'es t q u ' u n aspect ; on trouve aussi l 'util isation des anecdotes (qui rendent les nombreux personnages de sa galerie historique part iculièrement at tachants) , les analogies tirées de la vie quot idienne (ainsi, vous faites de la dynamique chaot ique appl iquée lorsque vous utilisez votre robot culinaire), et, toujours, l ' humour (de potache à l 'occasion !).

La forme du livre est brillante : en dépit de son vo lume (443 pages) , et bien qu ' i l s 'agisse en définitive de physique et surtout de mathémat iques , le temps de sa lecture passe vite. Mais cette facilité apparente subordonne probablement l 'ass imi­lation du fond à une seconde lecture attentive, effort qui vaut assurément d 'ê t re fait pour qui s ' intéresse au chaos en général , et en particulier pour qui, en plus, lit la revue de la S M F .

Car la météorologie est loin d 'ê t re oubliée dans ce livre. Elle y fait la une de couverture ( image satellitale d 'une tempête sur le détroit de Behring) , y est le sujet de s imples anecdotes ( l ' intérêt du jeune Galton, futur père de l 'analyse de régres­sion, pour les ant icyclones, le «méga-flop» du calculateur Cyber 205 du Met. Office br i tannique un certain 15 octobre 1987,...) ou de déve loppements de fond (le chapitre - central ! - n° 7 sur les «usines cl imatiques» de Richardson et de Lorenz, les travaux de Lovejoy sur la structure fractale des nuages et des zones de précipitat ions, le texte de Poincaré sur le hasard).

Un autre aspect attractif du livre réside dans l 'évocat ion, à la faveur de l ' approche historique qui en const i tue la t rame, d ' u n certain nombre de quest ions à p ropos de la sc ience , c o m m e par e x e m p l e la na ture ( co mp l i q u ée , parfois «somnambul ique») du processus de la découver te , les rapports des mathémat iques avec «les applicat ions», les implications de l ' exis tence du chaos sur divers aspects de l 'act ivi té scientifique, et bien d 'aut res encore.

Et Dieu, dans tout cela, en définitive, joue-t- i l aux dés ? Le titre du livre est un clin d 'œi l à l 'affirmation d 'Einste in , qui ne croyait pas au «jeu de dés fondamen­tal» introduit par la mécanique quant ique, mais la quest ion porte plutôt en réalité sur la nature du hasard, sur la façon dont «Dieu joue aux dés».

On sait aujourd 'hui q u ' e n mécanique classique le hasard est en grande partie dû au compor tement chaot ique de systèmes par ailleurs déterministes . La question reste cependant posée pour les indéterminat ions quant iques : élucider le rôle du chaos dans ce contexte , et aussi comprendre le j eu plus profond sous-jacent au «véritable» (?) hasard, restent, parmi d 'aut res , des défis de taille pour demain.

Gérard De Moor

Dieu joue-t- i l aux dés? Les mathémat iques du chaos .

Par Ian Stewart . F lammarion , collection Nouvel le bibl iothèque scientifique, Paris, 1992, 448 p.