le rayonnement dipolaire électrique i) le modèle du dipôle oscillant 1) modélisation de la...

Le rayonnement dipolaire électrique

I) Le modèle du dipôle oscillant

1) Modélisation de la source

Définition :

On généralise cette propriété en introduisant la notion de dipôle oscillant qui représente un ensemble neutre de particules chargées [qi ; Ai] dont le moment dipolaire électrique est de la forme :

p(t) = qi.OAi = p0.cost.uz

où O est une origine fixe proche des charges A i.

Le rayonnement dipolaire électrique

I) Le modèle du dipôle oscillant

1) Modélisation de la source

2) Les conditions d’étude

Ce problème est caractérisé par trois distances :

la longueur d’onde du champ rayonné ;

Nous limitons notre étude au cas : r >> >> a.

• la distance r = OM du dipôle au point M ;

• a = max(OAi) l’extension géométrique du dipôle au voisinage de l’origine O.

• r >> a constitue l’approximation dipolaire : AiM OM = r

Nous limitons notre étude au cas : r >> >> a.

>> a constitue l’approximation non relativiste :v

1c

• r >> définit la zone de rayonnement

Le rayonnement dipolaire électrique

II) Les champs rayonnés

Dans la pratique, l’approximation r >> est justifiée par les ordres de grandeurs usuels :

• En optique, 500 nm et r > 1 cm ;

• En radiodiffusion : en FM, 1 m et r >> 1 m et en GO, 1 km.Seuls les auditeurs à proximité immédiate de l’émetteur ne sont pas dans la zone de rayonnement.

Le rayonnement dipolaire électrique

II) Les champs rayonnés

1) Les champs électromagnétiques rayonnés

a) Le champ magnétique B

Le dipôle oscillant étant caractérisé par un moment dipolaire de la forme :

p(t) = p0.cost, p0 = p0.uz

en se limitant à la zone de rayonnement, << r, on montre que le champ magnétique s’écrit dans la base sphérique :

φμ θ

π0.sin r

(r,t) p t .4 r.c c

B u

En notation complexe :

p(t) = p0.expjt.uz

φμ ω θ

ωπ

20

0sin

(r,t) p .expj( t k.r).4 r.c

B u

Le rayonnement dipolaire électrique

II) Les champs rayonnés

1) Les champs électromagnétiques rayonnés

a) Le champ magnétique B

b) Le champ électrique E

En se limitant à la zone de rayonnement, on montre que le champ électrique s’écrit dans la base sphérique :

θ θμ θ θ

π πε0

20

.sin r 1 sin r(r,t) p t . p t .

4 r c 4 cr.cE u u

En notation complexe :

p(t) = p0.expjt.uz

θω θ

ωπε

20

20

p sin(r,t) .expj( t k.r).

4 r.cE u

Le rayonnement dipolaire électrique

II) Les champs rayonnés

1) Les champs électromagnétiques rayonnés

2) Les propriétés des champs rayonnés

Le champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant possède localement la structure d’une onde plane progressive dans le vide se propageant avec la célérité c dans la direction ur ;

E et B sont orthogonaux à la direction de propagation ur

l’ensemble (ur, E, B) forme un trièdre orthogonal direct ;

L’onde est transversale, E et B oscillent en phase perpendiculairement à la direction de propagation ur.

Le rayonnement dipolaire électrique

II) Les champs rayonnés

1) Les champs électromagnétiques rayonnés

2) Les propriétés des champs rayonnés

3) Aspects énergétiques

a) Le vecteur de Poynting

Par définition du vecteur de Poynting dans le vide en M, à la date t :

Πμ μ μ

2

0 0 0

x E.B E

.cr rE B

u u

μ θΠ

π

θΠ

π ε

220

2 2

22

2 2 30

.sin r p t .

c16 .r .c

sin r p t .

c16 .r .c

r

r

u

u

Le rayonnement dipolaire électrique

II) Les champs rayonnés

3) Aspects énergétiques

a) Le vecteur de Poyntingb) La puissance rayonnée

La puissance élémentaire instantanée dP rayonnée par le dipôle oscillant à travers la surface mésoscopique dS dans le sens de dS est donnée par la relation :

dP = .dSDans ces conditions, la puissance instantanée rayonnée par le dipôle oscillant à travers une sphère (), de centre O, de rayon r est donnée par :

Σ

Σ ΠP( t) .d, S

dS = r2.sin.d.d.ur

En remplaçant le vecteur de Poynting par son expression :

π π θΣ θ θ φ

π ε

22 2 2

2 2 30 00

sin rP( t) p t .r .sin .d .d

c16 .r .c,

π θΣ θ

πε

32

300

sin rP( t) p t .d

c8 c,

Comme sur (), r est constant on obtient :

πΣ θ θ

πε

2

33 0

0

rp tcP( t) sin .d

8 c,

Σπε

23

0

1 rP( t) p t

c6 c,

La puissance moyenne dans le temps que rayonne le dipôle oscillant à travers la sphère (), de centre O, de rayon r, est donnée par :

Σ Σπε

2T

300

p1P( t) P( t).dt

T 6 c, ,

Or, p(t) = p0.cost :

ωΣ

πε

2 40

30

pP( t)

12 c,

ω ω2 4 2 20p p .cos t

ω2 4 20

1p p

2

θΠ

π ε

22

2 2 30

dP sinI . p

dS 16 .r .cru

Indicatrice de rayonnement

Le rayonnement dipolaire électrique

III) Notion sur la diffusion de Rayleigh

Définition :

La diffusion électromagnétique : c’est le rayonnement électromagnétique réémis par une substance soumise à un rayonnement électromagnétique

Le rayonnement dipolaire électrique

III) Notion sur la diffusion de Rayleigh

1) Modèle de l’électron élastiquement lié

Le modèle de Thomson

. Les différents électrons liés de charges – e d'une même molécule sont traités indépendamment ;

. Les noyaux ayant une masse très grande devant celle des électrons, on les suppose immobiles dans le référentiel terrestre supposé galiléen ;

Le modèle de Thomson

. Chaque électron est traité comme un oscillateur harmonique amorti ; L'électron est soumis à une force de rappel qui rend compte de l'action du champ électrique créé par le noyau et les autres électrons ; Il est soumis, en outre à une force de frottements fluides qui rend compte des diverses causes d'amortissement telles que les collisions entre électrons et le rayonnement dipolaire.

ω20 m. .rf r Γ m. .vf r

Le modèle de Thomson

. L’électron est placé dans le champ électromagnétique créé par le soleil qu’on peut ramener par superposition à une O.P.P.H. polarisée rectilignement de pulsation , décrite par le champ [Es ; Bs], avec 2.1015 rad.s–1 < < 5.1015 rad.s–1 pour la lumière visible.

Le modèle de Thomson

Le rayonnement dipolaire électrique

III) Notion sur la diffusion de Rayleigh

1) Modèle de l’électron élastiquement lié

2) Les couleurs du ciel

ω Γ ω20m m. . m. . e. .cos t0r r r E

ω ω Γω2 2s0m j e.r E

ω ω Γωs

2 20

e

m jE

r

ωω

ω ω Γω

2

2 20

.expj te e. .expj t

m j0

0E

p r p

ω ω Γω

2

0 2 20

e

m j0E

p

La puissance moyenne dans le temps rayonnée à travers la sphère () de rayon r, est donnée par :

ωΣ

πε

2 40

30

pP( t)

12 c,

ω ω Γ ω

242 00 2 22 2 2 2

0

Eep

m

ω

Σπε ω ω Γ ω

24 40

2 3 22 2 2 20 0

E1 eP( t)

12 m c ,

Trois cas se dégagent :

0 : c’est la diffusion résonante (absorption)

>> 0 : c’est la diffusion de Thomson

<< 0 : c’est la diffusion de Rayleigh qui intervient dans la diffusion du

rayonnement solaire par l’atmosphère

Pour l’atmosphère, 0 1016 rad.s-1 et 108 rad.s-

1 ce qui correspond au rayonnement ultraviolet :

Dans ces conditions :

ω ω2 20 Γ ω ω2

0.

ωΣ

πε ω

24 40

2 3 40 0

E1 eP( t)

12 m c,

Le rayonnement dipolaire électrique

III) Notion sur la diffusion de Rayleigh

1) Modèle de l’électron élastiquement lié

2) Les couleurs du ciel

3) Polarisation par diffusion