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EPFL - GM 1
Cours de physique généralePhysique I pour étudiants de première année
en section de mathématiques
Prof. Georges MeylanLaboratoire d’astrophysique
19 décembre 2008cours de la semaine # 14
Bienvenue au
Site web du laboratoire et du cours :
http://lastro.epfl.ch
EPFL - GM 2
Connaissant le tenseur d’inertie d’un solide par rapport à son centre de masse G(pour les solides de formes simples, on les trouve dans des tables),
le théorème de Huygens-Steiner permet alors d’obtenir le tenseur d’inertierelativement à n’importe quel point A du solide
Théorème de Huygens-Steiner
EPFL - GM 3
!
(˜ I A)ij = m" AP"
2
#ij $ AP"( )i
AP"( )j
% & '
( ) *
"
+
= m" AG+GP"( )2
#ij $ (AG)i +(GP")i( ) (AG)j +(GP")j( )% & '
( ) *
"
+
= m" AG2
+ GP"2
+ 2 AG , GP"- . / 0
1 2 #ij
% & '
"
+ $ AG( )
iAG( )
j $ GP"( )
iGP"( )
j $ AG( )
iGP"( )
j $ GP"( )
iAG( )
j]
= m" GP"
2
#ij $ GP"( )i
GP"( )j
% & '
( ) *
"
+ + m" AG2
#ij $ AG( )i
AG( )j[ ]
"
+
(˜ I A)ij = (˜ I G)ij + M AG2
#ij $ AG( )i
AG( )j[ ]
Théorème de Huygens-Steiner• Par rapport à un point A quelconque :
permet de calculerle tenseur d’inertieau point A quelconqueconnaissant celuiau centre de masse G
= tenseur d’inertie au point A d’une masse M au point G
EPFL - GM 4
!
I"C
= (˜ I C)ij uiuj
i, j
# = (˜ I G)ij uiuj
i, j
# + M CG2
uiuj$ij % CG( )iui CG( )
juj[ ]
i, j
#
= I"G
+ M CG2
% CG & ˆ u ( )2
[ ]I"C
= I"G
+ M d2
Théorème de Huygens-Steiner (applications)• Formule de Steiner pour les moments d’inertie :
– ΔC = axe de direction u passant par un point C quelconque– ΔG = axe de direction u passant par le centre de masse G– d = distance entre les deux axes ΔC et ΔG
• Axes principaux :
= moment d’inertie d’une masse M à une distance d de ΔC
^^
Si les axes ΔG et CG sont des axes principaux d’inertie au point Galors les axes ΔC et CG sont des axes principaux d’inertie au point C
C
G ΔG
ΔCd
solide
u
12
3
EPFL - GM 5
Problème de la meule• Description et hypothèses :
– Meule : disque mince de masse M, rayon R, centre de masse G– Axe de la meule CG : horizontal, sans masse, longueur d– Roulement sans glissement sur le sol avec point C fixe sur un axe vertical– ω = rotation propre de la meule, Ω = rotation autour de l’axe vertical
• Vecteur instantané de rotation total =
• Equations du mouvement :
!
0 = r v A =
r v G + (
r " +
r # ) $ GA
0 = r v C =
r v G + (
r " +
r # ) $ GC
% & '
!
" (r # +
r $ ) % GA = (
r # +
r $ ) % GC
" r # % GA =
r $ % GC
" #R = $d
!
dr p
dt
= Mr ˙ v G =
r T +
r N +M
r g
dr L Cdt
=r M C
ext = CG"r N +M
r g ( )
!
r " +
r #
G
C
A
ω
d
R
Ω
Mg
N1
2
3
T
Démo : Moulin à gyroscope # 224
pas de glissement
EPFL - GM 6
Problème de la meule (suite)• Tenseur d’inertie :
(dans repère d’inertied’axes 1, 2, et 3,en rotation avec l’axede la meule autour de 3)
• Moment cinétique :
• Equations du mouvement :
!
(˜ I C)ij = (˜ I G)ij + M CG2
"ij # CG( )i
CG( )j[ ]
˜ I C =
12MR2 0 0
0 14MR2 0
0 0 14MR2
$
%
& &
'
(
) ) + M
0 0 00d2 00 0d2
$
%
& &
'
(
) )
!
r L C = ˜ I C "
r # +
r $ ( ) = (˜ I C)11
r # + (˜ I C)33
r $
!
" d
r L Cdt
= (˜ I C)11 d
r #
dt = 1
2MR2 r $ %
r #
!
Mr ˙ v G =
r F " #
M$2d = T1
0 = T2
0 = T3 +N %Mg
&
' (
) (
dr L Cdt
=r
M Cext # 1
2MR
2$* = d(N %Mg)
Démo : Moulin à gyroscope # 224
G
C
A
ω
d
R
Ω
N1
2
3
T
Mg
!
" N =Mg + 12MR
2#$d=Mg + 1
2MR#
2> Mg
Action-réaction : si le sol exerce une force N sur la roue, la roue exerce une force -N sur le sol (force dite d’écrasement)
EPFL - GM 7
• Donc, en prenant le cas I1 = (1/2) m R 2 , nous obtenons finalement :
• A titre d’illustration, considérons le cas R = 50 cm et Ω = 1 t/s :la réaction du sol sera alors le double du poids.
• Grâce à cet effet gyroscopique, la force exercée par la meule sur le solest supérieure au poids de la meule.
• Remarque : L’ effet gyroscopique apparaît lorsqu’une roue est soumise àdeux rotations d'axes perpendiculaires ( ici e3 et e1 ).
• Mentionnons que dans le cas d’un virage effectué sur une moto, cet effetgyroscopique s’additionne à l’effet centrifuge et contribue à la stabilitédu mvt.
• A : 1er axe de rotation (vitesse constante)• B : 2e axe de rotation (axe de rotation de la roue, vitesse constante)• C : Axe d'application de l'effet gyroscopique
Exemple de la moto!
" N =Mg + 12MR#
2> Mg
ω = (2π)/T = 2πf
e3
e1
L'effet gyroscopique des roues
lors d'un virage aura tendance
à diminuer l’inclinaison de la moto
EPFL - GM 8
Roulement sans glissement sur plan incliné• Cylindre de révolution roulant sans glisser : ⇒ vA = 0 ⇒ vG = ωR• Moment d’inertie : IG,y = k MR2
– k = nombre caractérisant la « forme »,indépendamment de la masse et de la dimension
• k = 1/2 si cylindre homogène plein• k = 1 si cylindre homogène vide
α
AG
F
N
Mg
R
x
z
⊗ ω = ωy
^
^
!
r L G = IG,y
r " , LG = IG,y " = kMR2
vG
R = kRMvG
• Moment cinétique :
!
Mr a G = M
r g +
r N +
r F "
MaG = Mg sin# $F
0 = 00 = N $Mg cos#
%
& '
( '
dr L Gdt
=r
M G " 0 = 0
kRMaG = FR
0 = 0
%
& '
( '
)
*
' ' '
+
' ' '
"
N = Mg cos#
F = Mg sin# kk +1
aG =g sin#k +1
%
&
' '
(
' '
Démo : Cylindres roulants sur plan incliné # 60
• Equations du mouvement :
– Accélération aG ne dépend que de k, pas de M ni de R !aG (cylindre creux)
inférieure aG (cylindre plein)
EPFL - GM 9
Energie cinétique d’un solide• Pour un point A quelconque du solide :
!
Ecin = 1
2m"
r v "2
"
# = 1
2m"
r v A +
r $ % AP"( )
2
"
#
= 1
2M
r v A
2 + Mr v A &
r $ % AG( ) + 1
2m"
r $ % AP"( )
2
"
#
!
12
m"
r # $AP"( )
2
"
% = 12
m"
r # 2 AP"
2
&r # 'AP"( )
2( ) *
+ , -
"
%
= 12
m" # i# j.ijAP"2
i, j
% & # i# j AP"( )i
AP"( )j
i, j
%(
) *
+
, -
"
%
= 12
# i# j m" AP"2
.ij & AP"( )i
AP"( )j
( ) *
+ , -
"
%i, j
%
= 12
# i# j (˜ I A)ij
i, j
% = 12 r # '
r L A = 1
2 r # ' ˜ I A '
r # ( )
!
Ecin = 1
2M
r v A
2 + Mr v A "
r # $ AG( ) + 1
2 r # " ˜ I A "
r # ( )
=0 si A=G (centre de masse)ou si vA=0 (point fixe)
Au tableau
Si rotation selon axeprincipal d’inertie Δpar un point fixe :
!
Ecin
=1
2I"#
2
EPFL - GM 10
Roulement sans glissement sur pente• Energie cinétique (en utilisant le point A) :
• Energie cinétique (en utilisant le point G) :
• Energie mécanique totale :
• Exemple : la force de frottementen A ne travaille pas !(vA=0)
!
Ecin =12IA,y"
2= 12(IG,y +MR
2)"
2
!
Ecin =12MvG
2+ 12IG,y"
2= 12MR
2"2+ 12IG,y"
2
!
Etot = Ecin +Epot = 12IA,y"
2(t) +MgzG(t) = constante
AG
R ⊗ ω = ωy
xz
xz
AG
h
vG=0
AG
⊗ ω = ωy
vG = ωRx
!
Etot = Mgh = 12IA,y"
2
# " =2Mgh
IA,y
EPFL - GM 11
Dynamique du solide avec axe fixe• Quand un axe de rotation Δ est
fixe (et que l’on ne s’intéresse niaux forces ni aux moments quimaintiennent cet axe fixe), il estutile de projeter le théorème dumoment cinétique sur cet axe :
– Pour tout point Osur l’axe Δ de direction u
• Exemple : pendule physique =solide soumis à la pesanteur etlibre de se mouvoir autour d’unaxe fixe horizontal
!
ddt
r L O =
r M O
ext
" ddt
r L O # ˆ u ( ) =
r M O
ext # ˆ u
" ddt
I$%( ) = r r & '
r F &
ext( ) # ˆ u &
(
" I$ ˙ % = r r &,) '
r F &,)
ext( ) # ˆ u &
(
où r r &,) et
r F &,)
ext sont les composantes
de r r & et
r F &
ext perpendiculaires à ˆ u
^
!
I" ˙ # = r r $,% & m$
r g ( ) ' ˆ u
$
(
I" ˙ ) = (r r G,% & M
r g ) ' ˆ u = *L Mg sin)
˙ ) = *L Mg
I" sin)
O
!
r r G
!
r r G"
axe Δ
!
ˆ u ω L
Mg
G
φ
!
˙ " = #g
L sin"
• Si toute la masse Mest en G (IΔ = ML2) :
Démo : Pendule physique # 65
Démo : Pendule simple # 483
EPFL - GM 12
Dynamique du solide avec axe fixe (suite)• Solide libre de tourner autour
d’un axe fixe passant par O• Centre de percussion :
– point O’ sur la droite OG telqu’un choc (percussion) appliquéen ce point (perpendiculairementà OG) n’engendre aucuneréaction (répercussion) de l’axede rotation sur le solide
• Exemples et applications :– Marteau :
• où le tenir ?– Batte de baseball :
• où frapper la balle ?– Butée de porte :
• où l’installer ?
O O’Gmarteau
clou
force exercée par leclou sur le marteau
aucune forcenécessaire en O pourgarder le point O fixe
O’Gporte
mur
O butéegonds
butée placée au centrede percussion :
attention aux gonds
EPFL - GM 13
Calcul du centre de percussion• Batte de baseball frappée par une balle avec
une force F(t) au centre de percussion O’par rapport à l’emplacement des mains en O :– Juste avant le choc (t=0): vG=0, ω=0 (batte au repos)– Juste après le choc (t=Δt): vG = ωd ≠ 0
O O’G
F(t)
d d’
!
dr p
dt =
r F " #
r p =
r F (t) dt
t =0
#t
$ " MvG = F(t) dtt =0
#t
$d
r L Gdt
= r M G
ext " #r L G =
r M G
ext (t) dtt =0
#t
$ " IG% = d' F(t) dtt =0
#t
$
&
'
( (
)
( (
*
+
( (
,
( (
" MvGd'= IG%
!
"
IG
= M
dd'
!
1
12M
L2
= IG
= Mdd'= ML
2d' " d'=
L
6 O’
G
O
Ld=L/2
d’=L/6
• Pendule physique interrompu dans sa course :– Point O à l’extrémité d’une barre mince
homogène de masse M et de longueur L :
Démo : Centre de percussion à répercussion nulle (pendule) # 88
Pour frapper un solide sans se faire mal au poignet (marteau, etc…),il faut tenir le solide à une distance a = d + d’ du point de choc.
EPFL - GM 14
Axes en rotation : équations d’Euler• C = point fixe du solide (ou centre de masse) ⇒• = repère d’inertie au point C (lié au solide)
• Théorème du moment cinétique par rapport à C,en composantes dans le repère d’inertie :
!
dr L
C
dt =
r M
C
ext
!
Cˆ e 1ˆ e
2ˆ e
3
!
I1 ˙ "
1# (I
2# I
3)"
2"
3= M
C, 1
ext
I2 ˙ "
2# (I
3# I
1)"
3"
1= M
C, 2
ext
I3 ˙ "
3# (I
1# I
2)"
1"
2= M
C, 3
ext
équations d’Euleréquations différentielles coupléespour ω1(t), ω2(t) et ω3(t)
!
Note : d
r L
C
dt=
r " #
r L
C $ "
i constants
%
& '
(
) *
!
dr L
C
dt= ˙ L
iˆ e
i+L
iˆ ˙ e
i( )i
" = Ii˙ #
iˆ e
i+L
i
r # $ ˆ e
i( )
i
" = Ii˙ #
iˆ e
i
i
" +r # $
r L
C
!
r L
C= L
iˆ e
i
i
" avec Li= I
i#
i
!
Ii = moments d'inertie principaux
!
=
I1˙ "
1
I2˙ "
2
I3˙ "
3
#
$
% %
&
'
( (
+
"1
"2
"3
#
$
% %
&
'
( ( )
I1"
1
I2"
2
I3"
3
#
$
% %
&
'
( (
top related