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Cristaux d’espaces de Fock et applications

Thomas Gerber

Journees du GT Combinatoire Algebrique

ICJ, Lyon

5 Septembre 2016

Thomas Gerber (Aachen) Cristaux d’espaces de Fock 5 Septembre 2016 1 / 14

1 Cristaux d’espaces de FockEspaces de FockCristaux

2 Caracterisations combinatoires de sommets particuliersDans le sle -cristalDans le sle -cristal et le H-cristal

3 Applications via categorificationAlgebres de Hecke doublement affinesGroupes unitaires finis

Section 1

Cristaux d’espaces de Fock

Multipartitions chargees

Soit ℓ ∈ Z≥1, s ∈ Zℓ et λ une ℓ-partition.

|λ, s〉 := multipartition chargee, representee par son diagramme de Youngavec contenus.

|λ, s〉 := multipartition chargee, representee par son diagramme de Youngavec contenus.Exemple : ℓ = 3, s = (0,−1, 1) et λ = (5.3.1, 3.1, 1).

|λ, s〉 = 0 1 2 3 4

-1 0 1

|λ, s〉 = 0 1 2 3 4

-1 0 1

|λ, s〉 = 0 1 2 3 4

-1 0 1

|λ, s〉 = 0 1 2 3 4

-1 0 1

Soit v une indeterminee.

Definition

L’espace de Fock associe a s est le C(v)-espace vectoriel de base{|λ, s〉 ; λ est une ℓ-partition}. On le note Fs.

Structures de module sur Fs

Fixons e ∈ Z≥2.

Uv (sle) = algebre affine quantique de type A.H = algebre de Heisenberg.

Structures de module sur Fs

Fixons e ∈ Z≥2.

Uv (sle) = algebre affine quantique de type A.H = algebre de Heisenberg.

Theoreme (Jimbo-Misra-Miwa-Okado 1991 + Uglov 1999)

Fs est un Uv (sle)-module.

Fs est un H-module.

Les actions correspondantes sont explicites et dependent de s et e:

action de Uv (sle) = “ajouter/enlever des boıtes”

action de H = “ajouter/enlever des e-periodes”.

Structures de cristal sur Fs

Theoreme (Kashiwara 1991)

L’action de Uv (sle) induit une structure de cristal (“sle-cristal”).

Graphe avec :

sommets : toutes les ℓ-partitions chargees par s,

fleches : action de certains operateurs de Uv (sle) (ajouter/enlever une“bonne boıte”).

Exemple: sle -cristal pour ℓ = 2, e = 3, s = (0, 1).

- 1 0 -

0 1 - 1 20-1- 0 1 - - 1

......

- 1 20

. . . . . . . . .

- 1 20 1

- 1 2 30

- 1 20-1

......

- 1 0 -

0 1 - 1 20-1- 0 1 - - 1

......

- 1 20

. . . . . . . . .

- 1 20 1

- 1 2 30

- 1 20-1

......

- 1 0 -

0 1 - 1 20-1- 0 1 - - 1

......

- 1 20

. . . . . . . . .

- 1 20 1

- 1 2 30

- 1 20-1

......

- 1 0 -

0 1 - 1 20-1- 0 1 - - 1

......

- 1 20

. . . . . . . . .

- 1 20 1

- 1 2 30

- 1 20-1

......

- 1 0 -

0 1 - 1 20-1- 0 1 - - 1

......

- 1 20

. . . . . . . . .

- 1 20 1

- 1 2 30

- 1 20-1

......

Theoreme (Kashiwara 1991)

L’action de Uv (sle) induit une structure de cristal (“sle-cristal”).

Graphe avec :

fleches : action de certains operateurs de Uv (sle) (ajouter/enlever une“bonne boıte”).

Theoreme (G. 2016)

L’action de H induit une structure de cristal (“H-cristal”) qui commute

avec le sle-cristal.

Graphe avec :

fleches : procedure combinatoire simple (ajouter/enlever une “bonnee-periode”).

Exemple: ℓ = 2, s = (0, 1), λ = (22.13, 2.13) et e = 3. La fleche coloreepar c ajoute e boıtes de contenus consecutifs c , c − 1, ..., c − e + 1 dans lameme colonne.

0 1-1 0-2-3-4

1 20-1-2

0 1-1 0-2-3-4

1 20-1-2

0 1-1 0-2 -1-3-4

1 20 1-1 0-2

Section 2

Caracterisations combinatoires de sommets particuliers

Sources dans le sle-cristal

Theoreme (Jacon-Lecouvey 2012)

Un sommet est source dans le sle-cristal si et seulement si son abaque esttotalement e-periodique.

Exemple : ℓ = 2, λ = (22.14, 36.21), s = (4, 5), e = 4.

L’abaque obtenue en supprimant toutes les e-periodes est celui de laℓ-partition vide.

Sources dans le sle-crystal et dans le H-cristal

Il existe une correspondance bijective entre ℓ-partitions chargees ete-partitions chargees:

ℓ-partitionchargee

e-partitionchargee

|λ, s〉 |λ, s〉1:1

partitione-partitionchargee

|λ, s〉 |λ, s〉

ℓ-quotient

e-quotientmodifie

|λ, s〉 |λ, s〉

ℓ-quotient

e-quotientmodifie

Theoreme (G. 2016)

|λ, s〉 est source dans les deux cristaux si et seulement si |λ, s〉 estℓ-reguliere, c-a-d :

s1 ≤ s2 ≤ · · · ≤ se ≤ s1 + ℓ,◮ ∀1 ≤ d ≤ e − 1, λd

k ≥ λd+1k+sd+1−sd

∀k ≥ 1 et λdk ≥ λ1

k+ℓ+s1−se∀k ≥ 1,

◮ ∀α > 0,{(λd

k − k + sd ) mod ℓ | 1 ≤ d ≤ e − 1, λdk = α

}6= Z/ℓZ.

ℓ = 1 ⇒ notion habituelle de partition e-reguliere.

|λ, s〉 |λ, s〉

ℓ-quotient

e-quotientmodifie

Exemple : Les 3-partitions 2-regulieres de rang 4 pour la charge (0, 0, 1)sont :

∅ ∅ ∅ ∅ ∅

∅ ∅ ∅ ∅

Section 3

Applications via categorification

Algebres de Hecke doublement affines

Soit Wn le groupe de reflexions complexes (Z/ℓZ) ≀Sn. ℓ = 1 ⇒ groupe symetrique Sn.

Cs,en = algebre de Hecke doublement affine, ou s ∈ Z

ℓ et e ≥ 2 sont desparametres.

Theorie des representations de Cs,en :

Representations irreductibles indexees par les ℓ-partitions (λ ↔ Lλ).

Regle de branchement (en faisant varier n) definie a l’aide d’unfoncteur d’induction (Bezrukavnikov-Etingof 2008).

Theorie des representations de Cs,en :

Representations irreductibles indexees par les ℓ-partitions (λ ↔ Lλ).

Regle de branchement (en faisant varier n) definie a l’aide d’unfoncteur d’induction (Bezrukavnikov-Etingof 2008).

Theoreme (Shan 2011)

La regle de branchement des Cs,en est donnee par le sle-cristal de Fs.

Caracterisations de certaines representations de Cs,en

L’action de H s’interprete aussi dans ce contexte.

Theoreme (Shan 2011 + Shan-Vasserot 2012)

Lλ a un support minimal si et seulement si |λ, s〉 est source dans le

sle -cristal.

Lλ est de dimension finie si et seulement si |λ, s〉 est source dans le

sle -cristal et dans le H-cristal.

Caracterisations de certaines representations de Cs,en

Theoreme (Shan 2011 + Shan-Vasserot 2012)

Lλ a un support minimal si et seulement si |λ, s〉 est source dans le

sle -cristal.

Lλ est de dimension finie si et seulement si |λ, s〉 est source dans le

sle -cristal et dans le H-cristal.

Grace aux caracterisations combinatoire de ces sommets(Jacon-Lecouvey + G. ci-avant), on sait identifier ces representations demaniere explicite !

Groupes unitaires finis

Gn = GUn(q)= groupe unitaire fini sur Fq, ou q est une puissance d’unnombre premier.

Theorie des representations de Gn

Theorie des representations de Gn sur un corps de caracteristiquepositive m :On pose e = ordre de −q modulo m.

Representations irreductibles de Gn indexees par toutes les2-partitions chargees par s, ou s decrit les charges dont la somme desdeux coordonnees est fixee (λ ↔ Sλ).

Regle de branchement (en faisant varier n) definie a l’aide du foncteurd’induction de Harish Chandra (G.-Hiss-Jacon 2014) notion decuspidalite.

Representations irreductibles de Gn indexees par toutes les2-partitions chargees par s, ou s decrit les charges dont la somme desdeux coordonnees est fixee (λ ↔ Sλ).

Regle de branchement (en faisant varier n) definie a l’aide du foncteurd’induction de Harish Chandra (G.-Hiss-Jacon 2014) notion decuspidalite.

Conjecture (G.-Hiss-Jacon), Theoreme (Dudas-Varagnolo-Vasserot)

La regle de branchement des Gn est donnee par le sle -cristal de⊕

Caracterisations de certaines representations de Gn

Theoreme (Dudas-Varagnolo-Vasserot 2015-2016)

Sλ est faiblement cuspidal si et seulement si |λ, s〉 est source dans

le sle-cristal.

Sλ est cuspidal si et seulement si |λ, s〉 est source dans le sle -cristalet dans le H-cristal.

Caracterisations de certaines representations de Gn

Theoreme (Dudas-Varagnolo-Vasserot 2015-2016)

Sλ est faiblement cuspidal si et seulement si |λ, s〉 est source dans

le sle-cristal.

Sλ est cuspidal si et seulement si |λ, s〉 est source dans le sle -cristalet dans le H-cristal.

Comme dans le cas des algebres de Hecke, on sait alors identifier cesrepresentations de maniere combinatoire et explicite !

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