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Le calcul algébrique de la 6e à la 2nde

(1e partie)

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Bibliographie et sites« Repères » N°34 IRE

« Les débuts de l’algèbre au collège » INRP A. Pressiat

article « Une structure multidimensionnelle en algèbre élémentaire. Conception, exploitation et perspectives »B.Grugeon équipe DIDIREM Université de Paris 7le document d’accompagnement « du numérique au littéral »

http://maths.creteil.iufm.frhttp://pepite.univ-lemans.fr

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Introduction

« Le calcul algébrique est un outil. Pour quoi faire ? L’idéal

serait que cet outil n’apparaisse pas comme un carcan

rigide ne servant à rien d’autre qu’à s’enrichir lui-même et

fonctionnant à vide, mais au contraire comme un moyen de

simplifier les problèmes. Bref que cet outil soit construit

comme réponse à des classes de problèmes ».

Groupe de travail IREM

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Introduction: un peu d’histoire…mot "équation" : apparu en 1740 dans le dictionnaire . Jusqu'au XVIe siècle : "res" ou "cosa" pour désigner

l'inconnue d'une équation .Usage des lettres pour les équations : XVIe siècle par Viète

(conseiller d'Henri IV ) : il désigna les inconnues par des voyelles.

Descartes au XVIIe s utilisa la fin de l'alphabet z , y , x ...pour désigner les inconnues , et le début de l'alphabet ( a ; b ; c ... ) pour les données.

x : initiale de «xay»,mot espagnol, déformation de «chay»signifiant « chose » en arabe.

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SOMMAIRE

I – Les différents usages de la lettreII – Les différents statuts du signe =III – Les programmes en très bref de la 6e à la 2nde

IV – Les exercices proposés en algèbreV – Etude d’exercices de manuels

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I – Les différents usages de la lettre

Doc d’accompagnement« du numérique au littéral » janvier 2006

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statut de lettre-étiquetteLettre unité de mesure ou lettre-objet12 m : 12 mètres, 12 motosPeut désigner un objet géométrique (point, segment…)

statut de variable Désignation d'un nombre dans une formule (c'est-à-dire décrivant un calcul numérique à faire) : formule de périmètre ou d'aire, calcul de la valeur d'une expression…

Ces lettres ne subissent aucun traitement (situation de communication)

Les différents usages de la lettre

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statut d’indéterminée : Montrer l’équivalence entre deux formules

statut d’inconnue : Résolution d’équations

statut de paramètre :Désignation d'une quantité (physique) pour exprimer dans un modèle donné une relation avec une autre quantité.

ex : - prix à payer p et quantité x d’essence.- loi d’ohm en physiques

Les différents usages de la lettre

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II – Les différents statuts du signe =

Doc d’accompagnement« du numérique au littéral » janvier 2006

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Le signe « égal » de l’école au collège

De nombreuses recherches montrent que les élèves développent, au cours de leur apprentissage de l’arithmétique au primaire, une certaine conception du signe =

à gauche du signe = : calculs à effectuerà droite : résultat de ces calculs

collège : appropriation d'une syntaxe nouvelle et un nouvel usage de certains symboles déjà connus comme les symboles opératoires, le signe d’égalité, les parenthèses.

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Les différents statuts du signe = A l’école primaire :

annoncer d’un résultat : 8 + 13 = 21communiquer de la décomposition d’un nombresignifier que deux écritures représentent un même nombre

2 2b a a ba − +

+ =Au collège :

deux expressions d’un même objet mathématiquepour traduire une identité : k(a-b)=ka-kbdans l’écriture d’une équation comme symbole

d’affectation ( calculer a +2b pour a = 1 et b=0,7)

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La lettre et le signe = (2x + 3)(x – 2) = 2x2 – x – 6 : pour tout nombre x , la

valeur du 1er membre et la valeur du 2e membre sont les mêmes ⇒ x comme variable ( nombre qui peut prendre n’importe quelles valeurs).

équation : 2x + 3 = 5x, le signe = ne sépare pas deux expressions égales pour tout x. ⇒x comme inconnue dont on cherche à déterminer les valeurs possibles.Les élèves doivent comprendre que parmi toutes les valeurs que peut prendre x seules quelques-unes rendent cette phrase vraie.

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III - Les programmes en très bref de la 6ème à la 2nde

Voir tableau synoptique page 7 document accompagnement

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Introduction: les objectifs du calcul littéral au collège

Le calcul littéral comme moyens d’expression et de résolution de problèmes, au côté du calcul numérique, des figures, des représentations graphiques.

Installer progressivement l’habitude de recourir au calcul littéral :

• en 6e et 5e : initiation à l’usage des lettres, dans des situations où leur utilité peut être reconnue par les élèves (élaboration et utilisation de formules) ;

• en 4e et 3e : initiation à la résolution de problèmes par desméthodes algébriques liées souvent à l’utilisation de

fonctions.

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Les introductions des programmesIntro : assimiler progressivement le langage algébrique

et son emploi pour résoudre des problèmes ( en particulier distinguer égalité, identité et équation)

5e : initier les élèves au calcul littéral : priorités opératoires, développement, mise en équation et résolution.

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4e : Pour le calcul littéral, l’un des objectifs visés est qu’il prenne sa place dans les moyens d’expression des élèves, à côté de la langue usuelle, de l’emploi des nombres ou des représentations graphiques. C’est en développant notamment des activités où le calcul littéral présente du sens et où il reste simple à effectuer que l’on amène l’élève à recourir à l’écriture algébrique quand elle est pertinente

3e : compléter les bases du calcul littéral et en conforter le sens, notamment par le recours à des équation ou des inéquations du 1er degré pour résoudre des problèmes.

Les introductions des programmes

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Introduction : les objectifs du calcul littéral en 2nde

progresser dans la maîtrise du calcul algébrique, sans recherche de technicité, toujours dans la perspective de résolution de problèmes ou de démonstration.Comme la géométrie, les activités de calcul doivent être l’occasion de développer le raisonnement et l’activité de démonstration.On exploitera les possibilités offertes par le tableur[…]Le calcul numérique et le calcul algébrique ne doivent pas constituer un chapitre de révision systématique, mais se retrouvent au travers des différents chapitres. En particulier, ils seront traités en relation étroite avec l’étude des fonctions.

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En sixième : variable

6ème

Appliquer uneformule

Initiation à larésolution (sans lettres)

Addition et multiplication

« à trous »

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5ème

Priorités Utilisation et écriture d’expressions littéralesDistributivité simple

Initiation à larésolution (lettre)Division à trousTests d’égalité

(x et y)

Tests d’inégalité

En cinquième : indéterminée

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4ème

RéductionDéveloppement

Double distributivitéValeur d’une

expression littérale

Résolution de problèmes

par mise en équation,premier degré

Ordre et opérations

En quatrième : inconnue

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3ème

DéveloppementFactorisations

puissancesIdentités remarquables

Equations produitsSystème deux équations

deux inconnuesInterprétation

graphique

Equations etInéquation dupremier degré

Représentation graphique

des solutions

En troisième : paramètre

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2nde

Reconnaître des formes d’expressions

Choisir, modifier..Identifier des fonctionsà partir d’une formule

Équation premier degréRésolution graphique

de f(x)=g(x)

Inéquation premier degré

Tableau de signesRésolution graphique

de f(x)<g(x)

En seconde

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Un 1er travail sur le calcul algébrique 3e/2nde

Enseignants de 3e : Que vous semble-t-il important de savoir pour la 2nde ?Qu’est-ce qui, selon vous, est moins essentiel ?

Enseignants de 2nde : Quel pré-requis pensez-vous qu’ont des élèves de fin de 3e ?Qu’est-ce qui vous semble important de savoir pour la 2nde ?

lien

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IV – Les exercices proposés en algèbre

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Caractérisation des problèmes algébriques

Apprentissage de l’algèbre ne se limite pas aux traitement d’expressions algébriques; aux transformations d’expressions

C’est aussi :

Résoudre des problèmes où l’algèbre intervient comme outil pertinent : produire des expressions algébriques pour traduire un problème, les interpréter et mobiliser les outils algébriques adaptés à sa résolution.

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Utiliser l’outil algébrique…

pour généraliser (Ex : montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3).

comme outil de preuve

pour produire une formule, exprimer une relation entre variable (modélisation d’une situation)

pour résoudre des problèmes mathématiques ou non

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A propos des situations de calcul algébrique

«On pense à un nombre, on le multiplie par 5 et on ajoute 3 au résultat. On obtient alors : 48. À quel nombre a-t-on pensé ? »

«La somme de trois nombres entiers consécutifs est égale à 345. Quels sont ces trois nombres ? »

Des classiques pertinents ?

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Stratégie naturelle de l'élève : partir du résultat et inverser les opérations pour récupérer le nombre de départ.

Un autre choix possible :«On pense un nombre. Si on ajoute 1 à ce nombre et si on multiplie le résultat par 5, on trouve le même résultat qu'en ajoutant 21 au double de ce nombre. À quel nombre a-t-on pensé ?»

A propos des situations de calcul algébrique

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Exemple 1 en 6e

Pour avoir accès à la piscine, il faut payer un abonnement annuel de 40 € et chaque entrée au tarif de 0,50 €.

1°) Calculer le prix payé par une personne pour :a) 2 entrées b) 4 entrées c) 10 entrées

2°) Voici une formule : P = 40 + (0,5 x n )a) Que représentent n et P pour cette situation ?b) Utiliser cette formule dans le cas d’une personne qui

fréquente la piscine 2 fois par semaine durant l’année.

Transmath 6e

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Exemple 2 en 6e

Transmath 6e

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Exemple 3 en 6e

Transmath 6e

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Exemple 4 en 6e

Transmath 6e

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V – Etude d’exercices de manuels

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Étude de la pertinence des exercices dans les manuels

Sur un niveau donné :

Repérer les différents types d’exercices sur le calcul algébrique.

Choisir deux ou trois exercices peu pertinents et expliquer pourquoi.

Un exercice sur lequel une utilisation du tableur est pertinente.

Choisir deux ou trois exercices que vous donneriez- à quel moment de l’année ?- avec quels objectifs et pré-requis ?