deux méthodes incrémentales pour le maintien dun arbre de connexion nicolas thibault christian...

Deux méthodes incrémentales pour le maintien d’un arbre de connexion

Nicolas Thibault Christian Laforest nthibaul@lami.univ-evry.fr laforest@lami.univ-evry.fr

LaMI, équipe OPAL, Université d’Evry

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

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INTRODUCTION : Les contraintes structurelles

• Contrainte Arbre :La structure couvrante doit être un arbre à chaque étape.• Facilité du routage.

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INTRODUCTION : Les contraintes structurelles

• Contrainte Arbre :La structure couvrante doit être un arbre à chaque étape.• Facilité du routage.

• Contrainte Emboîtement :Les arbres successifs doivent être imbriqués les uns dansles autres.• Ne pas perturber les communications en cours.• Ne pas reconstruire l’arbre.

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INTRODUCTION : Qualité de services

• Contraintes de qualité de services :

• Minimiser le temps de transmission moyen entre membres dans l’arbre.• Minimiser le temps de transmission maximum entre membres dans l’arbre.

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INTRODUCTION : Qualité de services

• Contraintes de qualité de services :

• Minimiser le temps de transmission moyen entre membres dans l’arbre.• Minimiser le temps de transmission maximum entre membres dans l’arbre.

• Contraintes d’encombrement du réseau :

Minimiser le poids de l’arbre.

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PLAN

• Définitions et notations

• Limites de toute approche online

• Deux algorithmes : sommet-ajout et plus-proche-ajout.

• Synthèse et perspectives

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DEFINITIONS ET NOTATIONS : Modélisation

• G = (V, E,w) un graphe tel que :

• V représente les machines du réseau.• E représente les liens entres machines.• w (e) représente le coût associé à l’arête e appartenant à E

• dG (u,v) : La distance entre u et v dans G.

5 7

4

6

1 1

2 2

v

u

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DEFINITIONS ET NOTATIONS : Incrémentalité

• Notations :

• i le nombre de sommets ajoutés.

• M0 M1 … Mi … les i groupes successifs ( i = | Mi | ).

• Ti l’arbre couvrant Mi construit à la ième étape.

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DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser

• La somme des distances entre tout couple de membres de M dans G :

CG ( M ) = Σ dG ( u,v )

u,v M

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DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser

• La somme des distances entre tout couple de membres de M dans G :

• Le diamètre de M dans G :

CG ( M ) = Σ dG ( u,v )

u,v M

DG ( M ) = max {dG (u,v) : u,v M }

ALGOTEL 2004

DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser

• La somme des distances entre tout couple de membres de M dans G :

• Le diamètre de M dans G :

CG ( M ) = Σ dG ( u,v )

u,v M

DG ( M ) = max {dG (u,v) : u,v M }

• Le poids de l’arbre T = ( VT , ET ,w ) couvrant M :

W ( T ) = Σ w (e)

e ET

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DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser

• Un algorithme a un rapport de compétitivité cs pour la somme des distances ssi :

i, CTi ( Mi ) cs .CG ( Mi )

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DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser

• Un algorithme a un rapport de compétitivité cs pour la somme des distances ssi :

• Un algorithme a un rapport de compétitivité cd pour le diamètre ssi :

i, CTi ( Mi ) cs .CG ( Mi )

i, DTi ( Mi ) cd .DG ( Mi )

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DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser

• Un algorithme a un rapport de compétitivité cs pour la somme des distances ssi :

• Un algorithme a un rapport de compétitivité cd pour le diamètre ssi :

• Soit T*( Mi ) un arbre couvrant Mi de poids minimum. Un algorithme a un rapport de compétitivité cw pour le poids ssi :

i, CTi ( Mi ) cs .CG ( Mi )

i, DTi ( Mi ) cd .DG ( Mi )

i, W ( Ti ) cw .W ( T* ( Mi ))

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BORNES INFERIEURES

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• Pour le poids, tout algorithme est au moins :

Ω(log i)-compétitif

[M. Imase et B. Waxman, 1991]

BORNES INFERIEURES

ALGOTEL 2004

• Pour le poids, tout algorithme est au moins :

Ω(log i)-compétitif

[M. Imase et B. Waxman, 1991]

• Pour le diamètre, tout algorithme est au moins :

2-compétitif

BORNES INFERIEURES

ALGOTEL 2004

• Pour le poids, tout algorithme est au moins :

Ω(log i)-compétitif

[M. Imase et B. Waxman, 1991]

• Pour le diamètre, tout algorithme est au moins :

2-compétitif

• Pour la somme des distances, tout algorithme est au moins :

Ω(i)-compétitif

BORNES INFERIEURES

La preuve utilise un adversaire adaptatif, qui choisit le nouveau membre

à insérer en fonction de la réponse de l’algorithme à l’étape précédente.

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nn

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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n

n

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

| M | = 2n + log2 (n)

CT (M ) : n3

CG (M ) : n2

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DEUX ALGORITHMES :sommet-ajout et plus-proche-ajout

ALGOTEL 2004

DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

ALGOTEL 2004

DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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1 4

2

2

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1

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r r

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DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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1

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DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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1

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DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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1

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DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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ALGOTEL 2004

DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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1

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2

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1

r r

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SOMMET-AJOUT

Analyse de sommet-ajout

ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT

bornes inférieures (rappel)

• Pour la somme des distances :

Ω(i)-compétitif

• Pour le diamètre :

2-compétitif

• Pour le poids :

Ω(log i)-compétitif

ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

• Pour la somme des distances :

(i+1)-compétitif (optimal)

• Pour le diamètre :

2-compétitif (optimal)

• Pour le poids :

i-compétitif (non optimal)

bornes inférieures (rappel)

• Pour la somme des distances :

Ω(i)-compétitif

• Pour le diamètre :

2-compétitif

• Pour le poids :

Ω(log i)-compétitif

ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

ième sommet

ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

ième sommet

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout optimum

…

r

KKKK

…

r

KKKK

ième sommet

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout optimum

…

r

KKKK

…

r

KKKK

W (T ) = i.K W (T*) = i-1+K

ième sommet

ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT

sommet-ajout optimum

…

r

KKKK

…

r

KKKK

W (T ) = i.K W (T*) = i-1+K

Si K >> i :

W (T )

W (T*)

ième sommet

: i

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PLUS-PROCHE-AJOUT

Analyse de plus-proche-ajout

ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT

bornes inférieures (rappel)

• Pour la somme des distances :

Ω(i)-compétitif

• Pour le diamètre :

2-compétitif

• Pour le poids :

Ω(log i)-compétitif

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

• Pour la somme des distances :

2i-compétitif (optimal)

• Pour le diamètre :

i-compétitif (non optimal)

• Pour le poids :

log2(i+1) -compétitif (optimal)

[M. Imase et B. Waxman, 1991]

bornes inférieures (rappel)

• Pour la somme des distances :

Ω(i)-compétitif

• Pour le diamètre :

2-compétitif

• Pour le poids :

Ω(log i)-compétitif

ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

1-ε

1-ε

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1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

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1-ε

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1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

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1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

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1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

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1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

ième sommet

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout optimum

r

ième sommet

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

r

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout optimum

r

Si ε 0+, D (T ) : i D (T*) = 2

ième sommet

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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r

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout optimum

r

Si ε 0+, D (T ) : i D (T*) = 2

D (T )

D (T*)

ième sommet

: i

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

r

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

ALGOTEL 2004

SYNTHESE

ALGOTEL 2004

SYNTHESE : Les rapports de compétitivité

Bornes inférieures

Sommet-ajout Plus-proche-ajout

Somme des distances Ω(i) (i+1) 2i

Diamètre 2 2 i

Poids Ω(log i) i log2(i+1)

ALGOTEL 2004

AUTRES TRAVAUX

• Somment-ajout est un cas particulier de l’algorithme median-ajout :

• Prend en compte un groupe de départ statique.

• Permet d’obtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances lorsque le groupe de départ est suffisamment grand.

ALGOTEL 2004

AUTRES TRAVAUX

• Somment-ajout est un cas particulier de l’algorithme median-ajout :

• Prend en compte un groupe de départ statique.

• Permet d’obtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances lorsque le groupe de départ est suffisamment grand.

• Relâchement de la contrainte emboîtement afin d’améliorer les résultats :

• Permet d’obtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances avec ( log i ) reconstructions (résultat optimal).

ALGOTEL 2004

AUTRES TRAVAUX

• Somment-ajout est un cas particulier de l’algorithme median-ajout :

• Prend en compte un groupe de départ statique.

• Permet d’obtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances lorsque le groupe de départ est suffisamment grand.

• Relâchement de la contrainte emboîtement afin d’améliorer les résultats :

• Permet d’obtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances avec ( log i ) reconstructions (résultat optimal).

• Il y existe des situations dans lesquelles tout algorithme doit effectuer Ω(i) reconstructions pour maintenir un rapport de compétitivité constant pour le poids.

ALGOTEL 2004

PERSPECTIVES

• Avoir un algorithme qui soit optimal pour les trois critères (pour l’instant, toutes les tentatives avant dans cette direction ont échoué).

ALGOTEL 2004

PERSPECTIVES

• Avoir un algorithme qui soit optimal pour les trois critères (pour l’instant, toutes les tentatives avant dans cette direction ont échoué).

• Obtenir des résultats (si possible théoriques) autres que dans le pire cas, par exemple en réfléchissant sur une définition pertinente de rapport de compétitivité moyen.

ALGOTEL 2004

ALGOTEL 2004

QUESTIONS

Pourquoi se comparer aux distances dans le graphe?

• On montre que :

CG ( M ) CTopt

( M ) 2 CG ( M )

Que l’on se compare CG ( M ) ou à CTopt

( M ), tout algorithme est au

moins Ω(i)-compétitif (l’ordre de grandeur du résultat ne change pas).

• Se comparer à CG ( M ) rend l’analyse plus direct.

ALGOTEL 2004