correction des exercices chapitre p6 condensateur et dipôle rc

Correction des exercices

Chapitre P6 Condensateur et dipôle RC

Amérique du Nord 2006 Le piège photoI/ Armement du dispositif

1. Le générateur impose la circulation du courant : du + vers le - à l’extérieur du générateur.

L’armature du haut se charge positivement :

i(t)i(t)

uR(t)

uC(t)E +

–

R

01

q

D’après la loi d'additivité des tensions: uC(t) + uR(t) =

E (1) la loi d'Ohm donne: uR(t) = R.i(t)

d'autre part i(t) = et q = C.uC(t)

C étant constante, il vient i(t) = C

donc uR(t) = R.C

En reportant dans (1): uC(t) + R.C = E

L'équation différentielle est bien de la forme uc(t)

+ = E

Par identification, on peut déduire l'expression de la constante : = R.C


i(t)i(t)

uR(t)

uC(t)E

+

–

R

01

q

Équation différentielle vérifiée par uC(t) lors de la charge :

Cdu (t)

dt

Cdu (t)

dt

Cdu (t)

dtCdu (t)

dt

dq(t)

dt

2. On a: i(t) = C.

d'où l'équation aux dimensions: [C] =

De même: uR(t) = R i(t) donne [R] =

Donc: [] = [R] [C] = = [T]

La constante est bien homogène à un temps.


Cdu (t)

dt

.I T

U

U

I

U

I

.I T

U

3. En régime permanent, uc(t) est constante:

uc(t) = UC = Cte donc = 0

L'équation différentielle: uc(t) + . = E donne alors:

uC (t) + × 0 = E

Donc UC = E = 8,0 V.


Cdu (t)

dt

Cdu (t)

dt

4. Montrer que l'expression uC(t) = A.(1 - ) est solution de l'équation différentielle à condition que …

uC(t) = A.(1 – ) donc =

L’expression proposée pour uC (t) est donc solution de l’équation différentielle Ssi :

A.(1 – ) + . = EDonc Ssi A – A + A = EDonc Ssi A = E.


t /e

t /e Cdu (t)

dt A t /e

t /e

A t /e

t /e t /e

5. On remplace t = 5 dans l’expression de uC (t) proposée par l’énoncé : uC (t) = E (1 - )

Pour t = 5 on a: uC(5) = E (1 – e–5) = 0,99E E

Donc pour une durée égale à 5 on peut considérer que la charge du condensateur est totale.


t /e

On évite l’utilisation de la tangente à l’origine (peu précise !) On utilise l’expression donnée pour uC (t)

Pour t = , uC() = E.(1– e–1) = 0,63.E.

La droite uC() = 0,63 8,0 = 5,0 V coupe la courbe uC(t) en un point d'abscisse t = .


uC = 0,63E

On détermine l'échelle du

graphique 1 :1,4 s 13,9 cm s 2,2 cm

donc = 0,22s.

Autre méthode :

Pour t = ln 2 , uC(t) = E / 2

La durée minimale t durant laquelle l'opérateur doit maintenir l'interrupteur en position 1 afin de réaliser la charge du condensateur est t = 5.

Soit t = 5 0,22 = 1,1 s.


1. A partir de cette équation différentielle …

uC (t) + = E

Donc =

Amérique du Nord 2006 Le piège photoII / Méthode d’Euler

Cdu (t)

dt

Cdu (t)

dt Cu

τE

2. uC (t+t) = uC (t) + t (1)

= (2)

uC (t = 0,05s) = ????

(1) uC (0,05s) = uC (0) + t

AN : uC (0,05s) = 0 + 36 × 0,05 = 1,8 V


Cdu (t)

dt

Cdu (t)

dt )(tu

τE

C

0

t

C

dtud

2. uC (t+t) = uC (t) + t (1)

= (2)

= ????

(2) =

AN : = = 28 V.s-1


Cdu (t)

dt

Cdu (t)

dt )(tu

τE

C

st

C

dtud

05,0

st

C

dtud

05,0

)05,0( stu

τE

C

st

C

dtud

05,0

22,08,1

22,00,8

2. uC (t+t) = uC (t) + t (1)

= (2)

uC (t = 0,10s) = ????

(1) uC (0,10s) = uC (0,05s) + t

AN : uC (0,10s) = 1,8 + 28 × 0,05 = 3,2 V


Cdu (t)

dt

Cdu (t)

dt )(tu

τE

C

st

C

dtud

05,0

2. uC (t+t) = uC (t) + t (1)

= (2)

= ????

(2) =

AN : = = 22 V.s-1


Cdu (t)

dt

Cdu (t)

dt )(tu

τE

C

st

C

dtud

10,0

st

C

dtud

10,0

)10,0( stu

τE

C

st

C

dtud

10,0

22,02,3

22,00,8

3. On peut améliorer la précision en diminuant le pas de calcul t

L’inconvénient est que les calculs seront plus nombreux pour couvrir la même durée d’étude


L'énergie initialement emmagasinée par le condensateur doit être la plus importante possible.

Or l'énergie électrique stockée par un condensateur de capacité C chargé par la tension E est : Estockée = ½.C.E²

Pour que cette énergie soit la plus grande possible, il faut : - augmenter la valeur de la force électromotrice E du

générateur idéal de tension, - et/ ou augmenter la valeur de la capacité C du

condensateur.La valeur de la résistance R n'a aucun effet sur l'énergie

stockée par le condensateur.

Amérique du Nord 2006 Le piège photoIII / Déclenchement du piège

1. u1 : tension aux bornes du

générateur

u1 est constante

u2 : tension aux bornes du condensateur

La durée de la charge est d’autant plus grande que la constante de temps = RC du circuit est élevée. Comme C est constant, la charge est d’autant plus lente que R est élevée

Asie 2009 Détermination de la capacité d’un condensateur

R

i

u1 u2 E C

Figure 1

R () 400 800 1200

1600

Courbe représentant u1

Courbe représentant u2


2. La tangente à la courbe u2 = uC = f(t), à la date t = 0 s, coupe l’asymptote horizontale u1 = E, à la date t = .

Graphiquement, on lit = 0,28 s.


3. = RC

Analyse dimensionnelle : voir exo précédent

est proportionnelle à R , le coefficient de proportionnalité est C


4. On modélise la courbe

= f(R) par une droite

passant par l’origine.Le coefficient directeur de

cette droite est égal à C.

Soit le point K :

(RK =1000 ; K = 0,18 s)

C =

C = = = 1,810–4 F

échelle :

1 carreau 0,02 s

1 carreau 100

R ()

(s)

K

K

KR

,0 18

1000

2

3

18 10

10


Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque1. Charge du condensateur

a) La durée de la charge est environ égale à 5.

Dans le circuit de charge = r C

C est faible puisque C = 470 nF soit 4,7010–7 F et la valeur de la résistance r est très faible,

donc est proche de 0 s.Le condensateur se charge

presque instantanément.

vers le circuit de déclenchement

SCHÉMA 1

pile spéciale

r

EC

BA

i 1

K

2

u C

u R

R

b)


vers YA

vers le circuit de déclenchement

pile spéciale

r

E

C

BA

i 1

K

2

u C

u R

R

c)


Charge du condensateur : uC augmente (très rapidement)Attention : ce phénomène n’est pas instantané !!

d) i =

Lorsque le condensateur est complètement chargé, uC est constante

donc = 0 et i = 0 A

il n'y a plus de courant qui circule.


rE

C

BA

i 1

K

2

u C

u R

R

q

dtud

CdtuCd

dtqd

CC

dtud

C

a) signe de l'intensité i du courant lors de la décharge : les électrons accumulés sur l’armature B la quittent pour aller vers A, le courant circule donc dans le sens contraire du sens positif : i < 0

D'après la loi d'Ohm: uR = – R.i

(signe – car flèche i et flèche uR dans le même sens)

q = C.uC

i =uC = uR

Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque2. Décharge du condensateur

rE

C

BA

i2

u C

u R

R

q

i

dtud

CdtuCd

dtqd

CC

b) uC = uR = – R.i

Donc uC + R.i = 0

D’où uC + R C = 0

En divisant par RC :

+ uC = 0

En posant = R.C, on obtient finalement

+ uC = 0


dtud

C

RC1

dtud

C

dtud

C

1

d)


= = 0,8 s

est l’abscisse du point d’intersection entre la tangente à l’origine et l’axe des abscisses

C

910.4708,0

R = = = 1,7 M

a) On lit :

ulimite = 2,1 V

Par le calcul :

ulimite = E / e

ulimite = 5,7 / e

= 2,1 V

Les deux valeurs sont cohérentes

Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque3. Décharge et battements du coeur

ulimite

b ) à t1 : uC(t1 ) = ulimite

Donc E = = E e – 1

Donc = - 1

D’où t1 =

c) t = t1 = 0,8 s

d) Nombre de battements du cœur par minute:

Toutes les = 0,8 s 1 battement

toutes les 60 s N battements

N = = 75 battements par minute

Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque3. Décharge et battements du coeur

1t

e

eE

1t

8,060

Nvelle Calédonie 2008 Orage1. Modélisation de l’éclair nuage-sol1. D ’après la loi d’additivité des tensions :

uC(t) + ur(t) = 0 (1)

D’après la loi d’Ohm : ur(t) = r i(t)

D’autre part i(t) =

avec q(t) = C uC(t) donc i(t) = C

Donc : ur(t) = r i(t) = r C

On reporte dans (1) en posant = r C :

uC(t) + = 0

Finalement :

K

uCur

– q

i

C r+ q

Schéma électrique équivalent

dtqd

dtud

C

dtud

C

dtud

C

CC

du (t) 1.u (t) 0

dt

3) L’expression uC(t) = U. est solution de (1) si elle vérifie l’équation (1) :

Or : = = – U

Calculons + uC(t) :

+ uC (t) = - U + U

= 0 à tout instantLa solution proposée est bien solution de l’éq différentielle

Nvelle Calédonie 2008 Orage1. Modélisation de l’éclair nuage-sol

t /e

dtud

C

dteUd

t

1

1 t /e

dtud

C

1

dtud

C

1

1 t /e t /e

1

Nvelle Calédonie 2008 Orage2. Foudre et sécurité

1. i(t) = C = – C U

= – C U = –

Cette expression est bien de la forme i(t) = – I

à condition que : I = constante positive

dtud

C

1 t /e

Cr1 t /e

rU t /e

t /e

rU


2. On a :

i(0) = – I e0 = – I

i() = – I e- = 0

La seule courbe qui vérifie les deux conditions précédentes sur l’intensité est la courbe A.

3.


Méthode pour déterminer :

- on calcule i() = – I.e–1 = – 0,37.I

= – 0,3730 = –11 kA

- on trace la droite horizontale qui coupe i(t) en un point d’abscisse égale à .

I = – 30 kA

i()=–0,37.I

= 30 µs

3.


La durée approximative de la décharge est :

t = 5.

t = 5 30 = 150 µs. (réponse b).

4. Eél = ½.C.uC² : lorsque « le condensateur » est chargé : uC(t) = U

donc Eél = ½.C.U2 alors C =

avec U = 100106 V (texte encadré « 100 millions de volts ») U = 1,00108 V et Eél = 5,0107 J

C =

C = 1,0 10 –8 F = 1010 –9 = 10 nF.


él2

2.E

U

7 8

2 28 8

2 5,0 10 1,0 10

1,00 10 1,00 10

correction des exercices chapitre p6 condensateur et dipôle rc

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