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Intégration

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Les savoir-faire

Le problème du chapitre

Intégrale d’une fonction continuesur un intervalle

Intégrale et primitive d’une fonctioncontinue

Calculs de primitives

Intégrale d’une fonction continue

Calcul d’aires

Intégration

Lycée Louise Michel (Gisors)

Intégration

Les savoir-faire

Calcul d’aires

Les savoir-faire

180. Calculer une intégrale à l’aide d’aires simples.

181. Montrer qu’une fonction est primitive d’une fonction donnée.

182. Déterminer les primitives d’une fonction donnée.

183. Calculer une intégrale à l’aide de primitives.

184. Déterminer une aire à l’aide du calcul intégral.

185. Encadrer une intégrale.

186. Calculer et utiliser la valeur moyenne d’une fonction.

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Les savoir-faire

Calcul d’aires

L’intro de Nabolos

Soit f la fonction carré définie sur l’intervalle[0 ; 1]. On note Cf sa courbe.1. Donner un encadrement grossier de l’aire A

hachurée.2. On subdivise l’intervalle [0 ; 1] en 5 inter-valles de même amplitude ∆x = 0, 2.

OSur chacun des intervalles [xk ; xk+1]avec 0 6 k < 5, on détermine la valeurminimale et maximale de la fonctioncarrée.Compléter le tableau ci-dessous et dé-terminer l’aire A1 somme des aires desrectangles hachurés et A2 somme desaires des rectangles bleus. En déduire unencadrement de A .

xk 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1f (xk )

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Calcul d’aires

L’intro de Nabolos

3. On subdivise l’intervalle [0 ; 1] en n intervalles. On obtient deuxséries de rectangles et on définit deux suites :La suite (Sn) des rectangles hachurés et la suite (Tn) des rectanglesbleus.

Montrer que Sn =1

6n2et Tn =

En déduire la valeur de A .

On rappelle que

n∑k=1

n(n + 1)(2n + 1)

...... ......k

Suite Sn

Suite Tn

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Les savoir-faire

Calcul d’aires

Unité d’aire

Définition

Soit (O ; I ; J) un repère orthogo-nal du plan et K le point de coor-données (1; 1).L’aire du rectangle OIKJ définitl’unité d’aire (noté u.a).Ainsi AOIKJ = 1 u.a. I

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Les savoir-faire

Calcul d’aires

Définition

Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b].On appelle intégrale de a à b de f , l’aire A (D) (en u.a)de la partie D du plan limitée par la courbe Cf , l’axe desabscisses et les droites d’équations x = a et x = b.

Ainsi :

f (x) dx = A (D) en u.a

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Les savoir-faire

Calcul d’aires

Définition

Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b].On appelle intégrale de a à b de f , l’aire A (D) (en u.a)de la partie D du plan limitée par la courbe Cf , l’axe desabscisses et les droites d’équations x = a et x = b.

Ainsi :

f (x) dx = A (D) en u.a

Exemple

Calculer :

2x + 3 dx Vidéo

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Les savoir-faire

Calcul d’aires

Relation de Chasles

Propriété

Additivité des aires (relation de Chasles) :Pour tous a, b et c tels que b ∈ [a ; c] :

f (x) dx =

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Les savoir-faire

Calcul d’aires

Relation de Chasles

Propriété

Additivité des aires (relation de Chasles) :Pour tous a, b et c tels que b ∈ [a ; c] :

f (x) dx =

f (x) dx +

f (x) dx

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Les savoir-faire

Calcul d’aires

Conservation de l’ordre

Propriété

On considère deux fonctions f et g définies et continues etpositives sur un intervalle [a ; b].Si pour tout nombre réel x ∈ [a ; b], on a f (x) 6 g(x),alors :

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Les savoir-faire

Calcul d’aires

Conservation de l’ordre

Propriété

On considère deux fonctions f et g définies et continues etpositives sur un intervalle [a ; b].Si pour tout nombre réel x ∈ [a ; b], on a f (x) 6 g(x),alors : ∫ b

f (x) dx 6

g(x) dx

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Les savoir-faire

Calcul d’aires

Lien entre intégrale et dérivée

Théorème

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalleI = [a ; b]. La fonction F définie sur I par :

F (x) =

f (t) dt est dérivable sur I et a pour dérivée f .

a bxF (x)

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Calcul d’aires

Lien entre intégrale et dérivée

Théorème

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalleI = [a ; b]. La fonction F définie sur I par :

F (x) =

f (t) dt est dérivable sur I et a pour dérivée f .

a bxF (x)

Exemple

Soit F la fonction définie sur [0 ; 10] par F (x) =

2dt. Etudier la

fonction F puis tracer sa courbe représentative. Vidéo

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Les savoir-faire

Calcul d’aires

Primitives d’une fonction f

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b].On appelle primitive de f sur [a ; b] toute fonction F déri-vable sur [a ; b] telle que pour tout réel x ∈ [a ; b] :

F ′(x) = f (x)

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Calcul d’aires

Théorème

F ′(x) = f (x)

Théorème

Toute fonction f continue sur un intervalle I admet des pri-mitives sur I.

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Les savoir-faire

Calcul d’aires

Théorème

F ′(x) = f (x)

Théorème

Toute fonction f continue sur un intervalle I admet des pri-mitives sur I.

Théorème

Soit f une fonction continue et sur un intervalle I et F uneprimitive de f sur I.f admet une infinité de primitives Fk sur I de la forme :

Fk : x 7−→ F (x) + k avec k ∈ R

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Les savoir-faire

Calcul d’aires

Tableau de primitives (1)

f (x) = F(x) = I =

m (constante) R

(n ∈ Z∗r {−1})

Si n 6 −2,

] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.

] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[

x]0 ; +∞[

Exemples

Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .

a. f (x) = 5x4 b. f (x) = 5x − 3 c. f (x) = x3− 2x Vidéo

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Les savoir-faire

Calcul d’aires

f (x) = F(x) = I =

m (constante) mx + k R

(n ∈ Z∗r {−1})

Si n 6 −2,

] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.

] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[

x]0 ; +∞[

Exemples

Intégration

Les savoir-faire

Calcul d’aires

f (x) = F(x) = I =

2x2 + k R

(n ∈ Z∗r {−1})

Si n 6 −2,

] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.

] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[

x]0 ; +∞[

Exemples

Intégration

Les savoir-faire

Calcul d’aires

f (x) = F(x) = I =

2x2 + k R

(n ∈ Z∗r {−1})

n + 1+ k

Si n 6 −2,

] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.

] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[

x]0 ; +∞[

Exemples

Intégration

Les savoir-faire

Calcul d’aires

f (x) = F(x) = I =

2x2 + k R

(n ∈ Z∗r {−1})

n + 1+ k

Si n 6 −2,

] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.

x2− 1

] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[

x]0 ; +∞[

Exemples

Intégration

Les savoir-faire

Calcul d’aires

f (x) = F(x) = I =

2x2 + k R

(n ∈ Z∗r {−1})

n + 1+ k

Si n 6 −2,

] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.

x2− 1

] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[

√x + k ]0 ; +∞[

Exemples

Intégration

Les savoir-faire

Calcul d’aires

cos(x) R

sin(x) R

x]0 ; +∞[

Exemples

a. f (x) = −

xb. f (x) =

x2c. f (x) = 4ex Vidéo

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Les savoir-faire

Calcul d’aires

cos(x) sin(x) + k R

sin(x) R

x]0 ; +∞[

Exemples

a. f (x) = −

xb. f (x) =

Intégration

Les savoir-faire

Calcul d’aires

cos(x) sin(x) + k R

sin(x) − cos(x) + k R

x]0 ; +∞[

Exemples

a. f (x) = −

xb. f (x) =

Intégration

Les savoir-faire

Calcul d’aires

cos(x) sin(x) + k R

ex + k R

x]0 ; +∞[

Exemples

a. f (x) = −

xb. f (x) =

Intégration

Les savoir-faire

Calcul d’aires

cos(x) sin(x) + k R

ex + k R

xln(x) + k ]0 ; +∞[

Exemples

a. f (x) = −

xb. f (x) =

Intégration

Les savoir-faire

Calcul d’aires

Fonctions composées

u est une fonction dérivable sur un intervalle I.

f (x) = F(x) = Conditions

u′ un avecn ∈ Z

∗r {−1}

Si n 6 −2,u(x) 6= 0.

uu(x) > 0 sur I

u2u(x) 6= 0 sur I

u Aucune

uu(x) > 0 sur I

Exemples

a. f (x) = xex2

b. f (x) = e4x+1 Vidéo

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Les savoir-faire

Calcul d’aires

u′ un avecn ∈ Z

∗r {−1}

n + 1+ k

Si n 6 −2,u(x) 6= 0.

uu(x) > 0 sur I

u2u(x) 6= 0 sur I

u Aucune

uu(x) > 0 sur I

Exemples

a. f (x) = xex2

Intégration

Les savoir-faire

Calcul d’aires

u′ un avecn ∈ Z

∗r {−1}

n + 1+ k

Si n 6 −2,u(x) 6= 0.

√u + k u(x) > 0 sur I

u2u(x) 6= 0 sur I

u Aucune

uu(x) > 0 sur I

Exemples

a. f (x) = xex2

Intégration

Les savoir-faire

Calcul d’aires

u′ un avecn ∈ Z

∗r {−1}

n + 1+ k

Si n 6 −2,u(x) 6= 0.

√u + k u(x) > 0 sur I

u2− 1

uu(x) 6= 0 sur I

u Aucune

uu(x) > 0 sur I

Exemples

a. f (x) = xex2

Intégration

Les savoir-faire

Calcul d’aires

u′ un avecn ∈ Z

∗r {−1}

n + 1+ k

Si n 6 −2,u(x) 6= 0.

√u + k u(x) > 0 sur I

u2− 1

uu(x) 6= 0 sur I

u + k Aucune

uu(x) > 0 sur I

Exemples

a. f (x) = xex2

Intégration

Les savoir-faire

Calcul d’aires

u′ un avecn ∈ Z

∗r {−1}

n + 1+ k

Si n 6 −2,u(x) 6= 0.

√u + k u(x) > 0 sur I

u2− 1

uu(x) 6= 0 sur I

u + k Aucune

uln(u) + k u(x) > 0 sur I

Exemples

a. f (x) = xex2

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Calcul d’aires

Propriété

Primitive sous condition initiale

Soit f une fonction continue et définie sur un intervalle I.Pour tout réel x0 de I et tout y0 ∈ R, il existe une uniqueprimitive G de f vérifiant la condition initiale :

G(x0) = y0

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Calcul d’aires

Propriété

Primitive sous condition initiale

Soit f une fonction continue et définie sur un intervalle I.Pour tout réel x0 de I et tout y0 ∈ R, il existe une uniqueprimitive G de f vérifiant la condition initiale :

G(x0) = y0

Exemples

Soit la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par : f (x) = 2ex +

x− 5x .

Déterminer la primitive de f qui prend la valeur 2e en 1. Vidéo

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Calcul d’aires

Propriété

Théorème

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle[a ; b] et F une primitive de f sur [a ; b]. Alors :

f (x) dx = F (b) − F (a)

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Calcul d’aires

Intégrales et primitives

Définition

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F uneprimitive de f sur I. Pour tous réels a et b de I, on définitl’intégrale de a à b de la fonction f par :

f (x) dx = F (b) − F (a)

Remarques :• Une intégrale n’est pas forcément positive : elle ne corres-pond plus à l’aire d’un domaine.

• Lorsque f est une fonction continue et positive sur un inter-

valle [a ; b], le nombre∫ b

af (x) dx est positif et correspond à

l’aire du domaine délimité par sa courbe représentative, l’axedes abscisses et les droites d’équations x = a et x = b.• Une intégrale ne dépend pas de la primitive choisie pourla calculer.

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Calcul d’aires

Propriétés

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle et a, b

et c trois réels de I.

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Calcul d’aires

Propriétés

et c trois réels de I.∫ a

f (x) dx =

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Calcul d’aires

Propriétés

f (x) dx = −∫ b

f (x) dx

Relation de Chasles :∫ c

f (x) dx =

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Calcul d’aires

Propriétés

f (x) dx = −∫ b

f (x) dx

f (x) dx =

f (x) dx +

f (x) dx

Linéarité :∫ b

(f (x) + g(x)) dx =

Pour tout λ ∈ R :

λf (x) dx =

Intégration

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Calcul d’aires

Propriétés

f (x) dx = −∫ b

f (x) dx

f (x) dx =

f (x) dx +

f (x) dx

Linéarité :∫ b

(f (x) + g(x)) dx =

f (x) dx +

g(x) dx

λf (x) dx =

Intégration

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Calcul d’aires

Propriétés

f (x) dx = −∫ b

f (x) dx

f (x) dx =

f (x) dx +

f (x) dx

Linéarité :∫ b

(f (x) + g(x)) dx =

f (x) dx +

g(x) dx

λf (x) dx = λ

f (x) dx

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Calcul d’aires

Propriétés

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b].

ATTENTION ! La réciproque de chacun de ces trois pointsest fausse !

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Calcul d’aires

Propriétés

Si f est positive sur [a ; b], alors

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Calcul d’aires

Propriétés

f (x) dx > 0.

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Calcul d’aires

Propriétés

f (x) dx > 0.

Si f est négative sur [a ; b], alors

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Calcul d’aires

Propriétés

f (x) dx > 0.

f (x) dx 6 0.

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Calcul d’aires

Propriétés

f (x) dx > 0.

f (x) dx 6 0.

Si f 6 g sur [a ; b], alors

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Calcul d’aires

Propriétés

f (x) dx > 0.

f (x) dx 6 0.

Si f 6 g sur [a ; b], alors

f (x) dx 6

g(x) dx .

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Les savoir-faire

Calcul d’aires

Exemples

1. Calculer

x2dx Vidéo

2. Calculer

(3x2 + 4x − 5)dx Vidéo

3. Calculer

ex + 3dx Vidéo

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Calcul d’aires

Avec une fonction négative

Propriété

Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle[a ; b]. L’aire A (D) (en u.a) du domaine D du plan délimitépar la courbe Cf , l’axe des abscisses et les droites d’équationsx = a et x = b est égale à :

A (D) =

−f (x) dx = −∫ b

f (x) dx en u.a

y = −f (x)

Cf : y = f (x)

1 u.a1 u.a

A (D) =∫ b

a−f (x) dx

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Calcul d’aires

Aire entre deux courbes

Propriété

Soit f et g deux fonctions continues sur [a ; b] telles quef > g sur [a ; b].L’aire (en unités d’aire) du domaine compris entre lescourbes Cf et Cg et les droites d’équations x = a et x = b

est égale à

A (D) =

1 u.a1 u.a

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Calcul d’aires

Aire entre deux courbes

Propriété

Soit f et g deux fonctions continues sur [a ; b] telles quef > g sur [a ; b].L’aire (en unités d’aire) du domaine compris entre lescourbes Cf et Cg et les droites d’équations x = a et x = b

est égale à

A (D) =

(f (x) − g(x)) dx

1 u.a1 u.a

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Calcul d’aires

Valeur moyenne

Définition

On considère une fonction f définie et continue sur un inter-valle [a ; b]. On appelle valeur moyenne de f entre a et b lenombre µ tel que :

b − a

f (x) dx

Remarque : Dans le cas où f est strictement positive sur[a ; b], la valeur moyenne de f correspond à la hauteur durectangle de largeur (b−a) ayant la même aire que le domainesous la courbe Cf .

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Calcul d’aires

Exemples

On considère les fonctions f et g définies par :f (x) = x2 + 1 et g(x) = −x2 + 2x + 5. Déterminer

l’aire délimitée par les courbes de f et g sur [−1 ; 2]. Vidéo

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Les savoir-faire

Calcul d’aires

Exemples

On considère les fonctions f et g définies par :f (x) = x2 + 1 et g(x) = −x2 + 2x + 5. Déterminer

l’aire délimitée par les courbes de f et g sur [−1 ; 2]. Vidéo

Valeur moyenne

On modélise à l’aide d’une fonction le nombre de malades lorsd’une épidémie. Au x -ième jour, le nombre de malades est égal à :f (x) = 16x2

− x3.Déterminer le nombre moyen de malades sur la période 16 jours. Donner

une interprétation graphique du résultat. Vidéo

0 2 4 6 8 10 12 14 16Jours

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