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CALCUL INTÉGRAL
Thomas . Weir . Hass . Giordano Onzième édition
SOLUTIONNAIRE DE L’ÉLÈVE
Chapitre 2 : Application de l’intégrale
Adaptation Vincent Godbout
Hughes Boulanger
Exercices 2.1 page 97
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 2.1 - Aires planes et théorème de la moyenne 1. Zéros de la fonction :
( ) 02-02- 2 =+⇒=− xxxx
-2ou 0 ==⇒ xx
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
328
320
34
34
00438- 4
3800 994
38
3
- 3
- 3
-
2- 2- 2-
2
0
230
2-
232-
3-
23
2
0
20
2-
2-2
3-
2
=++=
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−+−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−+−+−= ∫∫∫
xxxxxx
dxxxdxxxdxxxA
3. Zéros de la fonction :
( ) 0404 23 =−⇒=− xxxx
( )( )
-2.ou 2 ,002+2===⇒
=−⇒
xxxxxx
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
844
084 840
024
0224
2 2-242-02
40
24
24
4 4
24
24
24
24
2
0
240
2-
24
2
0
30
2-
3
=
+=
−−+−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−+−= ∫∫
xxxx
dxxxdxxxA
x
y
1 2-3
-2
-1-2
-4
-6
-8
xxy 2 - 2 −=
y
x-1-2 1 2
-1
-2
-3
3
2
1
xxy 4 3 −=
98 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
5. L'aire du rectangle borné par les droites d'équations .2est 0et ,0 ,2 πxπxyy ====
L'aire sous la courbe d'équation xy cos1 += est
( ) [ ] ( ) ( ) πππxxdxx ππ
=+−+=+=+∫ 0sin0sinsin cos1 00
L'aire de la région colorée est donc .2 πππ =−
7. ( ) ∫ ∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
==−=π ππ
dxxdxxdxxA0 0
2
0
2 2
2cos1 sin cos1
( )
2200
21
20
21
22sin
21 2cos1
21
00
ππ
xxdxxππ
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=−= ∫
9. ( )[ ] ( )∫ ∫ −=−−=2
2-
2
2-
42242 4 22 dxxxdxxxxA
15
1285
323
32-5
323
3253
42
2-
53
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
xx
11. Points d'intersection des deux courbes : xxx 2-4 22 −=− ,
d'où ( )( ) .1ou -2 ,012 ,02 ,0422 22 ===−+=−+=−+ xxxxxxxx
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )
( )
33812
3163
32312
316-
843
164132-12918-84
316-
43
2-43
2
422- 422
42- 2-4
1
2-
232-
3-
23
2-
3-
1
2-
22
-2
3-
1
2-
2222
=+−+−−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=
+−+−+=
−−−+−−−=
∫ ∫
∫ ∫
xxxxxx
dxxxdxxx
dxxxxdxxxxA
Exercices 2.1 page 99
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
13. Zéros de la fonction : ( )( ) 0240862 =−−⇒=+− xxxx
.2ou 4 ==⇒ xx
a) ( )∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=+−
3
0
3
0
232 8
26
3 86 xxxdxxx
( ) ( )6
00024279=
+−−+−=
b) ( ) ( )∫∫ +−++−=3
2
22
0
2 86 86 dxxxdxxxA
( ) ( )
322
32
320
16123824279 0001612
38
82
63
82
63
3
2
232
0
23
=+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−+−++−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−= xxxxxx
15. Zéros de la fonction : ( ) 0202 2 =−⇒=− xxxx
.2ou 0 ==⇒ xx
a) ( )3
0
32
3
0
2
3 2 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−∫
xxdxxx
( ) ( )[ ] 00099 =−−−=
b) ( ) ( )∫∫ −+−=3
2
22
0
2 2 2 dxxxdxxxA
( ) ( )
38
34
34
38499 00
384
3
3
3
2
32
2
0
32
=+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−+−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
xxxx
8
6
4
2
1 2 3x
y
8 6 2 +−= xxy
1 2 3
1
-1
-2
-3
x
y
2 2xxy −=
100 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
17. Points d'intersection des deux courbes : 422 22 =⇒=− xx -2.ou 2 ==⇒ xx
( )( )
( )
332
38+8-
388
34 4
22
2
2-
2
2-
32
2
2-
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=
−−=
∫
∫
xxdxx
dxxA
19. Points d'intersection des deux courbes : 2 2 2- 4 2 4 0x x x x x= + ⇒ − =
( ).2ou 0
022==⇒
=−⇒
xxxx
( ) ( )
( )38008
316-
24
32-
42- 4-
2
0
23
2
0
2
0
222
=+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
+=−+= ∫ ∫
xx
dxxxdxxxxA
21. Points d'intersection des deux courbes :
04544 24224 =+−⇒=+− xxxxx
( )( )( )( )( )( )
.1ou -1ou 2ou -2
01122014 22
====⇒
=−+−+⇒
=−−⇒
xxxx
xxxxxx
( )
( )
( )
-12 4 2
-2
14 2 2
-1
22 4 2
1
4 4
4 4
4 4
A x x x dx
x x x dx
x x x dx
⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦
⎡ ⎤+ − + −⎣ ⎦
⎡ ⎤+ − − +⎣ ⎦
∫
∫
∫
2-2
-2
2
x
y
2 2 −= xy
2
4
x
y
2xy =
xxy 4 - 2 +=
2
4
x
y
2xy =
4 4 24 +−= xxy
6
8
31-1-2-3
-2
Exercices 2.1 page 101
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( ) ( ) ( )
81522
1576
1522
435
51-8
340
532-4
35
51-4
35
518
340
5324
35
51
43
55
-43
55
43
55
-
45- 45 45-
2
1
351
1-
351-
2-
35
1
1-
2
1
2424-1
2-
24
=++=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=
−+++−+−+= ∫ ∫∫
xxxxxxxxx
dxxxdxxxdxxxA
23. Points d'intersection des deux courbes :
xxxxx cossin2sin22sinsin2 =⇒=
( )
.ou 0
1cosou 0sin0cos1sin2
0cossin2sin2
πxx
xxxx
xxx
==⇒
==⇒
=−⇒
=−⇒
( )
( )( ) ( )
4
2112-
211-2-
22coscos2-
2sinsin2
0
0
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
−= ∫π
π
xx
dxxxA
25. Le graphique suggère que les points d'intersection entre les deux courbes sont
.1et 0 -1, === xxx En effet, ( ) ( ) ( ) .12sinet 00sin -1,2-sin === ππ
( ) ( ) ( ) ( )
14221
212
012-2102-02
21120
22cos2-
2cos2
2
2
sin 2
sin
1
0
20
1-
2
0
1-
1
0
−=+−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= ∫ ∫
πππ
ππππ
xxππ
xππ
x
dxxxπdxxπxA
x
y
sin 2 xy =
2sin xy =π
2
( ) 2/ sin xy π=xy =
-1 1
y
x
1
-1
102 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
27. Intersection entre les courbes :1et 2xyxy ==
.111 32 =⇒=⇒= xx
xx
( )
121
21
1-21-0
21
1-2
1
2
1
1-1
0
2
1
0
2
12
=+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
+= ∫ ∫
xx
dxx
dxxA
29. Points d'intersection entre :1-et 3 2 =−= yxy
04-13 22 =−⇒=− xx
( )( )-2.ou 2
022==⇒
=+−⇒
xxxx
( )[ ]
( )
332
38+8-
388
34
4
1-3
2
2-
3
2
2-
2
2
2-
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−=
−−=
∫
∫
xx
dxx
dxxA
31. Le graphe de cette fonction sur l'intervalle [ ]1 ,0 est un triangle rectangle isocèle situé dans le
premier quadrant et dont chacun des côtés égaux repose sur les axes de coordonnées et mesure 1.
L'aire du triangle est ( )( ) .2111
21
=
Puisque l'aire est également la valeur de l'intégrale de la fonction de 0 à 1,
( ) ( ) ( ) .21
211 1
011moy et
21 1
1
0
1
0∫∫ =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=−
−==− dxxfdxx
1 1,50,5 2,5
2
2
1
0,5
1,5
x
y
/ 1 2xy =
xy =
2-2
3
x
y
3 2xy −=
1- =y
Exercices 2.1 page 103
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
33. Le graphe de cette fonction est un demi-cercle de rayon 1 centré à l'origine. Sur l'intervalle
[ ],1 ,0 nous avons le quart de cercle situé dans le premier quadrant.
L'aire du quart de cercle est ( ) .44
1 2 ππ=
Puisque l'aire est également la valeur de l'intégrale de la fonction de 0 à 1,
( ) .44
1 101
1moy et 4
11
0
21
0
2 πππ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=−
−==− ∫∫ dxxfdxx
35. La voiture a franchi les 150 premiers kilomètres
en 5 heures et les 150 suivants en 3 heures.
Elle a donc mis 8 heures pour parcourir les
300 kilomètres et ( ) 5,378
300moy ==v km/h.
La fonction v est définie de la manière suivante :
( )⎩⎨⎧
≤<≤≤
=8550
sisi
5030
tt
tv
et ( ) ( )( ) ( )( ) 5,378
350530moy =+
=v km/h.
37. a) ( ) ( ) ( )∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−
601
0
601
0maxmax 120cos
1201-60 120sin
06011 tVdttV π
ππ
[ ] ( ) 0112
-0cos2cos2
- maxmax =−=−=π
ππ
VV
b) ( ) 3392402 2 rcmmax ≈== VV volts.
c) ( ) ( ) ( ) ( ) dttVdttV 2240cos1 120sin
601
0
601
1
2max
22max ∫∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=ππ
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 1 60max
0
2 1 60max
0
2max
2max
1 cos 240 2
1 sin 2402 240
1 1 1sin 4 0 sin 02 60 240 240
120
Vπt dt
Vt πt
π
Vπ
π π
V
= −
⎡ ⎤⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
=
∫
5 8
30
50
t (h)
moy (v)
v (km / h)
104 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices réalisés avec Mathématica Aire d'une région comprise entre deux courbes
39. a) [ ]3 2x x 1f x_ : = 2x
3 2 3− − +
[ ]
[ ] [ ]{ } { } { }
g x_ : = x 1
Tracer f x ,g x , x, -3, 5 , Style bleu, vert
−
⎡ ⎤→⎣ ⎦
b) =rsection PointsInte
[ ] [ ] { } { }Flatten x / . Map TrouverRacinesIntervalle f x g x , x, #, 5 &, 3⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤= −⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
c) [ ][ ]
[ ] [ ]( )PointsIntersection 2
Intégrale1= f x g x dxPointsIntersection 1
⎡ ⎤⎣ ⎦ −⎡ ⎤⎣ ⎦
∫
[ ][ ]
[ ] [ ]( )PointsIntersection 3
Intégrale2= g x f x dxPointsIntersection 2
⎡ ⎤⎣ ⎦ −⎡ ⎤⎣ ⎦
∫
d) Intégrale2+Intégrale1=Aire
41. a) [ ]Nouveau f, g
[ ] [ ]f x_ : = x Sin 2x+
[ ]
[ ] [ ]{ } { } { }
3g x_ : = x
Tracer f x ,g x , x, -3, 3 , Style bleu, vert⎡ ⎤→⎣ ⎦
b) PointsIntersection =
[ ] [ ] { } { }Flatten x / . Map TrouverRacinesIntervalle f x g x , x, #, 2 &, 2⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤= −⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
c) [ ][ ]
[ ] [ ]( )PointsIntersection 2
Intégrale1= g x f x dxPointsIntersection 1
⎡ ⎤⎣ ⎦ −⎡ ⎤⎣ ⎦
∫
[ ][ ]
[ ] [ ]( )PointsIntersection 3
Intégrale2= f x g x dxPointsIntersection 2
⎡ ⎤⎣ ⎦ −⎡ ⎤⎣ ⎦
∫
d) Intégrale = Intégrale1+Intégrale2
Exercices 2.1 page 105
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Estimer une valeur moyenne
43. a) [ ]fNouveau
[ ] 1f x_ : = x Sinx
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] { }
a= ; b = ;4
Tracer f x , x, a, b
π π
⎡ ⎤⎣ ⎦
b) n1=100 ;
[ ]
b aDeltax1= ;n1
Deltax1ValeursMilieuCent = Table f x , x, a+ , b, Deltax1 //N ;2
−
⎡ ⎤⎧ ⎫⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦
c) [ ]Apply Plus, ValeursMilieuCentValeurMoyenneCent =
n1
d) ; n2
ab=Deltax2 ; 200=n2 −
[ ]
[ ]
[ ]
Deltax2ValeursMilieuDeuxCent = Table f x , x, a+ , b, Deltax2 //N ;2
Apply Plus, ValeursMilieuDeuxCentValeurMoyenneDeuxCent =
n2b an3 = 1000 ; Deltax3 = ;n3
DeValeursMilieuMille = Table f x , x, a+
⎡ ⎤⎧ ⎫⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦
−
[ ]
ltax3 , b, Deltax3 //N ;2
Apply Plus, ValeursMilieuMilleValeurMoyenneMille =
n3
⎡ ⎤⎧ ⎫⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦
e) [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ππ ,
4 x, nneMille,ValeurMoye=xfalleinesIntervTrouverRac
106 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices réalisés avec Maple 6
39. a) Commandes Maple
with(plots):
f1:=plot(f(x),x=-4..4,y=-5..5,color=black):
f2:=plot(g(x),x=-4..4,color=black,thickness=2):
t1:=textplot([-2,1,'f(x)'],color=black,font=[TIMES,ROMAN,12]):
t2:=textplot([2,2,'g(x)'],color=black,font=[TIMES,BOLD,12]):
display(f1,f2,t1,t2);
b) Commandes Maple
sol:=sort([fsolve(f(x)=g(x))]);
evalf(seq(([sol[i],f(sol[i])],i=1..3)),5);
:= sol [ ], ,-2.5833 .42303 3.6603
, ,[ ],-2.5833 -3.5831 [ ],.42303 -.57697 [ ],3.6603 2.6607
c) Commandes Maple
I1:=Int(abs(f-g),x=sol[1]..sol[2] )=int(abs(f(x)-g(x)),x=sol[1]..sol[2]);
I2:=Int(abs(f-g),x=sol[2]..sol[3] )=int(abs(f(x)-g(x)),x=sol[2]..sol[3]);
7169.8 - et 1557.7 - 3.6603
42303.
42303.
5833.2-
== ∫∫ dxgfdxgf et 3.6603
.42303
- 8.7169f g dx =∫
d) := Aire 15.8726
Exercices 2.1 page 107
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
41. a)
b) := sol [ ], ,-1.2298 0. 1.2298
, ,[ ],-1.2298 -1.8601 [ ],0. 0. [ ],1.2298 1.8601
c) 0725.1 et 0725.1 2298.1
0
0
2298.1-
=−=− ∫∫ dxgfdxgf
d) := Aire 2.1450
43. a)
b) Commandes Maple
n:=100;delta:=(b-a)/n;
seq([a+(2*i-1)*delta/2,evalf(f(a+(2*i-1)*delta/2))],i=1..4);
Les quatre premières valeurs seulement
⎡⎣ ⎢⎢
⎤ ⎦ ⎥⎥ ,
2 0 3 8 0 0 π . 7 5 7 6 1 5 1 8 6 8 ⎡
⎣ ⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥
,209800 π .7703082933 ⎡
⎣ ⎢⎢⎤ ⎦ ⎥⎥ ,
43160 π .78205802 8 0 , , ,
⎡ ⎣ ⎢ ⎢
⎤ ⎦ ⎥⎥
, 2 2 1 8 0 0 π . 7 9 2 9 5 2 5 4 7 9
108 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
c) Commandes Maple
n:=100:delta:=(b-a)/n:
[n,`valmoy`=evalf(sum(evalf(f(a+(2*i-1)*delta/2)),i=1..n)/n)];
[ ],100 = valmoy .9347981511
d) ,200 = valmoy .9347939370 et [ ],1000 = valmoy .9347925911
e) Commandes Maple
n:=1000;delta:=(b-a)/n;
valmoy:=evalf(sum(evalf(f(a+(2*i-1)*delta/2)),i=1..n)/n);
[`c=`,fsolve(f(c)=valmoy,c=a..b)];
:= valmoy .9347925915 et [ ],c= 1.582852021
Exercices 2.2 page 109
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 2.2 - Calcul de volumes par découpage en tranches et par la méthode des disques 1. a) ,2rA π= où ,1 2xr −= d'où ( ) ( ).1 2xxA −= π
b) ,hbA ×= où ,12 2xhb −== d'où ( ) ( )214 xxA −=
c) La diagonale 212 xd −= pour un carré situé à une distance x de l'origine.
Or ( ) ,côté 2=A où .2
diagonale côté = Donc ( ) ( ).122
12 2
22
xxxA −=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −=
d) ,43
23
21
21 2bbbhbA =××=××= où ,12 2xb −= d'où ( ) ( ).13 2xxA −=
3. ( ) ( ) ( )2
diagonale2
diagonalecôté22
2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==xA
( )[ ] .22-
2
xxx=
−=
[ ] .16016 24
0
40
2 =−=== ∫ xdxxV
5. a) ( )2
22
2
1
1-1
121
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
+==
xxrxA ππ
.1
12 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=x
π
[ ] ( )[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=−==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
= ∫ 4-
41-tan 1tan tan
11 1
1-
1
1-2
ππππππ arcarcxarcdxx
V
.2
2π=
b) ( ) ( )2
22
2
1
1-1
1côté⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
+==
xxxA
.1
4
1
22
2
2 xx +=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+=
110 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( ) [ ]11-1
1-2
1
1-
tan 4 +14 xarcdxx
dxxAV === ∫∫
( )[ ] .24
-4
41-tan 1tan 4 πππ=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=−= arcarc
7. a) ( ) 2
43
23
21
21 bbbhbxA =⋅⋅=⋅⋅=
( ) .sin3sin243 2
xx ==
[ ]∫ ==π
π
00cos-3 sin3 xdxxV
( ) ( )[ ] .321-1--3 =−= b) ( ) ( ) ( ) .sin4sin2côté
22 xxxA ===
[ ]ππ
00
cos-4 sin4 xdxxV == ∫
( ) ( )[ ] .81-1--4 =−=
9. ( ) .4
5521 4
222 yyryA πππ =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅==
2
0
2
0
54
545
45∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅==
ydyyV ππ
.8084
2
0
5 πππ=−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= y
11. a) Selon le théorème de Cavalieri, le volume de la colonne torsadée est égal au volume d'un
prisme droit de hauteur h et de base carrée mesurant s de côté. Ainsi, ( ) ( ) 22côté sxA ==
et . 0
22∫ ==h
hsdxsV
2
1,5
1
0,5
2 4 6 8 10x
y
2 =y 5 2yx =
Diamètre du cercle
0
Exercices 2.2 page 111
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) Selon le théorème de Cavalieri, le volume demeure le même, indépendamment du
nombre de rotations. .2hsV =
13. ( ) ,2
1 xyxR −==
( )
( )
22
0
22 2 2
0 0
22 3
0
d'où
1 1 2 4
2 12
2 22 2 0 0 03 3
V π R x dx
x xπ dx π x dx
x xπ x
ππ
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎛ ⎞⎛ ⎞= − = − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
∫ ∫
15. ( ) ,4
tan ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== yxyR π d'où ( )
2 21 1
0 0
tan .4πV π R y dy π y dy
⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤= = ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫
Posons ; 4
yu π= alors ,
4dydu π
= d'où dydu 4 π=
.41et 00 π=⇒==⇒= uyuy
( ) [ ]
( )
4 442 2
00 0
Nous avons alors 4 tan 4 sec 1 4 tan
4 1 0 0 4 .4
π ππV u du u du u u
π π
= = − = −
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
17. ( ) ,2xxR =
( )
( )
22
0
2 222 4
0 0
25
0
d'où
32 320 .5 5 5
V π R x dx
π x dx π x dx
x ππ π
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
= =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
∫
∫ ∫
2
4
x
y
2xy =
1
112 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
19. ( ) ,9 2xxR −=
( )[ ]
( )
( ) ( )[ ] .36927-9273
9
9 9
où d'
3
3-
3
3
3-
3
3-
22
2
3
3-
2
πππ
ππ
π
=+−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −=
=
∫ ∫
∫
xx
dxxdxx
dxxRV
21. ( ) ,cos xxR =
( )
( )[ ] ( )
22
0
2 22
0 0
20
d'où
cos cos
sin 1 0 .
π
π π
π
V π R x dx
π x dx π x dx
π x π π
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
= =
= = − =
∫
∫ ∫
23. ( ) ,tansec2 xxxR −=
( ) ( )
( )
[ ] [ ]
4 4 22
0 0
42 2
0
44 4 2 2
0 00
d'où 2 sec tan
2 2 2 sec tan sec tan
2 2 2 sec sec tan .
π π
π
ππ π
V π R x dx π x x dx
π x x x x dx
π x x x x dx
⎡ ⎤= = −⎣ ⎦
= − +
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
∫
∫
Si nous posons xu tan= dans l'intégrale, nous aurons , sec2 dxxdu = de sorte que
2
1
2
1
2
1
2
13
tan3
tansec33
222x
x
u
u
x
x
u
u
xuduudxxx ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡==∫ ∫
[ ] [ ]
.223
1123
12242
0311
22 220
2
3tansec222et
4
0
34
04
0
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=
ππππ
ππ
ππ
ππ xxxV
y
x-3 3
( ) 9 2/12xy −=
xxy tan sec =0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,2 0,4 0,6x
y
4π
2
2 =y
x
y
0
( ) cos 2/1xy =
2 / π
Exercices 2.2 page 113
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
25. ( ) ,5 2yyR =
( ) ( )
( )( )
1 1 22 2
-1 -1
11 54
-1 -1
d'où 5
5 55
1 -1 2 .
V π R y dy π y dy
yπ y dy π
π π
⎡ ⎤= =⎣ ⎦
⎡ ⎤= = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
= − =
∫ ∫
∫
27. ( ) ,2sin2 yyR =
( ) ( )
[ ]
( ) ( )( )
2 2 22
0 0
22
00
d'où 2sin 2
2sin 2 -cos2
- -1 -1 2 .
π π
ππ
V π R y dy π y dy
π y dy π y
π π
⎡ ⎤= =⎣ ⎦
= =
= − =
∫ ∫
∫
29. ( ) ,1
2+
=y
yR
( )
( )
( )
23 32
0 0
33
20 0
2d'où 1
1 14 4 -1+1
14 - -1 3 .4
V π R y dy π dyy
π dy πyy
π π
⎛ ⎞⎡ ⎤= = ⎜ ⎟⎣ ⎦ +⎝ ⎠
⎡ ⎤= = ⎢ ⎥+⎣ ⎦
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
∫
31. ( ) ( ) ,coset 1 xxrxR ==
( )( ) ( )( )
( ) [ ]
( ) ( )
22 2
- 2
22
- 2- 2
2
d'où
1 cos sin
1 - -1 2 2 .2 2
π
π
πππ
π
V π R x r x dx
π x dx π x x
π ππ π π π π
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
= − = −
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
∫
x
y
2π 2sin 2 yx =
2
( ) 1 /2 += yx
1
0,4 0,6
2
3
10,8 1,2 1,4 1,6 1,8 2x
y
-1
x
y
1
2 5 yx =
5
114 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
33. ( ) ( ) ,et 1 xxrxR ==
( )( ) ( )( )
( )
( )
12 2
0
11 32
0 0
d'où
1 3
1 21 0 0 .3 3
V π R x r x dx
xπ x dx π x
ππ
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
∫
35. Points d'intersection des deux courbes : 0231 22 =−−⇒+=+ xxxx
( )( )2 1 0
2 ou -1.
x x
x x
⇒ − + =
⇒ = =
( ) ( ) ,1et 3 2 +=+= xxrxxR
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )
2 2 22 2 2 2
-1 -1
22 4 2
-1
24 2
-1
25 32
-1
d'où +3 1
6 9 2 1
- 6 8
- 3 85 3
32 8 1 1- 12 16 3 85 3 5 3
33 117- 3 33 .5 5
V π R x r x dx π x x dx
π x x x x dx
π x x x dx
x xπ x x
π
ππ
⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= + + − + +
= − + +
⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + =⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
∫
∫
y
x
1
1
xy =
-1 2
5
1 2 += xy
3 += xy
y
x
Exercices 2.2 page 115
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
37. ( ) ( ) ,secet 2 xxrxR ==
( )( ) ( )( )
( )
[ ] ( )
( )
422
- 4
42
- 4
4- 4
2
d'où
2 sec
2 tan 1 - -12 2
2 2 .
π
π
π
π
ππ
V π R x r x dx
π x dx
π ππ x x π
π π π π
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
= −
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
= − = −
∫
∫
39. La droite qui passe par ( ) ( )1 ,2et 0 ,1 a pour équation .1−= xy
( ) ( ) 1et 1 =+== yryxyR ,
( )( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )
( )
12 2
0
12 2
0
1 12 2
0 0
132
0
d'où
1 1
1 2 1 2
1 41 0 0 .3 3 3
V π R y r y dy
π y dy
π y y dy π y y dy
y ππ y π
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
= + −
= + + − = +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= + = + − + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
∫
∫
∫ ∫
41. ( ) ( ) ,et 2 yxyryR ===
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
42 2
0
4
0
42
0
d'où
4
4 16 8 0 0 8 .2
V π R y r y dy
π y dy
yπ y π π
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
= −
⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − − − =⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
∫
∫
x
y
2
sec xy =
4 / -π 4 / π
y
x
1 −= xy
2
1
y
x2
4
2 xy =
116 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
43. ( ) ( ) ,11et 2 yxyryR +=+==
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
12 2
0
1 2
0
1 1
0 0
13 2 2
0
d'où
4 1
4 1 2 3 2
4 4 1 73 3 0 0 0 .3 2 3 2 6
V π R y r y dy
π y dy
π y y dy π y y dy
y y ππ y π
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠
= − − − = − −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − − = − − − − − =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
∫
∫
∫ ∫
45. a) ( ) ( ) ,et 2 xxrxR ==
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
42 2
0
4
0
42
0
d'où
4
4 16 8 0 0 8 .2
V π R x r x dx
π x dx
xπ x π π
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
= −
⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − − − =⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
∫
∫
b) ( ) ,2yxyR ==
( ) ( )2 2 222 2 4
0 0 0
25
0
d'où
32 320 .5 5 5
V π R y dy π y dy π y dy
y ππ π
⎡ ⎤= = =⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = − =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
c) ( ) ,22 xyxR −=−=
( ) ( ) ( )
( )
4 4 422
0 0 0
43 2 2
0
d'où 2 4 4
4 43 2 2
8 816 8 8 0 0 0 .3 3
V π R x dx π x dx π x x dx
x xπ x
ππ
⎡ ⎤= = − = − +⎣ ⎦
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − ⋅ + − − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
2 xy =
1-1
1
y
y
x
2
4
xy =
Exercices 2.2 page 117
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
d) ( ) ( ) ,44et 4 2yxyryR −=−==
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 22 2 2
0 0
2 22 4 2 4
0 0
23 5
0
d'où 16 4
16 16 8 8
8 64 32 2240 0 .3 5 3 5 15
V π R y r y dy π y dy
π y y dy π y y dy
y y ππ π
⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − + − = −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − = − − − =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
47. a) ( ) ,11 2xyxR −=−=
( )
( )
( )
12
-1
1 22
-1
11 3 52 4
-1 -1
d'où
1
21 2 3 5
2 1 2 1 4 2 161 -1 2 .3 5 3 5 3 5 15
V π R x dx
π x dx
x xπ x x dx π x
ππ π
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
= −
⎡ ⎤= − + = − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
∫
∫
b) ( ) ( ) ,1et 22 2 =−=−= xrxyxR
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
1 1 22 2 2
-1 -1
1 12 4 2 4
-1 -1
13 5
-1
d'où 2 1
4 4 1 3 4
433 5
4 1 4 1 563 -3 .3 5 3 5 15
V π R x r x dx π x dx
π x x dx π x x dx
x xπ x
ππ
⎛ ⎞⎡ ⎤= − = − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠
= − + − = − +
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
1-1
1
x
y
2 xy =
118 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
c) ( ) ( ) ,11et 2 2xyxrxR +=+==
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
1 1 22 2 2
-1 -1
1 12 4 2 4
-1 -1
13 5
-1
d'où 4 1
4 1 2 3 2
2 2 1 2 1 643 3 -3 .3 5 3 5 3 5 15
V π R x r x dx π x dx
π x x dx π x x dx
x x ππ x π
⎛ ⎞⎡ ⎤= − = − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠
= − − − = − −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = − − − + + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
49. ( ) ( ) ,et 2222 yabyryabyR −−=−+=
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
-
2 22 2 2 2
-
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
-
2 2
-
2 2
-
22 2
d'où
2 2
4
4
4 aire d'un demi-cercle de rayon
4 2 .2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
V π R y r y dy
π b a y b a y dy
π b b a y a y b b a y a y dy
π b a y dy
πb a y dy
πb a
πaπb π a b
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= + − − − −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤= + − + − − − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦
= −
= −
= ⋅
= ⋅ =
∫
∫
∫
∫
∫
y
xa b
r(y)
R(y)222 ayx =+
a−
Exercices 2.2 page 119
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
51. a) ( ) ,22 yayR −=
( )
( )
( )
( ) ( )
2
-
2 2
-
32
-
3 32 3 3
2 3 3 2 2 3 3
2 3 2
d'où
3
-3 3
3 3 3 3 23
3 3.
3 3
h a
a
h a
a
h a
a
V π R y dy
π a y dy
yπ a y
h a aπ a h a a
a h a h h a ha a aπ
π h a h πh a h
−
−
−
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
= −
⎡ ⎤= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤− − + − + += ⎢ ⎥
⎣ ⎦
− −= =
∫
∫
b) Il s'agit de trouver dtdh lorsque h=4m, sachant que 2,0=
dtdV m3/s et que a=5m.
En a), ( )2 3215
5 ,3 3
πh h πhV πh−
= = − d'où ( ).1010 2 hhhhdhdV
−=−= πππ
Or, ( )10 0,2dV dV dh dhπh hdt dh dt dt
= ⋅ = − ⋅ = de m3/s, de sorte que ( ).102,0
hhdtdh
−=π
Lorsque ( )0,2 0,2 14 m, m/s
4 10 4 24 120dhhdt π π π
= = = =⋅ ⋅ −
.
53. À une hauteur h donnée, la section transversale d'un cylindre circulaire droit duquel a été enlevé
un cône est un disque troué de rayon extérieur R et de rayon intérieur h. L'aire 1A du disque
troué est donnée par ( ).22221 hRhRA −=−= πππ
À la même hauteur, la section transversale de l'hémisphère est un disque de rayon 22 hR −
(voir la figure) et son aire 2A est donnée par ( ).222
222 hRhRA −=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −= ππ Ainsi, .21 AA =
y
xa
R(y)
222 ayx =+
ah −a−
a −
120 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
De plus, les hauteurs des deux solides sont égales à R. Selon le théorème du volume de
Cavalieri, les volumes des deux solides sont égaux et
.32
31 322
cônecylindrehémisphère RRRRRVVV πππ ==⋅−⋅=−=
55. ( ) ,256 2yyR −=
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
-72
-16
-7-7 32
-16 -16
3 3
3 3
d'où
256 2563
-7 -16256 -7 256 -16
3 3
343 4096-1792+ 4096 1053 cm 3308 cm .3 3
V π R y dy
yπ y dy π y
π
π π
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤= + − = ≈⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫
La capacité du wok dépassera donc 3 L.
57. a) ( ) , sin xcxR −=
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2 2 2 2
0 0 0
2 2
00
2
2
d'où sin 2 sin sin
1 cos 2 1 sin 22 sin 2 cos2 2 4
2 -1 0 0 2 1 0 02
4 , qui est fonction de .2
π π π
ππ
V π R x dx π c x dx π c c x x dx
x xπ c c x dx π c x c x x
ππ c π c c
ππ c π c c
⎡ ⎤= = − = − +⎣ ⎦
−⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − + = + + −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= + + − − + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
∫
Posons ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+= cccV 4
22 πππ Alors ( ) [ ] ,2 lorsque 042
πππ ==−⋅=′ cccV qui est donc
un nombre critique de la fonction.
Il faut maintenant calculer ( )cV en ce nombre critique et aux extrémités 0 et 1, pour
trouver le minimum absolu ou le maximum absolu de la fonction.
Exercices 2.2 page 121
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
,42
242
42 2
2 −=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅−+⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
πππ
ππ
πV
( ) ( ) .42
342
1et 2
02
0022
ππππππππ −=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+= VV
Le plus petit de ces nombres est ,42
2
−π qui est atteint lorsque
π2
=c (voir le graphique
ci-dessous). b) En a), la valeur maximale de V est atteinte à l'une des extrémités et ( ) ( ),10 VV > de
sorte que 2
2π est le volume maximal, obtenu lorsque c=0.
c) Le graphe ci-contre représente le volume
du solide en fonction de c, pour .10 ≤≤ c
Lorsque c s'éloigne de [ ]1 ,0 , le volume
s'accroît indéfiniment (parabole orientée
vers le haut).
Si nous approximons le solide par un
ensemble de disques pleins, nous constatons
que le rayon d'un disque représentatif s'accroît
indéfiniment lorsque c s'éloigne de [ ]0, 1 .
59. a) Les aires sont obtenues des circonférences par le calcul ,2πCr = d'où
.42
222
ππππ CCrA =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==
Nous obtenons ainsi les aires suivantes mesurées en cm2 : 9,3 ; 6,4 ; 6,2 ; 8,3 ; 12,6 ;
19,4 ; 28,1 ; 37,1 ; 42,8 ; 42,8 ; 37,1 ; 25,8 ; 12,6.
b) Si nous désignons par C(y) la circonférence du vase en fonction de la hauteur y, alors
l'aire d'une section horizontale est ( ) ( ) ( )( )
22 122
0
1et .2 4 4
C yC yA y π V C y dy
π π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= = =⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
V
c
/2 2π ( ) 4 2 2 ccV −+= πππ
π/2 1
122 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
c) ( )12
2
0
1 4
V C y dyπ
⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫
(
)
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
3
1 12 0 10,8 2 9,0 8,8 10,2 12,6 15,64 24
18,8 21,6 23,2 23,2 21,6 18,0 12,6
277,7 cm .
π−⎛ ⎞ ⎡≈ + + + + +⎜ ⎟ ⎣⎝ ⎠
⎤+ + + + + + + ⎦
≈
d) ( )12
2
0
1 4
V C y dyπ
⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
3
1 12 0 10,8 4 9,0 2 8,8 4 10,2 2 12,64 36
4 15,6 2 18,8 4 21,6 2 23,2 4 23,2
+2 21,6 4 18,0 12,6
278,3 cm .
π−⎛ ⎞ ⎡≈ + + + +⎜ ⎟ ⎣⎝ ⎠
+ + + + +
⎤+ + ⎦
≈
Nous savons que l'erreur liée à la méthode de Simpson est proportionnelle à ,4h
alors que l'erreur liée à la méthode des trapèzes est proportionnelle à .2h Ici, les
deux méthodes sont comparables puisque .où d' ,112
012 24 hhh ==−
=
Exercices 2.3 page 123
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 2.3 - Calcul de volumes par la méthode des tubes
1. [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube b
a
V dx= ∫
( ) ( )
22 22 3 2 4
0 0 0
2 1 2 24 4 2 16
2 2 1 0 0 6
x x x xπx dx π x dx π
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
⎡ ⎤= + − + =⎣ ⎦
∫ ∫
3. [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d
c
V dy= ∫
( )( ) ππ
πππ
2012
42 2 2
2
0
42
0
2
0
32
=−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=== ∫ ∫
ydyydyyy
5. [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube b
a
V dx= ∫
( )
( )3
14183
2
231 12 12
3
0
2323
0
3
0
22
ππ
πππ
=−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +=+=+= ∫ ∫
xdxxxdxxx
7. [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube b
a
V dx= ∫
( ) ππ
π
π
π
808
33
2
32
2
-2
2
0
3
2
0
2
2
0
=−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⋅=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∫
∫
x
dxx
dxxxx
2x
y
x=y
/2- xy =-1
2
124 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
9. xyxy −== 2et 2 se coupent en ( ).1 ,1
[ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube b
a
V dx= ∫
( )
( )
( )6
500041
3112
432
22
22
1
0
432
1
0
32
1
0
2
ππ
π
π
π
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=
−−=
−−=
∫
∫
xxx
dxxxx
dxxxx
11. [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube b
a
V dx= ∫
( )
[ ]⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
=
=
=
∫
∫
ee
e
e
dxex
dxex
x
x
x
111-
-
2--
2
1
0-
1
0
-
1
0
-
2
2
2
ππ
π
π
π
13. a) Si ,0 π≤< x alors ( ) .sinsin xx
xxxfx =⋅=
Si ,0=x alors ( ) .sin0sin0101 xxxfx ===⋅=⋅=
Par conséquent, ( ) xxfx sin = pour .0 π≤≤ x
b) [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube b
a
V dx= ∫
( ) [ ]
( ) ( )
00 0
2 2 sin 2 -cos
2 - -1 -1 4
π πππx f x dx π x dx π x
π π
= = =
⎡ ⎤= − =⎣ ⎦
∫ ∫
y
1
2 xy =
2
1
xy 2 −=
x
Exercices 2.3 page 125
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
15. [ ][ ]dyVd
c
du tubehauteur du tube ncecirconfére∫=
( )
( )
( ) ( )
2
0
23 2 2
0
25 2 3
0
2 -
2
225 3
2 8 2 1 162 4 2 0 0 16 3 2 55 3 5 3 15
πy y y dy
π y y dy
y yπ
ππ π
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
= +
⎡ ⎤= +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ + − + = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠
∫
∫
17. [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d
c
V dy= ∫
( )
( )
( )3
80043
162
4322
22
22
2
0
43
2
0
32
2
0
2
ππ
π
π
π
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−=
−=
∫
∫
yy
dyyy
dyyyy
19. [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d
c
V dy= ∫
( )[ ]
340
314
34
22
-2
1
0
3
1
0
2
1
0
πππ
π
π
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=
−=
∫
∫
y
dyy
dyyyy
y
x-2 2
yx −= yx =
2
x
y
1
22 2 yyx −=
y
xy −= xy =
1-1
1
126 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
21. 2et −== xyxy se coupent en ( )2 ,4
[ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d
c
V dy= ∫
( )
( )
22
0
22 3
0
23 42
0
2 2
2 2
23 4
8 162 4 4 0 0 03 3
πy y y dy
π y y y dy
y yπ y
ππ
⎡ ⎤= + −⎣ ⎦
= + −
⎡ ⎤= + −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= + − − + − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
∫
23. a) [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d
c
V dy= ∫
( ) ( )
( )5
60051
4124
5424
24 122
1
0
54
1
0
431
0
32
πππ
ππ
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−=−⋅= ∫∫
yy
dyyydyyyy
b) [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d
c
V dy= ∫
( ) ( ) ( )
( )
1 12 3 2 3 3 4
0 0
13 4 5
0
2 1 12 24
2 1 1 124 24 0 0 03 4 5 3 2 5
1 42430 5
π y y y dy π y y y y dy
y y yπ π
ππ
⎡ ⎤= − − = − − +⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = − + − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
y
x4
2 xy =
2 −= xy
Exercices 2.3 page 127
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
c) [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d
c
V dy= ∫
( )
( )
1 12 3 2 3 3 4
0 0
13 4 5
0
8 8 82 12 24 5 5 5
8 13 8 13 124 24 0 0 05 3 5 4 5 15 20 5
124 212
π y y y dy π y y y y dy
y y yπ π
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= − − = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = − + − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
d) [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d
c
V dy= ∫
( )
( )
1 12 3 3 2 4 3
0 0
14 3 5
0
2 2 22 12 24 5 5 5
3 2 3 2 124 24 0 0 05 4 5 3 5 20 15 5
124 212
π y y y dy π y y y y dy
y y yπ π
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= + − = + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= + − = + − − + −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
25. Les deux courbes se coupent en ( ).1 ,1
Autour de l'axe des x
a) Méthode des tubes
[ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d
c
V dy= ∫
( )
( ) ( )
152
0031
522
3522 2
2
1
0
3251
0
223
1
0
π
πππ
π
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=
−=
∫
∫
yydyyy
dyyyy
128 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) Méthode des disques troués
( ) ( ) ,et 2xxrxxR == d'où
( )( ) ( )( )1
2 2
0
V π R x r x dx⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫
( ) ( )
.152
0051
31
53
1
0
531
0
42
π
πππ
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−= ∫
xxdxxx
Autour de l'axe des y a) Méthode des tubes
[ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube b
a
V dx= ∫
( )
( ) ( )
6
0041
312
432 2
2
1
0
431
0
32
1
0
2
π
πππ
π
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=
−=
∫
∫
xxdxxx
dxxxx
b) Méthode des disques troués
( ) ( ) ,et yyryyR == d'où
( )( ) ( )( )1
2 2
0
V π R y r y dy⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫
( ) ( )
11 2 32
0 0
1 1 0 02 3 2 3
.6
y yπ y y dy π π
π
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − = − = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
=
∫
Exercices 2.3 page 129
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
27. a) Méthode des disques troués
( ) ( ) ,et 2 xxrxR == d'où
( )( ) ( )( )2
2 2
1
V π R x r x dx⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫
( )
.3
5
314
388
34 4
2
1
32
1
2
π
πππ
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−= ∫
xxdxx
b) Méthode des tubes
[ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube b
a
V dx= ∫
( )
( )
34
311
3842
32 22
22
2
1
32
2
1
2
2
1
π
πππ
π
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=
−=
∫
∫
xxdxxx
dxxx
c) Méthode des tubes
[ ][ ]
( )2
1
2 22 2
1 1
23
1
circonférence du tube hauteur du tube
102 23
20 10 20 162 2 2 3 3 3 3
20 8 40 32 8 20 8 12 23 3 3 3 3 3 3 3 3
2
b
a
V dx
π x x dx
x xπ x x dx π x dx
x x xπ π
π
=
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − + − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
=
∫
∫
∫ ∫
xy =
y
x1 2
1
2
130 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
d) Méthode des disques troués
( ) ( ) oùd' ,1et 112 −==−= xxrxR
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )
22 2
1
2 222 2
1 1
22 32 2
1 1
1 1 1 2 1
8 12 4 13 3 3
23
V π R x r x dx
π x dx π x x dx
xπ x x dx π x π
π
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − = − + −⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
=
∫
∫ ∫
∫
29. La courbe 3yyx −= coupe l'axe des y en ( ) ( ).1 ,0et 0 ,0
a) Méthode des tubes
[ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d
c
V dy= ∫
( )
( ) ( )
13
0
11 3 52 4
0 0
2
1 12 2 2 0 03 5 3 5
415
πy y y dy
y yπ y y dy π π
π
= −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − = − = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
=
∫
∫
b) Méthode des tubes
[ ][ ]
( )( )
( )
( )
13
0
11 2 3 4 52 3 4
0 0
circonférence du tube hauteur du tube
2 1
2 22 3 4 5
1 1 1 12 0 0 0 02 3 4 5
730
d
e
V dy
π y y y dy
y y y yπ y y y y dy π
π
π
=
= − −
⎡ ⎤= − − + = − − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + − − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
=
∫
∫
∫
x
y
1 3 yyx −=
Exercices 2.3 page 131
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
31. Les courbes 8et 2xyxy == se coupent en ( ) ( ).2 ,4et 0 ,0
a) Méthode des disques troués
( ) ( ) ,8et 2xxrxxR == d'où
( )( ) ( )( )[ ]dxxrxRV 4
0
22∫ −= π
.5
24
3202
64
4
0
524
0
4
π
ππ
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∫
xxdxxx
b) Méthode des tubes
[ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube b
a
V dx= ∫
( )
548
00324
5422
32522
8
2 8
2
4254
0
425
4
0
323
4
0
2
π
ππ
ππ
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∫∫
xx
dxxxdxxxx
33. La courbe 411 xy = coupe la droite 1=y au point ( ).1 ,1
a) ( ) ( ) ,1et 1 4-141 === xrxxxR d'où
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
12 2
1 16
1 2-1 4 2
1 16
1 1-1 2 1 21 16
1 16
1
1 11 2 2 1 24 16
9 .16
V π R x r x dx
π x dx
π x dx π x x π
π
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤= − = − = − − ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
=
∫
∫
∫
y
x4
2 xy =
8/ 2xy =
0,2 0,4 0,6 0,8 1
0,5
1,5
1
1 =y
41 −= xy
y
x
132 Chapitre 2 Application de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) Méthode des tubes, avec 2=y lorsque .161=x
[ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d
c
V dy= ∫
2
41
22 -2 2-3
1 1
1 12 16
2 216 -2 32
1 1 1 1 -4 4 16 12 - - 28 8 2 32 32
9 .16
πy dyy
y y yπ y dy π
π π
π
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞= − = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ − + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦
=
∫
∫
35. Méthode des disques
21 VVV −= où
( )( )1 1
21 1
-2 -2
2 3
xV π R x dx π dx+⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
11 2
-2 -2
2 2 3 3 6 3
1 2 4 4 36 3 6 3 2
x x xπ dx π
ππ
⎡ ⎤⎛ ⎞= + = +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
et ( )( )11 1 22
2 20 0 0
1 0 .2 2 2x πV π R x dx πx dx π π
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫
Donc .22
321 πππ
=−=−= VVV
Méthode des disques troués 21 VVV += où
( )( ) ( )( )0 0
2 21 1 1
-2 -2
2 0 3
xV π R x r x dx π dx+⎛ ⎞⎡ ⎤= − = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫
( )3
234
3200
32
6
32
3
0
2-
20
2-
ππ
ππ
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += ∫
xxdxx
Exercices 2.3 page 133
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
et ( )( ) ( )( )1 1
2 22 2 2
0 0
2 3
xV π R x r x dx π x dx⎡ ⎤+⎛ ⎞⎡ ⎤= − = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
( )3
0031
32
332
32
32
32
3
1
0
21
0
1
0
ππ
πππ
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+= ∫∫
xxdxxdxxx
.33
221 πππ
=+=+= VVV
Méthode des tubes
[ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d
c
V dy= ∫
( )
( )
( )
12 2
0
11 43 2
0 0
2 3 2
2 2 2 22
12 1 0 02
πy y y dy
yπ y y dy π y
π
π
⎡ ⎤= − −⎣ ⎦
⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
=
∫
∫
Les méthodes des disques et des disques troués requièrent le calcul de deux intégrales,
alors que la méthode des tubes ne nécessite qu'une intégrale. De plus, cette intégrale
est facile à calculer. La méthode des tubes est donc préférable dans ce cas.
134 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 2.4 - Longueur des courbes planes et aire des surfaces de révolution
1. Puisque ( ) 22223
31 2212 +=⋅+⋅= xxxx
dxdy est continue sur l'intervalle [ ],3 ,0 la courbe est
lisse sur cet intervalle.
( )
( ) ( )
( ) ( ) 1200393
1 1 1
21 21
21 1
3
0
3
3
0
23
0
23
0
22
3
0
243
0
22
3
0
22
2
=+−+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
+=+=+=
++=++=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
∫∫∫
∫∫
∫∫
xx
dxxdxxdxx
dxxxdxxx
dxxxdxdxdyL
b
a
3. Puisque 22
41y
ydydx
−= est continue sur l'intervalle [ ],3 ,1 la courbe est lisse sur
cet intervalle.
653
41
31
1219
41
3
4
1 4
1 4
1
16
121
161
211
4
11 1
3
1
3
3
12
23
12
23
1
2
22
3
14
43
14
4
3
1
2
22
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
++=+−+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∫∫∫
∫∫
∫∫
yy
dyy
ydyy
ydyy
y
dyy
ydyy
y
dyy
ydydydxL
d
c
x
y
3
( ) 232
32
+
=x
y
1
y
yyx 4
1 3 3
+=
1
3
4x
Exercices 2.4 page 135
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
5. 33
41y
ydydx
−= est continue sur l'intervalle [ ].2 ,1 Donc la courbe est lisse sur
cet intervalle et
32123
81
41
3214
81
4
41
41
41
16
121
161
211
411 1
2
12
4
2
1
3-32
13
32
1
2
33
2
16
62
16
6
2
1
2
33
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
++=+−+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∫∫∫
∫∫
∫∫
yy
dyyydyy
ydyy
y
dyy
ydyy
y
dyy
ydydydxL
d
c
7. 313131-31
41
32
83
34
43
xxxx
dxdy
−=⋅−⋅= est continue sur l'intervalle [ ].8 ,1 Donc la courbe est
lisse sur cet intervalle et
899
83
434
8316
43
23
41
43
41
41
41
16
121
161
211
4
11 1
8
1
3234
8
1
31-318
131
318
1
2
3131
8
132
328
132
32
8
1
2
3131
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
++=+−+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
∫∫∫
∫∫
∫∫
xx
dxxxdxx
xdxx
x
dxx
xdxx
x
dxx
xdxdxdyL
b
a
2
4
81 4 y
yx +=
1
2
y
x
41 2 3 5 6 7 8 9
20
15
10
5
x
y
5 83 4
3 3234
+−= xxy
136 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
9. ∫ −=−=y
ydttdyd
dydx
0
44 1sec 1sec est continue sur l'intervalle [ ].4 ,4- ππ Donc la courbe
est lisse sur cet intervalle et
( )
[ ] ( ) ( ) ( )
2 4 24
- 4
4 44 4
- 4 - 4
4 42 2
- 4 - 4
4- 4
1 1 sec 1
1 sec 1 sec
sec sec
tan tan 4 tan - 4 1 -1 2.
πd
c π
π π
π π
π π
π π
ππ
dxL dy y dydy
y dy y dy
y dy y dy
y π π
⎛ ⎞= + = + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + − =
= =
= = − = − =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
11. ( )2xxfy == est une fonction non négative et lisse sur [ ],4 ,0 puisque ( )
21
=′ xf est continue sur
cet intervalle.
( ) ππππ
ππ
540825
225
25
211
22 12
4
0
24
0
4
0
22
=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
∫
∫∫
xdxx
dxxdxdxdyyA
b
a
Vérification
Aire de la surface d'un cône
.5424
222=
apothème2
base la de ncecirconfére
22 ππ=+
⋅
×=
4
2
y
x
2 xy =
-0,5 0,5
4π
4π−
y
x
Exercices 2.4 page 137
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
13. ( )21
2+==
xxfy est une fonction non négative et lisse sur [ ],3 ,1 puisque ( )21
=′ xf est continue
sur cet intervalle.
( )
ππ
πππ
ππ
53625
1213
29
25
225 1
25
211
21
22 12
3
1
23
1
3
1
22
=⋅=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
∫
∫∫
xxdxx
dxxdxdxdyyA
b
a
Vérification
La courbe 21
2+=
xy coupe l'axe des x en -1.=x
Aire de la surface du tronc de cône entre 3et 1 == xx
πππ
ππ
53554
122
12242
221et 1- entre cônedu surface la de aire3et 1- entre cônedu surface la de aire
2222
=−=
+⋅
−+⋅
=
−=
15. Puisque ( )3
2xxf =′ est continue sur [ ] ( )xf ,2 ,0 est lisse sur cet intervalle. De plus, elle est non
négative sur l'intervalle.
( )
( ) [ ]
8198
27125813
9254
94427
2 +9272
3
19
2 12
2
0
234
2
0
21432
0
43
2
0
2232
π
ππ
ππ
ππ
=
−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +=
+×
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
∫∫
∫∫
x
dxxxdxxx
dxxxdxdxdyyA
b
a
3
2
y
x1-1
21
-1
1
x
y
9 3xy =
138 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
17. ( )22 2
12222
1
xx
xxxxdx
dy
−
−=−⋅
−= est continue sur [ [0, 2 , donc la courbe est lisse sur cet
intervalle*.
De plus, la fonction est non négative sur l'intervalle [ ],2 ,0
( ) ( )
[ ] ( ) ππππ
ππ
ππ
212222
2122 2
1222
2
1+122 12
21
2
1
2
1
222
12
222
2
1
2
2
22
=−===
+−+−=−
−+−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
∫
∫∫
∫∫
xdx
dxxxxxdxxx
xxxxx
dxxx
xxxdxdxdyyA
b
a
*La dérivée n'est pas définie au point 2, de sorte que l'intégrale utilisée est une intégrale impropre
du 2e type (voir la section 3.5). Cependant, comme la discontinuité est située en une des bornes
d'intégration et que l'intégrande simplifiée ne comporte plus
l'expression ,2 2xx − l'intégrale peut être calculée.
En fait, l'aire recherchée est celle d'une demi-sphère
de centre ( )0 ,1 et de rayon 1. Cette aire ( ) ,2214 2
ππ==
ce qui confirme le résultat obtenu précédemment.
19. 2ydydx
= est continue sur [ ],1 ,0 donc la courbe est lisse sur cet intervalle. De plus, la fonction est
non négative sur l'intervalle [ ].1,0
( )
( )
( )
2 1 3 22
0
1 1 1 23 4 3 4
0 0
13 24
0
2 1 2 1 3
2 21 4 1 3 3 4
2 1
6 3
2 2 19
d
c
dx yA πx dy π y dydy
π πy y dy y y dy
yπ
π
⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + = +⋅
⎡ ⎤+⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
21
1
x
y
2 2 x xy −=
1
1
y
x
3 3yx =
Exercices 2.4 page 139
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
21. yydy
dx−
⋅−
=4
1-=-1422 est continue sur ,
415 ,0 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ donc la courbe est lisse sur cet intervalle.
De plus, la fonction est non négative sur cet intervalle.
( )
( ) ( )( )
3535
5453
-3
524-
51-1-
4 4
1+-444
41-1422 12
2323415
0
23
415
0
21415
0
415
0
22
π
ππ
ππ
ππ
=
−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=
−⋅=−
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+⋅−⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∫∫
∫∫
y
dyydyy
yy
dyy
ydydydxxA
d
c
23. Nous cherchons ( )xfy = telle que .0pour 120
2
>⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+= ∫ adx
dxdya
a
Si dxdy est constante, alors ( ),012
2
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+= a
dxdya de sorte que ,12
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
dxdy
2 2
2 1 , 1 et 1.dy dy dydx dx dx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = = ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
,Cxy +±= où C est une constante arbitraire, est la famille des fonctions recherchées.
25. a) xdx
dy412
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ de sorte que .et
21 Cxy
xdxdy
+==
Puisque la courbe passe par le point ( ) .0et 11 ,1 ,1 =+= CC
La courbe recherchée est celle de la fonction ,xy = entre les points ( ) ( ).2 ,4et 1 ,1
b) Une seule, puisque nous connaissons à la fois la dérivée de la fonction et la valeur
de la fonction en un point donné.
140 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
27. 2222
-2-2
1
xa
xxxadx
dy
−=⋅
−= est continue sur ] [, ,- aa donc la courbe est lisse sur cet
intervalle*.
De plus, la fonction est non négative sur l'intervalle [ ]. , aa−
[ ] ( )
222 2
2 2-
2 2 22 2 2
2 2- - - -
2-
-2 1 2 1+
2 2 2 2
2 2 - 4
b a
a a
a a a a
a a a a
aa
dy xA πy dx π a x dxdx a x
a x xπ a x dx π a dx π a dx πa dxa x
πa x πa a a πa
⎛ ⎞⎛ ⎞= + = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ −⎝ ⎠
− += − = = =
−
⎡ ⎤= = − =⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
*La dérivée n'est pas définie aux points ,et - aa de sorte que l'intégrale utilisée est une intégrale
impropre du 2e type (voir la section 3.5). Cependant, comme les discontinuités sont situées aux
bornes d'intégration et que l'intégrande simplifiée ne comporte plus l'expression ,22 xa −
l'intégrale peut être calculée.
29. a) Puisque 21-
xdxdy
= est continue sur l'intervalle [ ],2 ,1 la fonction xy 1= est lisse sur cet
intervalle.
2 22 2
2 41 1
-1 11 1 1 b
a
dyL dx dx dxdx x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫
b)
c) 1,1321
21
1
x
y
Exercices 2.4 page 141
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
31. a) Puisque ydydx cos= est continue sur l'intervalle [ ], ,0 π la fonction yx sin= est lisse sur
cet intervalle.
2
2
0
1 1 cos d π
c
dxL dy y dydy
⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫
b)
c) 3,8202
33. a) ,222dydxy =+ de sorte que .1+= y
dydx La dérivée est continue pour 31- ≤≤ y et la
courbe est lisse sur cet intervalle.
( ) dyydydydxL
d
c
11 13
1-
22
∫∫ ++=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
b)
c) 9,2936
2
1
3
2,5
1,5
0,5
0,2 0,4 0,6 0,8 10
yx sin =
x
y
0
1
2
3
-1 1 2 3 4 5 6 7
-1
y
x
1 2 2 2+=+ xyy
142 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
y = tan t dto
x∫
35. a) ∫ ==x
xdttdxd
dxdy
0
tan tan est continue sur [ ],6 ,0 π de sorte que la courbe est lisse sur cet
intervalle.
dxxdxdxdyL
b
a
tan1 16
0
22
∫∫ +=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
π
b)
c) 0,5493
Note : La valeur exacte de l'intégrale s'obtient sans trop de difficulté. 6 6 6
620
0 0 0
1 tan sec sec ln sec tan π π π
πx dx x dx x dx x x⎡ ⎤+ = = = +⎣ ⎦∫ ∫ ∫
( )
ln sec 6 tan 6 ln sec0 tan 0
2 1ln ln 1+0 3 3
ln 3
π π= + − +
= + −
=
37. a) xdxdy 2sec= est continue sur [ ],4 ,4- ππ de sorte que la courbe est lisse sur cet
intervalle. De plus, la fonction xtan est symétrique par rapport à l'origine, d'où l'aire de la
surface de révolution entre 4et 4- ππ == xx est égale au double de l'aire de la
surface de révolution entre .4et 0 π== xx
0,1 0,2 0,3 0,4 0,50
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
x
y
Exercices 2.4 page 143
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Ainsi, ( )2 4
22
0
2 1 2 2 tan 1 sec πb
a
dyA πy dx π x x dxdx
⎛ ⎞= + = ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
. sec1tan44
0
4 dxxx∫ +=π
π
b)
c) 7,6782
39. a) ,1-et 12ydy
dxy
x == de sorte que la dérivée est continue sur [ ]2 ,1 et que la courbe
est lisse sur l'intervalle. De plus, la fonction est positive sur l'intervalle.
dyyy
dyyy
dydydxxA
d
c
1112
1-112 12
2
14
2
1
2
2
2
∫
∫∫
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
π
ππ
-1
1
4π4π−
xy tan=
y
x
144 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b)
c) 5,0164
41. a) ( ) ( ),32121
dxdyx
dxd
=+ d'où .-
et 02
12
1xy
dxdy
dxdy
yx==⋅+ La dérivée
dxdy est
continue sur l'intervalle [ ],4 ,1 donc la fonction est lisse sur cet intervalle. De
plus, la fonction est non négative sur l'intervalle.
( )
( ) ( )∫
∫∫
−+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
4
1
221-2
4
1
22
2
31132
3+132 12
dxxx
dxx
xxdxdxdyyA
b
a
π
ππ
b)
c) 63,3659
1 2
1
2
x
y
xy 1 =
Exercices 2.4 page 145
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
43. La longueur de la courbe ,200où ,203sin ≤≤⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= xxy π est donnée par . 1
20
0
2
dxdxdyL ∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
203
203cos ππ
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= x
dxdy est une fonction continue sur [ ],20 ,0 donc la courbe est lisse sur cet
intervalle.
0679,21 203cos
40091
203cos
2031
20
0
2220
0
2
≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+= ∫∫ dxxdxxL ππππ (intégration numérique).
45. ( ) ( ),25622
dydyx
dyd
=+ d'où .-et 022xy
dydxy
dydxx ==+⋅
La dérivée est continue sur l'intervalle [ ],7- 16,- de sorte que la courbe est lisse sur cet intervalle. De plus, la fonction est non positive partout sur l'intervalle.
[ ] ( )( )
2
7-16-
7-
16-
2
7-
16-
2
2
27-
16-
2
2
2
7-
16-
22
cm 288
16-7-32--32= 162-
256
2562562-
256
12562-
256-
-1256-2 12
π
πππ
π
π
ππ
=
−=⋅=
−−=
−+−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+−⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∫
∫
∫
∫∫
ydy
dyy
y
dyy
yy
dyy
yydydydxxA
d
c
3cm 24,4505,0288 =×= πV
L 2,226cm 67,194 226 3 ==TOTALV
Il devra donc y avoir 226,2 L de chaque produit.
146 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Approximation par des polygones Pour les numéros 47 à 52, nous allons utiliser une procédure qui trace le trajet polygonal et calcule l'approximation de la longueur d'arc pour un nombre donné de sous-intervalles. Cette procédure n'est pas disponible dans la palette, il vous faut donc la taper au début pour la rendre fonctionnelle. Elle prend en paramètres la fonction, la variable, les bornes de l'intervalle et le nombre de sous-intervalles.
{ }{ }
{ }
TrajetPolygonalLongueurArc f_, x_, a_, b_, n_ : =
Module h, j, Dessin, Valx, Valy, Approx ,
b a h = N ;n
Valx = Table a+j h, j, 0, n ;
Valy = Table f /
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡⎣
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] { }
[ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }{ } { }
[ ] [ ]( ) { }
{ } { }
22
. x Valx j , j, l, n+1 ;
Ligne Valx j , Valy j , Valx j+1 , Valy j+1 , j, 1, n ;
Approx = Table h Valy j Valy j+1 , j, 1, n ;
Tracer f, x, a, b , Style bleu , Imag
⎡ ⎡ ⎤ ⎤→ ⎦⎣ ⎦⎣
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
→ { }
( ) ]e Tout, Epilog Dessin ;
Plus@@Approx // N
⎡ ⎤→ →⎣ ⎦
Exercices réalisés avec Mathématica 47. a) et b) [ ] 2f x_ : = 1 x−
[ ] { }
[ ] { }[ ] { }
a = -1 ; b = 1 ;
TrajetPolygonalLongueurArc f x , x, a, b, 2
TrajetPolygonalLongueurArc f x , x, a, b, 4
TrajetPolygonalLongueurArc f x , x, a, b, 8
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
c) [ ] [ ] 2df x
L x_ 1 // Simplifierdx
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
[ ]
[ ]
1
-1LongueurArc = L x dx
N LongueurArc
∫
Exercices 2.4 page 147
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
49. a) et b) [ ]Nouveau f, L, LongueurArc, a, b
[ ]
[ ] { }
[ ] { }
[ ] { }
2f x_ : = Log 1 x
1a = 0 ; b = ;2
TrajetPolygonalLongueurArc f x , x, a, b, 2
TrajetPolygonalLongueurArc f x , x, a, b, 4
TrajetPolygonalLongueurArc f x , x, a, b, 8
⎡ ⎤−⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
c) [ ] [ ] 2df x
L x_ 1 // SimplifierPlusdx
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
[ ]
[ ]
b
aLongueurArc = NIntégrer L x dx
N LongueurArc
⎡ ⎤⎣ ⎦∫
51. a) et b) [ ]Nouveau f, L, LongueurArc, a, b
[ ]
[ ] { }
[ ] { }
[ ] { }
2x 1f x_ : =
4x 1-1a = ; b = 1 ;2
TrajetPolygonalLongueurArc f x , x, a, b, 2
TrajetPolygonalLongueurArc f x , x, a, b, 4
TrajetPolygonalLongueurArc f x , x, a, b, 8
−+
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
c) [ ] [ ] 2df x
L x_ 1 // SimplifierPlusdx
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
[ ] { }LongueurArc = NIntégrer L x , x, a, b⎡ ⎤⎣ ⎦
148 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Approximation par des troncs de cône
Pour les numéros 53 à 56 nous utilisons une procédure semblable à la procédure précédente. Elle trace
le trajet polygonal et calcule l'approximation de l'aire de la surface engendrée par la rotation d'une
courbe autour de l'axe des x. Vous devez lui fournir les mêmes paramètres que la procédure précédente.
[ ]{ }
{ }
Nouveau f, L, LongueurArc, TrajePolygonalLongueurArc
TrajetPolygonalAireSurfaceRévolution f_, x_, a_, b_, n_ : =
Module h, j, Dessin, Valx, Valy, Approx ,
b-a h = N ;n
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡⎣
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
{ }
[ ] { }
[
[ ] [ ] [ ] [ ]{ }{ }{
Valx = Table a+j h, j, 0, n ;
Valy = Table f / . x valx j , j, 1, n+1 ;
Dessin = Table
Ligne Valx j , Valy j , Valx j+1 , Valy j+1 , j,
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤→ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎥⎦ { }
[ ] [ ]( )[ ] [ ]( ) { }
{ } { } { }( ) ]
22
1, n ;
Approx=Table Abs Valy j Abs j+1
h Valy j Valy j+1 , j, 1,n ;
Tracer f, x, a, b , Style bleu , Image Tout, Epilog Dessin ;
Plus@@Approx / / N
π
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎡ ⎤ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎦⎢⎣
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤+ − ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤→ → →⎣ ⎦
53. a) et b) [ ] [ ]f x_ : = Sin x
[ ] { }
[ ] { }
[ ] { }
a = 0 ; b = ;
TrajetPolygonalAireSurfaceRévolution f x , x, a, b, 2
TrajetPolygonalAireSurfaceRévolution f x , x, a, b, 4
TrajetPolygonalAireSurfaceRévolution f x , x, a, b, 8
π
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
c) [ ] [ ] 2df x
L x_ = 1+dx
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
[ ] [ ]
[ ]
b
aAireSurfaceRévolution= 2 f x L x dx
N AireSurfaceRévolution
π∫
Exercices 2.4 page 149
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
55. a) et b) [ ]Nouveau f, L, AireSurfaceRévolution, a, b
[ ] [ ]
[ ] { }
[ ] { }
[ ] { }
f x_ : = x+Sin 2x
-2 2a = ; b = ;3 3
TrajetPolygonalAireSurfaceRévolution f x , x, a, b, 2
TrajetPolygonalAireSurfaceRévolution f x , x, a, b, 4
TrajetPolygonalAireSurfaceRévolution f x , x, a, b, 8
π π
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
c) [ ] [ ] 2df x
L x_ = 1+dx
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
[ ] [ ] { }AireSurfaceRévolution=NIntégrer 2 Abs f x L x , x, a, bπ⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦
Exercices réalisés avec Maple 6 47. a) Commandes Maple
n:=2:delta:=(b-a)/n:
xi:=seq(a+(i-1)*delta,i=1..n+1):
with(plots):
f1:=plot(f(x),x=a..b,color=black,thickness=2):
f2:=plot({seq([[xi[k],f(xi[k])],[xi[k+1],f(xi[k+1])]],k=1..n)},x=a..b,style=line,color=black):
display(f1,f2);
150 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) Commandes Maple
n:=2:
delta:=(b-a)/n:
xi:=seq(a+(i-1)*delta,i=1..n+1):
seq([xi[k],f(xi[k])],k=1..n+1):
with(student):
dist:=evalf(seq(distance([xi[k],f(xi[k])],[xi[k+1],f(xi[k+1])]),k=1..n)):
longueur:=sum(dist[k],k=1..n):
`nombre de partitions`=n,`longueur approximative`=longueur;
, = nombre de partitions 2 = longueur approximative 2.828427124
, = nombre de partitions 4 = longueur approximative 3.035276180
, = nombre de partitions 8 = longueur approximative 3.104496066
c) Commandes Maple
Int(sqrt(1+diff(f(x),x)^2),x=a..b)=evalf(int(sqrt(1+diff(f(x),x)^2),x=a..b),6);
`Longueur de la courbe =`,evalf(rhs(%),6);
= d⌠
⌡
⎮⎮⎮⎮⎮-1
1
+ 1x2
− 1 x2 x 3.14159
49. a)
b) , = nombre de partitions 2 = longueur approximative .5932976330
, = nombre de partitions 4 = longueur approximative .5972909428
, = nombre de partitions 8 = longueur approximative .5982824020
c) Longueur de la courbe = .598610
Exercices 2.4 page 151
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
51. a)
b) , = nombre de partitions 2 = longueur approximative 1.725321563
, = nombre de partitions 4 = longueur approximative 2.069496167
, = nombre de partitions 8 = longueur approximative 2.091983958
c) Longueur de la courbe = 2.10895 53. a) Commandes Maple
n:=2:delta:=(b-a)/n:
xi:=seq(a+(i-1)*delta,i=1..n+1):
with(plots):
f1:=plot(f(x),x=a..b,title="2 partitions",color=black,thickness=2):
f2:=plot({seq([[xi[k],f(xi[k])],[xi[k+1],f(xi[k+1])]],k=1..n)},x=a..b,style=line,color=black):
display(f1,f2);
152 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) Commandes Maple
n:=2:
delta:=(b-a)/n:
xi:=seq(a+(i-1)*delta,i=1..n+1):
seq([xi[k],f(xi[k])],k=1..n+1):
with(student):
dist:=evalf(seq(distance([xi[k],f(xi[k])],[xi[k+1],f(xi[k+1])]),k=1..n)):
cone:=seq(Pi*(f(xi[k])+f(xi[k+1]))*dist[k],k=1..n):
aire_approx:=evalf(sum(cone[i],i=1..n)):
`nombre de cones`=n,`aire approximative`=aire_approx;
, = nombre de cones 2 = aire approximative 11.69989353
, = nombre de cones 4 = aire approximative 13.68624734
, = nombre de cones 8 = aire approximative 14.23835517
c) Commandes Maple
Int(2*Pi*f(x)*sqrt(1+diff(f(x),x)^2),x=a..b)=evalf(int(2*Pi*f(x)*sqrt(1+diff(f(x),x)^2),x=
a..b),6):
`aire de la surface`= rhs(%);
= aire de la surface 14.4236 55. a)
b) , = nombre de cones 2 = aire approximative 18.73980098
, = nombre de cones 4 = aire approximative 50.91771993
, = nombre de cones 8 = aire approximative 53.03148089 c) = aire de la surface 54.9496
Exercices 2.5 page 153
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 2.5 - Équations différentielles du premier ordre à variables séparables et applications 1. a) Si ,-xey = alors ,-x-ey =′ de sorte que
( ) xxxxx eeeee-yy ----- 3-23232 =+=+=+′
et l'équation différentielle est vérifiée.
b) Si ( ) ,23-- xx eey += alors ( ) ,23 23-- xx e-ey −=′ de sorte que
( ) ( )( )
( ) ( )
- 3 2 - 3 2- -
- 3 2 - 3 2- - -
32 3 2 32
-2 3 3 3
x xx x
x xx x x
y y -e e e e
e e e e e
⎛ ⎞′ + = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= − + + =
et l'équation différentielle est de nouveau vérifiée.
c) Si ( ) ,23-- xx eCey += alors ( ) ,23 23-- xx eC-ey −=′ de sorte que
( ) ( )( )
( ) ( )
- 3 2 - 3 2- -
- 3 2 - 3 2- - -
32 3 2 32
-2 3 3 3 .
x xx x
x xx x x
y y -e Ce e Ce
e Ce e Ce e
⎛ ⎞′ + = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= − + + =
Encore une fois, l'équation différentielle est vérifiée.
3. Si ( ) ,22-xexy −= alors ( ) xexey xx 2-21
22 -- ⋅−+⋅=′
.22- xye x −=
L'équation différentielle est donc vérifiée. La condition initiale l'est aussi, puisque
( ) ( ) .022222- =−= ey
Note : La vérification d'unicité n'est pas pertinente ici.
5. dxxdyydxdyyxdxdyxy 2 212 21-212121 =⇒=⇒=⋅
.21où
,32 encoreou ,2
34
21232 2
1
21231
2123
1
212321-21
CC
CxyCxy
Cxydxxdyy
=
=−+=⇒
+=⇒=⇒ ∫∫
154 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
7. dxedyeee
dxdye
dxdy xy
y
xyx =⇒=⇒= −
Cee
Ceedxedyexy
xyxy
=−⇒
+=⇒=⇒ ∫∫
9. dxyy
dyyydxdy
=⇒=2
2
coscos
CxyCxy
dxdyy
ydx
yydy
=−⇒+=⇒
=⇒=⇒ ∫∫ ∫∫
tan2tan2
2
sec2
cos
2
2
11. xyxy eedxdyxe
dxdyx ⋅=⇒= +
.-où ,2
2
2
2 1-
-
1-
1
-
--
CCCee
Ce-e
dxx
edye
dxx
edyedxx
edye
yx
xy
xy
xx
xy
==+⇒
+=⇒
=⇒
=⇒=⇒
−
∫∫
∫∫
13. ∫∫ =−
⇒=−
⇒−= dxxy
dydxxy
dyyxdxdy 2
1 2
112
22
2
( ).sin sin 22 CxarcyCxyarc +=⇒+=⇒
15. a) s.kilopascal 3,101où 00 ==⇒= peppkpdhdp kh
Nous avons ( ) ,93,10120 20 == ⋅kep de sorte que
.121,0-3,101
9ln201et
3,1019ln20 ,
3,101920 ≈⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=⋅=⋅ kkek
Ainsi, .3,101 -0,121hep =
b) ( ) s.kilopascal 2389,03,10150 50121,0- ≈= ×ep
Exercices 2.5 page 155
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
c) Nous cherchons h telle que .3,10190 121,0- he=
km. 977,03,101
90ln121,0-1et
3,10190ln121,0- ,
3,10190121,0- ≈⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛== hhe h
17. Soit ( )tQ la quantité de sucre après t heures.
. que sorte de , 0kteQQkQ
dtdQ
==
( ) ( ) kg. 35,5851000100024
.10
8,0ln8,01000800
108,0ln2424
1010
≈⇒=
=⇒=⇒=
⋅⋅
⋅⋅
eeQ
kee
k
kk
19. ( )teVVVdtdV 401-
0401-
=⇒=
( ) ( )-1 40 -1 40
0 00,1 0,1
-1 ln 0,1 -40ln 0,1 92,1 s.40
t tV V e e
t t
= ⇒ =
⇒ = ⇒ = ≈
21. a) Soit ( )tQ la quantité de glucose à l'instant t.
positive. constante uneest où , kkQrdtdQ
−=
b) dtk
krQ
dQkrQkkQr
dtdQ -- =
−⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−=
( ) .0
.et où ,
- ln -
-0000
22--
2
--
1
1
11
kt
Cktkt
CktCkt
ekrQ
krQ
krQC
krCQQQ
CCeCeCkrQeC
krQ
eekrQe
krQ
CktkrQdtk
krQ
dQ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=⇒−=⇒+=⇒=
±===−⇒±=−⇒
⋅=−⇒=−⇒
+=−⇒=−
⇒
+
∫∫
Comme ( ) .limlim ,0 -0 k
rekrQ
krtQk kt
tt=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=>
∞→∞→
156 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
23. ( ) ( ) ( ) kkkt eTeTeTT -200
10-0
-0 202010et 202022020 −+=−+=⇒−+= .
Il en découle ( ) ( ) ,20=10-et 20=18- -200
-100
kk eTeT −− de sorte que
( )( ) .
108,1ln= ,8,1et
2020
10-18- 10
20-0
-100 ke
eTeT k
k
k
=−−
=
Nous avons donc ( ) ( )[ ]101,8ln01-0 20=18- eT −
( )
C -12,4=20+1,8-188,120=-18
20=-18
o0
0
8,1ln-0
×=⇒
−⇒
−⇒
T
TeT
25. a) ∫ ∫=⇒=⇒= dxp
dpdxp
dppdxdp 0,01- -0,01-0,01
( ) x1
xCCx eCeeepCxp -0,01-0,0101,0--0,01ln =⋅==⇒+=⇒ +
( ) ( )( )
( ) dollars).(en 61,5461,5409,20
09,2009,201000,01-
1
1-100-0,011
x
1
expeC
eCeCp
=⇒≈=⇒
==⇒=
b) ( ) ( )( ) $ 41,4961,5410 10-0,01 == ep
( ) ( )( ) $ 20,2261,5490 90-0,01 == ep
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),xpxxpxrxxpxr ′+=′⇒=
( ) ( ) ,-0,54610,01-61,54où 01,0-01,0- xx eexp =⋅=′
de sorte que
( ) ( )
( ) .5461,061,54
5461,0-61,5401,0-
01,0-01,0-
x
xx
ex
exexr
−=
+=′
Nous avons ( ) 0=′ xr lorsque ,05461,061,54 =− x
c'est-à-dire .100=x
( ) 0>′ xr ( ) ,100pour 0et 100pour ><′< xxrx
de sorte que ( )xr atteint un
maximum en .100=x
Exercices 2.5 page 157
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
27. ,-kydtdy
= où k est une constante positive et y est non négative.
( ) .0
-ln
- -
-00
000
---1
11
kt
ktktCCkt
eyyyCCeCyyy
eCeeeyCkty
dtky
dydtky
dy
⋅=⇒=⇒=⋅=⇒=
⋅=⋅==⇒+=⇒
=⇒=⇒
+
∫ ∫
29. À l'exercice 27, kteyy -
0= et à l'exercice 28 a),
vie-Demi2ln2ln=vie-Demi =⇒ k
k.0001216,0
57002ln≈=
Si 10% de la quantité a été désintégrée, il en reste 90 %, de sorte que kteyy -009,0 =
.8640001216,0
9,0ln--
9,0ln-9,0ln9,0 - ≈==⇒=⇒=⇒k
tkte kt Le fossile a donc 864 ans environ.
31. Note : La question devait se lire : « Un os fossilisé a été retrouvé en l'an 2000 en Illinois. »
D'après l'exercice 29, la constante k associée à la désintégration du carbone -14 est .0001216,0=k
a) tt eccecc 0001216,0-00
0001216,0-0 17,0 =⇒=
ans. 572 14
0001216,0-17,0ln0001216,0-17,0ln
≈⇒
=⇒=⇒
t
tt
La mort de l'animal remonte à 12 572 ans av. J.-C. environ.
b) En procédant comme en a), nous trouvons . 96,101 140001216,0-
18,0ln anst ≈=
La mort de l'animal remonterait alors à 12 102 ans av. J.-C. environ.
c) ans. 57,070 150001216,0-
16,0ln≈=t
La mort de l'animal daterait de 13 071 ans av. J.-C. environ.
158 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
33. a) Distance parcourue sur l'erre ( )( ) m. 18738070 ≈==
kmv
b) ( ) ( )ttmk eevv 803--0 71=⇒=
s. 52
37ln80
8037ln1ln
≈=⇒
−=⇒
t
t
Exercices réalisés avec Mathématica
Champs de directions et courbes solutions
Vous devez charger un Package fourni par Mathematica afin d'utiliser la commande qui produira le
champ scalaire de pentes. Ce package est Graphics «PlotField», et la commande à utiliser est
PlotVectorField. Afin d'obtenir des graphiques plus adéquats, il suffit de modifier les paramètres des
options ScaleFactor, PlotPoints et AspectRatio de la commande PlotVectorField ainsi que les limites
pour les valeurs de x et de y.
35. a) { }ChampPente = PlotVectorField 1, y ,⎡⎣
{ } { } ]x, -1, 2 , y, 0, 8 , ScaleFactor 0.8, PointsTracés 20, AspectRatio 1→ → →
[ ] [ ] [ ]{ } [ ]
{ } { }[ ]
x
Solution = DSolve y x = y x , y 0 1 , y x , x
CourbeSolution = Tracer , x, -1, 2 , Style bleu
Montrer CourbeSolution, ChampPente, AspectRatio 0.8
e
⎡ ⎤′ =⎣ ⎦
⎡ ⎤→⎣ ⎦
→
b) [ ]Nouveau ChampPente, Solution, CourbeSolution
{ }ChampPente = PlotVectorField 1, y ,⎡⎣
{ } { } ]x, -1, 2 , y, 0, 15 , ScaleFactor 0.8, PointsTracés 20, AspectRatio 1→ → →
[ ] [ ] [ ]{ } [ ]
{ } { }[ ]
x
Solution = DSolve y x = y x , y 0 2 , y x , x
CourbeSolution = Tracer 2 , x, -1, 2 , Style bleu
Montrer CourbeSolution, ChampPente, AspectRatio 0.8
e
⎡ ⎤′ =⎣ ⎦
⎡ ⎤→⎣ ⎦
→
Exercices 2.5 page 159
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
c) [ ]Nouveau ChampPente, Solution, CourbeSolution
{ }ChampPente = PlotVectorField 1, y ,⎡⎣
{ } { } ]x, -1, 2 , y, 0, -7 , ScaleFactor 0.8, PointsTracés 20, AspectRatio 1→ → →
[ ] [ ] [ ]{ } [ ]
{ } { }[ ]
x
Solution = DSolve y x = y x , y 0 -1 , y x , x
CourbeSolution = Tracer - , x, -1, 2 , Style bleu
Montrer CourbeSolution, ChampPente, AspectRatio 0.8
e
⎡ ⎤′ =⎣ ⎦
⎡ ⎤→⎣ ⎦
→
37. a) [ ]Nouveau ChampPente, Solution, CourbeSolution
( ){ }ChampPente = PlotVectorField 1, y 2 y ,⎡ −⎣
{ } { } ]x, -2, 2 , y, 0, 2 , ScaleFactor 0.8, PointsTracés 15, AspectRatio 1→ → →
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]
{ } { }
[ ]
2x
2x
1Solution = DSolve y x = y x 2 y x , y 0 , y x , x2
2CourbeSolution = Tracer , x, -2, 2 , Style bleu3+
Montrer CourbeSolution, ChampPente, AspectRatio 0.8
ee
⎡ ⎤⎧ ⎫′ − =⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦
⎡ ⎤→⎢ ⎥
⎣ ⎦
→
b) [ ]Nouveau ChampPente, Solution, CourbeSolution
( ){ }ChampPente = PlotVectorField 1, y 2 y ,⎡ −⎣
{ } { } ]x, -3, 3 , y, 0, 3 , ScaleFactor 0.8, PointsTracés 15, AspectRatio 0.8→ → →
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]
{ } { }
[ ]
2x
2x
3Solution = DSolve y x = y x 2 y x , y 0 , y x , x2
6CourbeSolution = Tracer , x, -3, 3 , Style bleu1+3
Montrer CourbeSolution, ChampPente, AspectRatio 0.8
ee
⎡ ⎤⎧ ⎫′ − =⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦
⎡ ⎤→⎢ ⎥
⎣ ⎦
→
c) [ ]Nouveau ChampPente, Solution, CourbeSolution
( ){ }ChampPente = PlotVectorField 1, y 2 y ,⎡ −⎣
160 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
{ } { }
]x, -1, 1 , y, 1, 3 , ScaleFactor 0.8, PointsTracés 15,
AspectRatio 0.8, Axes True
→ →
→ →
[ ] [ ] [ ]( ) [ ]{ } [ ]Solution = DSolve y x = y x 2 y x , y 0 2 , y x , x
Aucune solution
⎡ ⎤′ − =⎣ ⎦
d) [ ]Nouveau ChampPente, Solution, CourbeSolution
( ){ }ChampPente = PlotVectorField 1, y 2 y ,⎡ −⎣
{ } { } ]x, -2, 2 , y, -20, 20 , ScaleFactor 1, PointsTracés 20, AspectRatio 1→ → →
[ ] [ ] [ ]( ) [ ]{ } [ ]
{ } { }
{ }
2x
2x
Solution = DSolve y x = y x 2 y x , y 0 3 , y x , x
6CourbeSolution = Tracer , x, -2, 2 , Style bleu-1+3
Montrer CourbeSolution, ChampPente, AspectRatio 1, Image -20, 20
ee
⎡ ⎤′ − =⎣ ⎦
⎡ ⎤→⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤→ →⎣ ⎦
39. a) [ ]Nouveau ChampPente, Solution, CourbeSolution
3yChampPente = PlotVectorField 1, ,x
⎡⎧ ⎫⎨ ⎬⎢⎩ ⎭⎣
{ } { } ]x, -4, 4 , y, -2, 2 , ScaleFactor 1, PointsTracés 20, AspectRatio 1→ → →
[ ] [ ] [ ] [ ]
{ } { }
{ }
3
3y xSolution = DSolve y x = , y -3 2 , y x , x
x
2xCourbeSolution = Tracer - , x, -5, 5 , Style bleu27
Montrer CourbeSolution, ChampPente, AspectRatio 1, Image -2, 2
⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪′ =⎢ ⎥⎨ ⎬⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦
⎡ ⎤→⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤→ →⎣ ⎦
b) [ ]Nouveau ChampPente, Solution, CourbeSolution
3yChampPente = PlotVectorField 1, ,x
⎡⎧ ⎫⎨ ⎬⎢⎩ ⎭⎣
{ } { } ]x, -3, 3 , y, -8, 8 , ScaleFactor 1, PointsTracés 20, AspectRatio 1→ → →
Exercices 2.5 page 161
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
[ ] [ ] [ ] [ ]
{ } { }
{ }
3
3y xSolution = DSolve y x = , y 1 1 , y x , x
x
CourbeSolution = Tracer x , x, -2, 2 , Style bleu
Montrer CourbeSolution, ChampPente, AspectRatio 1, Image -9, 9
⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪′ =⎢ ⎥⎨ ⎬⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦
⎡ ⎤→⎣ ⎦
⎡ ⎤→ →⎣ ⎦
c) [ ]Nouveau ChampPente, Solution, CourbeSolution
,x
3y 1,FieldPlotVector = ChampPente ⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
{ } { } ]1oAspectRati ,20ésPointsTrac 1,rScaleFacto ,9 1,- y, ,3 1,- x, →→→
[ ] [ ] [ ] [ ]
{ } { }
{ }[ ]9 1,-Image ,1oAspectRati ,ChampPente tion,CourbeSoluMontrer
bleuStyle ,3 1,- x, ,2xTracer =tion CourbeSolu
x,xy ,42y ,x
x3y=xyDSolve =Solution
3
→→
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡→
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ =′
Exercices réalisés avec Maple 6 35. Commandes Maple
ed:=diff(y(x),x)=y(x):
dsolve(ed,y(x)):
f1:=unapply(rhs(dsolve({ed,y(0)=1},y(x))),x):
f2:=unapply(rhs(dsolve({ed,y(0)=2},y(x))),x):
f3:=unapply(rhs(dsolve({ed,y(0)=-1},y(x))),x):
with(DEtools):
with(plots):
g1:=dfieldplot(ed,y(x),x=-1..4,y=-10..10,color=black):
162 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
g2:=plot({f1(x),f2(x),f3(x)},x=-1..4,y=-10..10,thickness=2,color=black,thickness=2):
g3:=textplot({[1,9,`sol B`],[2.5,9,`sol A`],[2.5,-7,`sol C`]},font=[TIMES,BOLD,12]):
display(g1,g2,g3);
37.
39.
Exercices 2.6 page 163
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 2.6 - Travail et pression
1. La masse de l'eau varie uniformément de 20 kg à 0 kg sur une distance de 6 m.
Lorsque le seau est à x m du sol, le poids de l'eau est ( ) N.6
1961968,96
620 xxxF −=×−
×=
Le travail est donc J. 588588117612
196196 6
1961966
0
26
0
=−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ∫ xxdxxW
3. ( ) ( )∫∫ −=×−=50
0
50
0
624,02,31 624,050 dxxdxxW
J 78078015602
624,02,3150
0
2
=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
xx
5. ( ) ( )∫∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=××−=
55
0
55
0
255
0 266,653,3611 66,653,3611 8,97,655 xxdxxdxxW
J 75,310 99
75,310 995,621 198=
−=
7. La force agissant contre le piston est .pA Si ,AxV = où x désigne la hauteur du cylindre, alors
( )
( )
∫ ∫∫ ====22
11
,
,
. et Vp
Vp
dVpdxpAdxFWdxAdV
9. ,J 1800 3
0∫ == dxkxW d'où N/m 400et 1800
29 ,1800
2
3
0
2
==⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡kkxk
11. N/m 10002,02
===⇒=xFkkxF
Pour cm. 4=m 04,0100
4 ,N 4 ====kFxF
[ ] J 08,050 001 04,0
0
04,00
2 ==== ∫ ∫ xdxxdxkxW
164 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
13. a) mN 000 982
16,026,0200 98
=−
==⇒=xFkkxF
b) [ ] J 1,49000 491 000 982 01,0
0
01,00
2 ==== ∫ ∫ xdxxdxkxW
c) [ ] [ ] J 3,1470001,00004,0000 491000 491 000 98202,0
01,0
02,001,0
2 =−=== ∫ xdxxW
15. a) Volume iV de la ei tranche : 3m 1234 yyVi ∆=∆××=
N. 912 117 129826=
volume volumiquepoidsyy
Fi
∆=∆××=
Choisissons arbitrairement un point ic dans l'intervalle [ ].6 ,0 La force s'exerce
donc sur une distance de ic m et le travail requis pour soulever la tranche est
J. 912 117 ii ycFdW ∆==
Le travail total est ( ) J. 416 122 218912 1172
912 117 912 1176
0
6
0
2
==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== ∫
ydyyW
b) Temps min. 44h 1 =min 104=s 6260sJ339
J 416 122 2==
c) Travail pour vider la moitié :
( ) J. 046 5305,4912 1172
912 117 912 1173
0
3
0
2
==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== ∫
ydyyW
Temps min. 26=s 1565sJ339J 046 305==
d) Poids volumique de 3mN 9804 :
( ) J. 646 171 218486 1172
486 117 1298046
0
6
0
2
==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=×= ∫
ydyyW
Temps min. 44h 1 =min 104=s 6247sJ339
J 646 117 2==
Exercices 2.6 page 165
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Poids volumique de 3mN 9856 :
( ) J. 968 821 218722 1182
722 118 1298566
0
6
0
2
==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=×= ∫
ydyyW
Temps min. 45h 1 =min 105=s 6280sJ339
J 968 128 2==
17. Volume iV de la ei tranche : .m 9 26 3
22 yyyrVi ∆=∆⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=∆⋅= πππ
N. 585 7290628=
volume volumiquepoidsyy
Fi
∆=∆××=
ππ
Choisissons arbitrairement un point ic−9 dans l'intervalle [ ].9 ,0 La force s'exerce
sur une distance de ic−9 m et le travail requis pour soulever la tranche est
( )J. 9585 72 ii cyFdW −∆== π
Le travail total est
( ) J. 818 312 928181585 72
29585 72 9585 27
9
0
9
0
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−= ∫ πππ yydyyW
19. a) Le volume iV de la ei tranche est approximativement
,m 21épaisseur 3
22 ycrV ii ∆⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=×= ππ
où ic est un point arbitraire de l'intervalle [ ].8 ,0
N.
4150 10=
volume volumiquepoids
2 yc
F
i
i
∆×
×=π
La force s'exerce sur une distance de ( )ic−10 m et le travail requis pour soulever la
tranche est : ( ) J. 104
150 10 2iii cycFdW −∆==
π
166 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Le travail total est
( ) ( )
J. 076 442 510243
51204
150 10
4310
4150 1010
4150 10 10
4150 108
0
8
0
438
0
322
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=−= ∫ ∫
π
πππ yydyyydyyyW
b) La force iF par tranche est la même qu'à l'exemple 5, soit N, 4
4,8947 2 yci ∆π mais
elle s'exerce sur une distance de ( )ic−11 m.
Le travail total est
( ) ( )
J. 056 969 510243
56324
4,8947
4311
44,894711
44,8947 11
44,89478
0
8
0
438
0
322
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=−= ∫ ∫
π
πππ yydyyydyyyW
21. Le volume de la ei tranche est approximativement
( ) ,m 2525épaisseur 322
22 ycycrV iii ∆−=∆⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −=×= πππ où ic est un point arbitraire de l'intervalle
[ ].0 ,5-
( ) N. 259800=
volume volumiquepoids2 yc
F
i
i
∆−×
×=
π
La force s'exerce sur une distance de ( )ic−4 m et le travail requis pour soulever la tranche est :
( ) ( )J. 4259800 2iii cycFdW −∆−== π
Le travail total est
( )( )
( )
( ) J. 001 730 154
6252
6253
500500-00009800
4225
341009800 2541009800
4259800
0
5-
4230
5-
32
0
5-
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+−+−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−=+−−=
−−=
∫
∫
π
ππ
π
yyyydyyyy
dyyyW
Exercices 2.6 page 167
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
23. Nous avons dxdvmv
dtdx
dxdvm
dtdvmF === d'après la règle de dérivation en chaîne.
Il s'ensuit que
( ) ( ) ( ) ( )[ ] 21
221
22
22
21
21
21
21
2
1
2
1
2
1
2
1
mvmvxvxvmxvmdxdxdvvmdx
dtdvmdxxFW
x
x
x
x
x
x
x
x
−=−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==== ∫∫∫ .
25. ,sm 0et
sm
3125
hkm 150 12 === vv d'où
( ) J. 26,12303
125142,021
21
21 2
21
22 =−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=−= mvmvW
27. m/s, 0et sm
9500
hkm 200 kg, 057,0g 57 12 ===== vvm d'où
( ) J. 96,879
500057,021
21
21 2
21
22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=−= mvmvW
29. m/s, 0et m/s 40 kg, 185,0g 185 12 ==== vvm d'où
( )( ) J. 148040185,021
21
21 22
122 =−=−= mvmvW
31. Volume iV de la ei tranche : .m 926épaisseur 3
22 yyrVi ∆=∆⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=×= πππ
N. 434 88= 99826=
volume volumiquepoidsyy
Fi
∆∆××=
ππ
Choisissons arbitrairement un point ic dans l'intervalle [ ].99 ,0 La force s'exerce sur une
distance de ( )y−114 m et le travail requis pour soulever la tranche est
( ) J. 114434 88 yyFdWi −∆== π
Le travail total est ( ) J. 628 042 774 12
114434 88 114434 8899
0
99
0
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−= ∫
yydyyW ππ
168 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
33. ∫∫ ==000 780 35
000 370 62
000 780 35
000 370 62 MG 1000 MG 1000
rdrdr
rW
( )( )
35 780 000
6 370 000
24 -11
10
11000 MG -
-1 11000 5,975 10 6,6720 1035 780 000 6 370 000
5,144 10 J
r⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞= × × +⎜ ⎟⎝ ⎠
≈ ×
35. Dans ce nouveau système de coordonnées, le bord situé du côté droit de la plaque suit la droite
de pente 1 et d'ordonnée à l'origine -5, soit .5−= xy Si nous désignons par x la largeur de la
plaque au niveau y, alors yx += 5 et la largeur totale est ( ) ( ).522 yxyL +== La distance entre
y et la surface de l'eau est -y.
La force exercée par l'eau contre une des faces de la plaque est
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( )
-2
-5
-2-2 2 32
-5 -5
1000 9,8 - 2 5
-519 600 -5 19 6002 3
8 125 12519 600 -10 - 264 600 N.3 2 3
b
a
F ρgh y L y dy y y dy
y yy y dy
= = +
⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
∫
Nous constatons avec soulagement que le résultat obtenu pour la force exercée par l'eau contre
une des faces de la plaque ne dépend pas du système de coordonnées utilisé ! 37. Si nous utilisons le système de coordonnées de l'exercice 35, le bord situé du côté droit de la
plaque suit toujours la droite 5−= xy , et ,5+= yx de sorte que la largeur totale demeure
( ).52 y+
La profondeur est maintenant de ,2 y− puisque la surface du bassin est située en .2=y
La force exercée par l'eau contre une des faces de la plaque est
Exercices 2.6 page 169
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )
-2
-5
-2 -22 2
-5 -5
-22 3
-5
1000 9,8 2 2 5
19 600 2 10 5 19 600 10 3
319 600 102 3
8 75 12519 600 -20 6 -50 441 000 N.3 2 3
b
a
F ρgh y L y dy y y dy
y y y dy y y dy
y yy
= = − +
= − + − = − −
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
39. En utilisant le système de coordonnées ci-contre,
nous constatons que le bord situé du côté droit de
la plaque suit la droite de pente 2 et d'ordonnée à
l'origine -4, soit .42 −= xy Si nous désignons par
x la largeur de la plaque au niveau y, alors 2
4+=
yx
et la largeur totale est ( ) .42 +== yxyL
La profondeur, soit la distance entre y et la surface
du lac, est .1 y−
a) La force exercée par l'eau (douce) contre une des faces de la plaque est
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )
( )
0
-4
0 02 2
-4 -4
02 3
-4
1000 9,8 1 2 4
9800 4 4 9 800 4 3
39800 42 3
649800 0 0 0 -16 24 182 933 N.3
b
a
F ρgh y L y dy y y dy
y y y dy y y dy
y yy
= = − +
= − + − = − −
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
b) N. 507 1873
6424168,91025 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+×=F
2-2x
y
-4
Surface du lac à y = 1
170 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
41. Selon le système de coordonnées ci-contre,
( ) 60,1=yL et la profondeur au niveau y est ( ).85,0 y−
Ainsi, ( ) ( )dyyLyghFb
a
∫= ρ
( )( )( )
( )
( )( ) ( ) ( )
0,8375
0
0,83750,8375 2
0 0
2
10 078 0,85 1,60
16 124,8 0,85 16 124,8 0,852
0,837516 124,8 0,85 0,8375 0 0
2
5824 N.
y dy
yy dy y
= −
⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
=
∫
∫
43. Selon le système de coordonnées ci-contre,
le bord situé du côté droit de la plaque suit
la courbe d'équation ( ) 222 09,03,0 yyx −=−=
pour .03,0- ≤≤ y
La largeur totale de la plaque au niveau y est
( ) .09,022 2yxyL −== La distance ( )yh entre
y et la surface de l'eau est -y.
La force exercée par l'eau sur un côté de la plaque est
( ) ( ) ( )( )( )
( )
( )( )
02
-0,3
02
-0,3
03 223 2
-0,3
1000 9,8 - 2 0,09
9800 0,09 -2
0,09 19 6009800 0,09 03 2 3
176,4 N.
b
a
F ρgh y L y dy y y dy
y y dy
y
= = −
= −
⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤= = −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
=
∫ ∫
∫
x (m)
y (m)
0,8375
0,85
-0,80 0,80
Surface de l'eau
x (m)
y (m)
-0,3 0,3
-0,3
Exercices 2.6 page 171
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
45. Le bord situé du côté droit suit la courbe d'équation yx = pour .10 ≤≤ y La largeur totale au niveau y est ( ) .22 yxyL ==
a) La distance ( )yh entre y et la surface est .2 y− La force exercée sur la lame de fermeture est
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
0
11 3 2 5 23 2
0 0
7874 2 2
215 748 2 15 7483 2 5 2
4 215 748 0 0 14 698,1 N.3 5
b
a
F ρgh y L y dy y y dy
y yy y dy
= = −
⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
∫
b) Désignons par H la hauteur maximale que peut atteindre le niveau de liquide sans
que la limite de charge ne soit dépassée.
La distance ( )yh est alors yH − et la force exercée sur la lame de fermeture est
( ) max
1
0
27874 FdyyyHF =−= ∫ , où N. 000 25max =F
Par conséquent,
( )
( )
( ) ( )
1
0
11 3 2 5 23 2
0 0
7874 2
15 748 15 7483 2 5 2
2 2 15 74815 748 0 0 10 6 .3 5 15
F H y y dy
Hy yH y y dy
H H
= × −
⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − − = −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫
Lorsque F atteint sa valeur maximale de 25 000 N, nous avons
( ) ,000 2561015748 15
=−H d'où 98,2=H m.
172 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
47. a) La profondeur h est donnée par -y et
la pression au niveau y est donnée par
( ) ( ).- ygghyp ρρ ==
La valeur moyenne de la pression est
( ) ( )
( )
.2
20-
2- -1
-0
1
20
-
20
-
0
-
bg
bb
gyb
gdyygb
dyypb
p
bb
b
ρ
ρρρ
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡==
−=
∫
∫
Elle correspond à la pression au milieu de la plaque.
b) La force exercée par le fluide est
( ) ( )
( )
aire, 22
0-
2- - -
2
0
-
20
-
0
-
0
-
⋅=⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡===
=
∫∫
∫
pabbgbga
ygadyygadyayg
dyyLyghF
bbb
b
ρρ
ρρρ
ρ
où p est la valeur moyenne de la pression.
49. a) Le côté droit du triangle isocèle suit la droite d'équation .23 xy = La largeur totale
au niveau y est ( ) .3
43
222 yyxyL =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== La distance ( )yh est .3 y−
Par conséquent,
( ) ( )
( ) ( )3 3
2
0 0
32 3
0
4 49826 3 9826 3 3 3
4 3 4 27 279826 98263 2 3 3 2 3
58 956 N.
b
a
F ρgh y L y dy
yy dy y y dy
y y
=
= − = × −
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= × − = × −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
=
∫
∫ ∫
2 a−
y
x2a
b −
Exercices 2.6 page 173
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) Nous cherchons le niveau d'eau Y tel que N. 478 29956 5821
=×=YF
La distance ( )yh sera yY − et nous aurons
( ) ( )Y
2
0 0
2 3 3 3
0
33
4 49826 9826 3 3
4 49826 98263 2 3 3 2 3
4 19 6529826 .3 6 9
Y
Y
Y
yF Y y dy Yy y dy
Yy y Y Y
Y Y
= − = × −
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= × − = × −⎜ ⎟⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎝ ⎠
= × × =
∫ ∫
Comme ,478 29=YF il s'ensuit que m 38,25,13et m 5,1365219
478 299 333 ≈==×
= YY ,
de sorte que 62,038,233 =−=−=∆ YY m ou 62 cm environ.
c) Non, la longueur de la citerne n'a pas d'importance. La pression exercée par le fluide
et la force résultante ne dépendent que de la profondeur du fluide. 51. Selon le système de coordonnées ci-contre,
( ) ( ) m. 20,0et m 095,0 yyhyL −==
Ainsi, ( ) ( )dyyLyghFb
a
∫= ρ
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
0,20
0
0,202
0
22
1033 9,8 0,20 0,095
1033 9,8 0,095 0,202
0,201033 9,8 0,095 0,20 19,23 N.2
y dy
yy
= −
⎡ ⎤= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
y (m)
x (m)-0,0475 0,0475
0,20
174 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 2.7 - Moments et centres de masse 1. Pour que la balançoire soit en équilibre, le moment du système par rapport à l'origine doit être
nul : ,455,136 x=× où x désigne la distance de l'enfant le plus lourd au point d'appui.
m 2,145
5,136=
×=x
3. Le centre de masse de chaque tige est situé en son centre géométrique (voir l'exemple 1,
page 174). Le système est équivalent à deux masses ponctuelles situées au centre des tiges en
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 0 ,
2L et .
2 ,0 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ L
Par conséquent,
4
02
21
2211 Lmm
mL
mmmxmx
MM
x y =+
+⋅=
++
== et
.4
20
21
2211 Lmm
mL
mmmymy
MMxy =
+
⋅+=
++
==
Le centre de masse est donc localisé en .4
,4
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ LL
5. ( ) 80242
4 42
0
2
0
2
0 =−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅= ∫
xdxxM
[ ] ( )
188
80244 4
0
2
0
20
===
=−=== ∫
MMx
xdxM
Exercices 2.7 page 175
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
7. 3
0
3
0
323
0
2
0 92
3
31∫ ∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
xxdxxxdxxxM
( )
( )
35
29215
2900
233
6
31
215003
29
0
3
0
3
0
2
===
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∫
MMx
xxdxxM
9. ( )4
1
4
1
2324
10 232
11∫ ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
xxdxxxdxx
xM
( ) ( )[ ]
3073
5673
5214421
11
673
32
21
3168
0
4
1
4
1
21
===
=+−+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∫
MMx
xxdxx
M
11. ( )∫ ∫ ⋅+−=1
0
2
10 2 dxxxdxxxM
( )
( ) 331
3800
311
33
2
2
1
31
0
32
1
0
2
1
22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
+−= ∫ ∫
xxx
dxxdxxx
( )
( )
133
321200
212
222 2
0
2
1
21
0
1
0
22
1
===
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=+−= ∫ ∫
MMx
xxxdxxdxxM
176 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
13. Puisque la plaque est symétrique par rapport à l'axe
des y et que sa masse surfacique est constante,
la distribution de la masse est symétrique par
rapport à l'axe des y et le centre de masse est
situé sur l'axe des y. Donc 0=x . Il ne reste
plus qu'à trouver .MMy x=
Nous utilisons la méthode des bandes verticales. Une bande verticale typique possède les
caractéristiques suivantes :
Centre de masse : ( ) ; 2
4 ,~ ,~2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
xxyx longueur : ; 4 2x− largeur : ; dx
aire : ( ) ; 4 2 dxxdA −= masse : ( ) . 4 2 dxxdAdm −== δδ
Le moment de la bande par rapport à l'axe des x est
( ) ( ) . 162
42
4 ~ 422
dxxdxxxdmy −=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
δδ
( )
( )
( )
.5
128
005
3232
516 16
22
162
~est des axel' àrapport par plaque la demoment Le
2
0
52
0
4
42
2-
δ
δ
δδ
δ
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−×=
−==
∫
∫∫
xxdxx
dxxdmyMx x
( )
( )
( )
.3
32
003882
342 42
4est plaque la de masse La
2
0
2
0
32
2
2-
2
2-
2
δ
δ
δδ
δ
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=
−==
∫
∫ ∫
xxdxx
dxxdmM
y
2-2
4
x
2xy =
Exercices 2.7 page 177
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Par conséquent, .5
123325128===
δδ
MMy x
Le centre de masse de la plaque est situé au point ( ) .5
12 ,0 , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=yx
15. Points d'intersection des deux courbes :
( ) .2ou 00202- 22 ==⇒=−⇒=−⇒=− xxxxxxxxx
Caractéristiques d'une bande verticale typique :
centre de masse :
( ) ( ) ( ) ; 2
- ,2
- ,~ ,~22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=
xxxxxxyx
longueur : ( ) ( ) ; 2- 22 xxxxx −=−−
largeur : ; dx aire : ( ) ; 2 2 dxxxdA −=
masse : ( ) . 2 2 dxxxdAdm −== δδ
Le moment de la bande par rapport à l'axe des x est ( )dxxxxdmy 22
- ~ 22
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= δ et par rapport
à l'axe des y, ( ) . 2 ~ 2 dxxxxdmx −⋅= δ
( )
( )
( )
54-
005
3282
-
522- 2
2-
22
- ~ Ainsi,
2
0
5443
22
0
2
δ
δ
δδ
δ
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=
−==
∫
∫∫
xxdxxx
dxxxxdmyM x
( )
( )
( )
.3
4
0043
16
432 2
2 ~et
2
0
432
0
32
2
0
2
δ
δ
δδ
δ
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=
−==
∫
∫∫
xxdxxx
dxxxxdmxM y
2
2xxy −=
- xy =
y
x
178 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )
( ) .3
400384
3 2est plaque la de masse La
2
0
32
2
0
2
δδ
δδ
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−== ∫ ∫
xxdxxxdmM
Par conséquent, .53-3454-et 1
3434
======δδ
δδ
MMy
MM
x xy
Le centre de masse de la plaque est situé au point ( ) ( ).53- ,1 , =yx 17. Caractéristiques d'une bande horizontale typique :
centre de masse : ( ) ; ,2
~ ,~3
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= yyyyx
longueur : ; 3yy − largeur : ; dy
aire : ( ) ; 3 dyyydA −= masse : ( ) . 3 dyyydAdm −== δδ
Le moment de la bande par rapport à l'axe des y est
( ) ( )dyyyydyyyyydmx 22
2
~ 64233
+−=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
δδ
( ) ( ) . ~ , des axel' àrapport par et 423 dyyydyyyydmyx −=−= δδ
Ainsi, ( ) ( )15200
51
31
53 ~
1
0
531
0
42 δδδδ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−== ∫∫∫
yydmyydmyM x et
( ) ( ) .1054000
71
52
31
2752
32 2
2 ~
1
0
7531
0
642 δδδδ=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=+−== ∫∫
yyydyyyydmxM y
La masse de la plaque est ( ) ( ) .4
0041
21
42
1
0
421
0
3 δδδδ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−== ∫ ∫
yydyyydmM
Par conséquent, .158
4152et
10516
41054y ======
δδ
δδ
MMy
MM
x x
Le centre de masse de la plaque est situé au point ( ) ( ).158 ,10516 , =yx
x
y
1
3 yyx −=
Exercices 2.7 page 179
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
19. Puisque la plaque est symétrique par rapport à l'axe
des y et que sa masse surfacique est constante,
la distribution de la masse est symétrique par rapport à
l'axe des y et le centre de masse est situé sur l'axe des y.
Donc .0=x Il ne reste plus qu'à trouver .MMy x=
Caractéristiques d'une bande horizontale typique :
centre de masse : ( ) ; 2
cos ,~ ,~ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
xxyx
longueur : ; cos x largeur : ; dx
aire : ; cos dxxdA = masse : . cos dxxdAdm δδ ==
( ) . 2cos14
2
2cos12
cos2
cos2
cos ~est des axel' àrapport par bande la demoment Le 2
dxxdxx
dxxdxxxdmyx
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
==
δδ
δδ
( ) ( )
.4222
0sin02
sin22
22sin
2 2cos1
42 2cos1
4 ~ Ainsi,
2
0
2
0
2
2-
δππδππδ
δδδ πππ
π
=⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=+⋅=+== ∫∫∫
xxdxxdxxdmyM x
[ ]
[ ] ( ) .20120sin2sin2
sin2 cos2 cosest plaque la de masse La 20
2
0
2
2-
δδπδ
δδδ πππ
π
=−=−=
==== ∫∫ ∫ xdxxdxxdmM
Par conséquent, .82
4 πδ
δπ===
MMy x
Le centre de masse de la plaque est situé au point ( ) ( ).8 ,0 , π=yx
1
x
y
xy cos=
2/π2/-π
180 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
21. Points d'intersection des deux courbes :
( ) .2ou 0023063422 222 ==⇒=−⇒=−⇒−=− xxxxxxxxxx
Puisque la plaque est symétrique par rapport à la
droite x = 1 et que sa masse surfacique est
constante, la distribution de la masse est
symétrique par rapport à la droite et le centre de
masse est situé dessus. Donc .1=x Il ne reste
plus qu'à trouver .MMy x=
Caractéristiques d'une bande verticale typique :
centre de masse : ( )( ) ( )2 2 22 2 4 2, , , ;
2 2
x x x x x xx y x x⎛ ⎞− + − ⎛ ⎞−⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
longueur : ( ) ( ) ( ); 2336422 2222 xxxxxxxx −=−=−−−
largeur : ; dx aire : ( ) ; 23 2 dxxxdA −= masse : ( ) . 23 2 dxxxdAdm −== δδ
Le moment de la bande par rapport à l'axe des x est
( )( ) ( ) ( ) . 44-23 242
23 22
23 ~ 234342322 dxxxxdxxxxxdxxxxxdmy −+=+−−=−−= δδδ
( )
( )
.58-1516-
23
0003
32165
32-23
34
5-
23
44-23 ~ Ainsi,
2
0
34
5
2
0
234
δδ
δδ
δ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=
−+== ∫∫
xxx
dxxxxdmyM x
( )
( ) .4003843
33
23est plaque la de masse La
2
0
32
2
0
2
δδδ
δ
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−== ∫ ∫
xx
dxxxdmM
Par conséquent, .52-
458-===
δδ
MMy x
Le centre de masse de la plaque est situé au point ( ) ( ).52- ,1 , =yx
y
x
2
2
1
-2
-1
xxy 4 2 2 −=
2 2xxy −=
0
Exercices 2.7 page 181
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
23. Puisque la plaque est symétrique par rapport à la droite yx =
et que sa masse surfacique est constante, la distribution de
la masse est symétrique par rapport à la droite. Donc .yx =
Caractéristiques d'une bande verticale typique :
centre de masse : ( ) ; 293 ,~ ,~
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+=
xxyx
longueur : ; 93 2x−− largeur : ; dx
aire : ; 93 2 dxxdA ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−=
masse . 93 2 dxxdAdm ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−== δδ
( )( )
( )
2 2
22
3 9 3 9Le moment de la bande par rapport à l'axe des est
2
9 9 .2 2
δ x xx y dm dx
δ δxx dx dx
+ − − −=
⎡ ⎤= − − =⎣ ⎦
Ainsi, [ ] .2
909232
2
~3
0
33
0
2 δδδδ=−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=== ∫∫
xdxxdmyM x
La masse de la plaque est ,AM δ= où A = aire d'un carré de côté 3-aire d'un quart de cercle de
rayon ( ) ( ).449
4993
4133 22 πππ −=−=−=
Donc, ( ).44
9 πδ−=M
Par conséquent, ( ) .4
2494
29
ππδδ
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
MMy x
Le centre de masse de la plaque est situé au point ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
− ππ -42 ,
42
x
y
3
3
9 22 =+ yx
182 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
25. Bandes verticales : ( ) ,1 ,2
2
,~ ,~2
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=x
xxxyx
( )dAxdmdxx
dA , 22 δ=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
.1121-2
1-2 2 21 ~
2
1
1-2
122
22
12 =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡==⋅⋅== ∫∫∫
xdxx
dxx
xx
dmyM x
3142
2 2 2 ~2
1
22
12
22
1
=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==⋅⋅== ∫∫∫
xdxxdxx
xxdmxM y
[ ] ( ) 212222 2 21
2
12
2
1
2 =−===⋅== ∫∫∫ xdxdxx
xdmM
Par conséquent, .21et
23
====MMy
MM
x xy
Le centre de masse de la plaque est situé au point ( ) .21 ,
23 , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=yx
27. a) Méthode des tubes (voir la figure en c)
[ ][ ]
( )3
224183
3223
16
16 82 4-42
du tubehauteur du tube ncecirconfére
4
1
23
4
1
4
1
4
1
πππ
πππ
=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
=
∫∫∫
∫
x
dxxdxx
xdxxx
x
dxVb
a
b) Puisque la plaque est symétrique par rapport à l'axe des x et que sa masse surfacique ( )xδ
est une fonction de x uniquement, la distribution de la masse est symétrique par rapport à
l'axe des x. Donc .0=y
Par la méthode des bandes verticales :
( ) .16141621
8 8 4-41 ~4
1
214
1
21-4
1
=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅== ∫∫∫
xdxxdxxxx
xdmxM y
1 2
2 2xy =
x
y
Exercices 2.7 page 183
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
821--16
11
41-16
21-8 84-4 1
4
1
21-4
1
23-4
1
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡==⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−== ∫∫∫
xdxxdxxxx
dmM
Par conséquent, .28
16===
MM
x y
Le centre de masse de la plaque est situé au point ( ) ( ).0 ,2 , =yx
c)
29. La masse d'une bande horizontale typique est , dyLdAdm δδ == où L est la largeur du triangle,
à une distance y au-dessus du côté placé sur l'axe des x (voir la figure 2.7.11 b).
Par les propriétés des triangles semblables, ,h
yhbL −= de sorte que ( ).yh
hbL −=
( ) ( )
( )
.66
003232
~ Ainsi,
23
33
0
32
0
2
0
bhhhb
hhhbyhy
hb
dyyhyhbdyyh
hbydmyM
h
hh
x
δδ
δδ
δδ
=⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−=−== ∫∫∫
( ) ( )
( )
.22
0022
2
22
0
2
00
bhhhb
hhhbyhy
hb
dyyhhbdyyh
hbdmM
h
hh
δδ
δδ
δδ
=⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−=−== ∫∫∫
x
y
4
-4
1 4
xy 4 =
4- x
y =
(2,0)
0
184 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Par conséquent, .3
26
2 hbh
bhMMy x =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
δδ
Le centre de masse est donc situé au tiers de la distance entre le côté reposant sur l'axe des x
et son sommet opposé. Comme les deux autres côtés du triangle peuvent être placés
alternativement sur l'axe des x, on obtient également le même résultat pour les deux autres
côtés. Le centroïde du triangle est donc effectivement le point d'intersection des trois médianes. 31. Puisque la figure est symétrique par rapport à la droite ,yx =
nous avons .yx = Le milieu du côté opposé au sommet
( )0 ,0 est ,21 ,
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ de sorte que la droite passant par ces
deux points est une médiane. Selon le résultat du numéro 29,
.310
21
32 xy ==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Le centroïde du triangle est donc le point .31 ,
31
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
33. La médiane issue du sommet ( )b ,0 coupe le côté opposé en ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 0 ,
2a et la médiane issue de
( )0 ,a coupe le côté opposé en .2
,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ b
Par conséquent, .33
202
et 33
202
bbyaax =⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −==⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Le centroïde du triangle est donc le point .3
,3
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ba
35. xdx
dyxy2
1=⇒=
La longueur d'un petit segment ds du fil est donnée par . 411 1
2
dxx
dxdxdyds +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
( )
613
81
827
32
2341
41
411
2
0
23
2
0
2
0
δδδ
δδ
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +=
+=+= ∫∫
x
dxxdxx
xM x
(0,1)
(0,0) (1,0)
(0,0) (a,0)
(0,b)
Exercices récapitulatifs page 185
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Chapitre 2 - Exercices récapitulatifs 1. Point d'intersection des deux courbes :
.111 32 =⇒=⇒= xx
xx
1
121
2121
2
1-2 1
2
1
2
2
1
1-22
12
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ∫
xx
xxdxx
xA
3. ,1 xy −= d'où ( ) .1
2xy −=
La courbe coupe l'axe des x en 1=x
et l'axe des y en .1=y
( ) ( )
( )61000
21
341
2232
21 1
1
0
223
1
0
1
0
2
=+−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=
+−=−= ∫ ∫
xxx
dxxxdxxA
5. Pour tout x, .sin xx ≤
( )
( )
122
32
1022
32
cos2
sin
2
2
4
0
24
0
−+=
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=−= ∫
π
π
ππ
xxdxxxA
1
xy =
2
1
2
x
y
/1 2xy =
xy =
xy sin =
4 / πx
y
186 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
7. Points d'intersection des deux courbes :
xxxx cossin22sinsin2 == lorsque ( ) ,0cos1sin2 =− xx
c'est-à-dire lorsque ,ou 00sin π==⇒= xxx
ou lorsque ,01cos =⇒= xx dans l'intervalle [ ]. ,0 π
( )
421+2-
212
20cos0cos2-
22coscos2-
22coscos2- 2sinsin2
0 0
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=−= ∫
ππ
π πxxdxxxA
9. ( ) ,3 23 xxxf −= d'où ( ) ( ).2363 2 −=−=′ xxxxxf Ainsi, ( ) 0=′ xf lorsque .2ou 0 == xx
La fonction admet donc un maximum relatif en 0=x x 0 2
et un minimum relatif en .2=x ( )xf ′ + 0 - 0 +
Nous avons ( ) ( ) -4.2et 00 == ff ( )xf
De plus, ( ) ( )33 223 −=−= xxxxxf coupe l'axe des x en ,3et 0 == xx de sorte que la fonction
est entièrement située sous l'axe des x dans l'intervalle ] [.3 ,0
( )
( )
33 43 2 3
0 0
3 4
81 27 27 0 0 4 4
xA x x dx x⎡ ⎤
= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
11. Les deux courbes se coupent en .4et 4- ππ == xx
En effet, ( ) ( ) ( ) ( ) .24sec4cos2et 24-sec4-cos2 ==== ππππ
( )
4
- 4
4
- 4
2cos sec
2sin ln sec tan
π
π
π
π
A x x dx
x x x
= −
⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
∫
x
y
sin 2 xy =
2sin xy =π
-4
3 x
y
23 3 xxy −=
Exercices récapitulatifs page 187
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )( ) ( )
- - -2sin ln sec 4 tan 4 2sin ln sec tan 4 4 4 4
2 ln 2 1 - 2 ln 2 1
2 2 ln 2 1 ln 2 1
π π π ππ π⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
= − + − − −
= + − − +
Note : L'utilisation de la propriété ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−
baba lnlnln permet d'obtenir l'une ou l'autre des
réponses équivalentes suivantes : ( )223ln22 −+=A ( ).223ln22ou +−=A
13. a) ( ) ( ) ( )∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=+
−=
1
1-
1
1-
2
221
1-11moy bxmxdxbmxf
bbmbm=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+=
2221
b) ( ) ( ) ( )∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=+
−=
k
k
k
k
bxmxk
dxbmxkk
f- -
2
221
-1moy
bbkk
bkmkbkmkk
==⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+= 2
21
2221 22
15. ( ) ( ) ( )[ ]bab
a
xfab
dxxfab
f−
=′−
=′ ∫1 1moy
( ) ( )( ) ( ) ( )1 f b f af b f a
b a b a−
= − =− −
Ainsi, la valeur moyenne de f ′ sur l'intervalle [ ]ba , est la pente de la sécante passant par les
points ( )( ) ( )( ), et , .a f a b f b
y
x2/-π
4/-π2/π
4/π
xy sec =
xy cos 2 =
188 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
17. ( ) ( ) dxxf 5983652sin18
03651moy
365
0∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −
−=
π
( )365
0
o
2-18cos 981 365 52365
365
1 3285 534 3285 196- cos 1825 - cos - 0365 365 365
9 534 9 196- cos 5 cos - -5 C365 365
π xxπ
πππ π
πππ π
⎡ ⎤⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
19. ( ) ( ) [ ]300
230
0
201200301 401200
301moy ttdttS −=−= ∫
( ) ( )1 36 000 18 000 0 0 60030
⎡ ⎤= − − − =⎣ ⎦ caisses.
Coût moyen de stockage quotidien $. 18$ 03,0600 =×=
21. ( )30
0
330
0
2
6450
301
2450
301moy ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∫
ttdttS
( ) ( )1 13 500 4500 0 0 30030
⎡ ⎤= − − − =⎣ ⎦ caisses.
Coût moyen de stockage quotidien $. 6$ 02,0300 =×= 23. ( ) ( ) ,secet cos2 xxrxxR == d'où
( )( ) ( )( ) ( )
( )
4 42 2 2 2
- 4 - 4
42
- 4
4
- 4
4cos sec
2 1 cos 2 sec
2sin 22 tan2
π π
π π
π
π
π
π
V π R x r x dx π x x dx
π x x dx
xπ x x
⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= + −⎣ ⎦
⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
∫
Exercices récapitulatifs page 189
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
2
- - -sin tan 2 sin tan2 2 4 4 2 4
1 1 1 12 2
π π π π π ππ
π ππ π
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤= + − + + − =⎢ ⎥⎣ ⎦
25. ( ) ( )2 22 2diamètre
2 4πA x πr π x x⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
( ) ( )
( )
2 4
1 12 4 5 2 4
0 0
12 7 2 5
0
24
2 2 4 4
2 1 4 1 0 0 04 2 7 2 5 4 2 7 5
9280
π x x x x
π πV x x x x dx x x x dx
π x x x π
π
= − ⋅ +
= − ⋅ + = − +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = − + − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
=
∫ ∫
27. ( )2
2
2diamètre
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== ππrxA
( )( )
2
2 2
2sin 2cos2
sin 2sin cos cos
1 sin 2
x xπ
π x x x x
π x
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
= − +
= −
( ) ( )
( ) ( )
5 4 5 4
4 4
5 4
4
2
1 sin 2 1 sin 2
cos 5 2 cos 2cos2 52 4 2 4 2
5 0 04 4
π π
π π
π
π
V π x dx π x dx
π πx π ππ x π
π ππ π
= − = −
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= + = + − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤= + − + =⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
1
1xy =
x
y
2 xy =
4π
sin 2 xy =
xy cos 2 =
x
y
45π
-2
2
190 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
29. ( )2
2
2diamètre
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== ππrxA
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
164
442
4
425
22 xxxxx ππ
( )
4 45 2
0
47 2 52
0
4 4 16
256 642 32 0 0 04 7 2 80 4 7 5
288 724 35 35
π xV x x dx
π x x πx
π π
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = − + − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
= ⋅ =
∫
31. a) Méthode des disques
( ) ,3 4xxR = d'où
( ) ( )1 1 22 4
-1 -1
1 18 8
-1 -1
19
0
3
9 9 2
118 18 0 2 .9 9
V π r x dx π x dx
π x dx π x dx
xπ π π
⎡ ⎤= =⎣ ⎦
= = ×
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
b) Méthode des tubes
[ ][ ]
( )11 1 6
4 5
0 0 0
circonférence du tube hauteur du tube
2 3 6 66
16 0 .6
b
a
V dx
xπx x dx π x dx π
π π
=
⎡ ⎤= = = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤= − =⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫ ∫
Note : Le solide est engendré par la rotation de la région comprise dans l'intervalle [ ].1 ,0
4
4 x
y
xy 4 2 =
yx 4 2 =
-1x
y
1
43 xy =
Exercices récapitulatifs page 191
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
c) Méthode des tubes
[ ][ ]
( )( ) ( )1 1
4 4 5
-1 -1
15 6
-1
circonférence du tube hauteur du tube
2 1 3 6
1 1 1 16 6 -5 6 5 6 5 6
12 .5
b
a
V dx
π x x dx π x x dx
x xπ π
π
=
= − = −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
=
∫
∫ ∫
d) Méthode des disques troués ( ) ( ) ( ),133et 3 44 xxxrxR −=−== d'où
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
1 1 22 2 4
-1 -1
1 14 8 4 8
-1 -1
15 9
-1
9 9 1
9 1 1 2 9 2
2 2 1 2 19 9 -5 9 5 9 5 9
26 269 .45 5
V π R x r x dx π x dx
π x x dx π x x dx
x xπ π
ππ
⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − + = −⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
∫ ∫
33. a) Méthode des disques
( ) ,1−= xxR d'où
( ) ( )
( )
5 5 22
1 1
55 2
1 1
1
1 2
25 15 1 8 .2 2
V π R x dx π x dx
xπ x dx π x
π π
⎡ ⎤= = −⎣ ⎦
⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
∫
x
y
2
-2
5
1 2 += yx
192 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) Méthode des disques troués
( ) ( ) 1et 5 2 +== yyryR d'où
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 22 2 2
-2 -2
2 24 2 4 2
0 0
25 3
0
25 1
2 25 2 1 2 24 2
2 32 162 24 2 48 0 0 05 3 5 3
1088 .15
V π R y r y dy π y dy
π y y dy π y y dy
y yπ y π
π
⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − − − = − −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − = − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
=
∫ ∫
∫ ∫
c) Méthode des disques ( ) ( ) ,415 22 yyyR −=+−= d'où
( ) ( )
( )
( )
2 2 22 2
-2 -2
22 3 52 4
0 0
4
82 16 8 2 163 5
64 322 32 0 0 03 5
512 .15
V π R y dy π y dy
y yπ y y dy π y
π
π
⎡ ⎤= = −⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + = − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
=
∫ ∫
∫
35. Méthode des disques troués
( ) ( ) ,1et 2 == xrexR x d'où
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
ln3 ln3 22 2 2 2
0 0
ln3 ln3
00
1
1
3 ln3 1 0
2 ln3 .
x
x x
V π R x r x dx π e dx
π e dx π e x
π
π
⎡ ⎤⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦
= −
∫ ∫
∫
Exercices récapitulatifs page 193
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
37. Intersection de la courbe avec l'axe des x : 022 =− xx
( ) .2ou 002 ==⇒=−⇒ xxxx
a) Méthode des disques
( ) ,22 xxxR −= d'où
( ) ( )
( )
( )
2 2 22 2
0 0
24 3 2
0
25 34
0
2
4 4
45 3
32 32 1616 0 0 0 .5 3 15
V π R x dx π x x dx
π x x x dx
x xπ x
ππ
⎡ ⎤= = −⎣ ⎦
= − +
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
∫
b) Méthode des disques troués
( ) ( ) ,21et 1 2 xxxrxR −+== d'où
( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
2 2 22 2 2 2
0 0
22 4 3 2
0
22 4 3
0
1 1 2
1 1 2 4 4 4
-6 4 4
V π R x r x dx π x x dx
π x x x x x dx
π x x x x dx
⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + + − + −⎣ ⎦
= − + +
∫ ∫
∫
∫
( )
253 4 2
0
-2 25
32 8-16 16 8 0 0 0 0 .5 5
xπ x x x
ππ
⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − + + − − + + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
c) Méthode des tubes
[ ][ ]
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2 22 2
0 0
2 22 2 3 2 3
0 0
circonférence du tube hauteur du tube
2 2 0 2 2 2 2
2 4 2 2 2 4 4
b
a
V dx
π x x x dx π x x x dx
π x x x x dx π x x x dx
=
⎡ ⎤= − − − = − −⎣ ⎦
= − − + = − +
∫
∫ ∫
∫ ∫
-1
2x
y
xxy 2 2−=
194 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )
23 42
0
4 322 2 2 8 4 0 0 03 4 3
8 .3
x xπ x π
π
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = − + − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
=
d) Méthode des disques troués
( ) ( ) ( ) ,2et 22 2 =−−= xrxxxR d'où
( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 22 2 2 2
0 0
22 4 3 2
0
22 54 3 4 2
0 0
2 2 2
4 4 4 4 8 4
4 8 45
32 3216 16 0 0 0 .5 5
V π R x r x dx π x x dx
π x x x x x dx
xπ x x x dx π x x
ππ
⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − + − + + −
⎡ ⎤= − + = − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
∫
∫
39. Le volume de matériau qui a été enlevé correspond au
volume du solide engendré par la rotation de la
région colorée autour de l'axe des x.
Utilisons la méthode des tubes :
[ ][ ]
( )3
2 2
0
32
0
circonférence du tube hauteur du tube
2 4 - 4
2 2 4
d
c
V dy
πy y y dy
π y y dy
=
⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
= −
∫
∫
∫
Posons .4 2yu −= Alors .- 2et 2- dudyyydydu
==
De plus, .13et 40 =⇒==⇒= uyuy
-2 21-1
y
x
3 4 22 =+ yx
Exercices récapitulatifs page 195
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )
( )
1 41 2 1 2
4 1
43 2
1
Ainsi, 2 - 2
4 282 8 1 .3 2 3 3
V π u du π u du
u π ππ
= ⋅ =
⎡ ⎤= = − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫
41. Puisque xx
xxdx
dy21
21
23
31
21 21 −=⋅−= est continue sur l'intervalle [ ],4 ,1 la courbe
est lisse sur cet intervalle.
310
3118
314
2321
2121
21
21
21
21
21
21
41
21
41
41
21
411
=21
211 1
4
1
23214
1
2121-
4
1
4
1
2
4
1
4
1
4
1
22
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
++=+−+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
∫
∫∫
∫∫
∫∫
xxdxxx
dxxx
dxxx
dxxx
dxxx
dxxx
dxdxdyL
b
a
43. Puisque 515151-51
21
21
54
85
56
125
xxxx
dxdy
−=⋅−⋅= est continue sur l'intervalle [ ],23 ,1 la courbe
est lisse sur cet intervalle.
8285
85
12516
8564
125
5421
5621
21
21
2
121
21
21
4
121
41
41
21
411
2
1211 1
32
1
545632
1
51-51
32
151
5132
1
2
5151
32
152
5232
152
52
32
1
2
5151
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
++=+−+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
∫
∫∫
∫∫
∫∫
xxdxxx
dxx
xdxx
x
dxx
xdxx
x
dxx
xdxdxdyL
b
a
196 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
45. ( ) xxxdx
dy tan-sin-cos
1=⋅=
( )
[ ]
( )32ln 01 ln 32 ln
0tan0sec ln 3
tan3
sec ln
tansec ln
sec sec sec
tan1 tan-1 1
30
3
0
3
0
3
0
2
3
0
3
0
223
0
2
+=+−+=
+−+=
+=
===
+=+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
∫∫∫
∫ ∫∫
ππ
π
πππ
π ππ
xx
dxxdxxdxx
dxxdxxdxdxdyL
47. Puisque 12
12122
1+
=⋅+
=xxdx
dy est continue sur l'intervalle [ ],12 ,0 la courbe
est lisse sur cet intervalle. De plus, la fonction est non négative sur l'intervalle.
22 12
0
12 1 2 2 1 1 2 1
b
a
dyA πy dx π x dxdx x
⎛ ⎞⎛ ⎞= + = + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫
( )( )
( )
12 12
0 0
12 121 2
0 0
2 1 2 22 1 12 2 1 2 2 1 2 1
2 2 2 2 2 1
x xxπ x dx π dxx x
π x dx π x dx
+ ++ += + =
+ +
= + = +
∫ ∫
∫ ∫
( ) ( )( )
( )
123 23 2 3 2
0
1 4 22 2 13 13 2 3
4 2 13 13 1 271,7403
xπ π
π
⎡ ⎤+⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎣ ⎦
= − ≈
49. Puisque 212121-21
21
21
21
23
31
yyyy
dydx
−=−⋅= est continue sur l’intervalle [ ],9 ,4 la courbe
est lisse sur cet intervalle. De plus, la fonction est non négative sur l’intervalle.
22 9 3 2
1 2 1 21 2
4
1 12 1 2 1 3 2 2
d
c
dx yA πx dy π y y dydy y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= + = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫
Exercices récapitulatifs page 197
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
9 93 2 3 21 2 1 2
4 4
29 93 2 1 2 3 2 1 21 2 1 2
1 2 1 24 4
1 1 1 12 1 2 3 4 2 4 3 4 2 4
1 12 2 3 2 3 22 2
y y y yπ y dy π y dyy y
y y y yπ y dy π y dyy y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫
∫ ∫
9 93 2 1 2 21 2
1 24 4
99 2 3 2
4 4
1 12 2 3 2 6 2 6 22
12 26 3 2 18 6 2
81 27 9 32 8 4252 22 2 2 9 3 9
y y y y yπ y dy π dyy
y y y y yπ dy π
ππ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − − = − −⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
∫
51. dxxdyydxxdyyyxdxdy 221-221-2 ∫∫ =⇒=⇒=
CxyCxy=−⇒+=⇒
32
321
3321
ou encore
.6
,2
où ,63
223
11
33
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⇒=+=⇒+= CxyCCCxyCxy
53. dxxxdy
yxy
dxdyx ln 1ln =⇒=
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ).et où ,
2ln ln ln 1
22
ln21ln
21
2
ln21
2
ln21ln
21
1
2
1
22
2
1
21
2
CCeCeCyeCy
eCeeey
Cxydxxxdy
y
Cxx
xCxCx
±===⇒±=⇒
=⋅==⇒
+=⇒=⇒
+
∫∫
55. ( ) dtdxx
xxdtdxx =⇒= sec sec
22
∫∫ =⇒ . sec2
dtdxx
x
Posons .xu = Alors . 2 1et 2
1 dudxxxdx
du==
198 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
L'équation devient ,tan2tan2 sec2 2∫ ∫ +=⇒+=⇒= CtxCtudtduu ou encore
.tan2 Ctx =− 57. Équipement seul
La force nécessaire pour soulever l'équipement est égale à son poids, soit ( ) N. 1001 =xF
Le travail effectué est ( ) [ ] J. 4000100 100 40
0
40011 ==== ∫∫ xdxdxxFW
b
a
Corde seule
La force nécessaire pour soulever la corde est égale au poids de sa partie mobile, soit
( ).408,0 x−
Le travail effectué est
( ) ( ) [ ]4040 2
2 20 0
0,8 40 0,8 40 0,8 1600 800 640 J.2
b
a
xW F x dx x dx x⎡ ⎤
= = − = − = − =⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
J. 4640640400021total =+=+= WWW
59. mN 67,296
3,089
===⇒=xFkkxF
[ ]
[ ]
0,30,3 2
0 0
0,60,6 2
0,3 0,3
296,67 296,67 296,67 0,045 13,35 J2
296,67 296,67 296,67 0,18 0,045 40,05 J2
xW kx dx x dx
xW kx dx x dx
⎡ ⎤= = = = =⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤= = = = − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
61. Partageons le volume d'eau en tranches horizontales d'épaisseur .y∆
Le volume de la ei tranche est approximativement
,m
2536
56épaisseur
32
22
yc
ycrV
i
ii
∆=
∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=×=
π
ππ
où ic est un point arbitraire de l'intervalle [ ].5,2 ; 0
y
x
y56 =x
-3 3
2,5
4,5
Coupe transversale du réservoir
Exercices récapitulatifs page 199
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
N
25369826
volume volumiquepoids
2 yc
F
i
i
∆×=
×=
π
La force s'exerce sur une distance de ( )ic−+ 5,22 m et le travail requis pour soulever la tranche
est ( ) J. 5,425369826 2
iii cycFdW −∆×== π
( )
( )
J. 739 60740625,394375,23
25369826
435,4
25369826 5,4
25369826
5,425369826est total travailLe
5,2
0
5,2
0
4332
5,2
0
2
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −×=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−×=−×=
−×=
∫
∫
π
ππ
π
yydyyy
dyyyW
63. Partageons le volume de liquide en tranches horizontales d'épaisseur .y∆
Le volume de la ei tranche est approximativement
,m
4
21épaisseur
32
22
yc
ycrV
i
ii
∆=
∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=×=
π
ππ
où ic est un point arbitraire de l'intervalle [ ].3 ,0
N 2352
48,9960
volume volumiquepoids
22 ycyc
F
ii
i
∆=∆××=
×=
ππ
La force s'exerce sur une distance de ( )ic−+ 6,03 m et le travail requis pour soulever la tranche
est ( ) J. 6,32352 2iii cycFdW −∆== π
( )
( )
J. 777 894814,322352
436,32352 6,32352
6,32352est total travailLe
3
0
3
0
4332
3
0
2
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=
−=
∫
∫
π
ππ
π
yydyyy
dyyyW
Temps s. 1min 4=s 241J/s 373
J 777 89==
y
x
y21 =x
-1,5 1,5
33,6
Coupe transversale du réservoir
200 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
65. Pour y située dans l'intervalle [ ],1 ,0 ( ) ( ) ( ) .4222et 1 yyxyLyyh ===−=
( ) ( ) ( )
( )
( ) N 65330031
21200 39
32200 39 200 39
419800
1
0
1
0
322
1
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=
−==
∫
∫∫
yydyyy
dyyydyyLyghFb
a
ρ
67. Pour y située dans l'intervalle [ ],4 ,0 ( ) ( ) .2
22et 5,5 yy
xyLyyh ===−=
( ) ( ) ( )
( )
N 027 162
32528
3119800
25235,59800
5,59800
5,59800
4
0
2523
4
0
23
4
0
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ×−×=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−=
−==
∫
∫∫
yy
dyyy
dyyydyyLyghFb
a
ρ
69. Points d'intersection des deux courbes :
.113323 2222 ±=⇒=⇒=⇒=− xxxxx
Puisque la plaque est symétrique par rapport à l'axe des y et que
sa masse surfacique est constante, la distribution de la masse est
symétrique par rapport à l'axe des y et le centre de masse est
situé sur l'axe des y. Donc .0=x
Caractéristiques d'une bande verticale typique :
centre de masse : ( ) ( ) ; 2
3 ,232 ,~ ,~
222
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
xxxxxyx
longueur : ( ) ( ); 133323 2222 xxxx −=−=−− largeur : ; dx aire : ( ) ; 13 2 dxxdA −=
masse : ( )dxxdAdm 13 2−== δ (nous pouvons, sans perte de généralité, poser 1=δ ).
Le moment de la bande par rapport à l'axe des x est
1x
24 xy =
y
-1
4
5,5 Niveau de l'eau
y
x-1 1
3
2 2xy =
3 2xy −=
Exercices récapitulatifs page 201
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )( )
( ) ( ) . 32-23 33
23
1323 ~
24242
22
dxxxdxxxx
dxxxdmy
+−=−−+=
−+=
( )
( )
( ) .5
32000332
51-3
33
25
-3 32-232
32-23 ~ Ainsi,
1
0
351
0
24
1
1-
24
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=+−×=
+−==
∫
∫∫
xxxdxxx
dxxxdmyM x
La masse de la plaque est
( ) ( ) ( ) .4003116
36 16 13
1
0
31
0
21
1-
2 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=−== ∫∫ ∫
xxdxxdxxdmM
Par conséquent, .584
532===
MMy x
Le centroïde de la plaque est situé au point ( ).58 ,0
71. Caractéristiques d'une bande verticale typique :
centre de masse : ( ) ; 2
44
,~ ,~
2
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛+
=
x
xyx
longueur : ; 4
42x
− largeur : ; dx aire : ; 4
42
dxxdA ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
masse : dxxdAdm 4
4 2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−== δ (nous pouvons, sans perte de généralité, poser 1=δ ).
Le moment de la bande par rapport à l'axe des x est
dxxdxxx
dmy 16
1621
44
24
4 ~
42
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= et le moment par rapport à l'axe des y,
. 4
4 4
4 ~32
dxxxdxxxdmx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
x4
4
y
( ) 2 4/1 xy =
202 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )
( ) ( )[ ]
( ) .3
32003
1616
124
44
1600163216
2 4
4 ~
et 5
128005
646421
8016
21
1616
21 ~ Ainsi,
4
0
4
0
32
4
0
4
0
42
3
4
0
54
0
4
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==
=−−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==
∫∫
∫∫
∫∫
xxdxxxdmM
xxdxxxdmxM
xxdxxdmyM
y
x
Par conséquent, .5123325128et
23
33216
======MMy
MM
x xy
Le centroïde de la plaque est situé au point ( ).512 ,23
73. Points d'intersection des deux courbes :
( ) .2ou 002022 22 ==⇒=−⇒=−⇒= yyyyyyyy
Caractéristiques d'une bande horizontale typique :
centre de masse : ( ) ; ,2
2 ~ ,~2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ += yyyyx
longueur : ; 2 2yy −
largeur : ; dy aire : ( ) ; 2 2 dyyydA −=
masse : ( )( ) . 21 2 dyyyydAdm −+== δ
Le moment de la bande par rapport à l'axe des x est
( )( ) ( ) ( )dyyyydyyyyydyyyyydmy 2- 22 21 ~ 23443322 ++=−−+=−+=
et par rapport à l'axe des y,
( )( ) ( )( ) ( ) . 4421 +14
21 21
22 ~ 5342422
2
dyyyyydyyyydyyyyyydmx −+−=−=−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
x4
2
yx 2 =
2 yx =
y
Exercices récapitulatifs page 203
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )
( ) et 1544000
3164
532-
32
45-
2- ~ Ainsi,
2
0
345
2
0
234
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++=
++== ∫∫
yyy
dyyyydmyM x
( )
( )
( )( ) ( )
( )
( ) .380004438
43 2
22 21
.52400003
32165
323
3221
6534
21 44
21 ~
2
0
2
0
243
32
2
0
2
0
3222
2
0
2
0
64
535342
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=+−=
−−+=−+==
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−=−+−==
∫
∫ ∫ ∫
∫∫
yyydyyyy
dyyyyydyyyydmM
yyyydyyyyydmxM y
Par conséquent, .1011381544et 59
38524
======MMy
MM
x xy
Le centre de masse de la plaque est donc situé au point .1011 ,
59
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
204 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Chapitre 2 - Exercices supplémentaires : théorie, exemples et applications
1. Soit f la fonction. Alors ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 21
021 1moy
1
0
2
1
2
0∫ ∫ ∫∫
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=
−=
−=
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxfab
f
Nous pourrions trouver la règle qui donne chaque morceau de la fonction, mais il est plus
simple de procéder géométriquement en
calculant l'aire de chaque triangle.
( ) ( )2111
21
2
1
1
0
=××== ∫∫ dxxfdxxf
Donc ( ) .21
21
21
21moy =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +=f
3. Selon la méthode des disques, avec ( ) ( ),xfxR = ( ) ( )2 2 2
0 0
,a a
V π R x dx π f x dx a a⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ d'où
( ) 2 2
0
x
π f t dt x x⎡ ⎤ = +⎣ ⎦∫ pour tout .0>x Il s'ensuit, par le théorème fondamental du calcul, que
( ) ( )2 2 2 1dπ f x x x xdx
⎡ ⎤ = + = +⎣ ⎦ et que ( ) .12π+
=xxf
5. ( ) ( ).11ln xfxdx
dLxfxL ′+=⇒−+=
De plus, ( )[ ] , 11
2 dttfLx
∫ ′+= d'où ( )[ ]21 xfdxdL ′+= par le théorème fondamental du calcul.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
22
2 2
1Ainsi, 1 1
1 1 2 2 11
f x f x f xx
f x f x f x f xx x xx x
′ ′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + ⇒ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤′ ′ ′ ′⎡ ⎤= + = + + ⇒ = −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
et ( ) .21
2 xxxf −=′
Il s'ensuit que ( ) .ln21
4
2
Cxxxf +−=
x1 2
y
0
1
Exercices supplémentaires page 205
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Comme la courbe de ( )xf passe par le point ( ),1 ,1 nous avons ,1ln21
411
2
C+−= d'où .43
=C
La fonction recherchée est donc ( ) .43ln
21
4
2
+−= xxxf
7. La longueur de la courbe de la fonction ( ) xxf sin= entre ( ) ( )αα sin ,et 0 ,0 est donnée par
( ) 2 2
0 0
1 1 cos .α α
L f x dx θ dθ′⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦∫ ∫
Par ailleurs, la longueur du segment de droite joignant les points ( ) ( )αα sin ,et 0 ,0 est
( ) ( ) .sin0sin0 2222 αααα +=−+−
Comme la droite est le plus court chemin entre deux points, 2 2 2
0
1 cos sinα
θ dθ α α+ > +∫
pour .2
0 πα ≤<
9. kteAAkAdtdA
0=⇒=
Après 24 heures, on a ( )24007
6 keAA = d'où ( ) ( ) .0064,0-24
76lnet 76ln24 ≈== kk
La demi-vie s'obtient par ( ) ,21 0064,0-
00teAA = d'où ( ) ( ) ( )ln 1 2
-0,0064 ln 1 2 et 108,30 h.-0,0064
t t= = ≈
La quantité atteindra le 51 de sa quantité initiale lorsque ( ) ,51 0064,0-
00teAA = d'où
( ) ( ) h. 47,251et 51ln0064,0- == tt 11. ( ) kt
ss eTTTT -0 −=− où .1et C 88 C, 93 C, 21 0 ==== tTTT ooo
s
Il s'ensuit que ( ) ( ) ( ) .0720,07267ln-et 21932188 1- ≈=−=− ke k
À 15 h 30, ( ) ( )( ) C, 96,76219321et h 5,3 5,30720,0- oeTt ≈−+== soit de 77o C environ.
206 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
13. Note : La valeur de la constante de rappel du ressort doit se lire : .mN 350=k
( )
J 9375,30215,0350
2350
350
N. 350
215,0
0
2
15,0
0
15,0
0
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
==
==
∫∫
x
dxxdxxFW
xkxF
Or, ,21
21 2
120 mvmvW −= où 0 kg, 0455,0g 5,45 J, 9375,3 vmW === désigne la vitesse initiale de la
bille et .sm 01 =v
Il s'ensuit que ( ) ,00455,0219375,3 2
0 −= v d'où .sm 16,130455,0
9375,320 =
×=v
De plus, nous savons que tvv g0 −= en tout instant t et que 0=v au moment où la bille
atteint sa hauteur maximale, d'où s. 34,1et 8,916,130 =−= tt
La hauteur maximale atteinte est ( ) ( )( ) m. 84,834,18,92134,116,13g
21 22
0 =−=−= ttvs
15. La profondeur h est donnée par -y et
la pression au niveau y est donnée par
( ) ( ).- ygghyp ρρ ==
La valeur moyenne de la pression est
( ) ( )
( )
0
-
02 2
-
1 0 -
1 - -- 02 2
.2
b
b
p p y dyb
ρg y ρg bρg y dyb b b
bρg
=−
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎝ ⎠
=
∫
Elle correspond à la pression au milieu de la plaque.
2 a−
y
x2a
b −
Exercices supplémentaires page 207
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( ) ( )
( )
0
-
00 0 2
- - -
2
La force exercée par le fluide est
- - -2
- 0 aire,2 2
b
b b b
F ρgh y L y dy
yρg y a dy ρga y dy ρga
b bρga ρg ab p
=
⎡ ⎤= = = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎛ ⎞= − = ⋅ = ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
∫ ∫
où p est la valeur moyenne de la pression. 17. Il faut supposer que n est pair car la courbe ,1 nx− avec n impair, ne délimite pas avec l'axe des
x une région fermée dont le centroïde peut être calculé.
Quel que soit n pair, la courbe coupe l'axe des x en ,1et 1- == xx et est symétrique par rapport
à l'axe des y, d'où .0=x
Caractéristiques d'une bande verticale typique :
centre de masse : ( ) ; 2
1 ,~ ,~⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
nxxyx longueur : ; 1 nx− largeur : ; dx
aire : ( ) ; 1 dxxdA n−= masse : ( ) . 11 dxxdAdm n−=⋅=
Le moment de la bande par rapport à l'axe des x est ( ) ( ) . 2
1 12
1 ~2
dxxdxxxdmyn
nn −
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
( )( )
21 1
2
-1 0
11 2 1
0
2
2
1 1Ainsi, 2 1 2 2 2
2 2 111 2 1 1 2 1
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 4 2 11 2 1 1 2 1
2 .1 2 1
nn n
x
n n
xM y dm dx x x dx
x xxn n n n
n n n n n n n n nn n n n
nn n
+ +
−= = = − +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦⎣ ⎦
+ + − + + + + + + − − + += =
+ + + +
=+ +
∫ ∫ ∫
Par ailleurs, ( ) ( ) .1
21
1121
2 12 11
0
11
0
1
1- +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−=−=−==+
∫∫ ∫ nn
nnxxdxxdxxdmM
nnn
Par conséquent, ( )( )
22 1 .1 2 1 2 2 1
xM n n nyM n n n n
+= = ⋅ =
+ + +
208 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Le centroïde de la région est situé au point .12
,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+nn Lorsque ,
21 , →∞→ yn de
sorte que la position limite du centroïde est .21 ,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
19. a) Soit une bande verticale de centre de masse ( ).~ ,~ yx Si la plaque se situe du côté droit de
la droite, alors le moment de la bande par rapport à la droite bx = est
( ) ( ) dAbxdmbx ~ ~ δ−=− et le premier moment de la plaque par rapport à la droite bx =
est l'intégrale ( ) . ∫∫ ∫ −=−=− AbMdAbdAxdAbx y δδδδ
b) Si la plaque se situe du côté gauche de la droite, alors le moment d'une bande verticale par rapport à la droite bx = est ( ) ( ) dAxbdmxb ~ ~ δ−=− et le premier moment de la plaque par rapport à la droite bx = est l'intégrale ( ) ∫∫ ∫ −=−=− . yMAbdAxdAbdAxb δδδδ
21. a) Sur l'intervalle [ ], ,0 a une bande verticale
typique a les caractéristiques suivantes :
centre de masse : ( ) ; 2
,~ ,~2222
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+−=
xaxbxyx
longueur : ; 2222 xaxb −−− largeur : ; dx
aire : ; 2222 dxxaxbdA ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−−=
masse : . 2222 dxxaxbdAdm ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−−== δδ
Sur l'intervalle [ ], , ba une bande verticale typique a les caractéristiques suivantes :
centre de masse : ( ) ; 2
,~ ,~22
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −=
xbxyx longueur : ; 22 xb − largeur : ; dx
aire : ; 22 dxxbdA −= masse : . 22 dxxbdAdm −== δδ
Le moment de la bande par rapport à l'axe des x est
ax
y
22 xby −=a
b
b
22 xay −=
Exercices supplémentaires page 209
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( )[ ]b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
x
xxbxab
dxxbdxab
dxxbdxxaxb
dxxbxbdxxaxbxaxbdmyM
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−=
−+−=
−+−−−=
−−+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+−==
∫∫
∫∫
∫∫∫
322
2
2
2
2
21
21 ~
32
022
22
0
22
22
0
2222
22222222
0
2222
δδ
δδ
δδ
δδ
( )
( ).33
232
2
332
3322
3333
32
3332
32
3322
abab
aabbbaab
aabbbaab
−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−+−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−+−=
δδ
δ
δδ
Le moment de la bande par rapport à l'axe des y est
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
.3
-3
03
033
-
232232232-
~
332322332322
23222322322322
2322
0
2322
0
2322
22
0
22
0
22
22
0
2222
x
b
a
aa
b
a
aa
b
a
a
y
M
abababab
ababab
xbxaxb
dxxbxdxxaxdxxbx
dxxbxdxxaxbxdmxM
=
−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+−+−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=
−+−−−=
−+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−−==
∫∫∫
∫∫∫
δδ
δδδ
δδδ
δδδ
δδ
Nous pouvons calculer la masse au moyen d'un raisonnement géométrique :
( ).444
2222
ababAM −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
δππδπδδ
Par conséquent,
( )( )
( )( )( )( )
( )( )
3 3 2 2 2 2
2 2
44 4 .3 3 3
y δ b a b a b ba a a ab bMx
M π b a b a π a bδπ b a
− − + + + += = ⋅ = =
− + +−
210 Chapitre 2 Applications de l'intégrale
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Également, ( )( ) .
34 22
bababa
MMy x
+++
==π
b) .223
34
34
34lim
222222
ππππb
bb
bbbbb
bababa
ba=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
→
La position limite du centroïde lorsque ba → est ( ) , 2 ,2 , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
ππbbyx qui représente le
centroïde d'un quart de cercle de rayon a (puisque les deux cercles coïncident lorsque
ba = ).
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