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Circulation etflux

V. Borrelli

Courbesparamétrées

Circulationd’un champde vecteurs

Circulationd’un champgradient

Surfacesparamétrées

Flux à traversune surfaceparamétrée

Théorèmes deStokes-Ampère et deGauss-Ostrogradski

Circulation et flux

Vincent Borrelli

Université de Lyon

Circulation etflux

V. Borrelli

Courbes paramétrées

Il existe plusieurs façons mathématiques de décrireformellement la notion de « courbe ». En voilà trois :

• au moyen des graphes de fonctions d’une variable

• au moyen d’équations implicites : on parle alors decourbes définies implicitement

• au moyen d’un paramètre, le temps t : on parle alorsde courbes paramétrées

Dans ce chapitre, on donne la préférence aux courbesparamétrées.

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V. Borrelli

Circulation etflux

V. Borrelli

Circulation etflux

V. Borrelli

Circulation etflux

V. Borrelli

Graphes

y = f (x)

Circulation etflux

V. Borrelli

Courbes définies implicitement

x2 + y2 = 1

Circulation etflux

V. Borrelli

a2 +y2

b2 = 1

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V. Borrelli

y sin x + x cos y = 1

Circulation etflux

V. Borrelli

x(t) = cos t , y(t) = sin t

Circulation etflux

V. Borrelli

x(t) = a cos t , y(t) = b sin t

Circulation etflux

V. Borrelli

x(t) = cos t , y(t) = sin 3t

Circulation etflux

V. Borrelli

x(t) = cos t , y(t) = sin 3t

Circulation etflux

V. Borrelli

Définition.– Une COURBE PARAMÉTRÉE est une fonctionvectorielle

−→γ : I −→ R3

t 7−→ (x(t), y(t), z(t))

Le SUPPORT de la courbe paramétrée est le lieu des points

C+ = −→γ (t) =(x(t), y(t), z(t)

) ∣∣ t ∈ I ⊂ R ,

Une courbe paramétrée est naturellement ORIENTÉE par lesens croissant du paramètre t .

On dit que la courbe −→γ est FERMÉE quand I = [t0, t1] et−→γ (t0) = −→γ (t1).

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V. Borrelli

• Sauf mention explicite du contraire, on suppose que −→γ estde classe C∞.

• On appelle VECTEUR VITESSE la dérivée première de −→γ :

−→γ (t) =d−→γ (t)

dt=(x(t), y(t), z(t)

• On appelle VECTEUR ACCÉLERATION la dérivée secondede −→γ :

−→γ (t) =d2−→γ (t)

dt2 =(x(t), y(t), z(t)

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V. Borrelli

Définition.– Une courbe paramétrée −→γ : I −→ R3 est diteRÉGULIÈRE si pour tout t ∈ I,

‖−→γ (t)‖ 6= 0

autrement dit, si son vecteur vitesse ne s’annule jamais. Ladroite passant par −→γ (t) et de vecteur directeur −→γ (t) estappelée la DROITE TANGENTE en t à −→γ .

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V. Borrelli

Courbes paramétrées• On appelle ÉLÉMENT DE LIGNE le « vecteur »

−→d` = −→γ (t) dt

• On appelle ABSCISSE CURVILIGNE ou PARAMÈTRE DE LA

LONGUEUR D’ARC l’intégrale

s(t) = s(t0) +

t0‖−→γ (t)‖dt

• On appelle ÉLÉMENT D’ARC la différentielle

ds = ‖−→γ (t)‖ dt

l’intégrale

Lt1t0(−→γ ) =

t0‖−→γ (t)‖ dt =

ˆ s(t1)

s(t0)ds

donne la longueur de la courbe paramétrée.

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V. Borrelli

−→d` = −→γ (t) dt

s(t) = s(t0) +

t0‖−→γ (t)‖dt

ds = ‖−→γ (t)‖ dt

l’intégrale

Lt1t0(−→γ ) =

t0‖−→γ (t)‖ dt =

ˆ s(t1)

s(t0)ds

Circulation etflux

V. Borrelli

−→d` = −→γ (t) dt

s(t) = s(t0) +

t0‖−→γ (t)‖dt

ds = ‖−→γ (t)‖ dt

l’intégrale

Lt1t0(−→γ ) =

t0‖−→γ (t)‖ dt =

ˆ s(t1)

s(t0)ds

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V. Borrelli

Exemples

Exemple 1. Soit −→γ (t) = (t , t , t2) avec t ∈ [0,1].

Notons que x(t) = y(t) = t et que z(t) = x2(t) = y2(t). Lesupport de la courbe est donc une portion de parabolecontenu dans le plan x = y

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V. Borrelli

Exemples

• Puisque −→γ (t) = (t , t , t2), on a −→γ (t) = (1,1,2t) d’où

‖−→γ (t)‖ =√

2 + 4t2 6= 0.

Ainsi −→γ est régulière.

• L’élément de ligne vaut

−→d` = (1,1,2t) dt = dt

−→i + dt

−→j + 2t dt

−→k

• L’élément d’arc vaut

ds =√

2 + 4t2dt

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V. Borrelli

Exemples

• Puisque −→γ (t) = (t , t , t2), on a −→γ (t) = (1,1,2t) d’où

‖−→γ (t)‖ =√

2 + 4t2 6= 0.

−→d` = (1,1,2t) dt = dt

−→i + dt

−→j + 2t dt

−→k

ds =√

2 + 4t2dt

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V. Borrelli

ExemplesExemple 2. Soit −→γ (t) = (3 cos t ,0,2 sin t) avec t ∈ [0,2π].

On a x(t)/3 = cos t , y(t) = 0 et z(t)/2 = sin t ainsi lesupport de la courbe est l’ellipse

contenue dans le plan y = 0.

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V. Borrelli

Exemples• Puisque −→γ (t) = (3 cos t ,0,2 sin t), on a

−→γ (t) = (−3 sin t ,0,2 cos t)

d’où

‖−→γ (t)‖ =

√9 sin2 t + 4 cos2 t 6= 0

−→d` = (−3 sin t ,0,2 cos t) dt = −3 sin t dt

−→i + 2 cos t dt

−→k

√9 sin2 t + 4 cos2 tdt

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemples• Puisque −→γ (t) = (3 cos t ,0,2 sin t), on a

−→γ (t) = (−3 sin t ,0,2 cos t)

d’où

‖−→γ (t)‖ =

√9 sin2 t + 4 cos2 t 6= 0

−→d` = (−3 sin t ,0,2 cos t) dt = −3 sin t dt

−→i + 2 cos t dt

−→k

√9 sin2 t + 4 cos2 tdt

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemples

Exemple 3. Soit −→γ (t) = (cos t , sin t , t) avec t ∈ [0,6π].

On a x2(t) + y2(t) = 1, le support de la courbe est contenuedans un cylindre de base un cercle unité. La hauteur z(t)est le paramètre angulaire. Le support de la courbe estdonc une hélice.

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V. Borrelli

Exemples

• Puisque −→γ (t) = (cos t , sin t , t), on a

‖−→γ (t)‖ =

√sin2 t + cos2 t + 1 =

ainsi la courbe −→γ est régulière

−→d` = (− sin t , cos t ,1) dt = − sin t dt

−→i + cos t dt

−→j + dt

−→k

• La longueur entre 0 et 2π vaut

L2π0 (−→γ ) =

ˆ 2π

√2 dt = 2

√2π

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V. Borrelli

Exemples

• Puisque −→γ (t) = (cos t , sin t , t), on a

‖−→γ (t)‖ =

√sin2 t + cos2 t + 1 =

ainsi la courbe −→γ est régulière

−→d` = (− sin t , cos t ,1) dt = − sin t dt

−→i + cos t dt

−→j + dt

−→k

• La longueur entre 0 et 2π vaut

L2π0 (−→γ ) =

ˆ 2π

√2 dt = 2

√2π

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V. Borrelli

Circulation d’un champ devecteurs

Définition.– Soit−→V : D ⊂ R3 −→ R3 un champ de vecteurs

de R3, γ : [t0, t1] −→ D ⊂ R3 une courbe paramétrée etC+ = γ([t0, t1]) son support. On appelle CIRCULATION DE

−→V

LE LONG DE C+ l’INTÉGRALE CURVILIGNE

−→V ·−→d` :=

−→V(−→γ (t)

)· −→γ (t) dt

où−→V(−→γ (t)

)indique que le champ

−→V est évalué sur les

points de la courbe et · désigne le produit scalaire entrevecteurs.

Circulation etflux

V. Borrelli

Proposition.– Si C− est parcourue dans le sens opposé àcelui de C+, on a

ˆC−

−→V ·−→d` = −

−→V ·−→d`.

• Si C+ est le support d’une courbe fermée, la circulationde−→V le long de C+ s’écrit

−→V ·−→d`

Circulation etflux

V. Borrelli

Proposition.– Si C− est parcourue dans le sens opposé àcelui de C+, on a

ˆC−

−→V ·−→d` = −

−→V ·−→d`.

• Si C+ est le support d’une courbe fermée, la circulationde−→V le long de C+ s’écrit

−→V ·−→d`

Circulation etflux

V. Borrelli

ExemplesExemple 1.– Calcul de la circulation du champ de vecteurs−→V (x , y , z) = z

−→i − y

−→j + x

−→k le long de l’arc d’élice

−→γ (t) = (cos t , sin t , t) avec t ∈ [0,2π] estˆ−→γ

−→V ·−→d` =

ˆ 2π

d(cos t)dt

− sin td(sin t)

+ cos tdtdt

ˆ 2π

(− t sin t − sin t cos t + cos t

t cos t]2π

0−ˆ 2π

0cos t dt −

ˆ 2π

0sin t cos t dt

ˆ 2π

0cos t dt

= 2π −[ 1

2sin2 t

0= 2π

Circulation etflux

V. Borrelli

ExemplesExemple 2.– Calcul de la circulation du champ de vecteurs−→V (x , y , z) = z

−→i − y

−→j + x

−→k le long de la courbe fermée

C+ = C+1 ∪ C+

2 ∪ C+3

représentée ci-dessous

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemples

• La circulation du champ−→V (x , y , z) = z

−→i − y

−→j + x

−→k

le long de la parabole C+1

y = xz = x2

x : 0→ 1est :

−→V ·−→d` =

1x :0→1z=x2

z dx −ˆ

y :0→1

y dy +

1z:0→1x=√

0x2 dx −

0y dy +

√z dz

0−[ 1

=13− 1

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemples• La circulation du même champ de vecteurs−→V (x , y , z) = z

−→i − y

−→j + x

−→k le long du segment

y = xz = 1x : 1→ 0

−→V ·−→d` =

2x :1→0z=1

z dx −ˆ

y :1→0

y dy +

1dx −

1y dy + 0

= −ˆ 1

= −[

0= −1 +

= −12.

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemples

• Enfin, la circulation de−→V = z

−→i − y

−→j + x

−→k le long du

segment C+3

x = 0y = 0z : 1→ 0

−→V ·−→d` =

3x=0dx=0

z dx −ˆ

y=0dy=0

y dy +

3z:1→0x=0

= 0 + 0 +

10 dz = 0.

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemples

• En conclusion, la circulation de−→V le long de la courbe

fermée C+ = C+1 ∪ C+

2 ∪ C+3 vaut :

−→V ·−→d` =

−→V ·−→d`+

−→V ·−→d`

=12− 1

2+ 0 = 0.

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemples

Exemple 3.– Calcul de la circulation du champ

−→V (ρ, ϕ, z) = ϕ

−→eρ + z −→eφ + ρ−→k

le long du cercle C+ d’équation

x2 + y2 = 4z = 3

et orienté

comme dans la figure :

• Notons que cette courbe se décrit simplement en

coordonnées cylindriques :

ρ = 2ϕ : 0→ 2πz = 3

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemples

• Puisque−→V (ρ, ϕ, z) = ϕ

−→eρ + z −→eφ + ρ−→k , on a :

−→V ·−→d` =

ρ=1dρ=0

ϕ dρ+

ϕ:0→2πρ=2, z=3

z ρ dϕ+

z=3dz=0

= 0 + 6ˆ 2π

0dϕ+ 0 = 12π.

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemples

Exemple 4.– Calcul de la circulation du champ−→V (r , ϕ, θ) = ϕ

−→er + sin θ −→eφ + ρ−→eθ le long du cercle C+

d’équation

x2 + y2 + z2 = 4y = x

orienté comme dans la

figure

s’écrit de façon relativement simple en coordonnéessphériques comme union de deux demi-cercles d’équations

r = 2ϕ = π/4θ : 0→ π

et C+2

r = 2ϕ = 5π/4θ : π → 0

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemples• Puisque

−→V (r , ϕ, θ) = ϕ

−→er + sin θ −→eφ + ρ−→eθ, on a :

−→V ·−→d` =

1r=2dr=0

ϕ dr +

1ϕ=π/4dϕ=0

r sin2 θ dϕ+

1r=2θ:0→π

= 0 + 0 + 4ˆ π

0dθ = 4π

−→V ·−→d` =

ϕ dr +

2ϕ=5π/4dϕ=0

r sin2 θ dϕ+

2r=2θ:π→0

= 0 + 0 + 4ˆ 0

πdθ = −4π

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemples

• Au bilanˆC+

−→V ·−→d` =

−→V ·−→d`+

−→V ·−→d` = 0

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V. Borrelli

Circulation d’un champ gradient

Théorème.– Soit−→V =

−−→grad φ un champ de gradient de

domaine Dφ, alors

• La circulation de−−→grad φ le long d’une courbe C+ ⊂ Dφ

joignant deux points A et B ne dépend pas de la courbemais seulement des valeurs de φ aux deux points

−−→grad φ ·

−→d` = φ(B)− φ(A).

• La circulation de−−→grad φ le long d’une courbe fermée C+

est nulle ˛C+

−−→grad φ ·

−→d` = 0.

Circulation etflux

V. Borrelli

ExempleExemple.– Soit

−→V =

−−→grad φ où

φ(x , y , z) =1√

y(z2 − x2)

avecD =

(x , y , z) ∈ R3 | y > 0, z > x > 0

Soit C+ une hélice de D joignant les points A = (0,1,2) etB = (3,4,5). La circulation de

−−→grad φ le long de C+ vaut :

−−→grad φ ·

−→d` = φ(3,4,5)− φ(0,1,2)

4(25− 9)− 1√

4− 0)

2 · 4− 1

2= −3

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V. Borrelli

Surfaces paramétrées

Il existe plusieurs façons mathématiques de décrireformellement la notion de « surface ». En voilà trois :

• au moyen des graphes de fonctions deux variables

• au moyen d’équations implicites : on parle alors desurfaces définies implicitement

• au moyen de deux paramètres, souvent notés u et v :on parle alors de surfaces paramétrées

Dans ce chapitre, on donne la préférence aux surfacesparamétrées.

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V. Borrelli

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V. Borrelli

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V. Borrelli

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V. Borrelli

Graphes

Un plan ; z = f (x , y) = x

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V. Borrelli

Graphes

z = f (x , y)

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V. Borrelli

Surfaces définies implicitement

Un ellipsoïde ; F (x , y , z) = 0 avec F (x , y , z) = 2z2 + x2 + y2 − 1

Circulation etflux

V. Borrelli

Surfaces définies implicitement

Un paraboloïde hyperbolique ; F (x , y , z) = 0 avecF (x , y , z) = z − x2 − y2

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V. Borrelli

Un tore ; x(u, v) = cos u (2 + cos v), y(u, v) = sin u (2 + cos v),z(u, v) = sin v

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V. Borrelli

Un hélicoïde ; x(u, v) = u cos v , y(u, v) = u sin v , z(u, v) = u

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V. Borrelli

Définition.– Une SURFACE PARAMÉTRÉE est une fonctionvectorielle

f : U × V −→ R3

(u, v) 7−→ (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

Le SUPPORT de la surface paramétrée est le lieu des points

S = f (u, v) =(x(u, v), y(u, v), z(u, v)

) ∣∣ (u, v) ∈ U×V ⊂ R2

Circulation etflux

V. Borrelli

ExempleExemple 1.– Soit

f : [0,1]× [0,1] −→ R3

(u, v) 7−→ (u, v , v2)

Le support S est un cylindre d’axe (Oy) et de base uneportion de parabole.

Circulation etflux

V. Borrelli

Surfaces paramétréesrégulières

Définition.– On dit qu’une surface paramétrée

f : U × V −→ R3

(u, v) 7−→ (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

est RÉGULIÈRE en un point (u, v) ∈ U × V si les dérivéespartielles

∂f∂u

(u, v) et∂f∂v

(u, v)

sont linéairement indépendantes. Le plan passant parf (u, v) et de base

(∂f∂u (u, v), ∂f

∂v (u, v))

est dit PLAN TANGENT

en (u, v) à la surface paramétrée.

Circulation etflux

V. Borrelli

Vecteur normal

Propriété.– Un point (u, v) ∈ U × V est régulier si etseulement si

∂f∂u

(u, v) ∧ ∂f∂v

(u, v) 6= 0

Propriété.– Soit f une surface paramétrée régulière. Levecteur

−→n (u, v) :=∂f∂u

(u, v) ∧ ∂f∂v

(u, v)

est un vecteur non nul normal au plan tangent en (u, v) dela surface paramétrée f .

Circulation etflux

V. Borrelli

Vecteur normal

Propriété.– Un point (u, v) ∈ U × V est régulier si etseulement si

∂f∂u

(u, v) ∧ ∂f∂v

(u, v) 6= 0

Propriété.– Soit f une surface paramétrée régulière. Levecteur

−→n (u, v) :=∂f∂u

(u, v) ∧ ∂f∂v

(u, v)

est un vecteur non nul normal au plan tangent en (u, v) dela surface paramétrée f .

Circulation etflux

V. Borrelli

Vecteur normal

Exemple 1 (suite).– Soit

f : [0,1]× [0,1] −→ R3

(u, v) 7−→ (u, v , v2)

On a ∂f∂u (u, v) = (1,0,0) et ∂f

∂v (u, v) = (0,1,2v) ainsi

∂f∂u

(u, v) ∧ ∂f∂v

(u, v) =

2v0−1

Par conséquent la surface est régulière en tout point de[0,1]× [0,1] et un vecteur non nul normal à la surface estdonné par

−→n (u, v) = (2v ,0,−1)

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V. Borrelli

OrientationDéfinition.– Soit f une surface paramétrée régulière, lechoix d’un champ de vecteurs normaux unitaires

−→n : U × V −→ R3

s’appelle une ORIENTATION de f .

• Il n’y a que deux choix possibles

−→n =∂f∂u ∧

∂f∂v∣∣∣ ∂f

∂u ∧∂f∂v

∣∣∣ ou −→n = −∂f∂u ∧

∂f∂v∣∣∣ ∂f

∂u ∧∂f∂v

∣∣∣• Un choix ayant été effectué, on note S+ la surfaceorientée par ce choix et S− par le choix opposé.

Circulation etflux

V. Borrelli

−→n : U × V −→ R3

−→n =∂f∂u ∧

∂f∂v∣∣∣ ∂f

∂u ∧∂f∂v

∣∣∣ ou −→n = −∂f∂u ∧

∂f∂v∣∣∣ ∂f

∂u ∧∂f∂v

∣∣∣

• Un choix ayant été effectué, on note S+ la surfaceorientée par ce choix et S− par le choix opposé.

Circulation etflux

V. Borrelli

−→n : U × V −→ R3

−→n =∂f∂u ∧

∂f∂v∣∣∣ ∂f

∂u ∧∂f∂v

∣∣∣ ou −→n = −∂f∂u ∧

∂f∂v∣∣∣ ∂f

∂u ∧∂f∂v

∣∣∣• Un choix ayant été effectué, on note S+ la surfaceorientée par ce choix et S− par le choix opposé.

Circulation etflux

V. Borrelli

Bord d’un support• On suppose que f est régulière sur U × V et injective surl’intérieur de U × V .

Définition.– Un point P ∈ S est dit POINT DU BORD si pourtoute boule ouverte suffisamment petite B ⊂ R3 centrée enP, l’intersection S ∩ B « ressemble » au demi-disque fermé(x , y) ∈ R2 | x ≥ 0, x2 + y2 < 1. L’ensemble des points dubord de S est noté ∂S.

Circulation etflux

V. Borrelli

Bord d’un supportExemple 1 (suite).– Soit

f : [0,1]× [0,1] −→ R3

(u, v) 7−→ (u, v , v2)

La surface S n’est pas fermée. Son bord est l’union dequatre courbes :

∂S =

z = x2

y = 0x ∈ [0,1]

x = 1z = 1y ∈ [0,1]

z = x2

y = 1x ∈ [0,1]

x = 0z = 0y ∈ [0,1]

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V. Borrelli

Surfaces fermées

Définition.– Une surface paramétrée régulière sur U ×V etinjective sur l’intérieur de U × V est dite FERMÉE si ∂S = ∅.

Surfaces fermées

Surfaces à bord non vide

Circulation etflux

V. Borrelli

Orientation du bord

Remarque.– Un orientation de la surface induit uneorientation de son bord : un promeneur parcourt le bord ∂Sdans le sens positif si la surface S se trouve dans ladirection de son bras gauche tandis que la pointe duvecteur normal est à la hauteur de sa tête.

L’orientation de ∂S selon celle de S

Circulation etflux

V. Borrelli

Orientation du bord

f : [0,1]× [0,1] −→ R3

(u, v) 7−→ (u, v , v2)

L’orientation de S induit l’orientation du bord ∂S décritedans la figure ci-dessus.

Circulation etflux

V. Borrelli

Aire d’une surface paramétréeDéfinition.– Soit f : U × V −→ R3 une surface paramétréerégulière. On appelle

• L’ÉLÉMENT DE SURFACE, le « vecteur »

−→dS =

(∂f∂u

(u, v) ∧ ∂f∂v

(u, v)

)du dv

• L’ÉLÉMENT D’AIRE, l’intégrande

∥∥∥∥ ∂f∂u

(u, v) ∧ ∂f∂v

(u, v)

∥∥∥∥dudv

• L’AIRE DE LA SURFACE, le réel

Aire(f ) =

ˆ ˆ[u0,u1]×[v0,v1]

Circulation etflux

V. Borrelli

Aire d’une surface paramétrée

f : [0,1]× [0,1] −→ R3

(u, v) 7−→ (u, v , v2)

∂f∂u

(u, v) ∧ ∂f∂v

(u, v) =

2v0−1

d’où

−→dS =

2v0−1

etdA =

√1 + 4v2dudv

Circulation etflux

V. Borrelli

Aire d’une surface paramétrée

Aire(f ) =

ˆ ˆ[0,1]×[0,1]

√1 + 4v2dudv

√1 + 4v2dv

√1 + x2dx

1 + x2

ln(x +√

1 + x2)

ln(2 +√

Circulation etflux

V. Borrelli

Flux à travers une surfaceparamétrée

• Soit−→V un champ de vecteurs de R3 et S+ une surface

orientée contenue dans le domaine de−→V , paramétrée par

(u, v) 7→ f (u, v), avec u ∈ [u0,u1] et v ∈ [v0, v1] et orientéepar

−→n =∂f∂u ∧

∂f∂v∣∣∣ ∂f

∂u ∧∂f∂v

∣∣∣Définition.– On appelle FLUX DE

−→V À TRAVERS S+

l’INTÉGRALE DE SURFACE¨S+

−→V ·−→dS

c’est-à-dire le réel¨[u0,u1]×[v0,v1]

−→V(

f (u, v))·(∂f∂u

(u, v) ∧ ∂f∂v

(u, v)

)du dv

Circulation etflux

V. Borrelli

Notation.– Si S+ est une surface fermée, le flux de−→V à

travers S+ s’écrit‹

−→V ·−→d`

Proposition. – Soit−→V un champ de vecteurs de R3 et S+

une surface orientée contenue dans le domaine de−→V . Si

S− est la même surface orientée dans le sens opposé àcelui de S+, on a

¨S−

−→V ·−→dS = −

−→V ·−→dS.

Circulation etflux

V. Borrelli

Notation.– Si S+ est une surface fermée, le flux de−→V à

travers S+ s’écrit‹

−→V ·−→d`

Proposition. – Soit−→V un champ de vecteurs de R3 et S+

une surface orientée contenue dans le domaine de−→V . Si

S− est la même surface orientée dans le sens opposé àcelui de S+, on a

¨S−

−→V ·−→dS = −

−→V ·−→dS.

Circulation etflux

V. Borrelli

ExemplesExemple.– Calcul du flux de

−→V (x , y , z) = x

−→i + z

−→j + y

−→k

au travers de

z = xy0 ≤ z ≤ x ≤ 10 ≤ z ≤ y ≤ 1

paramétrée par f (u, v) = (u, v ,uv) avec u ∈ [0,1] v ∈ [0,1]et orientée avec −→n = 1√

1+u2+v2(−v ,−u,1).

• On a

−→V ·−→dS =

¨[0,1]×[0,1]

·−v−u1

¨[0,1]×[0,1]

(− uv − u2v + v

)du dv

Circulation etflux

V. Borrelli

ExemplesExemple.– Calcul du flux de

−→V (x , y , z) = x

−→i + z

−→j + y

−→k

au travers de

z = xy0 ≤ z ≤ x ≤ 10 ≤ z ≤ y ≤ 1

paramétrée par f (u, v) = (u, v ,uv) avec u ∈ [0,1] v ∈ [0,1]et orientée avec −→n = 1√

1+u2+v2(−v ,−u,1).

• On a

−→V ·−→dS =

¨[0,1]×[0,1]

·−v−u1

¨[0,1]×[0,1]

(− uv − u2v + v

)du dv

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemples

• Ainsi¨

−→V ·−→dS = −

0v dv −

0u2 du

0duˆ 1

= −12

12− 1

= −14− 1

Circulation etflux

V. Borrelli

Théorèmes de Stokes-Ampèreet de Gauss-Ostrogradski

Théorème de Stokes-Ampère.– Soit−→V = rot

−→U un champ

rotationnel alors :¨

rot−→U ·−→dS =

˛∂S+

−→U ·−→d` .

Circulation etflux

V. Borrelli

Théorèmes de Stokes-Ampèreet de Gauss-Ostrogradski

Corollaire 1.– Si S+ est fermée alors‹S+

rot−→U ·−→dS = 0

Corollaire 2.– Si−→U =

−−→grad φ est un champ gradient alors

˛∂S+

−−→grad φ ·

−→d` =

rot(−−→grad φ) ·

−→dS = 0

(car rot(−−→grad φ) = 0).

Circulation etflux

V. Borrelli

ExempleExemple.– Calcul du flux du champ

−→V (x , y , z) = xz

−→i − yz

−→j

au travers du cylindre

x2 + y2 = R2

z ∈ [0,H]

• Le champ−→V est défini sur R3 (contractile) et

div−→V (x , y , z) = z − z = 0

par conséquent−→V admet un potentiel vectoriel.

• Un calcul montre que−→U (x , y , z) = xyz

−→k est un potentiel

vectoriel de−→V i.e. rot

−→U =

−→V .

Circulation etflux

V. Borrelli

−→V (x , y , z) = xz

−→i − yz

−→j

x2 + y2 = R2

z ∈ [0,H]

div−→V (x , y , z) = z − z = 0

−→U =

−→V .

Circulation etflux

V. Borrelli

−→V (x , y , z) = xz

−→i − yz

−→j

x2 + y2 = R2

z ∈ [0,H]

div−→V (x , y , z) = z − z = 0

−→U =

−→V .

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemple• D’après le théorème de Stokes¨

−→V ·−→dS =

˛∂S+

−→U ·−→d` =

˛∂S+

xyz dz

• Le bord de S est composé de deux cercles

x2 + y2 = R2

z = 0et CH =

x2 + y2 = R2

le long desquels z est constant donc˛∂S+

xyz dz = 0

et par conséquent¨

−→V ·−→dS = 0

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemple• D’après le théorème de Stokes¨

−→V ·−→dS =

˛∂S+

−→U ·−→d` =

˛∂S+

xyz dz

• Le bord de S est composé de deux cercles

x2 + y2 = R2

z = 0et CH =

x2 + y2 = R2

le long desquels z est constant donc˛∂S+

xyz dz = 0

et par conséquent¨

−→V ·−→dS = 0

Circulation etflux

V. Borrelli

Théorème de Green-Riemann

• Si S ⊂ (Oxy) est une surface plane et que le champ−→V = rot

−→U est orthogonal à S alors

−→U ne dépend pas de z

et s’écrit sous la forme−→U (x , y) = P(x , y)

−→i + Q(x , y)

−→j

et on a−→V =

(∂Q∂x− ∂P∂y

) −→k

Théorème de Green-Riemann.– On a alors¨

(∂Q∂x− ∂P∂y

)dx dy =

˛∂S+

(P dx + Q dy

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemple

Exemple.– Calcul de l’aire enclose par la courbeparamétrée

γ : [−1,1] −→ R2

t 7−→ (x(t), y(t)) = (t3 − t ,1− t2)

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemple

• Si on choisit P(x , y) = 0 et Q(x , y) = x dans la formule deGrenn-Riemann on constate que

1 dx dy =

˛∂S+

• Or Aire(S) =˜

S+ dx dy donc

Aire(S) =

−1x(t)y ′(t)dt

• On a x(t)y ′(t) = (t3 − t)(1− t2) = 2t2 − 2t4 et

Aire(S) =

t3 − 25

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemple

1 dx dy =

˛∂S+

• Or Aire(S) =˜

S+ dx dy donc

Aire(S) =

−1x(t)y ′(t)dt

• On a x(t)y ′(t) = (t3 − t)(1− t2) = 2t2 − 2t4 et

Aire(S) =

t3 − 25

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemple

1 dx dy =

˛∂S+

• Or Aire(S) =˜

S+ dx dy donc

Aire(S) =

−1x(t)y ′(t)dt

• On a x(t)y ′(t) = (t3 − t)(1− t2) = 2t2 − 2t4 et

Aire(S) =

t3 − 25

Circulation etflux

V. Borrelli

Théorème deGauss-Ostrogradski

Théorème de Gauss-Ostrogradski.– Soient−→V un champ

de vecteurs, S une surface fermée, Ω l’espace bornédélimitée par S (en particulier ∂Ω = S) alors :

−→V ·−→dS =

div−→V dx dy dz .

Dans cette égalité, l’orientation choisie pour S+ est celle dela normale sortante.

Circulation etflux

V. Borrelli

Exemple

Exemple.– Soit−→V un champ de vecteurs à divergence

constante div−→V = a et S une surface fermée englobant un

volume V. Alors le flux de−→V à travers de S+ vaut

−→V ·−→dS =

div−→V dx dy dz

Ωdx dy dz

= aVol(Ω)

Circulation etflux

V. Borrelli

ExerciceÉnoncé.– Calculer le flux du champ de vecteurs−→V (x , y , z) = x2 −→i + y2 −→j + z2 −→k à travers de la surfacefermée constituée du cône tronqué

z2 = x2 + y2

z ∈ [0,3]

et du disque

x2 + y2 ≤ 9z = 3

et orientée par les vecteurs normaux sortants.

Réponse.– Soit

(x , y , z) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ z2, 0 ≤ z ≤ 3

on a ∂Ω = S

Circulation etflux

V. Borrelli

ExerciceÉnoncé.– Calculer le flux du champ de vecteurs−→V (x , y , z) = x2 −→i + y2 −→j + z2 −→k à travers de la surfacefermée constituée du cône tronqué

z2 = x2 + y2

z ∈ [0,3]

et du disque

x2 + y2 ≤ 9z = 3

et orientée par les vecteurs normaux sortants.

Réponse.– Soit

(x , y , z) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ z2, 0 ≤ z ≤ 3

on a ∂Ω = S

Circulation etflux

V. Borrelli

Exercice• Puisque S est fermée, on peut appliquer le théorème deGauss-Ostrogradsky

−→V ·−→dS =

div−→V dx dy dz

avec ici div−→V = 2(x + y + z).

• Pour déterminer l’intégrale triple, on passe encoordonnées cylindriques. On a

x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ, z = z

dx dy dz = |det Jh(ρ, ϕ, z)|dρdϕdz= ρ dρdϕdz

Circulation etflux

V. Borrelli

Exercice• Puisque S est fermée, on peut appliquer le théorème deGauss-Ostrogradsky

−→V ·−→dS =

div−→V dx dy dz

avec ici div−→V = 2(x + y + z).

• Pour déterminer l’intégrale triple, on passe encoordonnées cylindriques. On a

x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ, z = z

dx dy dz = |det Jh(ρ, ϕ, z)|dρdϕdz= ρ dρdϕdz

Circulation etflux

V. Borrelli

Exercice• Ainsi‹

−→V ·−→dS = 2

(x + y + z) dx dy dz

= 2ˆ 3

0dzˆ 2π

0dϕˆ z

(ρ2(cosϕ+ sinϕ) + ρz

= 2ˆ 3

0dzˆ 2π

[13ρ3(cosϕ+ sinϕ) +

12ρ2z]ρ=z

ρ=0dϕ

= 2ˆ 3

0dzˆ 2π

z3(cosϕ+ sinϕ) +12

= 2ˆ 3

3z3(sinϕ− cosϕ) +

z3ϕ]2π

= 2ˆ 3

z3 2π dz

= 2π14

34 =81π

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