la théorie de la relativite dʼechelle et ses applications

1

La théorie de la RELATIVITE D’ECHELLE!

et ses applications"

http://luth.obspm.fr/~luthier/nottale!

Laurent Nottale!CNRS !

LUTH, Observatoire de Paris-Meudon"

8 Mars 2014. ENS Paris

2

Les échelles dans la nature Echelle de Planck10 cm-33

10 cm-28

10 cm-16

3 10 cm-13

4 10 cm-11

1 Angstrom

40 microns

1 m

6000 km700000 km1 millard km

1 parsec

10 1 0

10 2 0

10 3 0

10 4 0

10 5 0

10 6 0

1

grande unification

limite actuelle accélérateursunification électro-faible

longueur Compton électronrayon de Bohr

quarks

virus bactérieséchelle humaine

rayon Terrerayon SoleilSystème Solaire

distance aux étoilesrayon de notre Galaxie10 kpc

1 Mpc100 Mpc

amas de galaxiestrès grandes structuresEchelle Cosmologique10 cm28

atomes

• Plus de 60 décades des plus petites échelles concevables aux plus grandes

• D’un tiret au suivant: zoom par un facteur x10

• Seuls des rapports d’échelle ont un sens, jamais une échelle absolue

• Aucune prédiction théorique pour la plupart de ces échelles

• Enjeu pour une nouvelle physique ?

3

Abandon de l’hypothèse de différentiabilité de

l’espace-temps

Dépendance explicite des coordonnées en fonction des variables d’échelle

+ divergence

Généraliser la relativité du mouvement ?

Transformations de coordonnées non-différentiables Théorème

ESPACE-TEMPS FRACTAL

Compléter les lois de la physique par des lois d’échelle

Continuité + RELATIVITÉ D’ÉCHELLE

4

Origine

Orientation

Mouvement

Vitesse Accélération

Echelle

Résolution

Etat d’un système de coordonnées:

x

t

! x

! t

Angles

Position

5

RELATIVITÉ

COVARIANCE EQUIVALENCE

faible / forte

Action Géodésique

CONSERVATION Noether

PRINCIPES PREMIERS

6

Lois de!transformation!

d’échelle"

Références et pdf articles: http://www.luth.obspm.fr/~luthier/nottale/frdownlo.htm

7

Zooms discrets sur une courbe fractale

8

Courbe de von Koch F0

F1

F2

F3

F4

F∞

L0

L1 = L0 (p/q)

L2 = L0 (p/q)2

L3 = L0 (p/q)3

L4 = L0 (p/q)4

L∞ = L0 (p/q)∞

Générateur: p = 4 q = 3

Dimension fractale:

9

Courbe fractale D=3/2

10

Zoom continu sur une courbe fractale

Animation

11

Zoom sur « zig-zag » fractal (π/2)

12

Courbes de dimension fractale variable (dans l’espace)

13

Courbes de dimension variable en échelle: générateur dépendant du niveau, p constant, q variable

p = 4

p = 8

DF = {1.082, 1.161, 1.286, 1.5}

DF = {1.0526, 1.078, 1.128, 1.261, 1.440}

14

15

Surface fractale��� 2è niveau

16 Animation

17

18

Surface fractale: dépendance d’échelle

k=0

k=2

k=1

k=3

19

Métrique et courbure d’une surface fractale

Surface (espace fractal de dimension

topologique 2 )

Métrique (divergente)

20

Courbure gaussienne

Courbure gaussienne d’une surface fractale

21

Opérateur de dilatation, méthode de Gell-Mann-Levy:

Equation différentielle la plus simple possible:

Développement limité:

Solution: loi fractale de dimension constante + transition:

22

Loi invariante d’échelle avec transition fractal / non-fractal

Solution de l’équation différentielle d’échelle:

dL/d ln r = a +b L

23

Log[

|v +

η (2

D)1/

2 Exp

[(-ln

dt)/2

]|]

ln |dt|

Vitesse totale sur la géodésique (parties différentiable et fractale) en fonction de l’échelle

24

ln L

ln !

trans

itionfractal

ln !

trans

ition

fractal

delta

constant "scale-force"

variation of the scale dimension

scaleindependent

scaleindependent

variation of the length

(asymptotique)

Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimension d’échelle effective dans le cas d’une ‘force d’échelle’

constante:

Dynamique d’échelle: force d’échelle constante

25

ln L

ln !

trans

itionfractal

ln !

fractal

delta

harmonic oscillator scale-force

trans

ition

variation of the scale dimension

scaleindependent

scaleindependent

variation of the length

Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimension d’échelle effective dans le cas d’un potentiel d’oscillateur

harmonique (dans l’espace des échelles)

Dynamique d’échelle: oscillateur harmonique

26

ln L

ln !

trans

ition

fractal

scaleindependent

ln !

trans

itionfractal

delta

variation of the scale dimension

"log-periodic"

scaleindependent

variation of the length

Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimension d’échelle effective dans le cas d’un comportement log-

périodique (invariance d’échelle discrète, exposant complexe) avec transition fractal / nonfractal.

Loi log-périodique (Petites fluctuations)

27

ln L

ln !

trans

itionfractal

ln !

trans

itionfractal

delta

special scale-relativity

Plan

ck s

cale scale

independentscaleindependent

Plan

ck s

cale

variation of the scale dimensionvariation of the length

Relativité d’échelle restreinte ���(échelle de longueur de Planck invariante sous les dilatations : lois de dilatation log-lorentziennes)

28

Lois du mouvement"dans un espace fractal : "

"MECANIQUE QUANTIQUE"

29

Fractalité Irréversibilité

Infinité de géodésiques

Fluctuations fractales

Dédoublement (+,-)

Description fluide

Termes de 2è ordre dans eqs. différentielles

Nombres complexes

Dérivée covariante complexe

NON-DIFFERENTIABILITE

30

Voie vers Schrödinger (1): infinité de géodésiques

––> Approche « fluide »:

Différentiable Non-différentiable

31

Voie vers Schrödinger (2): ‘partie classique’ (différentiable) et ‘partie

fractale’ Loi d’échelle minimale (en fonction de la résolution spatiale):

Version différentielle (en fonction de la résolution temporelle):

Cas de la dimension fractale critique DF = 2:

32

Voie vers Schrödinger (3): ���non-différentiabilité ––> complexes

Définition ordinaire de la dérivée:

N’EXISTE PLUS (non-différentiabilité) ! ––> nouvelle définition:

Deux définitions au lieu d’une: on passe de l’une à l’autre par la réflexion dt <––> -dt

f(t,dt) = fonction fractale: fonction explicite de dt, variable d’échelle (« résolution »)

33

Opérateur de dérivation covariante

Equation fondamentale de la dynamique

Changement de variables (S = action complexe) et intégration

Equation de Schrödinger généralisée

RELATIVITE D’ECHELLE –>MECANIQUE QUANTIQUE

34

Newton

Schrödinger

Compton

35

Cinq représentations (formes des équations) (1)  Eq. fondamentale de la dynamique/ Eq. des géodésiques

(2) Schrödinger

(3) Mécanique des fluides ( P= |ψ|2, V) continuité + Euler + potentiel quantique

(4) Bifluide couplé (U, V)

(5) Diffusion (v+, v-) Fokker-Planck + BFP

36

SOLUTIONS ���Visualisations, simulations

37

Simulation numérique de géodésique fractale: particule libre

R. Hermann J. Phys. A 1996

38

Expérience de fentes d’Young

39

Expérience de fentes d’Young: une fente

Simulation dépendante-d’échelle: transition quantique-classique

40

Expérience de fentes d’Young: 2 fentes

Simulation faible nombre de géodésiques. Comparaison à la prédiction quantique

Nom

bre

41

Oscillateur harmonique 3D isotrope

Exemples de géodésiques

simulation du processus dxk = vk+ dt + dξk

+

n=0 n=1

42

Potentiel d’oscillateur harmonique 3D isotrope

Premier niveau excité: simulation du processus dx = v+ dt + dξ+

Comparaison simulation - prédiction MQ: 10000 pts, 2 géodésiques

Den

sité

de p

roba

bilit

é

Coordonnée x

43

n=0 n=1

n=2 n=2(2,0,0) (1,1,0)

Solutions: potentiel d’oscillateur harmonique 3D

44

Simulation de géodésique

Potentiel képlerien GM/r Etat n = 3, l = m = n-1

45 n=3

Solutions: potentiel Képlerien

Polynômes de Laguerre généralisés

46

Applications en astrophysique:!!

- formation et évolution des structures gravitationnelles!

!- effets de « masse ? » manquante"

Auto-organisation et morphogenèse

47

t

t

t

t

t

t

Mouvement: changement d’échelle de temps"

48

Comparaison à la théorie standard de formation des structures"

Théorie standard minimale: Euler-Poisson + continuité + matière noire

Relativité d’échelle: φ = potentiel, ρ = m1 P

Q = « Potentiel  noir » ?––> il manifeste la fractalité de même que le potentiel newtonien est une manifestation de la courbure.

49

Bilan d’énergie ––> solution géométrique au

problème dit de « masse  manquante » ? "

Cas stationnaire:

Champ central symétrique:

Avec φc = Énergie centrifuge:

50

Système solaire :!systèmes interne et externe"

SI

J

S

U

N

P

m V T M Hun C H Hil

1

4

9

16

25

36

rank n101 2 3 4 5 6 7 8 9

√a (obs.) a (AU

)

7 49

1

2

3

4

5

6

SE

N

Ref: Nottale 1993, Fractal Space-Time and Microphysics (World Scientific)

Predictions (1992)

55 UA

0.043 UA/Msol 0.17 UA/Msol

70 UA

--> Exoplanètes

Kuiper belt

51

Système solaire: !masses des planètes"

IS

J S

UN

P

distance (A.U.)

Outer Solar System

10 20 30 40-3

-2

-1

0

1

2

3

distance (A.U.)

m

V E

M

C

H

Inner Solar System

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

1

Log(

plan

et m

ass /

ear

th m

ass)

Log(

plan

et m

ass/e

arth

mas

s)

Ref: Nottale, Schumacher & Gay 97

dens

ity

distance to Sun (astronomical units)5 10 15 20 25 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

n = 10

n = 21

n = 11

n = 31

n = 41 n = 51

Inne

r Sol

ar S

yste

m

Jupi

ter

Satu

rn

Uran

us

Nep

tune

Outer Solar System

Hierarchical model of Solar System formation

m V T M

52

Système solaire: Soleil, cycle solaire"

Si le Soleil avait gardé sa rotation initiale: τ serait alors la période képlerienne,

Mais, comme toutes les étoiles de type solaire, le Soleil a été soumis à une perte importante de moment angulaire depuis sa formation (cf. Schatzman & Praderie, The Stars, Springer)

Fonction d’onde:

Période fondamentale:

A la surface du Soleil:

(Pecker Schatzman)

Résultat: Période observée:11 ans Ref: LN, Proceedings of CASYS’03, AIP Conf. Proc., in press

(équateur)

53

Système solaire intramercuriel:!anneaux transitoires de poussières IR"

Observations: Peterson 67, MacQueen 68, Koutchmy 72, Lena et al. 74, Mizutani 84

216 km/s, n=2

144 km/s, 0.043 UA, n=3

51 Peg: exoplanètes

Base:

Ref: Da Rocha Nottale 03

54

Système Solaire externe : ceinture de Kuiper (SKBOs)"

2003 UB 313 (« Eris »)

Validation des pics de probabilité prédits (55, 70, 90, 110 AU, …)

Pluton + KBOs Données 2009

Proba: 2 x 10-4

Repliement sur période attendue

55

Sedna + SKBOs lointains"

2001

FP

185

Sedn

a 20

03 V

B 12

ndss=( a / 57 UA )1/2

SKBO

s

nex=7

Prédit,UA" (57)" 228" 513" 912" 1425" 2052"Observé" 57" 227" 509" 915"

Nom

bre Confirmation:

2 nouveaux objets en n=2, 1 nouvel objet en n=3

2002 GB 32: a=219 2000 CR 105: a=222 2001 FP 185: a=228 2003 VB 12: a=495 2000 OO 67: a=517 2006 SQ372: a=915

2006

SQ

372

56

Exoplanètes (données 2005)"

(P / M*)1/3

Proba: 10-4

57

Exoplanètes (données 2008, N=301)"

4

Prédit (1993), niveau fondamental, 0.043 UA/ Msol

Mer

cure

Venu

s

Terre

Mar

s

Cere

s

Hyg

eia

1! 3! 5! 7! 9!

Nom

bre

(P/M*)1/3

Proba = 10-7

58

Exoplanètes: analyse par spectre de puissance"

276 exoplanètes entre n = 0.7 et n = 8.7 (données 2008) Pic en k = 8 --> période Δn = 1, p = 16, Proba = 1.13 x 10-7 : > 5 σ !

Puiss

ance

59

Exoplanètes: données 2010"Catalogue Wright et Marcy: Exoplanet Orbit Database at exoplanets.org: 362 exoplanètes au 12-04-10.

Ajustement de la constante de couplage gravitationnelle: w0 = 149.3 km/s

Proba 2 x 10-6

(tenant compte de l’ajustement)

Repliage:

Spectre de puissance: 331 exoplanètes entre 0.6 et 8.6 -> pic prévu en k=8. Observé avec puissance p=12 Proba: e-p = 6 x 10-6

- 0.4 - 0.2 0 0.2 0.4Deviation from expected peak

20

40

60

80

100

120

rebmuN

60

Systèmes extra-solaires:!PSR B1257+12"

25 2624 66 67 98 9997

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000 110Period (days)

days days days

1 2 3 4 5 6 7 8

A B C

Refs: Nottale 96, 98, Da Rocha & Nottale 03

Données: Wolszczan 94, 00

Mpsr =1.4 ± 0.1 Msol --> w = (2.96 ± 0.07) x 144 km/s, i.e. 432 km/s = vitesse keplerienne en Rsol

Proba < 10-5 d’obtenir un tel accord par hasard

Prédiction d’autres orbites: P1=0.322 j, P2=1.958 j, P3=5.96 j

Résidus données Wolszczan 00: P = 2.2 j (2.7 σ)

61

Comparaison au système solaire interne"

m V T M

Distance à l’étoile, normalisée par sa masse (MPSR=1.5 Msol). Loi en n^2

62

Planètes autour du pulsar PSR1257+12"

A B C

Base: planète C : aC= 68, nC=8

Planète A: (aA)pred =27.5 <--> (aA)obs =27.503 ± 0.002

(nA)pred =5 <--> (nA)obs =5.00028 ± 0.00020

Planète B, prise en compte quasi-résonance B-C:

(aB)pred =52.474 <--> (aB)obs =52.4563 ± 0.0001

(nB)pred =7 <--> (nB)obs = 7.000– 0.0015 ± 0.00001

δnA/nA= 5 x 10-5 Amélioration d’un facteur 12 (/ 1996)

δnB/nB= 2 x 10-4 Amélioration d’un facteur 2

1 2 3 4 5 6 7 8

63

PSR 1257+12 : Prédiction excentricité"Runge-Lenz --> prédiction théorique e=k/n Mais on a vu que eB et eC varient beaucoup. Par contre, intégrale première eB

2 + K eC2 ?

Transition disque de planétésimaux --> planètes: Contraction : n --> f n (raccordement orbitales): se séparent pour f=6

(1/6)2 [ (1/7)2 + K (1/8)2 ] = 0.001017

(eB2 + K eC

2)obs = 0.001005(18)

A moins de 1 σ --> Nouvelle prédiction :

Kpred = 1.099 ± 0.065 mC/mB = 0.965 ± 0.058 (obs. 0.91 ± 0.10) (obs. 1.03 ± 0.10)

64

Etoiles:!nébuleuses « planétaires »"

Harmoniques sphériques: distribution angulaire de densité de probabilité

65

Etoiles:!nébuleuses planétaires"

Morphologies prévues: angles de probabilité maximale

66

Etoiles:!nébuleuses planétaires"

Da Rocha 2000, Da Rocha & Nottale 2003

67

Etoiles:!éjection et accrétion"

SN 1987A, angle déprojeté : 41.2 ± 1.0 d° angle prédit (l=4, m=2): 40.89 d°

68

Structures galactiques!systèmes d’étoiles, formation"

n=0 n=1

n=2 n=2(2,0,0) (1,1,0)

69

Structures galactiques :!étoiles doubles"

100 200 300 400 500 600 7000

20

40

60

80

100

120

140

v (km/s)

Num

ber

289.4 km/s

a/M = (289.4/V)2 Ajustement par polynôme de Laguerre (potentiel Keplerien)

<V>=289.4 ± 3.0= 2 x 144.7 km/s

Catalogue de binaires à éclipse de Brancewicz et Dvorak 80

Ref: Nottale & Schumacher 98, Da Rocha & Nottale 03

70

Structures galactiques :!mouvements propres près du centre

galactique"

72 144 216 288 360 432 504

Num

ber

5

10

15

20

Velocity (km/s)

Données: Eckart & Genzel 96. Ref.: Da Rocha & Nottale 03

71

Structures extra-galactiques:!courbes de rotation des spirales"

0 50 100 150 200 250 300 3500

20

40

60

80

100

120

Num

ber

Rotation Velocity (km/s)

144 km/s

967 spirales, catalogue de Persic & Salucci 95. Ref: Da Rocha & Nottale 03

Ajustement par polynôme d’Hermite (potentiel d’oscillateur, densité constante): Vitesse de pic = 142 ±2 km/s Preuve de la « matière » (énergie) manquante !

72

Structures extra-galactiques:!groupes, formation"

n=0 n=1

n=2 n=2(2,0,0) (1,1,0)

73

Structures extragalactiques:!paires de galaxies isolées"

0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

exp (-v / 100)r

Num

ber

144 km/s 72 km/s 24 km/sGalaxy pairs

Tricottet & Nottale 2001, Da Rocha & Nottale 2003 Da Rocha thèse

74

Méthodes statistiques de déprojection."* Application à la déprojection de vz, x et y :

Les Nv galaxies situées à vitesse v vont se répartir uniformément entre 0 et v –> la distribution projetée est monotone non-croissante et les valeurs de N sont données par les différences de surface:

v1 v2 v3 v4 0 N4

N2

N3

N1

–> la distribution de probabilité de v (déprojetée) est obtenue à partir de la dérivée de la distribution de probabilité de la vitesse projetée vz : Idem pour x et y

75

Reprise 2013: P. Chamaraux + LN"

Vterre=30 km/s

Vexopl=150 km/s

Vbin*=290 km/s

Vsoleil=437 km/s

Modèle de formation / RE : •  Equation de la dynamique + fractalité –> forme Schrödinger •  Principe d’équivalence –>p/m = v quantifié •  Solution : pics de proba pour vn = (2 π G M / P)1/3 = w0 / n

PAIRES DU CATALOGUE UGC (Nilson), Déprojetées -> universalité de structures dans l’espace des VITESSES !

76

Confirmation : déprojection des distances (paires de Nilson)"

Unité: r0 ≈ 5 kpc (niveau fondamental n = 1) Confirmation de structures prédite par RE: vn = w0 / n --> demi-grands axes : √an = √a0 n [3è loi de Kepler: v = (G M /a)1/2 ] Possible seulement si M1+M2=Mpaire ≈ cste (= 10^12 Msol)! --> compatible avec modèle de formation RE…

77

Structures extragalactiques:!amas de galaxies"

Radial velocity

N

5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500 90000

2

4

6

8

10

12Coma

A 2634

N

Radial velocity

A576

78

Structures extra-galactiques:!superamas local"

0 20 40 60 80 100

5

10

15

20

Pow

er

Frequency

Radial Velocity (km/s)

36 km/s

432 km/s

30405065100200

2

4

6

radial velocity difference (km/s)50 100 150

1

3

5

Num

ber

Analyse des données de Guthrie-Napier 96 : Da Rocha & Nottale 03