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Chapitre 2: Cinématique du point
I Introduction
II Vitesse et accélération
1) Vitesse instantanée - vitesse moyenne
2) Vecteur vitesse
3) Vecteur accélération
4) Coordonnées des vecteurs vitesse et accélération
1
Chapitre 2: Cinématique
I Introduction
La cinématique est l'étude des mouvements indépendamment des causes qui les produisent. La trajectoire d’un point matériel, M, est l’ensemble des positions occupées successivement par celui-ci. Elle est définie par la donnée des coordonnées en fonction du temps. A une dimension, on a besoin d’une coordonnée : -) sur une droite, il s’agit de la donnée de l’abscisse, x(t) -) sur une courbe quelconque, c’est l’équation horaire du mouvement, s(t) A deux dimensions, on a besoin de deux coordonnées : -) en coordonnées cartésiennes, il faut donner x(t) et y(t) -) en coordonnées polaires, il faut donner r(t) et (t) A trois dimensions, on a besoin de trois coordonnées : -) en coordonnées cartésiennes, il faut donner x(t), y(t) et z(t) -) en coordonnées cylindriques, il faut donner r(t), (t ) et z(t) -) en coordonnées sphériques, il faut donner r(t), (t ) et (t)
Toutes les fonctions précédentes (sauf s(t)) correspondent à la représentation paramétrique de la trajectoire
2
Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
1) Vitesse instantanée - vitesse moyenne
Vitesse moyenne le long d’une droite (mouvement rectiligne) t
xmoy
v
x
t
smoy
vVitesse moyenne le long d’une courbe quelconque
s
3
Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
1) Vitesse instantanée - vitesse moyenne
Vitesse moyenne le long d’une droite (mouvement rectiligne) t
xmoy
v
x
t
smoy
vVitesse moyenne le long d’une courbe quelconque dans le plan ou l’espace
s
! Vmoy mesure la valeur algébrique du vecteur vitesse. Pour caractériser précisément la vitesse, il faut utiliser un vecteur.
tmoy ut
s
v
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire 4
Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
1) Vitesse instantanée - vitesse moyenne
Vitesse instantanée le long d’une droite (mouvement rectiligne) dt
dx
t
x
t
limv
0
x
Vitesse instantanée le long d’une courbe quelconque dans le plan ou l’espace
tudt
ds v
dt
ds
t
s
t
limv
0
v
v
5
Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
1) Vitesse instantanée - vitesse moyenne
http://us.123rf.com/400wm/400/400/Gudella/Gudella0810/Gudella081000033/3762210-compteur-de-vitesse-indiquant-130-lumiere-verte.jpg
Que mesure le compteur de vitesse de la voiture ? La vitesse instantanée ou la vitesse moyenne ?
Une pierre chute du toit d’un immeuble de 5 étages (h=10 mètres de haut) et met T=2 secondes pour atteindre le sol. La quantité V=h/T=10/2=5 m/s est une vitesse.
V est la vitesse instantanée ou la vitesse moyenne de la chute ?
6
Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
1) Vitesse instantanée - vitesse moyenne
http://us.123rf.com/400wm/400/400/Gudella/Gudella0810/Gudella081000033/3762210-compteur-de-vitesse-indiquant-130-lumiere-verte.jpg
Que mesure le compteur de vitesse de la voiture ? La vitesse instantanée ou la vitesse moyenne ?
Une pierre chute du toit d’un immeuble de 5 étages (h=10 mètres de haut) et met T=2 secondes pour atteindre le sol. La quantité V=h/T=10/2=5 m/s est une vitesse.
V est la vitesse instantanée ou la vitesse moyenne de la chute ?
LA VITESSE INSTANTANEE
LA VITESSE MOYENNE
La vitesse au départ est nulle et maximale au sol (chute libre) 7
Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
2) Vecteur vitesse
http://ww2.cnam.fr/physique//DOCUMENTS/POLYS/ELEMPHY/resumelphy1.html
dx
df
x
xfxxfx
x
)()(lim)('f
0
Pente de la droite verte : x
f
x
xfxxf
)()(
Pente de la droite bleue (coefficient a) :
Ceci se généralise à des vecteurs et on peut écrire la dérivée d’un vecteur…
« vitesse moyenne »
« vitesse instantanée »
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Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
2) Vecteur vitesse
http://ww2.cnam.fr/physique//DOCUMENTS/POLYS/ELEMPHY/resumelphy1.html
OM
'OM
M
O
M’
dt
OMd
t
OMOM
t
'limv
0
trajectoire
Vecteur vitesse instantanée :
Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire
Dans la suite, on oubliera le mot ‘instantanée’, on parlera de « vecteur vitesse »
9
Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
3) Vecteur accélération
dt
d
t
MM
t
v)(v)'(vlima
0
Vecteur accélération (instantanée) :
dt
d
dt
d vva
!
Égalité seulement pour un mouvement rectiligne
10
Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
4) Coordonnées des vecteurs vitesse et accélération
a) Coordonnées cartésiennes :
kzjyixOM
(t) (t) (t) (t)
kzjyixkdt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
OMd
v (t) (t) (t) (t)
(t) (t) (t) (t)
kzjyixkdt
zdj
dt
ydi
dt
xd
dt
d
2
2
2
2
2
2va
(t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t)
11
Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
4) Coordonnées des vecteurs vitesse et accélération
b) Coordonnées polaires :
rurOM
(t) (t) (t) jiur
sincos (t) (t) (t)
Le vecteur dépend de l’angle qui dépend lui-même du temps. ru
Il faut faire la dérivée d’une fonction composée :
d
dft
dt
d
d
df
dt
td
d
fd
dt
tfd)(
d
dtt
dt
dt
d
dt
dt
d rrr u)()(
uu
u jcosisin-j
sindi
dθ
cosθdu r
dd
d
rd
du
u
De même, et donc,
u)(u r
ttdt
d. Donc,
rttdt
du)(
u
)()( tt = vitesse angulaire 12
Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
4) Coordonnées des vecteurs vitesse et accélération
b) Coordonnées polaires :
rurOM
(t) (t) (t)
jiur
sincos u)(
u r
ttdt
d
rttdt
du)(
u
jiu
cossin
urur r
v
urrurr r
2a 2
dt
d
dt
d
Composante radiale Composante orthoradiale
(tangent à la trajectoire)
rr urr 2a urr
2a 13
Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
4) Coordonnées des vecteurs vitesse et accélération
b) Coordonnées polaires :
rurOM
urur r
v
urrurr r
2a 2
Application au cas du cercle
Cercle r=R=Cste ruOM
R
uuRu //θRv
θr2
θr2 u
dt
dRuRωuθRuθRa
O
(t)
v
a
Le vecteur accélération est toujours orienté vers l’intérieur du cercle. Si la vitesse angulaire est constante, l’accélération est ‘centripète’.
OM
14
Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
4) Coordonnées des vecteurs vitesse et accélération
b) Coordonnées polaires : Application au cas du cercle
O
(t)
v a
ra
a
ru
u
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Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
4) Coordonnées des vecteurs vitesse et accélération
c) Coordonnées cylindriques :
k
zurOM r
kv
zurur r
k2a 2
zurrurr r
Les formules sont très sensibles à celles des coordonnées polaires
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Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
4) Coordonnées des vecteurs vitesse et accélération
d) Coordonnées intrinsèques :
????OM
tudt
ds v
v
v
(cf plus haut)
s(t)
dt
ud
dt
dsu
dt
sd tt
2
2
a
Le calcul de l’accélération est plus complexe…
Il faut le calculer….
17
Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
4) Coordonnées des vecteurs vitesse et accélération
d) Coordonnées intrinsèques : v
vs(t) dt
ud
dt
dsu
dt
sd tt
2
2
a
Intuitivement, …. Pour un mouvement rectiligne, et et
i
tu i // a
0
dt
ud t
18
Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
4) Coordonnées des vecteurs vitesse et accélération
d) Coordonnées intrinsèques :
tt u
dt
sd
dt
ud
dt
ds
2
2
a
rnt uuuu
,
Pour un mouvement circulaire, , et θ(t)Rs(t) (t)θR(t)dt
sd2
2
(t)θR(t)dt
ds
θr2 uθRuθRa
O
s(t)
v a
ru
tuu
nu
(t)
En polaires,
nnnt u
dt
ds
Ru
R
Ru
dt
ud
1
Donc,
tn udt
sdu
2
22
R
va
19
Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
4) Coordonnées des vecteurs vitesse et accélération
d) Coordonnées intrinsèques :
De manière générale, n
2
tn
2
t2
2
uv
usuv
udt
sda
est le rayon de courbure, c’est-à-dire le rayon du cercle tangent à la trajectoire au point considéré ( peut être positif ou négatif)
d
ds où représente l’angle entre la tangente à la trajectoire et un axe qcq : Ox
0
s
0
s
Sens trigonométrique
Sens horaire
20
Ox
Ox
Chapitre 2: Cinématique II VITESSE ET ACCELERATION
4) Coordonnées des vecteurs vitesse et accélération
d) Coordonnées intrinsèques :
ntn
2
t aauv
usa
21
tt usa
est l’accélération tangentielle
est l’accélération normale et est toujours orienté vers l’intérieur de la courbure
n
2
n uv
a
Celle qu’on ressent d’avant en arrière quand on freine ou accélère dans une voiture (ou le RER)
Celle qui nous pousse vers l’extérieur du virage dans une voiture (ou le RER)
Vidéo :
http://www.youtube.com/watch?v=nf5QNqsW_5M
Chapitre 2: Cinématique
III RESUME
22
La cinématique est l'étude des mouvements indépendamment des causes qui les produisent. La trajectoire d’un point matériel est l’ensemble des positions occupées successivement par celui-ci. Elle est définie par la donnée des coordonnées en fonction du temps. Le vecteur vitesse est un vecteur constamment tangent à la trajectoire. En cartésiennes : En polaires/cylindriques : En intrinsèques : M défini par s(t) Le vecteur accélération est toujours orienté vers le centre de la courbure de la trajectoire
kzjyixOM
kzjyixdt
OMd
v kzjyix
dt
d
va
k
zurOM r kv
zurur r k2a 2
zurrurr r
tudt
ds v
n
2
tn
2
t2
2
uv
usuv
udt
sda
Chapitre 2: Cinématique
III RESUME
23
v
a
Exemple d’orientation des vecteurs vitesse et accélérations le long d’une trajectoire
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