Deux méthodes incrémentales pour le maintien d’un arbre de connexion

Nicolas Thibault Christian Laforest nthibaul@lami.univ-evry.fr laforest@lami.univ-evry.fr

LaMI, équipe OPAL, Université d’Evry

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

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INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

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INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

ALGOTEL 2004

INTRODUCTION

• Données :• Un réseau sous-jacent.• Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online).

• Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique).

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INTRODUCTION : Les contraintes structurelles

• Contrainte Arbre :La structure couvrante doit être un arbre à chaque étape.• Facilité du routage.

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INTRODUCTION : Les contraintes structurelles

• Contrainte Arbre :La structure couvrante doit être un arbre à chaque étape.• Facilité du routage.

• Contrainte Emboîtement :Les arbres successifs doivent être imbriqués les uns dansles autres.• Ne pas perturber les communications en cours.• Ne pas reconstruire l’arbre.

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INTRODUCTION : Qualité de services

• Contraintes de qualité de services :

• Minimiser le temps de transmission moyen entre membres dans l’arbre.• Minimiser le temps de transmission maximum entre membres dans l’arbre.

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INTRODUCTION : Qualité de services

• Contraintes de qualité de services :

• Minimiser le temps de transmission moyen entre membres dans l’arbre.• Minimiser le temps de transmission maximum entre membres dans l’arbre.

• Contraintes d’encombrement du réseau :

Minimiser le poids de l’arbre.

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PLAN

• Définitions et notations

• Limites de toute approche online

• Deux algorithmes : sommet-ajout et plus-proche-ajout.

• Synthèse et perspectives

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DEFINITIONS ET NOTATIONS : Modélisation

• G = (V, E,w) un graphe tel que :

• V représente les machines du réseau.• E représente les liens entres machines.• w (e) représente le coût associé à l’arête e appartenant à E

• dG (u,v) : La distance entre u et v dans G.

5 7

4

6

1 1

2 2

v

u

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DEFINITIONS ET NOTATIONS : Incrémentalité

• Notations :

• i le nombre de sommets ajoutés.

• M0 M1 … Mi … les i groupes successifs ( i = | Mi | ).

• Ti l’arbre couvrant Mi construit à la ième étape.

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DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser

• La somme des distances entre tout couple de membres de M dans G :

CG ( M ) = Σ dG ( u,v )

u,v M

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DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser

• La somme des distances entre tout couple de membres de M dans G :

• Le diamètre de M dans G :

CG ( M ) = Σ dG ( u,v )

u,v M

DG ( M ) = max {dG (u,v) : u,v M }

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DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser

• La somme des distances entre tout couple de membres de M dans G :

• Le diamètre de M dans G :

CG ( M ) = Σ dG ( u,v )

u,v M

DG ( M ) = max {dG (u,v) : u,v M }

• Le poids de l’arbre T = ( VT , ET ,w ) couvrant M :

W ( T ) = Σ w (e)

e ET

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DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser

• Un algorithme a un rapport de compétitivité cs pour la somme des distances ssi :

i, CTi ( Mi ) cs .CG ( Mi )

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DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser

• Un algorithme a un rapport de compétitivité cs pour la somme des distances ssi :

• Un algorithme a un rapport de compétitivité cd pour le diamètre ssi :

i, CTi ( Mi ) cs .CG ( Mi )

i, DTi ( Mi ) cd .DG ( Mi )

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DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser

• Un algorithme a un rapport de compétitivité cs pour la somme des distances ssi :

• Un algorithme a un rapport de compétitivité cd pour le diamètre ssi :

• Soit T*( Mi ) un arbre couvrant Mi de poids minimum. Un algorithme a un rapport de compétitivité cw pour le poids ssi :

i, CTi ( Mi ) cs .CG ( Mi )

i, DTi ( Mi ) cd .DG ( Mi )

i, W ( Ti ) cw .W ( T* ( Mi ))

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BORNES INFERIEURES

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• Pour le poids, tout algorithme est au moins :

Ω(log i)-compétitif

[M. Imase et B. Waxman, 1991]

BORNES INFERIEURES

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• Pour le poids, tout algorithme est au moins :

Ω(log i)-compétitif

[M. Imase et B. Waxman, 1991]

• Pour le diamètre, tout algorithme est au moins :

2-compétitif

BORNES INFERIEURES

ALGOTEL 2004

• Pour le poids, tout algorithme est au moins :

Ω(log i)-compétitif

[M. Imase et B. Waxman, 1991]

• Pour le diamètre, tout algorithme est au moins :

2-compétitif

• Pour la somme des distances, tout algorithme est au moins :

Ω(i)-compétitif

BORNES INFERIEURES

La preuve utilise un adversaire adaptatif, qui choisit le nouveau membre

à insérer en fonction de la réponse de l’algorithme à l’étape précédente.

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nn

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

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n

n

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances

| M | = 2n + log2 (n)

CT (M ) : n3

CG (M ) : n2

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DEUX ALGORITHMES :sommet-ajout et plus-proche-ajout

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DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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1 4

2

2

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1

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r r

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DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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1 4

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DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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1

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DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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1

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DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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r r

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DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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1

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1

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DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout

sommet-ajout

Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé.

plus-proche-ajout[M. Imase et B. Waxman, 1991]

Plus-proche-ajout branche chaque nouveausommet u par un plus court chemin entre uet le sommet le plus proche dans l’arbre.

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2

2

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1

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2

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1

r r

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SOMMET-AJOUT

Analyse de sommet-ajout

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SOMMET-AJOUT

bornes inférieures (rappel)

• Pour la somme des distances :

Ω(i)-compétitif

• Pour le diamètre :

2-compétitif

• Pour le poids :

Ω(log i)-compétitif

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

• Pour la somme des distances :

(i+1)-compétitif (optimal)

• Pour le diamètre :

2-compétitif (optimal)

• Pour le poids :

i-compétitif (non optimal)

bornes inférieures (rappel)

• Pour la somme des distances :

Ω(i)-compétitif

• Pour le diamètre :

2-compétitif

• Pour le poids :

Ω(log i)-compétitif

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

ième sommet

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout

…

r

KKKK

ième sommet

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout optimum

…

r

KKKK

…

r

KKKK

ième sommet

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout optimum

…

r

KKKK

…

r

KKKK

W (T ) = i.K W (T*) = i-1+K

ième sommet

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SOMMET-AJOUT

sommet-ajout optimum

…

r

KKKK

…

r

KKKK

W (T ) = i.K W (T*) = i-1+K

Si K >> i :

W (T )

W (T*)

ième sommet

: i

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PLUS-PROCHE-AJOUT

Analyse de plus-proche-ajout

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PLUS-PROCHE-AJOUT

bornes inférieures (rappel)

• Pour la somme des distances :

Ω(i)-compétitif

• Pour le diamètre :

2-compétitif

• Pour le poids :

Ω(log i)-compétitif

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

• Pour la somme des distances :

2i-compétitif (optimal)

• Pour le diamètre :

i-compétitif (non optimal)

• Pour le poids :

log2(i+1) -compétitif (optimal)

[M. Imase et B. Waxman, 1991]

bornes inférieures (rappel)

• Pour la somme des distances :

Ω(i)-compétitif

• Pour le diamètre :

2-compétitif

• Pour le poids :

Ω(log i)-compétitif

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

1-ε

1-ε

1-ε

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1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

1-ε

1-ε

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1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

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1-ε

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1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

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1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout

r

ième sommet

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout optimum

r

ième sommet

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

r

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout optimum

r

Si ε 0+, D (T ) : i D (T*) = 2

ième sommet

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

r

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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PLUS-PROCHE-AJOUT

plus-proche-ajout optimum

r

Si ε 0+, D (T ) : i D (T*) = 2

D (T )

D (T*)

ième sommet

: i

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

r

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

1-ε

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SYNTHESE

ALGOTEL 2004

SYNTHESE : Les rapports de compétitivité

Bornes inférieures

Sommet-ajout Plus-proche-ajout

Somme des distances Ω(i) (i+1) 2i

Diamètre 2 2 i

Poids Ω(log i) i log2(i+1)

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AUTRES TRAVAUX

• Somment-ajout est un cas particulier de l’algorithme median-ajout :

• Prend en compte un groupe de départ statique.

• Permet d’obtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances lorsque le groupe de départ est suffisamment grand.

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AUTRES TRAVAUX

• Somment-ajout est un cas particulier de l’algorithme median-ajout :

• Prend en compte un groupe de départ statique.

• Permet d’obtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances lorsque le groupe de départ est suffisamment grand.

• Relâchement de la contrainte emboîtement afin d’améliorer les résultats :

• Permet d’obtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances avec ( log i ) reconstructions (résultat optimal).

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AUTRES TRAVAUX

• Somment-ajout est un cas particulier de l’algorithme median-ajout :

• Prend en compte un groupe de départ statique.

• Permet d’obtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances lorsque le groupe de départ est suffisamment grand.

• Relâchement de la contrainte emboîtement afin d’améliorer les résultats :

• Permet d’obtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances avec ( log i ) reconstructions (résultat optimal).

• Il y existe des situations dans lesquelles tout algorithme doit effectuer Ω(i) reconstructions pour maintenir un rapport de compétitivité constant pour le poids.

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PERSPECTIVES

• Avoir un algorithme qui soit optimal pour les trois critères (pour l’instant, toutes les tentatives avant dans cette direction ont échoué).

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PERSPECTIVES

• Avoir un algorithme qui soit optimal pour les trois critères (pour l’instant, toutes les tentatives avant dans cette direction ont échoué).

• Obtenir des résultats (si possible théoriques) autres que dans le pire cas, par exemple en réfléchissant sur une définition pertinente de rapport de compétitivité moyen.

ALGOTEL 2004

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QUESTIONS

Pourquoi se comparer aux distances dans le graphe?

• On montre que :

CG ( M ) CTopt

( M ) 2 CG ( M )

Que l’on se compare CG ( M ) ou à CTopt

( M ), tout algorithme est au

moins Ω(i)-compétitif (l’ordre de grandeur du résultat ne change pas).

• Se comparer à CG ( M ) rend l’analyse plus direct.

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