cours_cm_1_chapitre _2_eléments fléchis en construction métallique_08_09 version finale

Cours de construction métallique III. Eléments fléchis en construction métallique

1

Enseignant: Sami MONTASSAR(email: montassar@lmsgc.enpc.fr)

École Nationale d’Ingénieurs de Tunis, 2008-2009

Quelques éléments fléchis usuels

2

Principaux types de profilés laminés utilisés en flexion

3

IPEou IPN

HEA , HEB ou HEM Tuberectangulaire

U Cornière

Critères de choix du type de profilé laminé

La résistance : sécurité structurale.

La rigidité : elle est directement liée à l’inertie du profilé.

Le déversement : les profilés laminés en I sontparticulièrement sensibles à leur rapport Iz/Iy. (Pour une mêmerésistance en section, un profilé IPE présente une moins

4

bonne résistance au déversement qu’un profilé HEA, HEB ouHEM).

Le poids (par mètre) : a une influence sur le prix del’élément, ainsi qu’éventuellement sur son principe demontage.

La hauteur du profilé : peut être déterminante lorsqu’ils’agit de limiter son encombrement.

Déformations et contraintes dans une section fléchie

5

Planchers et couvertures

Les planchers et les couvertures des bâtiments métalliquessont réalisés en :

• plaques ondulées fibres-ciment sans ou avec amiante(généralement pour les constructions de bas de gamme :hangars agricoles, dépôts …).

6

• bacs acier nervurés en acier galvanisé (éventuellementen aluminium).

• platelage sur poutrelles (acier : tôle métallique, béton,mixte acier-béton, bois …).

Plaques ondulées fibres-ciment

7

Avantages :

- bonne résistance au vieillissement (insensibilité à l’humidité).

- incombustibilité.

- grande stabilité dimensionnelle (dilatation et flèches minimes).

- coût modique

Exigences et inconvénients :

- une pente minimale de toiture de 9%.- l’adjonction de cordons d’étanchéité pour pente inférieure à16%.- une entraxe des pannes faible de 1,00 m à 1,38 mmaximum (exception : maxi-plaques qui vont à 2,25m).- aspect architectural médiocre.

- poids propre élevé (18 daN/m2).

8

- poids propre élevé (18 daN/m2).- résistance aux chocs limitée (risque de rupture brutale).

Plaques onduléesfibres-ciment

Longueur nominale des plaques (m)

Nombre d’appuis

Portée des plaques (entraxe

pannes)

Surcharge admissible (daN/m2)

Formats courants 1,522,501,25

232

1,381,181,11

308425480

Format spécial 2,50 2 2,25 308

Bacs acier (ou aluminium) nervurés

9

10

Grandes dimensions (largeur 1 m, longueur jusqu’à 12 m).

Les bacs de faible longueur portent sur 2 pannes → calculéen isostatique. Les bacs de grande longueur portent sur 3 ou4 pannes → en continuité → flèches réduites.

Fabrication : tôle laminée à chaud ou à froid et galvanisée→ plaque profilée à froid

La portée des bacs (qui détermine l’entraxe des pannes) est

11

La portée des bacs (qui détermine l’entraxe des pannes) estdéterminée en fonction :

- des charges appliquées : climatiques, de montage,isolation, étanchéité …

- des profils des bacs (répertoriés dans les catalogues desfabricants correspondant à divers moments d’inertie variables enfonction de l’épaisseur de la tôle, du pas des nervures et de lahauteur des ondes).

Les bacs sont dimensionnés :- pour présenter une flèche relative admissible [f/L]inférieure à 1/200,

- Pour supporter une charge minimale de 100 daN/m2

correspondant au poids de deux hommes et de leursmatériels.

Les bacs peuvent être posés tels quels, en couverturesèche (si la pente est supérieure à 5%) ou bien recevoir une

12

sèche (si la pente est supérieure à 5%) ou bien recevoir uneétanchéité (généralement multicouche).

Les pentes, les modes de fixation et les recouvrementssont réglementés (fixation par boulons-crochets ou vis auto-taraudeuses).

Principaux avantages : grande rapidité de pose et faiblepoids (environ 10 daN/m2 ).

Profil Critère flèche

Ep(mm)

.

Poids (kg/m2)

Nbre appuis

Portée (m) pour une charge (daN/m2) de

100 115 125 150 175 200 250

1/200

0,75 6,74 23

2,452,95

2,352,80

2,302,70

2,152,50

2,052,35

1,952,20

1,801,95

1,00 8,99 2 2,70 2,60 2,55 2,40 2,25 2,15 2,00

Bacs nervurés en acier galvanisé

13

Plein

1/200 1,00 8,99 23

2,703,25

2,603,10

2,553,00

2,402,80

2,252,70

2,152,50

2,002,25

1/300

0,75 6,74 23

2,152,60

2,052,45

2,002,35

1,852,20

1,702,05

1,651,95

1,501,80

1,00 8,99 23

2,352,95

2,252,80

2,202,70

2,052,50

1,952,30

1,852,20

1,702,00

Platelage en tôles métalliques

Les tôles métalliques constituant le platelage du plancherd’un ouvrage en construction métallique sont posées etsoudées sur les semelles des poutrelles.

14

tH H

HHf

Qn

L

Le platelage travaille simultanément à la flexion et à latraction .

Le choix de l’épaisseur du platelage est fonction de la flècherelative admissible [f/L] = 1/150 – 1/200 et des chargesnominales Qn ≤≤≤≤ 40 kN/m 2 .

Ces valeurs peuvent être adoptées :

15

t = 6 – 8 mm pour Qn ≤ 10 kN/m2

t = 8 – 10 mm pour 10 < Qn ≤ 20 kN/m2

t = 10 – 12 mm pour 20 < Qn ≤ 30 kN/m2

t = 12 – 14 mm pour 30 < Qn ≤ 40 kN/m2

( )

−

+

=

2

4

1.

..721

.15

.4

νnQ

Lf

E

Lft

L

La travée du platelage peut être ensuite estimée par :

La force de poussée latérale H (par unité de longueur) estapprochée par :

16

approchée par :

( )2

22

1..

4..

νπ

−

= E

L

ftCH p

= 4/3 pour les charges permanentes défavorables= 1 pour les charges permanentes favorables= 3/2 pour une seule charge variable= 17/12 pour deux charges variables différentes appliquées simultanément= 4/3 pour trois charges variables différentes appliquées simultanément

La gorge utile a (l’épaisseur du cordon de soudure d’attacheplatelage/membrure) peut être enfin calculée selon l’EC 3 parla formule suivante (le calcul des assemblages soudés feral’objet d’un chapitre dans le cadre de ce cours) :

uMWW f

Hla

2... .

longueur de unité 1

γβ=Σ=

43421

17

Nuance d’acier γγγγMW ββββW γγγγMW.ββββW

fy (MPa) fu (MPa)

235275355

360430510

1,251,301,35

0,800,850,90

1,001,101,20

Application 1 : calcul d’un platelage en tôles d’acier d’un plancher.

Poutre principale

Poutrelle de platelage

Poteau

18

Poutrelle de

1501

t/m2

S.235

platelage

2

=

=

L

f

Qn

Déversement des éléments fléchis

Le phénomène du déversement se manifeste lorsqu’unélément fléchi selon son axe fort n’est pas tenu latéralement .La partie comprimée de sa section peut alors éventuellementse dérober.

Un tel phénomène peut être assimilé au flambement de lapartie comprimée de la section entre deux points d’appui

19

partie comprimée de la section entre deux points d’appuilatéraux.

20

Selon l’EC3, on utilise la procédure suivante pour vérifier ledéversement des éléments fléchis :

1) Calcul du moment critique de déversement

( )

( ) ( ) ( )

−−−++

=

jgjgz

t

z

w

w

zcr

zCzCzCzCIE

IGLk

I

I

k

k

Lk

IECM

......

....

..

...

322

322

22

2

2

1

π

π

21

zzw IEIk ..π

• Le facteur k concerne larotation d’extrémité dans leplan de chargement. Il estanalogue au rapport longueurde flambement sur longueurréelle d’un élément comprimé.

• kw concerne le gauchissement d’extrémité. Sauf dispositionsparticulières prises pour empêcher tout mouvement auxextrémités, on prendra kw = 1.

sag zzz −=

Coordonnée suivant z du point d’application de la charge

Coordonnée du centre de cisaillement

22

( )y

Asj I

Azyzzz

∫ +−=

d5,0 22

( )ν+=

12E

G

• It est le moment d’inertie de torsion

• Iz est le moment d’inertie de flexion suivant l’axe de faibleinertie

• L est la longueur de la poutre entre points latéralementmaintenus

• I est le moment d’inertie de gauchissement

23

• Iw est le moment d’inertie de gauchissement

2

2

−= f

zw

thII

• C1, C2 et C3 sont donnés par les tableaux suivants

Cas de moments d’extrémités

24

Cas de charges transversales

25

Mcr doit être calculé avec les caractéristiques de la sectionbrute. Pour les sections de classe 4, le calcul de Mcr sera faiten considérant que la constante de torsion uniforme It estnulle.

comparaison du moment critique élastique d'un profil encaisson (qui possède une rigidité de flexion et de torsionélevée) avec des profils ouverts de diverses formes.

26

2) Calcul du paramètre d’élancement réduit

cr

yyplwLT

M

fW .. ,βλ =

3 classe deest section la si

2et 1 classe deest section la si 1

,yel

w

W

W=

=β

27

4 classe deest section la si

3 classe deest section la si

,

,

,

ypl

yeff

ypl

W

W

W

=

=

tdéversemendu compte tenir de nécessaire pasest n' il

4,0 si ⇒≤LTλ

3) 4,0 si >LTλ

( )[ ]22,015,0 LTLTLTLT λλα +−+=Φ

Le facteur d’imperfection pour le déversement (=0,21 pour les profiléslaminés et 0,49 pour les profilés reconstitués soudés)

28

1 mais 1

22≤

−Φ+Φ= LT

LTLTLT

LT χλ

χ

Le coefficient de réduction à appliquer à la capacité plastique ouélastique de la section (≤1)

Le moment de flexion maximal Mf doit être inférieur aumoment ultime de déversement :

1, ...

M

yyplwLTf

fWM

γβχ≤

γM1coefficient partiel de sécurité de résistance deséléments aux instabilités

=1,1

29

Il n’est pas nécessaire de vérifier la résistance audéversement d’une poutre si sa semelle comprimée est tenuelatéralement sur toute sa longueur.

C’est par exemple le cas des solives d’un planchersolidarisés à la dalle béton ou au platelage en tôles d’acier.

Calcul de Mcr – Quelques cas particuliers :

Poutres en I à section transversale constante mono-symétrique et à semelles inégales :

( ) 2..1. syffw hII ββ −=

fcf II

I

+=β

hs = h – t f : distance entre les centres decisaillement des semelles.

30

ftfcf II +

Moment d’inertie de flexion de lasemelle comprimée suivant l’axede faible inertie de la section

Moment d’inertie de flexion de lasemelle tendue suivant l’axe defaible inertie de la section

Les approximations suivantes peuvent être utilisées pourcalculer zj :

( )2

.1.2.8,0 alors 50 Lorsque - sfjf

hβz,β −=>

( )2

.1.2 alors 50 Lorsque - sfjf

hβz,β −=<

Poutres à section transversale constante et

31

Poutres à section transversale constante etdoublement symétrique :

Sections transversales doublement symétriques ⇒ zj = 0.

( )( ) ( )

−++

= gg

z

t

z

w

w

zcr zCzC

IE

IGLk

I

I

k

k

Lk

IECM ..

..

.....

.

... 2

222

22

2

2

1 ππ

- Dans le cas de chargement par momentsd’extrémité (C2 = 0) ou de charges transversalesappliquées au centre de cisaillement (zg = 0) :

( )( )

z

t

z

w

w

zcr

IE

IGLk

I

I

k

k

Lk

IECM

..

.....

.

...

2

22

2

2

1 ππ +

=

- Lorsque de plus k = kw = 1 (pas d’encastrement

32

- Lorsque de plus k = kw = 1 (pas d’encastrementaux extrémités) :

z

t

z

wzcr

IE

IGL

I

I

L

IECM

..

...

...

2

2

2

2

1 ππ +=

Application 2 : déversement d’une poutre

Q = 400 kN

g (kN/m)

33

6 m

S.235HEA 400

( ) 0,, /3/ MvyRdplRdcEd AfVVV γ==≤

Aire de cisaillement

Av

Effort tranchant γM0coefficient partiel desécurité de matériau

=1,0 si l’acier utilisé est agrée=1,1 sinon

34

35

la résistance des sections au moment fléchissant n’est pasaffectée par la présence de l’effort tranchant si

RdplEd VV ,21 ≤

Dans le cas contraire, il y a une réduction qu’il faut prendre en

Moment fléchissant

36

Dans le cas contraire, il y a une réduction qu’il faut prendre en compte.

Le risque de déversement est négligeable et n’a pas à êtrepris en compte lorsque

,40 ≤LTλ

4 cas peuvent être rencontrés

RdcEd MM , ≤

Pour les sections de classe 1 ou 2 :Mc,Rd=Mpl,Rd=Wpl.fy/γγγγM0 : Moment résistant plastique

Pour les sections de classe 3 :Mc,Rd=Mel,Rd=Wel.fy/γγγγM0 : Moment résistant élastique

≤

≤

4,021

cas 1 ,er

LT

RdplEd VV

λ

37

Mc,Rd=Mel,Rd=Wel.fy/γγγγM0 : Moment résistant élastique

Pour les sections de classe 4 :Mc,Rd=Weff.fy/γγγγM1 : Moment résistant au voilement local

≤

>

4,021

cas 2 ,ème

LT

RdplEd VV

λRdvEd MM , ≤

Mv,Rd est le moment résistant plastique réduit du fait del’effort tranchant, déterminé en utilisant une limite d’élasticitéréduite pour l’aire de cisaillement seule

( ) yred ff ρ−= 1

2

,

12

−=

Rdpl

Ed

V

Vρ

38

, RdplV

- Pour les sections transversales en I à semelles égales etfléchies suivant l’axe de forte inertie

0

2

, 4 M

y

w

vplRdv

f

t

AwM

γρ

−=

>

≤

4,021

cas 3 ,ème

LT

RdplEd VV

λRdbEd MM , ≤

1

,,

M

yyplwLTRdb

fWM

γβχ=

39

>

>

4,021

cas 4 ,ème

LT

RdplEd VV

λ( )RdvRdbEd MMM ,, ;min ≤

Valeurs usuelles de flèches (calcul à l’E.L.S.)

40

Type de structure Valeur limite

toitures en général f < l/200

planchers en général f < l/250

planchers supportant des poteaux f < l/400

poteaux de portiques en général ∆∆∆∆ < l/300

poteaux de portiques avec pont roulant ∆∆∆∆ < l/500

Application 3 : calcul d’une poutre laminée

Poutre principale

Poutrelle de platelage

Poteau

Poutre

secondaire

41

1 m

12 m

6 m

secondaire

1

3001

10

t/m2

S.235

platelage de poutrelle

platelage

2

=

==

f

L

f

mmt

Qn

42

5001

3001

principale poutre

secondaire poutre

=

=

L

f

L

f

Dimensionnement des poutres reconstituées soudées (P.R.S.)

G

Astfs

σs

vs

Axe neutre

43

G

Aitfi

d0

σi

vi

h

élastique

Les poutres reconstituées soudées sont généralementdes poutres élancées utilisées comme poutres de grandesportées en bâtiment ou poutres de ponts.

Une portée et des conditions de charge bien définies

Un moment donné

44

Section optimale

⇔

Poids minimal et modules de résistance maximaux

Section totale : wis tdAA .++=Ω

Position de l’axe neutre élastique (équilibre desmoments statiques par rapport à cet axe neutre) :

( ) ( )w

fiifiiiw

fssfsss t

tvtvAt

tvtvA .

22..

22.

22 −+

−=

−+

−

⇒ t et t << v , v et h ⇒

45

⇒ tfi et tfs << vs, vi et h ⇒

wi

iiws

ss tv

vAtv

vA .2

..2

.22

+=+

or h = vi + vs ⇒ la position de G et de l’axe neutre élastique :

+Ω

=2.

. wis

tdA

hv

Moment d’inertie (par rapport à l’axe neutre élastique) :

12222

322222 dttAtAt

dvdt

tvA

tvAI wfiifss

fiiwfi

iifs

ss

+++

−−+

−+

−=

⇒ tfi et tfs << h ⇒ d ≅ h

+−

+≅ iw

siw A

hthvA

hthI

232

46

Section des semelles : As et Ai sont minimales lorsque lescontraintes admissibles sur les fibres extrêmes auront atteintles limites admissibles.

( )isis

iiss

M

Ivvh

M

Iv

M

Iv

σσ

σσ

+=+=⇒

==

.

. ; .

is

ss

is

hv

h

M

I

σσσ

σσ +=⇒

+=⇒

.

- En utilisant l’expression de l’inertie, on trouve :

−−=

−−=

iws

i

sw

ii

th

h

MA

th

h

MA

σσ

σ

σσ

σ

2.6.

.

2.6.

.

47

ss

s h σσ2.

6.

- Le premier terme représente la section que devrait avoirchaque membrure, si l’âme était infiniment mince. Chacuneserait en effet soumise à l’effort normal ±M/h.

- Le second terme représente la collaboration de l’âme à larésistance de la section à la flexion.

Cas particulier : section symétrique à semelles égales

isis AA σσ == et

3.2.2

et 6

w

y

w

yis

h.t

h.f

MΩ

h.t-

h.f

MAA +===⇒

Section de l’âme : l’effort tranchant doit rester inférieur àl’effort tranchant résistant

48

y

Mv

M

vyR f

VA

AfVV 0

0

.3..3

. γγ

≥⇒=≤

- Connaissant les élancements admissibles courants despoutres :

w

néc

tWh

L

h.1,1 avec

151

251 ≤<<

on détermine h en fonction de la portée l ⇒ l’épaisseur del’âme tw peut être calculée par :

h

At vw =

Vérification de la flèche : elle s’effectue à l’E.L.S. (tous lescalculs précédents de dimensionnement et de résistance ontété conduits à l’E.L.U).

Autres vérifications à faire :

Vérification de l’interaction entre l’effort tranchant et lemoment fléchissant.

Vérification de la stabilité de la poutre au

49

Vérification de la stabilité de la poutre audéversement.

Vérification du voilement local et détermination desraidisseurs d’âme.

Application 4 : Prédimensionnement et calcul d’une P.R.S.

Données :

P.R.S de 50m de portée, isostatique, en acier S.355, recevant une surcharge de 50 kN/m.

50

S.355, recevant une surcharge de 50 kN/m.

L’épaisseur de l’âme est prise égale à tw = 2 cm pour éviter la corrosion.

Voilement d’âme par cisaillement

Le risque de voilement d’âme (qui est un risque d’instabilitégéométrique) est provoqué par l’effort tranchant VEd.

Dans le cas d’une âme de poutre munie de raidisseurstransversaux, l’effort tranchant développe :

- des contraintes de cisaillementet

51

et- des contraintes normales de traction et de compression orientées à 45°lorsque

l’effort tranchant sollicitant est inférieur à l’effort tranchant critique.

Le voilement apparaît lorsque la contrainte de cisaillement(et par conséquent la contrainte principale de compressioninduite) dépasse un certain seuil τcr donné par (dans le casd’un panneau articulé sur son contour) :

( )2

2

2

.1.12

.

−=

d

tEk w

cr νπτ τ

- pour les âmes avec raidisseurs transversaux au droit des appuis mais

52

sans aucun raidisseur transversal intermédiaire : kτ = 5,34;- Pour les âmes comportant des raidisseurs transversaux intermédiaires :

1 si 4

34,5

1 si 34,5

4

2

2

≥

+=

<

+=

d

a

da

k

d

a

da

k

τ

τ

ww t

d=λ On définit : l’élancement de l’âme

τελλ

kw

w ..4,37= l’élancement réduit de l’âme

Le risque de voilement par cisaillement est négligeable si :

Vérification selon l’EC3

53

ελ 69<w pour des âmes sans raidisseurs

30 τελ kw < pour des âmes avec raidisseurstransversaux intermédiaires

Dans les cas contraires, la résistance de l’âme auvoilement doit être vérifiée.

Les profilés laminés du type HEA, HEB, IPE ne présententpas de risque de voilement d’âme par cisaillement. Lephénomène est surtout critique pour les profilés reconstituéssoudés dont les âmes sont en général très élancées.

L’EC3 propose deux méthodes de vérification de voilementsous cisaillement :

La méthode post-critique simple qui peut s’appliquer danspresque tous les cas aux âmes de poutre à section en double té

54

presque tous les cas aux âmes de poutre à section en double téavec ou sans raidisseurs intermédiaires mais à condition qu’il y aitdes raidisseurs transversaux au droit des appuis. Elle estparticulièrement recommandée lorsque le rapport a/d > 3 ; dans lecas contraire, elle est conservative.

La méthode du champ diagonal de traction qui s’applique auxpanneaux courants des âmes ayant des raidisseurs intermédiaireset vérifiant 1 ≤ a/d ≤ 3.

Méthode post-critique simple

1, /.. MbawRdbaEd tdVV γτ=≤Résistance post-critique simple au cisaillement

Limite élastique de l’âme

55

( )[ ]

w

ywbaw

ywwbaw

ywbaw

f

f

f

λτλ

λτλ

τλ

.3

.9,0 alors 2,1 si

38,0.625,01 alors 2,10,8 si

3 alors 8,0 si

=≥

−−=<<

=≤

Méthode du champ diagonal de traction

( ) ( )[ ]1

,sin....9,0..

M

bbwbbwRdbbEd

tgtdVV γφστ +=≤

Résistance au voilement par cisaillement

Résistance initiale au voilement par cisaillement

Résistance dite du champ diagonal de traction développée à l’intérieur d’une bande inclinée de largeur g de l’âme

56

Détermination de τbb :

( )[ ]

31

alors 25,1 si

38,0.8,01 alors 25,10,8 si

3 alors 8,0 si

2yw

w

bbw

ywwbbw

ywbbw

f

f

f

=≥

−−=<<

=≤

λτλ

λτλ

τλ

57

w λ

Détermination de σbb :

ψψτσ −+−= 222 3 bbywbb f

φτψ 2sin..5,1 bb=

On a θ /2 ≤ φ ≤ θ où θ = arctan(d/a). Il est recommandé deprendre φ = θ/1,5.

La largeur g du champ diagonal de traction est donnée par :

( ) φφ sin.cos. tc ssadg −−−=

Longueurs d’ancrage du champ diagonal de traction le long de la

semelle comprimée

Longueurs d’ancrage du champ diagonal de traction le long de la semelle tendue

sc et st sont calculés à partir de la formule suivante :

58

ast

Ms

bbw

RkNf ≤= mais .sin

2 ,

σφ

Moment de résistance plastique réduit de la semelle

Pour calculer MNf,Rk, on commence par considérer que l’effortaxial NEd et le moment fléchissant MEd sont repris uniquementpar les semelles

Soit Nf,Ed l’effort longitudinal résultant dans la semelle. Parexemple pour une section soumise à un effort axial decompression et un moment fléchissant positif, on a :

( )

( )f

EdEdEdf

f

EdEdEdf

td

MNN

td

MNN

+−=

++=

2)inférieure (semelle

2)supérieure (semelle

,

,

59

Après on calcule MNf,Rk :

−=

2

,

,2

, 1.4

..

Rdf

EdfyfRkNf N

NftbM

4 classe de sections lespour ..

3ou 2 1, classe de sections lespour ..

1,

0,

M

yfeffRdf

M

yfRdf

ftbN

ftbN

γ

γ

=

=

Vérification des raidisseurs transversaux

Il faut d’abord s’assurer que le raidisseur transversalintermédiaire dispose de l’inertie suffisante Is en vérifiant :

3

2

33

..75,0 alors 2da si

..5,1 alors 2d

a si

ws

ws

tdI

a

tdI

≥≥

≥<

60

d ws

Ensuite, on vérifie la résistance du raidisseur auflambement (voir chapitre éléments comprimés) en retenantcomme effort de compression NS dans le raidisseur l’effortdonné par la formule :

0 mais ..1

≥−= SM

bbwEdS NtdVN γ

τ

Interaction entre effort tranchant, moment fléchissant et effort axial

Elle ne fait pas partie de ce cours (voir EC3 ou cours deconstruction métallique 2).

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