les ondes sonores dans un fluide i) Équation de propagation des ondes sonores 1) position du...
Post on 03-Apr-2015
129 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Les ondes sonores dans un fluideI) Équation de propagation des ondes sonores
1) Position du problème
Position du problème
Au repos, en M à la date t, les champs de masse volumique 0 et de pression P0 sont uniformes et constants, le champ des vitesses est nul :
v(M,t) = 0 P(M,t) = P0 (M,t) = 0
L’onde sonore est décrite comme une perturbation de cet état de repos avec des champs de vitesse, de pression et de masse volumique de la forme :
v(M,t) = 0 + v(M,t)
P(M,t) = P0 + p(M,t)
(M,t) = 0 + (M,t)
ordre 0 ordre 1
Les ondes sonores dans un fluideI) Équation de propagation des ondes sonores
1) Position du problème
2) Équations fondamentales des ondes sonores
a) L’approximation acoustique
L’approximation acoustique consiste à étudier des perturbations de faibles amplitudes.
Définition :
|p| << P0, || << 0 et |v| << c
Hypothèses :
c étant la célérité des ondes sonores dans le fluide
Hypothèses :
Les champs v(M,t), p(M,t) et (M,t) sont des infiniment petits du 1er ordre, ainsi que leurs dérivées spatiales et temporelles
Hypothèses :
Ces trois champs ont en tout point du fluide une valeur moyenne nulle
<v(M,t)>t = 0, <p(M,t)>t = 0, <(M,t)>t = 0
Les ondes sonores dans un fluideI) Équation de propagation des ondes sonores
1) Position du problème
2) Équations fondamentales des ondes sonores
a) L’approximation acoustique
b) Équations fondamentales
Équations fondamentales
Équation d’Euler :
ρ ( . ) Ptv
v grad v grad
Équation d’Euler linéarisée :
ρ0 ptv
grad
Équations fondamentales
Équation de conservation de la masse :ρ
ρ div( ) 0t
v
Équation de conservation de la masse simplifiée :
μρ0 .div 0
tv
Équations fondamentalesÉquation des mouvements
isentropiques :ρ
χρS
S
1
P
Équation des mouvements isentropiques simplifiée :ρ ρ μ
χρ ρ
0S S
0 0 0
1 1 ( )
P P p
= 0.S.p
Les ondes sonores dans un fluideI) Équation de propagation des ondes sonores
1) Position du problème
2) Équations fondamentales des ondes sonores
3) Équation de propagation des ondes sonores
Récapitulatif :
Équation des mouvements isentropiques :
= 0.S.p
Équation de conservation de la masse :
μρ0 .div 0
tv
Équation d’Euler linéarisée :
ρ0 ptv
grad
Finalement, pour la surpression p :
Δρ χ
2
2 20 s
1 p 1p 0 avec c
c t
Finalement, pour la vitesse v :
Δρ χ
2
2 20 s
1 1 avec c
c tv
v 0
Équations différentielles
Les ondes sonores dans un fluideI) Équation de propagation des ondes sonores
1) Position du problème
2) Équations fondamentales des ondes sonores
3) Équation de propagation des ondes sonores
4) Célérité des ondes sonores
La vitesse du son vaut : γ 0RTc
M
Gaz parfaits :
Ordres de grandeur :
air : c 340 m.s–
1
H2 :c 1,3 km.s–
1
Les ondes sonores dans un fluideII) Les ondes sonores planes progressives
1) Les ondes planes progressives
En coordonnées cartésiennes :
v = vx.ux + vy.uy + vz.uz
Δ2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 21 f f f f 1 f
f 0c t x y z c t
f = p, vx, vy ou vz
ρ χ0 s
1c
.
O
x’y’
z’
(R)
Onde se propageant le long de l’axe Ox :
f(M,t) = f(x,t)
Même onde se propageant le long de l’axe = Ox Ox’ :
f’(M,t) = f’(x’,y’,z’,t)
O
x
y
z(R)
Conclusion :
Nous admettrons qu’en vertu de la linéarité de l’équation scalaire de D’Alembert à trois dimensions, toute solution est une superposition d’ondes planes progressives, dont les directions de propagation u quelconques couvrent tout l’espace :
espace
f(M,t) F( . c.t) G( . c.t)u,
r u r u
Les ondes sonores dans un fluideII) Les ondes sonores planes progressives
1) Les ondes planes progressives
2) Les ondes planes progressives harmoniques
a) Définition
() est un plan d’onde
t, (P) = (M) u
()
P
M
k
Toute solution de l’équation de D’Alembert à trois dimensions peut se décomposer en O.P.P. de direction de propagation u quelconque et à leur tour, toute O.P.P. de direction peut se décomposer en O.P.P.H. de même direction .
Les O.P.P.H. sont les éléments de base de l’ensemble des solutions de l’équation de d’Alembert à trois dimensions
Résumé :
Les ondes sonores dans un fluideII) Les ondes sonores planes progressives
1) Les ondes planes progressives
2) Les ondes planes progressives harmoniques
a) Définition
b) Notation complexe
Notation complexe
f(M,t) = A0.cos(t – k.r + 0)
f(M,t) = A0.exp[j(t – k.r)] avec A0 = A0.exp(j0)
ωf j .f
t
ω ω2
2 22f j .f .f
t
Notation complexe
f(M,t) = A0.exp[j(t – k.r)] avec A0 = A0.exp(j0)
k.r = kx.x + ky.y + kz.zk = kx.ux + ky.uy + kz.uz
xf
jk .fx
y
f jk .f
y z
f jk .f
z
Notation complexe
f(M,t) = A0.exp[j(t – k.r)] avec A0 = A0.exp(j0)
. . .x y zx y zu u u
gradp = (p) = – jk.p ; divv = .v = – jk.v ;
p = 2(p) = (– jk)2.p = – k2.p ; rotv = x v = – jk x v
Les ondes sonores dans un fluideII) Les ondes sonores planes progressives
1) Les ondes planes progressives
2) Les ondes planes progressives harmoniques
a) Définition
b) Notation complexe
c) Relation de dispersion
Les ondes sonores dans un fluideII) Les ondes sonores planes progressives
1) Les ondes planes progressives
2) Les ondes planes progressives harmoniques
a) Définition
b) Notation complexe
c) Relation de dispersion
d) Structure des ondes planes progressives
Structure des ondes planes progressives
Par superposition, d’O.P.P.H. de même direction de propagation u et de pulsations quelconques, grâce à l’analyse de Fourier, ce résultat s’étend aux OPP :
Les ondes sonores planes progressives sont longitudinales.
Les ondes sonores dans un fluideII) Les ondes sonores planes progressives
1) Les ondes planes progressives
2) Les ondes planes progressives harmoniques
3) L’impédance acoustique
Impédance acoustique
Définition :
On définit l’impédance acoustique du milieu, notée Za, comme le rapport de la surpression sur la vitesse :
ap(M,t)
Z v(M,t)
Impédance acoustique
Cette relation de couplage, p(M,t) = 0.c.v(M,t), ne fait pas intervenir la pulsation donc par superposition d’O.P.P.H. de même direction de propagation u et de pulsations quelconques, grâce à l’analyse de Fourier, ce résultat s’étend aux O.P.P. :
Impédance acoustique pour une O.P.P.
Ordres de grandeur :
air :Za 500 kg.m–2.s–
1
eau : Za 106 kg.m–2.s–1
ρρ
χ0
a 0s
Z .c
Les ondes sonores dans un fluideIII) Aspect énergétique
Les ondes sonores dans un fluideIII) Aspect énergétique
1) Énergie volumique d’une onde sonore
Définitions :
χ 2p s
1e .p
2
ρ 2c 0
1e .v
2
densité volumique d’énergie cinétique :
densité volumique d’énergie potentielle élastique :
Définitions :
τac sfluide
E e .d
ρ χ2 2s c p 0 s
1 1e e e .v .p
2 2
densité volumique d’énergie sonore :
Energie acoustique apportée au fluide par l’onde sonore :
Les ondes sonores dans un fluideIII) Aspect énergétique
1) Énergie volumique d’une onde sonore
2) Bilans énergétiques
a) Bilan local
Bilan local
Équation de conservation de la masse :
χ sp
div 0 .t
pv
Équation d’Euler linéarisée :
ρ0 p .tv
grad v0
Bilan local
ρ χ0 sp
.div . p . . p p 0t tv
vgr dvv a
ρ χ2 20 s
1 1.v .p
2div
2 0
tp. v
Bilan local
Π sediv 0
t
= p.v ρ χ2 2s 0 s
1 1e .v .p
2 2
Cette relation constitue l’équation locale de la conservation de l’énergie acoustique en M, à la date t
(M,t)
d
+
P
dS
M
Les ondes sonores dans un fluideIII) Aspect énergétique
1) Énergie volumique d’une onde sonore
2) Bilans énergétiques
a) Bilan local
b) Bilan global
(P,t)M
es(M)
VdS
P
(M,t)
Les ondes sonores dans un fluideIII) Aspect énergétique
1) Énergie volumique d’une onde sonore
2) Bilans énergétiques
3) Application aux ondes planes progressives
Application aux O.P.P.
es = 2ec = 2ep
ρ ρρ
22
c 0 00
1 1 pe .v
2 2 .c
χρ
22
c s p20
1 p 1e .p e
2 2.c
Analogie
jm = .v
ρdiv 0
tmj
Π sediv 0
t
= es.v
est la densité volumique de masse
es est la densitévolumique d’énergie sonore
Les ondes sonores dans un fluideIII) Aspect énergétique
1) Énergie volumique d’une onde sonore
2) Bilans énergétiques
3) Application aux ondes planes progressives
4) Cas des ondes planes progressives harmoniques
Application aux O.P.P.H.
es = 2ec = 2ep = 0.v2 = s.p2
p(M,t) = p0.cos(t – k.r + 0)
v(M,t) = v0.cos(t – k.r + 0).u
p(M,t) = Za.v(M,t) = 0.c.v(M,t)
p0 = Za.v0 = 0.c.v0
Application aux O.P.P.H.
ρ χ2 2s 0 0 s 0
1 1e .v .p Cste
2 2
L’énergie acoustique volumique moyenne est une constante, l’énergie acoustique moyenne de tout l‘espace est donc infinie ; Nous retrouvons le caractère non physique des O.P.P.H..
Les ondes sonores dans un fluideIII) Aspect énergétique
5) Intensité sonore et décibels acoustiques
a) Intensité sonore
u k
On appelle intensité sonore d’une O.P.P.H., notée I, la valeur de la puissance moyenne transférée par l’onde sonore par unité de surface à travers une surface perpendiculaire à sa direction de propagation u
Intensité sonore
Π Π ρ 20I . p.v .c. vu
ρ2
2 2 00 0 a 0
a
p1 1 1I .c.v Z .v
2 2 2 Z
Les ondes sonores dans un fluideIII) Aspect énergétique
5) Intensité sonore et décibels acoustiques
a) Intensité sonore
b) Décibels acoustiques
I (W.m–2) IdB p0 (Pa) v0 (m.s–1)
seuil absolu à 3 kHz 10–13 – 10 10–5 2.10–8
seuil à 1kHz 10–12 0 3.10–5 7.10–8
chuchotement 10–11 10 10–4 2.10–7
voix basse 10–10 20 3.10–4 7.10–7
campagne 10–9 30 10–3 2.10–6
avenue 10–4 80 0,3 7.10–4
marteau piqueur 10–2 100 3 7.10–3
seuil douloureux 1 120 30 7.10–2
Les ondes sonores dans un fluideIV) Réflexion et transmission des ondes sonores
1) Position du problème
Dioptre acoustique
O
S
ki
kt
P0, 1, c1 P0, 2, c21 2
xux
kr = – ki
Les ondes sonores dans un fluideIV) Réflexion et transmission des ondes sonores
1) Position du problème
2) Coefficients de réflexion et de transmission
a) Les conditions aux limites
Les conditions aux limites
Continuité de la vitesse :
la vitesse d’une particule fluide est continue au niveau de l’interface, dans le plan x = 0, t.
v1(0,t) = v2(0,t)
vi(0,t) + vr(0,t) = vt(0,t)
Les conditions aux limites
RFD sur un élément de surface :
L’interface est considérée comme une membrane fictive de masse nulle, on obtient :
0 = [p1(0,t) + P0]S – [p2(0,t) + P0]S
Les conditions aux limites
RFD sur un élément de surface :
la surpression est continue au niveau de l’interface de masse nulle, dans le plan x = 0, t.
p1(0,t) = p2(0,t)
pi(0,t) + pr(0,t) = pt(0,t)
Les ondes sonores dans un fluideIV) Réflexion et transmission des ondes sonores
1) Position du problème
2) Coefficients de réflexion et de transmission
a) Les conditions aux limites
b) Coefficients en amplitude
Les coefficients en amplitude
Coefficient de réflexion pour la vitesse :
Coefficient de transmission pour la vitesse :
rv
i
v (0,t)r
v (0,t)
tv
i
v (0,t)t
v (0,t)
Coefficient de réflexion pour la vitesse :
Coefficient de transmission pour la vitesse :
1 2v
1 2
Z Zr
Z Z
1v
1 2
2Zt
Z Z
Les coefficients en amplitude
Coefficient de réflexion pour la surpression :
Coefficient de transmission pour la surpression :
rp
i
p (0,t)r
p (0,t)
tp
i
p (0,t)t
p (0,t)
Coefficient de réflexion pour la surpression :
Coefficient de transmission pour la surpression :
1 2p v
1 2
Z Zr r
Z Z
2 2p v
1 1 2
Z 2Zt t
Z Z Z
Les ondes sonores dans un fluideIV) Réflexion et transmission des ondes sonores
1) Position de problème
2) Coefficients de réflexion et de transmission
a) Les conditions aux limites
b) Coefficients en amplitude
c) Coefficients en puissance sonore
Les coefficients en puissanceCoefficient de
réflexion :
Coefficient de transmission :
ΠΠ
Π Πrrr
i i i
(0,t)(0,t).( )I (0)R
I (0) (0,t). (0,t)x
x
u
u
ΠΠ
Π Πttt
i i i
(0,t)(0,t).I (0)T
I (0) (0,t). (0,t)x
x
u
u
Les coefficients en puissance
Coefficient de réflexion :
Coefficient de transmission :
21 2
1 2
Z ZR
Z Z
1 2
21 2
4Z .ZT
Z Z
Coefficient de transmission en puissance
2 1
21 2
4x Z ZT avec x ou x
Z Z1 x
L’échelle des abscisses est logarithmique
Les ondes sonores dans un fluideV) Les ondes stationnaires
Les ondes sonores dans un fluideV) Les ondes stationnaires
1) La réflexion pure
La réflexion pure : Z2 >> Z1
rv – 1 et tv 0 donc R 1 et T 0
Le tuyau sonore est fermé en x = 0 par une paroi rigide
Z1 Z2 = t, v(0,t) = 0
Ondes incidente et réfléchie
Z1, 1, c1
Z2 =
Tuyau fermé en x = 0
O.I. O.R.rp = 1
0
Surpression :
O.R.
O.I.rv = –1
0
Vitesse :
Les ondes sonores dans un fluideV) Les ondes stationnaires
1) La réflexion pure
a) Les champs de vitesse et de surpression
x = 0
Z2 =
V V V
NNN
λ4pression
x = 0
Z2 = V
V VN
NNλ2vitesse
Les ondes sonores dans un fluideV) Les ondes stationnaires
1) La réflexion pure
a) Les champs de vitesse et de surpression
b) Aspect énergétique
Les ondes sonores dans un fluideV) Les ondes stationnaires
1) La réflexion pure
2) Les cavités résonantes
Cavité résonante fermée aux deux extrémités en x = 0 et en x = L.
0 L
x
Les ondes sonores dans un fluide
a) Le régime libre
V) Les ondes stationnaires
1) La réflexion pure
2) Les cavités résonantes
Par théorème de superposition, la solution générale de ce problème peut s’écrire sous la forme d’une somme infinie :
mm 1
v(x,t) v (x,t)
π πφ0m m
m 1
m m cv(x,t) v .sin x .cos t
L L
Cavité résonante fermée aux deux extrémités en x = 0 et en x = L.
Harmonique m : λmL m2
0 L
x
Mode fondamental : λ1L 2
0 L
xpression
VN
V
0 L
xvitesse
N
V
N
Harmonique 2 : L = 2 0 L
xpression
V
NN
V V
0 L
xvitesse
N
VV
NN
Harmonique 3 : λ33
L 2
0 L
xpression
V
NN
V
N
VV
0 L
xvitesse
N
VV
N
V
NN
0 L
x
Cavité résonante fermée à une extrémité en x = 0, et ouverte à l’autre en x = L.
Harmonique m : λmL 2m 14
Mode fondamental : λ1L 4
0 L
xpression
V
N
0 L
xvitesse
N
V
Harmonique 2 : λ23
L 4
0 L
xpression
V
NN V
0 L
xvitesse
N
VV
N
Harmonique 3 : λ35
L 4
0 L
xpression
V
NN V N V
0 L
xvitesse
N
VV N V N
Les ondes sonores dans un fluideV) Les ondes stationnaires
1) La réflexion pure
a) Le régime libre
2) Les cavités résonantes
b) Le régime forcé
top related