calcul et résolution de problèmes multiplicatifs au cycle 3 · cycle 3 : introduction du thème...

Calcul et résolution

de problèmes multiplicatifs

au Cycle 3

Déroulement de la formation

6H de formation dont:

3H en présentiel

Mise en œuvre en classe

3H de travail en autonomie en cycle

Sur la période 4

SOMMAIRE

1. Résolution de problèmes : cadre de réflexion

2. Le rôle du calcul mental

3. Construire son enseignement

4. Conclusion et perspectives

Résolution de problèmesCadre de réflexion

Quelques définitions

Il y a problème, lorsqu’on peut apporter des réponses par des raisonnements. Il faut

qu’il y ait quelque chose à chercher et qu’il ne soit pas possible d’utiliser la

mémoire seule ». (G. Brousseau)

« Nous appellerons problème scolaire toute activité proposée à l’élève, constituée de

données qui renvoient à un contexte, de contraintes, éventuelles, et d’un but à

atteindre. Pour atteindre ce but, l’élève doit mettre en place une suite d’opérations

ou d’actions (qu’on appellera « procédures ») qui ne sont pas immédiatement

disponibles pour lui. » (R. Charnay)

"Un problème se caractérise par:

1 - Une situation initiale et un but à atteindre.

2 - Une suite d’actions ou d’opérations nécessaire pour atteindre ce but.

3 - Un rapport sujet/situation: la solution n’est pas disponible d’emblée mais

possible à construire.« (Jean Brun)

La résolution de problème est à la fois :

Un but : les notions enseignées sont des outils pour résoudre des

problèmes

Un moyen : de s’approprier les connaissances

Un objet : quand elle est travaillée pour elle-même, pour développer

un comportement de recherche et des compétences méthodologiques

La résolution de problème dans les programmes :

« Au cycle 2, la résolution de problèmes est au centre de l’activitémathématique des élèves… »

Cycle 3 : « La résolution de problèmes constitue le critère principal de lamaitrise des connaissances dans tous les domaines des mathématiques,mais elle est également le moyen d’en assurer une appropriation qui engarantit le sens… La résolution de problèmes permet de montrer commentdes notions mathématiques peuvent être des outils pertinents pourrésoudre certaines situations. »

Cycle 4 : « La mise en œuvre des programmes doit permettre dedévelopper les six compétences majeures de l’activité mathématiques : …Pour ce faire, une place importante doit être accordée à la résolution deproblèmes… »

Les compétences essentielles

Les six compétences

mathématiques travaillées

Chercher

Modéliser

Communiquer

Calculer

Raisonner

Représenter

Cycle 3 :

Introduction du thème « nombres et calcul » :

Les problèmes arithmétiques proposés au cycle 3 permettent

d’enrichir le sens des opérations déjà abordées au cycle 2 et d’en

étudier de nouvelles.

Les procédures de traitement de ces problèmes peuvent évoluer en

fonction des nombres en jeu et de leur structure. Le calcul

contribuant aussi à la représentation des problèmes, il s’agit de

développer simultanément chez les élèves des aptitudes de calcul et

de résolution de problèmes arithmétiques (le travail sur la technique

et sur le sens devant se nourrir l’un l’autre).

Repères progressivité cycle 3

La progressivité sur la résolution de problèmes, outre la structure mathématique du problème,

repose notamment sur :

- les nombres mis en jeu : entiers (tout au long du cycle) puis décimaux ;

- le nombre d’étapes de calcul et la détermination ou non de ces étapes par les élèves :

selon les cas, à tous les niveaux du cycle 3, on passe de problèmes dont la solution engage une

démarche à une ou plusieurs étapes indiquées dans l’énoncé à des problèmes, en 6ème, nécessitant

l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche ;

- les supports envisagés pour la prise d’informations : la collecte des informations utiles peut

se faire à partir d’un support unique en CM1 (texte ou tableau ou représentation graphique) puis à

partir de deux supports complémentaires pour aller vers des tâches complexes mêlant plusieurs

supports en 6ème.

-La communication de la démarche et des résultats prend différentes formes et s’enrichit au

cours du cycle.

Dès le début du cycle, les problèmes proposés relèvent des quatre opérations, l’objectif est

d’automatiser la reconnaissance de l’opération en fin de cycle 3.

Compétences cycle 3 : lien avec la résolution de problèmes

Chercher

Prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de

supports variés : textes, tableaux, diagrammes, graphiques, dessins, schémas, etc.

S’engager dans une démarche, observer, questionner, manipuler, expérimenter, émettre des

hypothèses, en mobilisant des outils ou des procédures mathématiques déjà rencontrées, en

élaborant un raisonnement adapté à une situation nouvelle. Tester, essayer plusieurs pistes de résolution.

Modéliser

Utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie

quotidienne.

Reconnaitre et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, deproportionnalité.

Représenter

Utiliser des outils pour représenter un problème : dessins, schémas, diagrammes, graphiques,

écritures avec parenthèses, …

Compétences cycle 3 : lien avec la résolution de problèmes

Raisonner

Résoudre des problèmes nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche

qui combine des étapes de raisonnement.

Progresser collectivement dans une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d’autrui.

Justifier ses affirmations et rechercher la validité des informations dont on dispose.

Calculer

Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des

techniques appropriées (mentalement, en ligne, ou en posant les opérations).

Contrôler la vraisemblance de ses résultats.

Utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat.

Communiquer

Utiliser progressivement un vocabulaire adéquat et/ou des notations adaptées pour décrire une situation,

exposer une argumentation.

Expliquer sa démarche ou son raisonnement, comprendre les explications d’un autre et argumenter dans

l’échange.

Les problèmes basiques : résolution «automatisée »

Enjeu élève : les mémoriser

Les problèmes complexes : agrégats de problèmes basiques ou la

construction et la connexion des informations, nécessaires pour la résolution,

est a la charge de l’ eleve

Enjeu élève : construire des sous-problèmes basiques calculables en connectant

des informations et qualifiant les résultats

Les problèmes atypiques : ne sont pas des agrégats de problèmes basiques,

dont la résolution demande la construction d’une stratégie, a défaut d’une

ressemblance que percevrait le sujet avec un problème déjà résolu.

Enjeu élève : inventivité stratégique et flexibilité de raisonnement, persévérance et confiance en soi

Catherine HOUDEMENT

Du point de vue des chercheurs

Deux processus cognitifs et simultanés en jeu

Processus représentationnels

Le sujet construit une représentation cognitive (mentale) du problème. Le

problème peut lui évoquer un problème autre, déjà résolu.

Processus opératoires

Le sujet déclenche un traitement:

- Ce problème ressemble à un problème connu mémoire procédurale

- Ce problème ne me rappelle rien il faut construire une nouvelle stratégie

Comment réussit-on à résoudre des problèmes ? Le point de vue des cognitivistes - Jean Julo 2002

Du point de vue des chercheurs

1. Enrichir la mémoire des élèves sur les problèmes:

- Donner des occasions aux élèves de résoudre des problèmes et de les

réussir seuls

- Définir pour les enseignants des types de problèmes dont on attend

qu’ils soient résolus « automatiquement » par les élèves

2. Permettre l’invention de procédures

Du point de vue des chercheurs

Conséquences sur les enjeux

de l’enseignement de la résolution de problèmes

Typologie de Vergnaud

Du point de vue des chercheurs

La résolution de problèmes nécessite

de passer du texte de l’énoncé à l’écriture du traitement mathématique, c’est-à-dire de retrouver dans l’énoncé toutes les informations nécessaires à la résolution du problème et de les classer, de manière à poser et à écrire correctement le calcul à effectuer.

Duval (2001) considère que la difficulté de la résolution réside dans ce passage du texte à l’écriture du calcul à effectuer .

Duval nomme « conversion » ce type de transformation qui consiste à changer de registre.

Des obstacles possibles pour les élèves

RECOMMANDATIONS DU JURY (CONFÉRENCE DU CONSENSUS)

R21- 1

Les situations relevant de l'addition et de la soustraction sont travaillées de

manière quasi simultanée ; il en est de même des situations relevant de

la multiplication et de la division.

R21.2 -

Les problèmes proposés appartiennent aux différentes catégories de situations

d’addition/soustraction et de multiplication/division afin de permettre à l'élève

de reconnaître les différents modèles.

La recherche montre par exemple que les problèmes soustractifs

proposés aux élèves correspondent trop souvent à des situations de

retrait. Il convient en conséquence de travailler aussi les situations d'écart. Il

est nécessaire de varier les problèmes rencontrés et d’en expliciter les points

communs afin de construire des catégories générales de problèmes.

DES PRATIQUES A RENFORCER, D’AUTRES A ABANDONNER

Faut il les entrainer à repérer les mots clés ?

I. Deux classes A et B. Dans la classe A

il y a 19 élèves, ce qui fait 7 élèves de

moins que dans la classe B. Combien

d’élèves dans la classe B ?

19 + 7 = 26

II. Aujourd’hui Marie a 20 marrons

maintenant. Elle a 12 marrons de plus

qu’hier. Combien en avait elle hier?

20 – 12 = 8

DES PRATIQUES A RENFORCER, D’AUTRES A ABANDONNER

Repérage de « mots-clés », des « indices »…

Surlignage des données

Chercher: « Quelle opération faut-il faire ? »

La compréhension de l’énoncé

DES PRATIQUES A RENFORCER, D’AUTRES A ABANDONNER

DES PRATIQUES A RENFORCER, D’AUTRES A ABANDONNER

Les problèmes multiplicatifsLes problèmes qui font appel à l’addition réitérée

3

3

3

3

?

Configuration rectangulaire

Les problèmes multiplicatifs

? ?

Problèmes de division quotition

Les problèmes multiplicatifs

?

C’est à vous!

- Quelles sont les caractéristiques de ce problème ?

- Quelles sont les compétences mobilisées dans sa résolution ?

- Quelles difficultés peut-on anticiper ?

- Quelles pistes d’étayage peut-on proposer ?

- Comment gérer l’hétérogénéité ?

Lise a 10 €. Le paquet de gâteaux qu’elle aime coûte 3,49 €. Une bouteille de soda coûte 1,29 €.

Combien lui manque-t-il pour acheter deux paquets de gâteaux et trois bouteilles de soda ?

Mise en commun et synthèse Quelles sont les caractéristiques de ce problème ?

- Problème complexe, à étapes

- Plusieurs calculs en jeu (addition, multiplication, soustraction)

- Nombres décimaux

Quelles sont les compétences mobilisées dans sa résolution ?

- Compréhension d’un texte écrit

- traitement et organisation des données

- Calcul de décimaux

- Techniques opératoires (X, +, -)

Quelles difficultés peut-on anticiper ?

- Fausses pistes liées aux mots-inducteurs (« manque », « le paquet qu’elle aime », « une bouteille »), à

la place de la donnée initiale (10 euros)

- Difficultés liées aux données numériques (décimaux)

- La perte du sens de la recherche due au nombre d’étapes

Mise en commun et synthèse- Etayage et gestion de l’hétérogénéité

Compréhension du problème

- Formuler les étapes dans l’énoncé (questions intermédiaires)

- Réécrire l’énoncé avec les élèves en le simplifiant:

- Supprimer « qu’elle aime », changer la place de la donnée initiale, éviter les données dans la

question de recherche

- Schématiser

- Préparer la phrase-réponse

Alléger la charge liée au calcul

- Nombres entiers, calculatrice, tables à disposition

Prioriser sa présence sur un groupe d’élèves ciblés, en adaptant la tâche:

- Favoriser le travail en binôme, ou groupe de besoin

- Supprimer des étapes, réécriture, changer les données numériques, accompagner le raisonnement

et la verbalisation pendant la phase de recherche

Analysez les productions des élèves, identifiez leurs erreurs, les

aides à apporter en situation et les compétences à renforcer.

Productions des

élèves Les réussites des

élèves

Proposition de

classification des

erreurs

Proposition d’aides

pendant la résolution du

problème

Compétences à

renforcer

Production n°3

Production n°4

Production n° 5

Production n° 9

C’est à vous!

Production 3

Production 4

Production 5

Production 9

Point de vigilance:

Le développement de l’adaptabilité des élèves (manifestée lors

des calculs) peut être réinvesti lors de la résolution de

problèmes numériques

une pratique régulière de calcul mental accélère le processus

d’automatisation de la reconnaissance des opérations

intervenant dans la résolution des problèmes

Le rôle du calcul mental

1/ Nicolas va en récréation avec 31 billes. Pendant la récréation, il perd 4 billes.

Combiende billes reste-t-il à Nicolas ?

2/ Nicolas va en récréation avec 31 billes. Pendant la récréation, il perd 27 billes.

Combiende billes reste-t-il à Nicolas ?

Impact des nombres sur les procédures

Brissiaud & Sander,2010

3/ Nicolas va en récréation avec 4 billes. Pendant la récréation, il gagne des billes et

maintenant il en a 31. Combien de billes Nicolas a-t-il gagnées ?

4/ Nicolas va en récréation avec 27 billes. Pendant la récréation, il gagne des

billes et maintenant il en a 31. Combien de billes Nicolas a-t-il gagnées?

Numération et procédures de résolution

Affirmations Vrai ou Faux

1. Le calcul mental s'appuie uniquement sur la mémoire.

2. Lors de séances de calcul mental, seul le résultat peut être écrit.

3. Le calcul mental, par exemple de 15 x 4 ou 75 : 5, permet également

de travailler les propriétés des opérations.

4. Le calcul mental permet de préparer la résolution de problèmes.

5. La répétition fréquente des tables suffit a en assurer la

mémorisation.

6. Les compétences en calcul mental se préparent dès les premières

années de maternelle.

7. Il faut imposer aux élèves des procédures de calcul réfléchi.

Faux

Faux

Faux

Faux

Vrai

Vrai

Vrai

Accompagner les difficultés de résolution en lien avec le calcul

Plusieurs possibilités en fonction de l’objectif :

Nombres plus petits

Alléger l’étape du calcul (calculatrice, donner la solution…)

Outiller l’élève : tables, calcul automatisé, calcul mental, technique opératoire,

connaissances sur les nombres…

Cf. Rapport Torossian p.10 :

« Développer les automatismes de calcul par des pratiques

rituelles (répétition, calcul mental…) pour favoriser la

mémorisation et libérer l’esprit des élèves en vue de la

résolution de problèmes motivants. »

Le calcul mental dans les textes

Enseignement du calcul : un enjeu majeur pour la maîtrise des principaux éléments de mathématiques à l'école primaire

note de service n° 2018-051 du 25-4-2018, BO spécial n°3 du 26 avril 2018

■La mémorisation de faits numériques

[…] une programmation structurée, […].

L'apprentissage des faits numériques ne peut être simplement renvoyé aux familles dans le cadre des « leçons » ; il doit faire l'objet d'un travail en classe. […]

■Le calcul mental

la pratique du calcul mental s'appuie […] sur une bonne compréhension et une bonne connaissance de propriétés des nombres et des opérations qui doivent être enseignées et formalisées […].

■Le calcul en ligne

[…] le support de l'écrit permet d'alléger la mémoire de travail en notant des résultats intermédiaires et d'aborder ainsi des calculs sur des nombres un peu plus grands ou sur des nombres plus nombreux. […]. Par exemple, le produit 6x48 peut être proposé dès la fin du cycle 2 comme calcul en ligne et au cours du cycle 3 comme calcul mental.

Le rôle du calcul mental dans la résolution de problèmes

Calcul de 32 x 25

Séquence type à partir d’un exemple

1. On donne le calcul et on repère toutes les

procédures des élèves par une mise en commun.

2. On retient les procédures suivant des critères

explicités aux élèves :

- efficacité

- coût minimal en mise en mémoire de résultats ou

de nombres issus de décomposition

- déconstruction des procédures de « calculs posés

dans sa tête »

C’est à vous!

Calcul de 32 x 25

Calcul de la multiplication « posée dans la tête »

Procédure canonique : utilisant la distributivité « simple »

32 x 25 = (32 x 20) + (32 x 5) = 640 + 160 = 800

32 x 25 = (30 x 25) + (2 x 25) = 750 + 50 = 800

Calcul utilisant la distributivité complexe

32 x 25 = (30 x 20) + (30 x 5) + (2 x 20) + (2 x 5)

= 600 + 150 + 40 +10 = 800

Calcul utilisant des décompositions multiplicatives :

32 x 25 = 8 x (4 x 25) = 8 x 100 = 800

32 x 25 = (32 x 100) : 4 = 3200 : 4 = 800

Première séance de découverte

Calcul de produit, évolution des procédures

On élabore une trace écrite explicite des procédures que

l’on va s’approprier : elles seront nommées par les élèves.

Addition réitérée

algorithme posé dans la tête

distributivité simple

mobilisation de décompositions soustractives

mobilisation de décompositions multiplicatives

Une hiérarchie des procédures

Séances suivantes

Séances d’appropriation des procédures : (séances 2, 3, 4 …)

Pendant une semaine complète (ou plus selon la difficulté) on propose aux

élèves de calculer en imposant une seule des procédures.

On recommence les semaines suivantes avec les autres procédures.

Séance de réinvestissement par choix de procédure :

Cette phase est essentielle pour que l’élève construise des procédures

personnelles. Les élèves doivent choisir la procédure.

Les nombres seront choisis pour favoriser l’une ou l’autre des

procédures….

Élaborer la liste des

différentes procédures

possibles

Séance 1 (30’)

Choisir les procédures efficientes

Séance 2 (15’)

S'entrainer à utiliser chacune des

procédures efficientes

(une procédure par séance ou

groupe de séances)

Séances 3, 4, … (15’)

Evaluation

Dernière Séance

Savoir calculer de manière efficace, c’est être capable de choisir parmi les

procédures apprises celle qui est la plus adaptée aux singularités des

nombres en présence.

Des séances de calcul mental de deux types

Des séances courtes et quotidiennes ayant deux objectifs :

entraîner au calcul (mémorisation, automatisation)

accroître les performances

Des séances plus longues visant à enrichir l ’espace des

procédures

explicitation de procédures

comparaison de procédures

institutionnalisations « souples »

Types de séances

Découverte

Résoudre des calculs de

différentes manières

Echanger sur les procédures

Choisir les procédures les plus

efficaces

Entraînement

Optimiser les procédures

efficaces en les manipulant

systématiquement

Varier les calculs: nombre /

petits problèmes

Des séances courtes quotidienne pour l’entraînement.

Des séances longues pour l’enseignement des procédures de calcul.

Des résultats

Les élèves entraînés au calcul mental font moins d’erreurs dans

le choix de l ’opération quand le problème est un peu familier

mais pas trop

Le processus de reconnaissance de l’opération est accéléré

Sous certaines conditions (adaptabilité et automatisation), la

technique est « créatrice de sens »

Les enjeux du calcul mental

Produire des faits numériques (tables) par récupération en mémoire

ou reconstruction instantanée

Utiliser des procédures élémentaires : compléments à la dizaine, X

par 10, +9, -9…

Mettre en œuvre des procédures variées qui utilisent les propriétés

des nombres pour résoudre des problèmes oraux.

1. Développer des habiletés calculatoires et des

connaissances numériques

Le calcul mental

des faits numériques des procédures

Ils sont mémorisésRépertoire de techniques

mobilisables

- Résultats mémorisés, réponses

disponibles, automatisées

- Procédures automatisés, calcul

impersonnel

-Résultats construits, réponse à élaborer

- Procédures personnelles, explicitations

et confrontations

12 x 11 = 12x10 + 12x16 x 3 = 18

Faits ou procédures numériques?

5 X 2 = 10, table de 2 ou de 5 . Résultat mémorisé, fait numérique.

6 X 4 = 24. Résultat mémorisé, fait numérique.

12 X 11 = (12 X 10) + (12 X 1)

=120 + 12

= 132

Procédure numérique.

10 - 5 = 5. Complément à 10. Résultat mémorisé, fait numérique.

56 - 29= 56 – 30 + 1 + 26 + 1 + 27. Procédure numérique.

50 : 2 = 25, moitié de 50. Résultat mémorisé, fait numérique.

2. Développer des capacités de résolution de problèmes

Automatiser des calculs pour libérer de l’espace mental pour la

résolution de problèmes.

Connaitre une grande variété de procédures pour développer les

capacités d’initiative lors de la résolution de problèmes

Connaitre les nombres et les calculs élémentaires pour remplacer des

données par des nombres plus « familiers »

Les enjeux du calcul mental

Prévoir et contrôler la vraisemblance d’une réponse

Pour l’utiliser dans la vie courante

Les enjeux du calcul mental

3. Développer le calcul approché

Déroulement d’une séquence

1. Séance découverte : mise en situation et émergence

des procédures

2. Entraînement sur différentes procédures efficaces

3. Conduire vers le calcul automatisé

4. Résolution de problèmes simples

5. Evaluation

6. Remédiation

Déroulement d’une séance

D’après les travaux de Boule et Butlen.

A)La phase d’échauffement

- courte durée

- aucune difficulté

- tous les élèves doivent pouvoir participer

B) La phase d’entraînement

- calculs simples

- Procédures connues, rappelées collectivement en correction

C) La phase de renforcement ou de découverte

- calculs plus longs, plus complexes ou construction de nouvelles

procédures adaptées aux nouveaux calculs proposés.

Comment aider les élèves

à mémoriser les tables ?

Qu’est-ce que « Connaître ses tables »?

Dire instantanément n'importe quel résultat

Mais aussi (surtout) être capable d'exploiter rapidement

cette connaissance pour donner un résultat connexe:

Par exemple: pour « 7 x 6 »

- donner rapidement «7 x 6 = 42»

- savoir répondre à la question: « Dans 42, combien de fois 6?»

- connaître une décomposition multiplicative

Des repères pour l’enseignant (Roland Charnay)

1. « On mémorise mieux ce que l’on a compris. »

2. « Il est plus facile de mémoriser un ensemble de résultats qui

sont structurés, qui ont du lien entre eux, qu’un ensemble de

résultats isolés les uns des autres. »

Ex: commutativité: 6 x 7 = 7 x 6 économie de 50%

3. « Les conditions de la mémorisation influent sur les

conditions de la restitution. »

Ex: apprendre la comptine des tables ne permet pas d’isoler un

résultat.

4. « La mémorisation nécessite de l’entrainement. Pour mémoriser

il faut s’entrainer, répéter. »

- Connaître les résultats des tables de 2 et de 5

- Retrouver un résultat à partir d’un résultat connu

- Utiliser la commutativité

- Connaître les carrés (souvent bien maîtrisé)

- Connaitre les doubles et moitiés

- Multiplier par 4, c’est…; multiplier par 6, c’est…

- S’appuyer sur les particularités de certaines tables :

2 ; 5 ; 9; des régularités repérées dans la table de Pythagore

Points d’appui pour le répertoire multiplicatif

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Travail sur la table de Pythagore: Quelle programmation?

Elément

neutre

1 est l’élément neutre de la multiplication Procédure

Numération La connaissance de n x 10 ou 10 x s’appuie sur la maitrise de la numération décimale de

position

Procédure

Doubles La connaissance des doubles s’élabore depuis la maternelle Faits

numériques

Table de 5 Cycle 2 Faits

numériquesTable de 3 Cycle 2

Table de 6 6 est le double de 3. Construction et mémorisation en appui sur la table de 3 et la

connaissance des doubles Extension de

faits

numériques

connus

Table de 4 4 est le double de 2. Construction et mémorisation en appui sur la table de 2 et la

connaissance des doubles

Table de 8 8 est le double de 4. Construction et mémorisation en appui sur la table de 4 et la

connaissance des doubles

Table de 9 Faire remarquer aux élèves que:

• « Lorsque je récite la table : le chiffre des dizaines avance toujours de 1 , alors que le

chiffre des unités recule de 1:18,27,36,45, 54,63,72,81,90 »

• « Quand je dis 3 x 9, le résultat pour les dizaines c ’est 3 – 1, et pour les unités c’est le

complément à 9 »

• Quand je dois décomposer un nombre à deux chiffres dont la somme des chiffres est 9, je

suis dans la table de 9 »

Procédure

7 7 x 7 49 Fait

numérique

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Travail sur la table de Pythagore: autre proposition

Quadruples Les quadruples sont les doubles des

doubles

Faits

numériques

Proximité

additive

Fois 3, C’est fois 2 plus une fois

Fois 6, C’est fois 5 plus une fois

Procédure

Carrés 7 x 7

8 x 8

9 x 9

Faits

numériques

3 produits à

mémoriser

7 x 8

7 x 9

8 x 9

Faits

numériques

Source: Copirelem

Faisons l’hypothèse :

- de la connaissance, par les élèves, des tables de 2, 3 et 5

- de la maîtrise de l’écriture des dizaines entières

- ainsi que de la connaissance de l’élément neutre de la multiplication :

Point de vigilance: la commutativité

5 fois 44 + 4 + 4 + 4 + 4

5

+

5

+

5

+

5

+

5

4 fois 5

■ Comprendre pour mieux mémoriser

■ Construire le répertoire

■ Installer et structurer le répertoire (voir points d'appui)

- Commutativité

- Appui sur des résultats connus (carrés, voisins)

- Régularités

- Faire apparaitre à l’élève ce qu’il connait et ce qui lui reste à mémoriser

■ Entraîner

- Ne pas faire réciter les tables mains interroger (production de résultats mais

pas d’une comptine, produits et résultats des produits)

- Ex: 8 x 7, 7 x 8, dans 56 combien de fois 7, etc

Une démarche pour rendre disponibles les faits numériques

6 x 9 = 54

réponse orale ou par ecrit

question oralement ou par ecrit

a quoi est egal 6 multiplie par 9 ? ou 6 × 9 = ?

6 × ? = 54 ou ? × 9 = 54 ou ? × 9 = 54 ou 6 × ? = 54

54 = ? × ?

Consignes et exercices

Quel est le quotient de 54 par 6 ?

Quel est le quotient de 54 par 9 ?

54 divise par 6 egal = ? ou 54 ÷ 6 = ?

54 divise par 9 ? ou 54 ÷ 9 = ?

Faire le lien avec la division

Faire le lien avec la notion de multiple ou de diviseur :

54 est-il un multiple de 6 ? 54 est-il multiple de 9 ?

6 divise-t-il 54 ? 6 est-il un diviseur de 54 ?

9 divise-t-il 54 ? 9 est-il un diviseur de 54 ?

Quel est le reste de la division de 54 par 6 ?

Quel est le reste de la division de 54 par 9 ?

Faire le lien avec la notion de multiple ou de diviseur

60 × 9 = ? 540 ÷ 60 = ?

5 400 = 900 × ?

0,6 × 9 = ? 5,6 ÷ 9 = ?

Réinvestir ce fait numérique dans des calculs plus complexes

Les cartes recto-verso

Recto Verso

6 X 7 42

5 x . = 40 8

Des situations pour construire et solliciter des faits numériques

Le bâton des tables

Travail sur les nombres:

De 0 à 10: 1, 2, 3, …

De 0 à 100: 10, 20, 30, …(Qu’y-a-t-il exactement entre 50 et 65?)

De 0,1 à 1: 0,1, 0,2, 0,3…(Qu’y-a-t-il exactement entre 0,3 et 0,4?)

De 0 à 1 kg: 100g, 200g, …

De 1/10 à 1

X 10

Ajouter

Soustraire

Doubles/moitiés

Le bâton des tables

Le calcul mental – préconisations (Olivier Hunault, IGEN)

①Renforcer le travail de mémorisation de faits

numériques (doubles, moitiés, tables – dans les

deux sens –, résultats avec des multiples de 25,

etc.)

- Construire des séances visant la mémorisation des

faits numériques ;

- Réinterroger régulièrement cette mémorisation.

Le calcul mental - préconisations

② Construire des séquences pour enseigner

explicitement les procédures : découverte,

institutionnalisation, renforcement et

évaluation.

Le calcul mental - préconisations

③Faire varier les outils utilisés en fonction des

objectifs de la séance dans la séquence :

- ardoise, feuille blanche, fiche à compléter, etc.

- questions posées oralement, écrites au tableau,

vidéo projetées une par une, vidéo projetées toutes

ensemble, etc.

- temps limités ou non, le plus de réponses possibles

en un temps fixé à l’avance, etc.

Construire son enseignement

Construire son enseignement

Pour ancrer l'apprentissage, deux activités ritualisées au

quotidien :

- le calcul mental

- les petits problèmes oraux

Développer, expliciter l'exploration de l'énoncé écrit d'un

problème

Amener les élèves à construire et utiliser des répertoires de

situations, qui, à terme, donneront du sens aux opérations et

rendront plus sûr le choix des procédures

Construire son enseignement

Un travail d’équipe

● Cohérence entre une année et la suivante concernant le type de problèmes proposés

partie-tout/comparaison,

nombre d’étapes,

nombres en jeu,

type d’opérations en jeu (addition, soustraction, etc.),

niveau des opérations en jeu (avec ou sans retenue, tables utilisées

● Harmonisation au sein de l’école concernant les schémas utilisés en classe dans les institutionnalisations et les mises en commun

Organiser une progression cohérente sur les deux cycles

Une démarche possible Maryvonne PRIOLET , 2014

1er principe : laisser les élèves trouver une réponse au problème

sans passer par des questions préalables perturbatrices

(informations utiles, inutiles..)

2ème principe : rapprocher le nouveau problème de problèmes plus

anciens déjà résolus

3ème principe : utiliser des représentations graphiques variées :

des opérations, des dessins, des schémas, du texte... et savoir passer

de l’une a l’autre

4ème principe : catégoriser, regrouper les problèmes relevant des

mêmes raisonnements

Construire son enseignement

Construire son enseignement

Projet : 10 problèmes /semaine : pratique intensive et différenciée

Lundi 1 ou 2 problèmes dits de référence

Jeudi : séance d’atelier –problème

Vendredi : 1 problème

Bien calibrer le niveau de difficulté des problèmes proposés aux élèves (chercher,

un peu, et trouver).

Gestion de classe

Plaisir de faire des mathématiques

Planifier

Construire son enseignement

Privilégier l’accompagnement des élèves pendant le temps de recherche individuelle à une longue présentation collective du problème en début de séance.

Accompagnement individuel

Prise en charge d’un petit groupe d’élèves pour un travail spécifique

● sur la compréhension (jouer le problème avec du matériel approprié, reformuler le problème, etc.)

● sur le contenu mathématique qui pose problème (numération, calcul, etc.)

Némo veut faire un collier pour sa maman.

Mila dit : « Il te faut 40 perles pour que le collier ait la bonne longueur ! »

Némo prend 10 perles roses, 10 perles bleues, 10 perles orange et 5 perles vertes.

Némo peut-il finir son collier ?

Source : Les mathématiques en classe de cycle 2, un travail d’équipe avec Stella Baruk

DGESCO-Canopé

Etayer, accompagner, à quel moment?

25 = la moitié de

= 5 x

200 = le double de

= 100 +

= 50 x

50 = 25 +

= 25 x

= la moitié de

= le double de

250 = la moitié de

= le double de

= 25 x

75 = 50 +

= 2 x

= 75 +

500 = la moitié de

= le double de

= 10 x

100 = la moitié de

= 50 x

= 100 +

1000 = le double de

= 10 x

= 500 +

Construire son enseignement

S’exercer : explorer les nombres et leurs relations

S’exercer : explorer les nombres et leurs relations

Tester le produit Recherche de

multiples et

diviseurs

Quotients

entiers

Avec reste

6 x 4 = ?

6 x 3 + ? = 6 x 4

3 x 2 x 4 = ?

3 x 2 x 2 x 2 = ?

6 x ? = 24

? x ? = 24

6 x 2 + 6 x 2 = ?

24 est-il

multiple de 4 ?

de 6 ?

De quels

nombres 24

est-il

multiple ?

Dans 24,

combien de

fois 6 ?

Dans 24,

combien de

fois 4 ?

Dans 25,

combien de fois

6 ?

Dans 25 combien

de fois 4 ?

Construire son enseignement

Différencier

Privilégier une différenciation par l’accompagnement pendant le temps de recherche, en apportant à chacun les coups de pouce dont il a besoin.

Jouer sur les variables :

les données numériques,

le contexte (la familiarité de l’environnement du problème pour l’élève),

la formulation, la nature du niveau de langue utilisée (lexique et syntaxe).

Proposer des problèmes:

quasiment identiques pour mettre l’élève en confiance,

de même type mais avec des habillages différents.

Proposer des stratégies « aidantes » :

mime de la situation (physique ou avec appui sur matériel)

utilisation d’outils

Construire son enseignement

Deux activités ritualisées au quotidien pour ancrer l’apprentissage

le calcul mental: 2 moments-clés de l’apprentissage

Avant de débuter une séquence, l’enseignant réactive et entraîne des connaissances en calcul mental. Elles vont permettre aux élèves de relever le défi que constitue un type nouveau de problèmes en facilitant la recherche de procédures adaptées.

Au cours de la résolution d’un problème, l’élève doit décider d’une procédure et la mener à son terme de façon autonome. Pour cela, il doit avoir assez d’aisance avec les nombres et les calculs pour opérer des choix stratégiques et les contrôler sans perdre le fil de son raisonnement. Le calcul mental est indispensable pour entraîner cette prise de distance.

les petits problèmes oraux

Des petits problèmes oraux sont résolus mentalement dans de brèves séances collectives quotidiennes.

Construire son enseignement: s’exercer

Favoriser les interactions entre pairs

Pendant les temps de recherche

● travaux de groupes

● ne rendre qu’une réponse pour deux

● échanges entre deux élèves ayant effectué le même calcul mais n’ayant pas trouvé la même réponse…

Pendant les temps de mise en commun/correction

● échanges à partir d’une proposition d’élève vidéo-projetée/ recopiée au tableau

Privilégier, le plus souvent possible, un temps de recherche individuelle en amont d’un travail collectif

Construire son enseignement

Conclusion et perspectives

Conclusion: 7 points de vigilance,

Olivier Hunault, IGEN

l

① S’assurer que les élèves résolvent des problèmes fréquemment (quotidiennement ou presque)

une dizaine de problèmes résolus chaque semaine

② S’assurer que les élèves résolvent des problèmes variés

③ Être vigilant quant au contexte des énoncés, au vocabulaire et à la difficulté mathématique des problèmes proposés

④ Veiller à ce qu’une différenciation soit bien mise en œuvre pendant les temps de résolution de problèmes

- (accompagnement pendant les temps de recherche: conseils individuels, prise en charge d’un petit groupe)

Conclusion: 7 points de vigilance,

Olivier Hunault, IGEN

⑤ S’assurer que les élèves disposent de temps de recherche

conséquents

⑥ Veiller à ce que la compétence « représenter » fasse l’objet

d’un enseignement construit

Proposer des schémas porteurs de sens utilisés de façon

récurrente tout au long du cycle

⑦ Encourager les échanges inter-élèves

Pendant les temps de recherche, en binôme ou en petit groupe

après un temps individuel, ou pendant les temps de mise en

commun avec toute la classe

Conclusion: 7 points de vigilance,

Olivier Hunault, IGEN

Perspectives Temps 2

Sur le temps 2 (3H en autonomie), en cycle, sur la période 4:

Travail au choix sur:

- La construction d’une séquence de calcul mental (champ multiplicatif) sur une

période

- La construction d’une séquence de résolution de problèmes multiplicatifs

- L’automatisation des calculs multiplicatifs (progression et construction d’outils

didactiques )

MERCI