les plus belles équations de la physique
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Les plus belles équations de la physiqueBruno MansouliéService de Physique des Particules IRFU (Institut de Recherche sur les Lois Fondamentales de l’Univers)Division des Sciences de la MatièreCEA / Saclay
Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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𝑅𝜇𝜈− 12𝑔𝜇𝜈𝑅+Λ 𝑔𝜇𝜈=
8𝜋 𝐺𝑐4 𝑇 𝜇𝜈
(𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇−𝑚 )𝜓=0Avec autorisation du conférencier Conception B. Mansoulié / CEA-IRFU-SPPNe pas reproduire
A quoi servent les maths dans la physique?• Un petit exemple: Pression d’un liquide en
fonction de la hauteur.– Expérience avec plusieurs hauteurs => P = a × h– Expérience avec plusieurs liquides => P = b × r– J’en déduis une loi:
P = g × r × h
– Description (de mes expériences).
– Extrapolation (construction d’un château d’eau, d’un circuit d’huile etc.)
– Interprétation (modèle de liquide. Simplification de la réalité: liquide « idéal » , pas de parois, de viscosité, de bulles…)
– Questionnement (limites de validité? Ex: tube très fin? Liquide visqueux? etc.)Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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Phr
• Maths: servent à intégrer notre savoir et dépasser nos à-priori…
• …comme l’art?
de La Tour Monet Picasso Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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Des particules à l’Univers entier• Des questions vieilles comme l’Homme:
– De quoi est fait le monde ? – Comment l’Univers s’est-il construit ?
Réponses philosophiques, théologiques, mystiques suivant les civilisations et l’époque...ex: air-terre-eau-feu, kabbale, yin-yang,cosmogonies africaines ou indiennes d’Amérique…
Jusqu’à la pensée scientifique et les mathématiques…- hypothèse => test ? => confirmation- modélisation mathématique
- abstraction - capacité de « calcul » => prédiction
GaliléeBruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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Notre vision du monde• 3 voies qui se rassemblent
– Physique de l’élémentaire – Cosmos– Interactions, modélisation
• Un support commun en permanente évolution: les maths
• Tout ceci s’est construit en parallèle avec observations et expériences,
(mais pas le sujet aujourd’hui)
• L’esthétique des maths joue un grand rôle…
Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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Physique de l’élémentaire• Particules
• Idée très ancienne (Démocrite, ..): la matière est faite d’un petit nombre de briques élémentaires: « atomes ». C’est leur arrangement (interactions) qui fait la diversité des matériaux. Mais aucune justification…
• Découverte progressive des « éléments »:• 18è siècle: éléments chimiques: une centaine, suffisent à expliquer toute la matière. Réactions chimiques (Lavoisier etc.)
• 19 è : 1 élément = 1 atome. • fin 19è – début 20è: atomes = noyau (protons+neutrons) + électrons.
mi-20è: réactions nucléaires• 1970: proton et neutrons faits de quarks• Autres particules élémentaires: neutrinos, muon, tau…
Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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Démocrite riantHendrick ter Brugghen
1628
Lavoisier et sa femmeDavid, 1788
• Interactions– Gravitation
• Newton (1686): pomme qui tombe = lune autour Terre!– Décrit bien les mouvements de planètes, satellites…
• Einstein (1919): l’espace-temps est déformé par la matière qu’il contient.– Relativité générale: trous noirs, Univers, … GPS!
– Electromagnétique• 18è : Ampère, Volta, etc.: électricité, magnétisme• 19è effets combinés => moteurs, dynamos…
– Maxwell: unification électromagnétisme => Lumière (radio, X, etc.)
– Nucléaire forte et faible• 20è : noyaux, réactions nucléaires. Bombe, énergie;
Energie du soleil: le soleil brille, mais « lentement ».
– Fin 20è: « Modèle standard » Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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Gotlib, 1967
Warhol, 1980
Lichtenstein, 1966
Raysse, 1964
Astres, Cosmos, Univers• Dès l’aube de l’humanité:
– observations, prédiction position planètes– théories de la création du monde (mythes)
• Très riches, mais déconnectées d’un modèle des astres et de la matière.
• 16è siècle occidental: – Appropriation du cosmos:
• Giordano Bruno 1584: les étoiles sont des soleils• Galilée (1610) la lune est un bout de caillou,
Jupiter a des satellites…
• 17-18 è siècle: mécanisation du cosmos: Newton, Lagrange etc etc…
… Equations, calculs…Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
8Sabatelli, ~1800
• 19è s: Etude des corps célestes: la spectrographie relie étoiles et éléments
• 20è s: Globalisation de la physique. – Pourquoi le soleil brille. Neutrinos solaires. – Etude de l’Univers. Cosmologie
Expansion/ Big Bang
• Fin 20è: Le grand Mystère:Matière noire, énergie noire?
Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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Pink Floyd, 1973
Modélisation, maths…• Avant le ~17è siècle
– Astronomie: prédiction des planètes, éclipses (Chine, Mayas, Egypte, Grecs..)– Ingénierie: machines, armes…
• Essentiellement modèles mathématiques de reproduction : régularité, extrapolation…
– Beaucoup de maths (géométrie, théorie des nombres…) mais ne rencontrent pas vraiment la physique …
• A partir du 17è– Astronomie: lois de Kepler + Newton = > gravitation UniverselleNotions abstraites sur matière concrète : force, énergie, température, pression – Electricité: courant, tension…
• Champ : notion abstraite intrinsèque.
Mathématiques: une boîte à outils très puissanteBruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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Les révolutions de ~1900• Mécanique quantique; RelativitéDans les deux cas, la description du monde est très différente de celle que nous
donnent nos sens. (Anti-intuitif )
• Quantique: une particule peut se trouver à 2 endroits (ou plus) en même temps; des causes identiques peuvent produire des effets différents, etc.
• Relativité: vitesse de la lumière constante (même émise par une source en mouvement)
paradoxe des jumeaux, etc.
Les maths prennent en physique un statut « fondamental »Groupes, espaces courbes, variétés…
Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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Illustration: quelques équations célèbres
Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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etc. (Maxwell)
(Schrödinger)
(Dirac)
Pas d’inquiétude…
• Signifie:si j’applique une force F à un solidede masse m, il prend une accélération g
• Portée scientifique:– Définition « correcte » du mouvement: [vitesse], accélération de l’action: force, et de la matière: masse– Pouvoir d’abstraction, de généralisation.
• Différents types de forces (mécanique, électrique..) => même accélération• Seule compte la masse (et non la nature) du corps
Þ Oblige à un effort de définition « propre » des concepts.Þ Ne dit rien sur le « pourquoi? » : modélisation des variables, pas du monde
• Esthétique : 4/5 • Niveau mathématique: élémentaire
Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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𝐹=𝑚𝛾 Newton, 1687
• Signifie: entre deux corps de masses m et m’ situés à une distance d, il existe une force d’attraction FG donnée par cette formule.
J’appelle cette force « Gravitation ». G est une constante de la nature.Sous-entendu: les masses sont les mêmes que dans F = m g
• Portée scientifique– Les définitions ont déjà été faites– C’est une modélisation (d’une partie) du monde– Je peux expliquer et prédire tous les phénomènes liés à la gravitation : chute des
pommes, mouvements des planètes, trajectoire des obus…
– Ne dit rien sur la nature de la matière (au contraire!) Surface de la sphère ni sur l’origine ou l’évolution de l’Univers… 4p r2
• Esthétique : 2/5• Niveau mathématique: simpleBruno Mansoulié,
CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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𝐹𝐺=− 𝐺𝑚𝑚 ′
𝑑2Newton, 1687
Hooke ?
• Pas considérée comme « physique fondamentale », mais extrêmement utile! • Signification: pour un gaz pression P, volume V, le produit PV est proportionnel à la température T (r est une constante de la nature)
• Portée scientifique: – Apparemment n’explique rien: c’est presque une question de définitions. En fait il est facile de mesurer P, V ou T et souvent on peut extrapoler avec. – Applications: chimie « pré-atomique », machines, moteurs thermiques, frigos…
– Fondamentale: source de questions: quand cela n’est-il plus valable? Pourquoi les gaz sont-ils ainsi? => rôle essentiel dans l’hypothèse atomique.
• Esthétique: 3/5• Niveau mathématique: simple à moyen (Thermodynamique)Bruno Mansoulié,
CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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𝑃𝑉=𝑟𝑇 Clapeyron, 1834Boyle, Charles, Clausius…
Equations de Maxwell • Signification:Les champs électriques (E, D) et magnétiques (B, H) ont certaines propriétés géométriques, sont reliés entre eux, à leur évolution avec le temps et aux charges et courants présents.
• Portée:– Unifie électricité et magnétisme– Permet de calculer tout ça
(ampoules, moteurs, dynamos, …)
– Porte en soi les ondes radio !!!– … et la relativité !!! (Lorentz, Poincaré…)
• Esthétique: 5/5• Niveau mathématique: moyen à avancéBruno Mansoulié,
CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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1861, (…Ampère, Faraday, Gauss)
Equation de Schrödinger
• Signification:Les objets physiques y sont des fonctions d’ondes sans rapport direct avec une réalité sensible.Leur évolution dans le temps est due à l’inertie et à des interactions extérieures, agissant comme des opérateurs (H)
• Portée:– Définition des objets– Physique microscopique: structure des atomes, spectre de lumière des objets; noyaux…– Applications: solides, électronique, chimie moléculaire…
– Révolution conceptuelle: comportement intime de la matière non intuitif. Paradoxes
• Esthétique: 4/5• Niveau mathématique: moyen à avancé Bruno Mansoulié,
CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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𝐻 (𝑡 )∨𝜓 (𝑡 ) ⟩=𝑖ℏ 𝑑𝑑𝑡∨𝜓 (𝑡 ) ⟩
1925, (…de Broglie…, etc.)
• L’équation la plus connue de la physique!• Signification: La masse (inertielle) des objets matériels est une forme d’énergie. La vitesse de la lumière est « insurpassable », et est donc une unité de vitesse absolue.
– Sous-entendu: temps et espace sont liés!!!
• Portée:– Aucune nouvelle « définition »! – Applications: physique nucléaire: bombe, énergie.
Energie du soleil, vie des étoiles, création des éléments, …
– Révolution conceptuelle : espace-temps, masse = énergie, Paradoxes.
• Esthétique: 3/5• Niveau mathématique: élémentaire à moyen
Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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𝐸=𝑚𝑐2 Einstein 1905 …(Poincaré?)
Equation de Dirac
• Une des plus belles équations de la physique
• Signification:– Décrit le comportement d’un électron, en mariant l’aspect quantique (y est une fonction d’onde) et l’aspect relativiste (tout est à 4 composantes: 3 d’espace et une de temps).
• Portée:– Pratique immédiate: décrit bien l’électron, en particulier son spin.– Porte en elle l’existence d’antiparticules: ici le positon, découvert après l’équation (1933)– Conceptuelle immense: marie quantique et relativité. Introduit à la théorie quantique des
champs , où énergie et matière sont libres de se transformer l’un dans l’autre.
• Esthétique: 5+++/5 (hors compétition)• Niveau mathématique: avancé.Bruno Mansoulié,
CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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(𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇−𝑚 )𝜓=0
Théorie quantique relativiste (après Dirac)• Le nombre de particules n’est pas conservé dans les réactions microscopiques!
– Le « vide » même, change d’interprétation!
Vide classique Videquantique
relativiste
• Collisions de particules (ex : à LHC): concentrer l’énergie pour faire surgir la physique inconnue… du vide!
Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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ConversionPhoton -> e+e-
LHC: événementp+p -> t t
Relativité générale, équation d’Einstein• L’autre « plus belle équation de la physique »
• Signification: – L’espace-temps est courbe. Sa déformation (termes en R) dépend du contenu en matière et énergie (T). C’est l’origine de la gravitation.– Le terme L n’était pas dans l’équation originale. Einstein l’a introduit par la suite. On l’a
mesuré dans notre univers: il est non nul, son origine est inconnue (énergie noire); son impact sur l’évolution de l’univers est déterminant.
• Portée:– Relie matière/énergie et géométrie de l’espace-temps!– Application: images astronomiques, trous noirs, évolution de l’Univers,….GPS!
– Note: aujourd’hui encore impossible de concilier cette description de la gravitation et la théorie quantique relativiste. Problème lié à L => mystère!
• Esthétique 5/5 Niveau mathématique: avancé.
.
Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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𝑅𝜇𝜈− 12𝑔𝜇𝜈𝑅+Λ 𝑔𝜇𝜈=
8𝜋 𝐺𝑐4 𝑇 𝜇𝜈
Physique actuelle: le « Modèle Standard »• Signification:
– Décrit nature et comportement des particules élémentaires connues
Sauf gravitation!Et sauf matière Noire!Ni Energie Noire!
– Contient une notion abstraite intéressante (théories de jauge)
• Portée:– Outil de travail quotidien des physiciens. Permet de calculer (« prédire » ) tous les
phénomènes connus ou presque (dans les limites ci-dessus), grâce à une méthode de calcul puissante et intuitive: diagrammes de Feynman, voir plus loin.Toute nouvelle mesure est confrontée au MS.
– Base de réflexion… pour trouver mieux!
• Esthétique: 1/5 . Niveau math: compliqué…Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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Diagrammes de Feynman• Les calculs devenant très compliqués, un type astucieux a inventé une « symbolisation » des calculs.
• Un électron
• Un photon
• Interaction électron-positron
• Et des trucs bien plus compliqués
(formule hors de portée…)
mp1
p)iemkpmkpiie)p' u()(
)(()((u 22
'*
gg
Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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Physique future (???)
• Observations – Interactions entre particules (assez) bien comprises– On sait mesurer la structure et le contenu de l’Univers entier…
=>Matière noire, énergie noire inexpliquées…
• Théories– Gros problème entre gravitation et quantique…– Autres problèmes de cohérence interne du modèle– Nombreuses théories, mais une certaine tendance à empiler des solutions
particulières plutôt qu’à simplifier le tout…
• Le monde attend sa nouvelle Equation……probablement une autre « vision »
Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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? Y = 0
Théorie des cordes• Les “particules” sont des (minuscules) cordes vibrantes, ouvertes ou ferméesCaractérisées par leurs modes de vibration
• Bonnes propriétés quantiques: 9 dimensions d’espace + temps!=> toutes sortes de topologies (n-branes etc.)
• On peut décrire leurs interactions
• Interactions “en douceur” enlèvent le problèmequ’on avait avec la gravitation
• Plusieurs signes que c’est une bonne piste…
• Mais toujours pas de théorie unique et surtout testable…
• Niveau maths: très avancé
Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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Physique/Maths/Arts
• Notre conception moderne du monde est intimement liée avec nos outils mathématiques.
• Au-delà de la technique mathématique, une équation de la physique propose (doit proposer) une vision du monde
• Modéliser, abstraire, découvrir, exposer, sublimer…
• Très proche de la démarche artistique– L’esthétique de l’équation (de la théorie) joue un grand rôle…
Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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• Le Modèle Standard
NomType d’interaction
3 familles
u c t Quarks
(Forte et Electro-faible)d s b
e Leptons
(Electro-faible)
e
CONSTITUANTS:Ces constituants élémentaires sont des fermions: spin ½ , statistique de Fermi
- Première colonne (« famille »): constituants des particules « ordinaires »: . électron (et son neutrino) . proton (uud), neutron (udd)
- Deux autres : répliques identiques à tous points de vue sauf la masse: plus lourdOn ne sait pas pourquoi il y a 3 familles!Produites dans des réactions de « haute énergie », soit naturelles (rayons cosmiques) , soit artificielles (accélérateurs…)
electrons quarksProtons,neutrons
Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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NomType d’interaction
3 familles
u c t Quarks
(Forte et Electro-faible)d s b
e Leptons
(Electro-faible)
e
INTERACTIONS
L’interaction ELECTROMAGNETIQUE est la plus habituelle: charge électrique, liaison de l’atome, molécules.
L’interaction FORTE concerne les quarks. De nombreux états liés existent: les hadrons. Les quarks u et d sont les constituants des protons et des neutrons. La cohésion du noyau est aussi due à l’interaction forte.
L ’interaction FAIBLE se manifeste dans les désintégrations radioactives. C’est elle qui fait « brûler » le soleil. Les neutrinos ne connaissent qu’elle.
GRAVITATION: Concerne toutes les formes de matière et d’énergie. Mais très faible par rapport aux autres interactions au niveau de quelques particules.
Charge électrique
2/3 e
-1/3 e
- e
0
Le Modèle Standard
Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012
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