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Recherche locale et contrôle de dégradation* H. Mabed, I. Devarenne, A. Caminada

Laboratoire SET, Université de Technologie Belfort-Montbéliard, 90010 Belfort {hakim.mabed, isabelle.devarenne, alexandre.caminada}@utbm.fr

Mots-clefs : contrôle de la dégradation, recherche locale, affectation de fréquences

1 Présentation de l’étude Ce travail présente plusieurs mécanismes de contrôle de dégradation de la qualité des solutions dans

un contexte d’optimisation combinatoire avec des pénalités très fortes sur la violation de contraintes. Le problème d’optimisation que nous avons traité est de la famille de la T-coloration avec ensembles [1]. Il s’agit d’affecter des fréquences à des réseaux tactiques de communications numériques. Le problème d’affectation de fréquences consiste à associer des sous-bandes de fréquences à un ensemble de réseaux de manière à maximiser la réutilisation du spectre en satisfaisant des contraintes de qualité radio [2]. La fonction de coût de l’optimisation est une fonction agrégeant un objectif principal facilement calculable, et plusieurs pénalités sur les contraintes insatisfaites. L’évaluation des contraintes est réalisée grâce au résultat d’un simulateur et ne permet pas de définir une expression analytique de réparation d’une solution, à moins de revenir à la solution antérieure. Une difficulté particulière de ce problème est liée à cette fonction de coût et à l’évaluation des contraintes. Les contraintes radio sont des inéquations qui comparent des valeurs calculées à des seuils ; si une solution ne respecte pas l’inéquation, le poids de la pénalité est très grand par rapport aux autres composantes, et donc dégrade très fortement la fonction de coût, sans technique simple de réparation.

Nous avons proposé pour la résolution de ce problème un algorithme de recherche locale basé sur l’hybridation d’un mécanisme de détection de boucles et de liste tabou [3]. L’un des aspects fondamentaux étudié dans le cadre de ce travail a été le mécanisme de contrôle de la dégradation. En effet, celles-ci sont nécessaires pour sortir des optima locaux, mais les pénalités sur les contraintes de qualité radio font qu’un unique mouvement de la solution peut causer une dégradation énorme de sa qualité sans garantie de retour vers une solution faisable. Dans cette optique, plusieurs techniques de contrôle de dégradation ont été proposées et comparées. Ces techniques sont mentionnées ci-dessous, elles font l’objet de la présentation.

2 Contrôle du nombre de dégradations Dans la première stratégie, on accepte un certain nombre de solutions dégradées en pourcentage du

nombre de solutions examinées. L'étude réalisée sur ce type de mécanismes a montré sa limitation face à des fonctions de coût très perturbées. En effet, quelle que soit l'amplitude de la dégradation, la probabilité d'accepter une dégradation reste identique, conduisant parfois à des solutions très mauvaises par rapport à la solution initiale. Dans notre cas, le retour à des solutions faisables peut nécessiter l’examen d’un nombre considérable de voisines, au-delà du temps de calcul imparti pour la recherche. D'où la nécessité d'un mécanisme de contrôle de la dégradation qui tient en compte l'amplitude de celle-ci.

3 Contrôle du nombre et de l'amplitude des dégradations Plusieurs possibilités de contrôle de l'amplitude de la dégradation ont été testées, à commencer par

une valeur maximale de dégradation tolérée. Une probabilité constante d'acceptation est associée à tout mouvement causant une dégradation inférieure au seuil, et un mouvement dont la dégradation occasionnée dépasse le seuil est immédiatement rejeté. D'autres méthodes basées, sur la variation du seuil de dégradation au cours de la recherche ont été testées. Trois fonctions de variation ont été retenues : une fonction linéaire, une fonction racine et une fonction cubique.

2

0

30

30

( %) (1 %)

( %) 1 %

( %) 1 %

C t C t

C t C t

C t C t

(1)

Où t% représente le pourcentage de temps écoulé de la recherche par rapport au temps maximal donné par l’utilisateur, C0 est une valeur initiale, et C(t%) le seuil de dégradation.

Que ce soit un seuil de dégradation constant ou variable, la probabilité d'acceptation d'une dégradation reste indépendante de l'amplitude de celle-ci. Autrement dit, pour tout niveau de dégradation inférieur à la valeur seuil, une dégradation élevée de la qualité de la solution courante a autant de chance d'être acceptée qu'une dégradation très faible. Nous avons donc proposé des mécanismes de contrôle de la dégradation où la probabilité d'acceptation est directement calculée à partir de l'amplitude de la dégradation. Ici aussi, différentes fonctions ont été proposées telles une fonction linéaire et une fonction exponentielle façon « recuit simulé ».

( / )

( ) max(0, ) avec et >0( ) avec et >0

A b

p A a A b a bp A a e a b

(2)

Où p(A) exprime la probabilité d'accepter une dégradation d'amplitude A.

4 Exploration partielle du voisinage Dans les méthodes citées précédemment, l'acceptation ou le rejet d'un mouvement ne sont aucunement dépendants des mouvements précédemment testés. D'un autre côté, une solution rejetée n'est pas mémorisée pour être ré-examinée à la lumière des itérations futures. Dans les techniques basées sur une exploration partielle du voisinage, un sous-ensemble des solutions voisines de la solution courante peut être examiné avant d'en accepter une. L'exploration complète du voisinage étant impossible de par la taille des instances proposées, différentes explorations partielles du voisinage ont été conçues :

- La première méthode consiste à choisir le meilleur voisin parmi n voisins visités. L'analyse de ce type d'approche montre que le comportement de l'algorithme se rapproche de celui d'une descente.

- La deuxième approche choisit aléatoirement un voisin parmi ceux visités en écartant une partie des pires solutions.

Les deux méthodes sont très sensibles au paramètre du nombre de voisins à visiter. Un examen insuffisant du voisinage immédiat entraîne trop peu de choix alors qu'un voisinage trop grand entraîne une recherche systématique de descente autour du point courant alors qu'une alternance de descente et de dégradation est nécessaire.

Références [1] R. Dorne, J.K. Hao, Tabu search for graph coloring, T-colorings and Set T-colorings, Metaheuristics: Theory and Applications, I.H. Osman et al. (Eds.), Kluwer Academic Publishers, 1998, pp. 33-47. [2] T. Defaix, Slow Frequency Hopping – Frequency Planning, ROADEF 2006, Lille. [3] I. Devarenne, A. Caminada, H. Mabed (2005), Analysis of Adaptive Local Search for the Graph Coloring Problem, 6th Metaheuristics International Conference – MIC 2005, Vienne, pp 272-277. * Travail réalisé en partenariat avec la société SILICOM Région Ouest