factorisation dune différence de carrés.. une différence de carrés est le produit de facteurs...

Factorisation d’une différence de carrés.

Factorisation d’une différence de carrés.

Une différence de carrés est le produit de facteurs conjugués.

(x - 5) (x + 5)

Facteurs conjugués

Exemple : sont appelés facteurs conjugués.

Ils sont composés des mêmes termes :

Les binômes

- dans un des binômes, les termes sont unis par le signe de soustraction;

- dans l’autre binôme, les termes sont unis par le signe d’addition.

Ces caractéristiques créent un polynôme particulier.

x2 + 5x - 5x - 25

Ces caractéristiques créent un polynôme particulier.

Effectuons le produit de ces deux facteurs conjugués.

(x - 5) (x + 5)

x (x + 5) – 5 (x + 5)

x2 + 0x - 25

x2 - 25

Les deux termes du milieu s’annulent.

Le premier terme est un carré. Le dernier terme est un carré.

Les deux termes sont unis par le signe de soustraction.

C’est ce qu’on appelle une différence de carrés.

Tous les facteurs conjugués produisent une différence de carrés.

x2 + 4x - 4x - 16

(x - 4) (x + 4)

x (x + 4) - 4 (x + 4)

x2 + 0x - 16

x2 - 16

x2 + 7x - 7x - 49

(x - 7) (x + 7)

x (x + 7) - 7 (x + 7)

x2 + 0x - 49

x2 - 49

4x2 + 6x - 6x - 9

(2x - 3) (2x + 3)

2x (2x + 3) - 3 (2x + 3)

4x2 + 0x - 9

4x2 - 9

Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés.

x2 - 64 Oui.

Ce terme est un carré.Soustraction.

Ce terme est un carré.

x2 - 169

Oui.

Ce terme est un carré.Soustraction.

Ce terme est un carré.

x2 + 121 Non.

Ce terme est un carré.Addition.

Ce terme est un carré.

4x2 - 4 Oui.

Ce terme est un carré.Soustraction.

Ce terme est un carré.

Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés.

x - 64 Non.

Ce terme n’est pas un carré.Soustraction.

Ce terme est un carré.

x2 - 11 Non.

Ce terme est un carré. Ce terme n’est pas un carré.

Soustraction.

Remarque : Le nombre 1 est un nombre particulier en mathématiques.

Il est un carré : 12 = 1.

Il est aussi un cube : 13 = 1.

Il est aussi …

x2 - 1 Oui.

Ce terme est un carré.Soustraction.

Ce terme est un carré.

Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés.

x3 - 64x Non, mais elle en contient un.

Ce terme est un carré.

Soustraction.

Ce terme est un carré.

x (x2 - 64)

La simple mise en évidence est la première étape d’une factorisation lorsqu’un même facteur se retrouve dans tous les termes d’un polynôme.

2x2 - 72 Non, mais elle en contient un.

Ce terme est un carré.

Soustraction.

Ce terme est un carré.

2 (x2 - 36)

(x + 3)2 - 64 Oui.

Ce terme est un carré.Soustraction.

Ce terme est un carré.

Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés.

le binôme (x + 3) est affecté de l’exposant 2, il est donc un carré.Remarque :

(x - 2)2 - 16 Oui.

Ce terme est un carré.Soustraction.

Ce terme est un carré.

Factoriser une différence de carrés

Avant de factoriser un polynôme par la technique de la différence de deux carrés, il faut analyser l’expression à partir de ces critères :

- les deux termes sont des carrés;

- les deux termes sont unis par le signe de soustraction.

x2 - 64 Oui.

Ce terme est un carré.Soustraction.

Ce terme est un carré.

On extrait alors la racine carrée de chaque terme;

x2 - 64

x 8

en se souvenant qu’une différence de carrés provient de

donc (x – 8) (x + 8)

facteurs conjugués,

Factorise les différences de carrés suivantes.

x2 - 169 =

4x2 - 4

x2 - 121 =

x2 - 1 =

x3 - 64x =

2x2 - 72 =

(x – 13) (x + 13)

(x – 11) (x + 11)

(x – 1) (x + 1)

x (x2 – 64) =

2 (x2 – 36) = 2 (x – 6) (x + 6)

x (x – 8) (x + 8)

Soit 4x2 - 4 = (2x – 2) (2x + 2)

2 (x – 1) 2 (x + 1)

4 (x – 1) (x + 1)

Soit 4x2 - 4 =

4 (x – 1) (x + 1)

4 (x2 – 1)

Remarque : Il est habituellement préférable de factoriser au maximum une expression algébrique.

Il existe plusieurs techniques de factorisation de trinômes,

la technique de complétion du carré.

C’est une technique comportant quelques étapes;

La présentation «  La technique de la complétion du carré.ppt » explique cette technique.

Pour l’instant, voyons comment factoriser cette étape.

une d’elles s’appelle

factoriser l’expression finale par une différence de carré.la dernière étape consiste à

(x + 3)2 - 64

Soit factoriser(x + 3)2 - 64

Ce terme est un carré.Soustraction.

Ce terme est un carré.

On extrait alors la racine carrée de chaque terme;

8

en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués,

(x + 3)

donc (x + 3)

- 8 (x + 3)

+ 8

En complétant les calculs : ( x + 3 - 8 ) ( x + 3 + 8 )

(x - 5) (x + 11)

Preuve de l’équivalence

(x + 3)2 - 64

Développons les deux expressions :

( (x + 3) (x + 3) ) - 64

( x (x + 3) + 3 (x + 3) ) - 64

( x2 + 3x + 3x + 9 ) - 64

(x2 + 6x + 9) - 64

x2 + 6x + 9 - 64

x2 + 6x - 55

(x - 5) (x + 11)

x (x + 11) - 5 (x + 11)

x2 + 11x - 5x - 55

x2 + 6x - 55

(x - 2)2 - 16

Ce terme est un carré.Soustraction.

Ce terme est un carré.

Soit factoriser

(x - 2)2 - 16

On extrait alors la racine carrée de chaque terme;

4

en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués,

(x - 2)

donc (x - 2) - 4 (x - 2) + 4

En complétant les calculs ( x - 2 - 4 ) ( x - 2 + 4 )

(x - 6) (x + 2)