cours 6 3.1 dÉterminants (suite). 2 au dernier cours, nous avons vu la définition axiomatique du...

Cours 6

3.1 DÉTERMINANTS (SUITE)

2

Au dernier cours, nous avons vu

✓ La définition axiomatique du déterminant.

✓ Le calcul d’aire à l’aide du déterminant.

✓ La façon de résoudre un système

d’équations linéaires à deux équations et

à deux inconnues à l’aide de la règle de

Cramer.

Aujourd’hui, nous allons voir

3

✓ Le déterminant en dimension 3.

✓ Le calcul d’un volume à l’aide du

déterminant.

✓ La façon de résoudre un système

d’équations linéaires à trois équations

et à trois inconnues à l’aide de la

règle de Cramer.

4

Volumes

Ça serait bien si on pouvait faire quelque chose de semblable pour les volumes!

Regardons si les propriétés du déterminant correspondent aux propriétés des volumes orientés.

5

Dans l’espace

Volume négatif Volume positif

6

Définition:

Le déterminant de trois vecteurs dans l’espace est un nombre

tel que les six propriétés suivantes sont respectées.

(Si on a les coordonnées des vecteurs

on peut aussi noter le déterminant)

D1.

D3.

D2.

8

D4.

9

D5.

D6.

11

D1.

12

D2.

Hum... pas de volume!

13

D3.

14

D4.

15

D5.

16

D6.

17

Calculons le volume.

18

avec eux.On refait ça

19

20

Exemple:

Trouver le volume du parallélépipède suivant

Mais ça, c’est le volume orienté.

Pour obtenir le volume, il suffit de prendre la valeur absolue.

21

Faites les exercices suivants

p.98 # 10 à 12

22

Théorème:

Règle de Cramer

La preuve est semblable à celle pour un système à deux équations et à deux inconnues.

23

Volume d’un tétraèdre

volume du parallélépipède

24

Le déterminant peut servir à établir si trois vecteurs sont dans

un même plan.

Car s’ils sont dans un même plan,

ils n’auront pas de volume.

25

Faites les exercices suivants

p.102 #13 à 17

26

Aujourd’hui, nous avons vu

✓ Le déterminant en dimension 3

✓ Le calcul d’un volume à l’aide du

déterminant.

✓ La façon de résoudre un système

d’équations linéaires à trois équations

et à trois inconnues à l’aide de la

règle de Cramer.

27

Devoir:p.101, #1 à 28