cqp 208 - chapitre 2 dérivée des fonctions algébriques
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CQP 208Chapitre 2
Dérivée des fonctions algébriques
Olivier Godin
Université de Sherbrooke
22 octobre 2015
Limite et continuité 1 / 103
Plan du chapitre
1 Taux de variation moyen
2 Taux de variation instantané
3 Dérivée en un point et fonction dérivée
4 Dérivée et continuité
5 Premières formules de dérivation
Limite et continuité 2 / 103
Plan du chapitre
6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée
7 Dérivée d’ordre supérieur
8 Dérivation des fonctions composées
9 Dérivation implicite
10 Références
Limite et continuité 3 / 103
Taux de variation moyen
Taux de variation moyen
1 Taux de variation moyenVariation d’une fonctionDroite sécante et taux de variation moyen
2 Taux de variation instantané
3 Dérivée en un point et fonction dérivée
4 Dérivée et continuité
Limite et continuité 4 / 103
Taux de variation moyen Variation d’une fonction
Variation d’une fonction
1 Taux de variation moyenVariation d’une fonctionDroite sécante et taux de variation moyen
2 Taux de variation instantané
3 Dérivée en un point et fonction dérivée
4 Dérivée et continuité
Limite et continuité 5 / 103
Taux de variation moyen Variation d’une fonction
Variation d’une fonction
La notion de limite introduite au chapitre précédent s’est avérée un excellent moyen pourmieux comprendre le concept de fonction. Par exemple, elle nous a permis d’identifier lesasymptotes présentes dans le graphique d’une fonction de même que de formaliser ladéfinition de la continuité d’une fonction. Dans le présent chapitre, nous allons introduireune autre notion relative aux fonctions qui mettra, une fois de plus, à contribution leconcept de limite. Il s’agit de la notion de dérivée d’une fonction.
La dérivée est un outil mathématique visant à mesurer la variation d’une fonction,c’est-à-dire de déterminer le changement de la valeur de la variable dépendante suite à lamodification de la valeur de la variable indépendante.
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Taux de variation moyen Variation d’une fonction
Variation d’une fonction
La variation d’une fonction continue f (x) sur l’intervalle [a,b], notée ∆f , est ladifférence entre la valeur de la fonction à la fin de l’intervalle et la valeur de la fonction audébut de l’intervalle. C’est donc dire que
∆f = f (b)− f (a).
La variation de la variable indépendante x sur l’intervalle [a,b], notée ∆x , est lalongueur de l’intervalle. C’est donc dire que
∆x = b − a.
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Taux de variation moyen Variation d’une fonction
Variation d’une fonction
Limite et continuité 8 / 103
Taux de variation moyen Variation d’une fonction
Variation d’une fonction
Limite et continuité 9 / 103
Taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
1 Taux de variation moyenVariation d’une fonctionDroite sécante et taux de variation moyen
2 Taux de variation instantané
3 Dérivée en un point et fonction dérivée
4 Dérivée et continuité
Limite et continuité 10 / 103
Taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
Une droite sécante est une droite qui coupe une courbe en un ou plusieurs points.
Le taux de variation moyen d’une fonction f sur un intervalle [a,b] où a < b est défini par
∆f∆x
=f (b)− f (a)
b − a.
Le taux de variation moyen d’une fonction f sur un intervalle [a,b] correspond à la pentede la sécante à la courbe de f (x) passant par le points (a, f (a)) et (b, f (b)).
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Taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
Limite et continuité 12 / 103
Taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
Partant du principe que ∆x = b − a, on a que b = a + ∆x . On peut donc reformuler ladéfinition du taux de variation moyen :
∆f∆x
=f (b)− f (a)
b − a
=f (a + ∆x)− f (a)
∆x
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Taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
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Taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
Limite et continuité 15 / 103
Taux de variation instantané
Taux de variation instantané
1 Taux de variation moyen
2 Taux de variation instantanéDroite tangente et taux de variation instantanéÉquation de la droite tangenteÉquation de la droite normaleAutres applications du taux de variation instantané
3 Dérivée en un point et fonction dérivée
4 Dérivée et continuité
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Taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané
Droite tangente et taux de variation instantané
1 Taux de variation moyen
2 Taux de variation instantanéDroite tangente et taux de variation instantanéÉquation de la droite tangenteÉquation de la droite normaleAutres applications du taux de variation instantané
3 Dérivée en un point et fonction dérivée
4 Dérivée et continuité
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Taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané
Droite tangente et taux de variation instantané
La tangente à la courbe C en un point P de la courbe est l’unique droite dont la positioncorrespond à la limite des sécantes passant par P et Qi lorsque Qi s’approche de P parla gauche et des sécances passant par P et Ri lorsque Ri s’approche de P par la droite.
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Taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané
Droite tangente et taux de variation instantané
Nous pouvons déterminer la pente de la tangente à la fonction f en un point (a, f (a)) encalculant successivement la pente des sécantes à la courbe passant par P et Qi lorsqueQi tend vers P par la gauche et des sécances passant par P et Ri lorsque Ri tend vers Ppar la droite.
Autrement dit, la pente de la tangente est donnée par
lim∆x→0
f (a + ∆x)− f (a)
∆x.
On appelle cette valeur le taux de variation instantané.
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Taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané
Droite tangente et taux de variation instantané
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Taux de variation instantané Équation de la droite tangente
Équation de la droite tangente
1 Taux de variation moyen
2 Taux de variation instantanéDroite tangente et taux de variation instantanéÉquation de la droite tangenteÉquation de la droite normaleAutres applications du taux de variation instantané
3 Dérivée en un point et fonction dérivée
4 Dérivée et continuité
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Taux de variation instantané Équation de la droite tangente
Équation de la droite tangente
L’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f (x) au point (a, f (a))est donnée par y = m(x − a) + f (a), où
m = lim∆x→0
f (a + ∆x)− f (a)
∆x,
si cette limite existe.
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Taux de variation instantané Équation de la droite normale
Équation de la droite normale
1 Taux de variation moyen
2 Taux de variation instantanéDroite tangente et taux de variation instantanéÉquation de la droite tangenteÉquation de la droite normaleAutres applications du taux de variation instantané
3 Dérivée en un point et fonction dérivée
4 Dérivée et continuité
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Taux de variation instantané Équation de la droite normale
Équation de la droite normale
La droite normale à la courbe décrite par une fonction f (x) en un point (a, f (a)) est ladroite perpendiculaire à la droite tangente à la courbe f (x) en ce point. Son équation estdonnée par y = − 1
m (x − a) + f (a), où
m = lim∆x→0
f (a + ∆x)− f (a)
∆x,
si cette limite existe et est différente de 0.
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Taux de variation instantané Équation de la droite normale
Équation de la droite normale
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Taux de variation instantané Autres applications du taux de variation instantané
Autres applications du taux de variation instantané
1 Taux de variation moyen
2 Taux de variation instantanéDroite tangente et taux de variation instantanéÉquation de la droite tangenteÉquation de la droite normaleAutres applications du taux de variation instantané
3 Dérivée en un point et fonction dérivée
4 Dérivée et continuité
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Taux de variation instantané Autres applications du taux de variation instantané
Autres applications du taux de variation instantané
Limite et continuité 27 / 103
Taux de variation instantané Autres applications du taux de variation instantané
Autres applications du taux de variation instantané
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Dérivée en un point et fonction dérivée
Dérivée en un point et fonction dérivée
1 Taux de variation moyen
2 Taux de variation instantané
3 Dérivée en un point et fonction dérivéeDérivée d’une fonction en un pointFonction dérivée
4 Dérivée et continuité
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Dérivée en un point et fonction dérivée Dérivée d’une fonction en un point
Dérivée d’une fonction en un point
1 Taux de variation moyen
2 Taux de variation instantané
3 Dérivée en un point et fonction dérivéeDérivée d’une fonction en un pointFonction dérivée
4 Dérivée et continuité
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Dérivée en un point et fonction dérivée Dérivée d’une fonction en un point
Dérivée d’une fonction en un point
La dérivée d’une fonction en un point correspond au taux de variation instantanné decette fonction en ce point. Ainsi, la dérivée d’une fonction f au point (a, f (a)), notée f ′(a)
oudfdx
∣∣∣∣x=a
, peut être définie de la façon suivante :
f ′(a) =dfdx
∣∣∣∣x=a
= lim∆x→0
f (a + ∆x)− f (a)
∆x,
lorsque la limite existe.
Lorsque f ′(a) existe, nous dison que f est une fonction dérivable en x = a et f ′(a) estégale à la pente de la tangente à la courbe de f au point (a, f (a)).
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Dérivée en un point et fonction dérivée Fonction dérivée
Fonction dérivée
1 Taux de variation moyen
2 Taux de variation instantané
3 Dérivée en un point et fonction dérivéeDérivée d’une fonction en un pointFonction dérivée
4 Dérivée et continuité
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Dérivée en un point et fonction dérivée Fonction dérivée
Fonction dérivée
Selon la fonction, le calcul de la dérivée en plusieurs points suppose la répétition ducalcul de limites similaires, ce qui peut être long et fastidieux. Pour cette raison, il estpossible de trouver une fonction qui nous donne la dérivée de la fonction de départ en toutpoint. C’est ce que nous appellerons la fonction dérivée, ou plus simplement la dérivée.
Soit une fonction y = f (x). La fonction dérivée de f (x), notée f ′(x),dfdx
,dydx
ou
simplement y ′, est donnée par
f ′(x) =dfdx
=dydx
= y ′ = lim∆x→0
f (x + ∆x)− f (x)
∆x.
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Dérivée en un point et fonction dérivée Fonction dérivée
Fonction dérivée
Attention ! Il ne faut pas voirdydx
comme un quotient. Il faut plutôt considérerddx
commeun opérateur qui indique qu’il faut dériver la fonction par rapport à x .
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Dérivée en un point et fonction dérivée Fonction dérivée
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Dérivée et continuité
Dérivée et continuité
1 Taux de variation moyen
2 Taux de variation instantané
3 Dérivée en un point et fonction dérivée
4 Dérivée et continuité
Limite et continuité 36 / 103
Dérivée et continuité
Dérivée et continuité
Dans cette section, nous verrons les liens qui existent entre les notions de domaine, decontinuité et de dérivabilité d’une fonction. Nous avons vu qu’une fonction est dérivableen x = a si et seulement si la limite suivante existe :
lim∆x→0
f (a + ∆x)− f (a)
∆x.
La relation entre la dérivabilité et la continuité d’une fonction en x = a est donnée par lethéorème suivant :
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Dérivée et continuité
Dérivée et continuité
Le théorème précédent nous permet de comprendre que la dérivabilité d’une fonctionimplique sa continuité :
dérivabilité =⇒ continuité
Par contre, une fonction continue n’est pas nécessairement dérivable :
continuité 6=⇒ dérivabilité
Par ailleurs, par la contraposée de ce théorème, on a que si une fonction n’est pascontinue, alors elle n’est pas dérivable :
non continuité =⇒ non dérivabilité
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Dérivée et continuité
Dérivée et continuité
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Dérivée et continuité
Dérivée et continuité
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Premières formules de dérivation
Premières formules de dérivation
5 Premières formules de dérivationDérivée d’une fonction constanteDérivée de la fonction identitéDérivée du produit d’une constante par une fonctionDérivée de la somme ou de la différence de deux fonctionsDérivée du produit de deux fonctionsDérivée du quotient de deux fonctionsDérivée de la fonction puissance
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Premières formules de dérivation
Premières formules de dérivation
Nous avons utilisé la définition de la dérivée pour calculer les dérivées de fonctionsdéfinies par des formules. Cette notion étant aquise, nous verrons maintenant quelquesrègles qui nous permettront de trouver les dérivées sans avoir à toujours utiliser ladéfinition.
Cependant, il sera nécessaire de démontrer la plupart de ces règles. Pour y arriver, ilfaudra faire appel à la définition de la dérivée.
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Premières formules de dérivation Dérivée d’une fonction constante
Dérivée d’une fonction constante
5 Premières formules de dérivationDérivée d’une fonction constanteDérivée de la fonction identitéDérivée du produit d’une constante par une fonctionDérivée de la somme ou de la différence de deux fonctionsDérivée du produit de deux fonctionsDérivée du quotient de deux fonctionsDérivée de la fonction puissance
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Premières formules de dérivation Dérivée d’une fonction constante
Dérivée d’une fonction constante
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Premières formules de dérivation Dérivée de la fonction identité
Dérivée de la fonction identité
5 Premières formules de dérivationDérivée d’une fonction constanteDérivée de la fonction identitéDérivée du produit d’une constante par une fonctionDérivée de la somme ou de la différence de deux fonctionsDérivée du produit de deux fonctionsDérivée du quotient de deux fonctionsDérivée de la fonction puissance
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Premières formules de dérivation Dérivée de la fonction identité
Dérivée de la fonction identité
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Premières formules de dérivation Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Dérivée du produit d’une constante par une fonction
5 Premières formules de dérivationDérivée d’une fonction constanteDérivée de la fonction identitéDérivée du produit d’une constante par une fonctionDérivée de la somme ou de la différence de deux fonctionsDérivée du produit de deux fonctionsDérivée du quotient de deux fonctionsDérivée de la fonction puissance
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Premières formules de dérivation Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Dérivée du produit d’une constante par une fonction
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Premières formules de dérivation Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Dérivée du produit d’une constante par une fonction
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Premières formules de dérivation Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
5 Premières formules de dérivationDérivée d’une fonction constanteDérivée de la fonction identitéDérivée du produit d’une constante par une fonctionDérivée de la somme ou de la différence de deux fonctionsDérivée du produit de deux fonctionsDérivée du quotient de deux fonctionsDérivée de la fonction puissance
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Premières formules de dérivation Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
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Premières formules de dérivation Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
Les formules 3, 4 et 5 peuvent être regroupées en une seule appelée propriété delinéarité :
ddx
(au ± bv) = adudx± b
dvdx
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Premières formules de dérivation Dérivée du produit de deux fonctions
Dérivée du produit de deux fonctions
5 Premières formules de dérivationDérivée d’une fonction constanteDérivée de la fonction identitéDérivée du produit d’une constante par une fonctionDérivée de la somme ou de la différence de deux fonctionsDérivée du produit de deux fonctionsDérivée du quotient de deux fonctionsDérivée de la fonction puissance
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Premières formules de dérivation Dérivée du produit de deux fonctions
Dérivée du produit de deux fonctions
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Premières formules de dérivation Dérivée du produit de deux fonctions
Dérivée du produit de deux fonctions
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Premières formules de dérivation Dérivée du produit de deux fonctions
Dérivée du produit de deux fonctions
Attention ! Il ne faut pas commettre l’erreur suivante : la dérivée du produit de deuxfonctions n’est pas égale au produit des dérivées des deux fonctions. C’est donc dire que
ddx
(uv) 6=(
dudx
)(dvdx
).
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Premières formules de dérivation Dérivée du quotient de deux fonctions
Dérivée du quotient de deux fonctions
5 Premières formules de dérivationDérivée d’une fonction constanteDérivée de la fonction identitéDérivée du produit d’une constante par une fonctionDérivée de la somme ou de la différence de deux fonctionsDérivée du produit de deux fonctionsDérivée du quotient de deux fonctionsDérivée de la fonction puissance
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Premières formules de dérivation Dérivée du quotient de deux fonctions
Dérivée du quotient de deux fonctions
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Premières formules de dérivation Dérivée du quotient de deux fonctions
Dérivée du quotient de deux fonctions
Attention ! Comme pour la dérivée d’une produit, il faut se rappeler que la dérivée duquotient de deux fonctions n’est pas égale au quotient des dérivées des deux fonctions.C’est donc dire que
ddx
(uv
)6=
dudxdvdx
.
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Premières formules de dérivation Dérivée de la fonction puissance
Dérivée de la fonction puissance
5 Premières formules de dérivationDérivée d’une fonction constanteDérivée de la fonction identitéDérivée du produit d’une constante par une fonctionDérivée de la somme ou de la différence de deux fonctionsDérivée du produit de deux fonctionsDérivée du quotient de deux fonctionsDérivée de la fonction puissance
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Premières formules de dérivation Dérivée de la fonction puissance
Dérivée de la fonction puissance
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Premières formules de dérivation Dérivée de la fonction puissance
Dérivée de la fonction puissance
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Premières formules de dérivation Dérivée de la fonction puissance
Dérivée de la fonction puissance
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Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
6 Interprétation géométrique du signe de la dérivéeRelation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivéeInterprétation du signe de la dérivéeTableau des signes d’une fonction
7 Dérivée d’ordre supérieur
8 Dérivation des fonctions composées
9 Dérivation implicite
10 Références
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Interprétation géométrique du signe de la dérivée Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
6 Interprétation géométrique du signe de la dérivéeRelation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivéeInterprétation du signe de la dérivéeTableau des signes d’une fonction
7 Dérivée d’ordre supérieur
8 Dérivation des fonctions composées
9 Dérivation implicite
10 Références
Limite et continuité 65 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
Nous savons que la valeur de la dérivée d’une fonction f (x) au point (a, f (a)) correspondà la pente de la droite tangente à f (x) à ce même point. Pouvons-nous tirer davantaged’information du calcul de la dérivée ?
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Interprétation géométrique du signe de la dérivée Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
La dérivée de f (x) étant elle même une fonction, on peut en tracer le graphique :
Plutôt que d’évaluer la valeur de la dérivée à certains points de la fonction, essayons dedégager certaines informations plus générales.
Limite et continuité 67 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
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Interprétation géométrique du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
6 Interprétation géométrique du signe de la dérivéeRelation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivéeInterprétation du signe de la dérivéeTableau des signes d’une fonction
7 Dérivée d’ordre supérieur
8 Dérivation des fonctions composées
9 Dérivation implicite
10 Références
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Interprétation géométrique du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
Nous allons maintenant formellement relier la croissance et la décroissance d’unefonction au signe de sa dérivée. Cette relation est exprimée dans le théorème suivant,que nous accepterons sans démonstration.
Soit f , une fonction continue sur [a,b] telle que f ′ existe sur ]a,b[. On a que
si f ′(x) > 0 sur ]a,b[, alors f est croissante sur [a,b] ;
si f ′(x) < 0 sur ]a,b[, alors f est décroissante sur [a,b] ;
De plus, si c ∈ Domf , nous dirons que c est un nombre critique de f si f ′(c) = 0 ou sif ′(c) n’existe pas.
En particulier, on appellera le point (c, f (c)) point stationnaire de f si f ′(c) = 0.
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Interprétation géométrique du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
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Interprétation géométrique du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
Limite et continuité 72 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
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Interprétation géométrique du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
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Interprétation géométrique du signe de la dérivée Tableau des signes d’une fonction
Tableau des signes d’une fonction
6 Interprétation géométrique du signe de la dérivéeRelation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivéeInterprétation du signe de la dérivéeTableau des signes d’une fonction
7 Dérivée d’ordre supérieur
8 Dérivation des fonctions composées
9 Dérivation implicite
10 Références
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Interprétation géométrique du signe de la dérivée Tableau des signes d’une fonction
Tableau des signes d’une fonction
Puisque nous souhaitons faire l’étude du signe de la dérivée, nous introduisons ici unoutil indispensable : le tableau des signes d’une fonction.
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Interprétation géométrique du signe de la dérivée Tableau des signes d’une fonction
Tableau des signes d’une fonction
Considérons la fonction
P(x) = 2x2 − 5x − 3
= 2(x +12
)(x − 3)
On lui associe le tableau des signes suivant :
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Interprétation géométrique du signe de la dérivée Tableau des signes d’une fonction
Tableau des signes d’une fonction
Une fois rempli, on obtient le tableau
La fonction P(x) est donc
positive sur l’intervalle]−∞,−1
2
[∪ ]3,∞[
négative sur l’intervalle]−1
2 ,3[
nulle en x = −12 et x = 3.
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Interprétation géométrique du signe de la dérivée Tableau des signes d’une fonction
Tableau des signes d’une fonction
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Dérivée d’ordre supérieur
Dérivée d’ordre supérieur
6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée
7 Dérivée d’ordre supérieur
8 Dérivation des fonctions composées
9 Dérivation implicite
10 Références
Limite et continuité 80 / 103
Dérivée d’ordre supérieur
Dérivée d’ordre supérieur
Nous avons vu que, lorsque nous dérivons une fonction, le résultat est également unefonction qui peut, à son tour, être dérivée. C’est ce que nous nommons la dérivéeseconde, qui est notée
d2fdx2 = f ′′(x) = f (2)(x).
Évidemment, rien n’empêche de dériver à nouveau la dérivée seconde pour obtenir ladérivée troisième :
d3fdx3 = f ′′′(x) = f (3)(x).
On peut continuer ainsi tant et aussi longtemps qu’il est possible de le faire. On définitdonc la dérivée d’ordre n, où n ∈ N :
dnfdxn = f (n)(x).
Limite et continuité 81 / 103
Dérivée d’ordre supérieur
Dérivée d’ordre supérieur
Si le signe de la dérivée première nous renseigne sur la croissance et la décroissanced’une fonction f (x), le signe de la dérivée seconde nous renseigne sur la croissance oula décroissance de la fonction f ′(x). Quelle interprétation pouvons-nous donner à cela ?
Limite et continuité 82 / 103
Dérivée d’ordre supérieur
Dérivée d’ordre supérieur
Limite et continuité 83 / 103
Dérivée d’ordre supérieur
Dérivée d’ordre supérieur
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Dérivation des fonctions composées
Dérivation des fonctions composées
6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée
7 Dérivée d’ordre supérieur
8 Dérivation des fonctions composéesDérivée de la puissance d’une fonctionDérivée d’une fonction composée
9 Dérivation implicite
10 Références
Limite et continuité 85 / 103
Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d’une fonction
Dérivée de la puissance d’une fonction
6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée
7 Dérivée d’ordre supérieur
8 Dérivation des fonctions composéesDérivée de la puissance d’une fonctionDérivée d’une fonction composée
9 Dérivation implicite
10 Références
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Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d’une fonction
Dérivée de la puissance d’une fonction
Souvenons-nous du théorème 2.8, où il était question d’une règle pour la dérivation d’unepuissance de x :
Dans cette section, on souhaite généraliser ce résultat pour des puissances d’unefonction, c’est-à-dire des fonctions de la forme
y = (u(x))n .
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Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d’une fonction
Dérivée de la puissance d’une fonction
Considérons la fonction f (x) = (3x + 1)2. Si on souhaite évaluer f ′(x), on commence pardévelopper l’expression initiale pour obtenir
f (x) = (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1,
puis on trouve que
f ′(x) = 9(2x) + 6(1) + 0 = 18x + 6 = 6(3x + 1).
Or, si on avait bêtement appliqué le théorème 2.8, on aurait pu croire que
f ′(x) = 2(3x + 1)2−1 = 2(3x + 1) 6= 6(3x + 1).
On a donc la preuve que le théorème initial ne s’applique pas aux puissances defonctions. Il faudra donc trouver un résultat équivalent à celui-ci, mais qui fonctionneavec les puissances de fonctions.
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Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d’une fonction
Dérivée de la puissance d’une fonction
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Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d’une fonction
Dérivée de la puissance d’une fonction
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Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d’une fonction
Dérivée de la puissance d’une fonction
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Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d’une fonction
Dérivée de la puissance d’une fonction
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Dérivation des fonctions composées Dérivée d’une fonction composée
Dérivée d’une fonction composée
6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée
7 Dérivée d’ordre supérieur
8 Dérivation des fonctions composéesDérivée de la puissance d’une fonctionDérivée d’une fonction composée
9 Dérivation implicite
10 Références
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Dérivation des fonctions composées Dérivée d’une fonction composée
Dérivée d’une fonction composée
Supposons qu’on vous demande de dériver la fonction F (x) =√
x2 + 1. On peutconstater que F est une fonction composée. Si on pose
y = f (u) =√
u et u = g(x) = x2 + 1,
alors on peut écrire y = F (x) = f (g(x)) = f ◦ g.
Sachant comment dériver f et g, on aurait intérêt à établir une régle de dérivation pourla composition des fonctions f et g.
C’est ce que propose de faire la règle de dérivation en chaîne. Il s’agit de l’un des plusimportants théorèmes en calcul différentiel.
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Dérivation des fonctions composées Dérivée d’une fonction composée
Dérivée d’une fonction composée
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Dérivation implicite
Dérivation implicite
6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée
7 Dérivée d’ordre supérieur
8 Dérivation des fonctions composées
9 Dérivation implicite
10 Références
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Dérivation implicite
Dérivation implicite
Jusqu’à présent, nous avons travaillé avec des courbes qui étaient données par deséquations explicites de la forme y = f (x), où la variable dépendante est expriméedirectement par rapport à la variable indépendante.
Par contre, certaines courbes ne peuvent pas être exprimées par une telle équation. C’estpar exemple le cas d’un cercle de rayon r dont l’équation est x2 + y2 = r2. Il est alorsquestion d’équation implicite, où aucune variable n’est exprimée en fonction de l’autre.
Nous dirons qu’une courbe dans le plan xy est donnée implicitement si son équation estde la forme f (x , y) = 0.
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Dérivation implicite
Dérivation implicite
Bien qu’il soit toujours assez simple de convertir une équation explicite en équationimplicite, il n’est pas toujours possible de faire le contraire, c’est-à-dire de convertir uneéquation implicite en équivalent explicite.
Pour réussir à déterminerdydx
à partir d’une équation implicite, nous devons
1 dériver chaque membre de l’équation par rapport à x , en considérant y commeune fonction dérivable par rapport à x ;
2 regrouper tous les termes contenantdydx
du même côté de l’égalité ;
3 isolerdydx
en faisant une mise en évidence, puis une division.
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Dérivation implicite
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Dérivation implicite
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Références
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Références
Réseau de concepts
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Références
Références
Éric Brunelle and Marc-André Désautels.Calcul différentiel.Les Éditions CEC inc., 2011.
Gilles Charron and Pierre Parent.Calcul différentiel, 6e édition.Groupe Beauchemin - Chenelière Éducation, 2007.
Josée Hamel and Luc Amyotte.Calcul différentiel, 2e édition.Éditions du renouveau pédagogique, 2014.
Stéphane Beauregard and Chantal Trudel.Calcul différentiel.Groupe Modulo, 2013.
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