automatique, robotique et traitement de l’information cours de robotique...
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2011 / 2012
Cours de Robotique Avancée
Cours 2
Génération de trajectoires
Ahmed CHEMORI
Laboratoire d’Informatique, de Robotique et de Microélectronique de Montpellier
LIRMM - UMR 5506
161, Rue Ada 34095, Montpellier Cedex 05, France
chemori@lirmm.fr
Université de CARTHAGE – Tunis
Ecole Supérieur de Technologie et d’Informatique de Tunis
Master 2 : Automatique, Robotique et Traitement de l’Information
Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 2
Plan du cours
1. Introduction
2. Notions générales
3. Génération de trajectoires et boucles de commande
4. Génération de mouvements point à point
• Méthode de base
• Méthode à profil d’accélération bang-bang
• Méthode à profil de vitesse trapézoïdal
• Application à l’espace articulaire
• Application à l’espace cartésien
5. Génération de mouvement par interpolation
• Introduction
• Trajectoires interpolées par loi bang-bang
a) Principe de base
b) Trajectoires à temps minimal
c) Exemple
• Application à l’espace articulaire
• Application à l’espace cartésien
A. Chemori (Cours de Robotique avancée)
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 3
Génération de trajectoires Introduction
Exemples d’application robotique
Découpe Laser Robot mobile
Montrent l’intérêt de génération de trajectoires
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 4
Notions générales
Définition : La génération de mouvement désigne la fonction de calcul des
consignes articulaires du robot destinées à réaliser une tâche interprétée sous
forme de positions successives de l’outil du robot
Trajectoire de référence
Cette fonction est primordiale au sein du contrôleur du robot, dans le sens où
elle fait la transition entre le niveau informatique d’interprétation/exécution de
la tâche et le niveau de commande proprement dit
Interprétation/exécution de la tâche
Génération de mouvement
Commande des actionneurs
Programme
de la tâche
Consignes aux
actionneurs
Génération de trajectoires
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 5
La fonction de génération de trajectoires peut s’exécuter dans l’espace
articulaire où elle consiste à déterminer une loi horaire pour chaque
articulation, ou bien dans l’espace cartésien (ou opérationnel) où elle vise à
déterminer directement une trajectoire de l’outil
Le fondement mathématique de la génération de trajectoires est le calcul
polynomial qui construit l’équation du mouvement à partir des contraintes
spatiales et temporelles
La génération de mouvement dans l’espace articulaire applique à chaque
articulation du robot une loi de mouvement dont les contraintes sont définies
dans l’espace articulaire
Dans le cas le plus fréquent où la durée du mouvement n’est pas imposée,
chaque articulation a une durée propre de mouvement déduite de la satisfaction
des contraintes cinématiques ou dynamiques
Il sera donc nécessaire dans une seconde étape de synchroniser l’ensemble des
articulations sur la plus lente (appelée articulation maître)
Notions générales Génération de trajectoires
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 6
Notions générales
Une autre approche consiste à générer les trajectoires dans l’espace
opérationnel, dans lequel on défini la position et l’orientation de l’outil du
robot
Cette génération de trajectoire se fait à partir de données cinématiques ou
dynamiques
Dans le cas le plus fréquent du choix des données purement cinématiques, les
données de cinématique de vitesse et d’accélérations linéaires sont
naturellement définies dans l’espace opérationnel
La synchronisation s’effectuera entre mouvements d’orientation et de position
cartésienne
Les deux approches sont complémentaires. En effet, la génération de
mouvement dans l’espace articulaire profite du faite que les contraintes
cinématiques (de vitesse et d’accélération) ou dynamique (de couple moteur) sont
définies au niveau des actionneurs (espace articulaire), mais la trajectoire de
l’outil est difficilement prévisible (transformation non linéaire entre les 2 espaces)
Génération de trajectoires
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 7
Notions générales
Les deux approches sont complémentaires :
En effet, la génération de mouvement dans l’espace articulaire profite du faite
que les contraintes cinématiques (de vitesse et d’accélération) ou dynamique
(de couple moteur) sont définies au niveau des actionneurs (espace articulaire)
mais la trajectoire de l’outil qui en résulte est difficilement prévisible
La génération de mouvement dans l’espace opérationnel permet de réaliser des
trajectoires données dans l’espace cartésien mais les limites des contraintes
cinématiques de vitesse et d’accélération qui lui sont associées sont plus
difficiles à estimer
Deux types de trajectoires peuvent être générées :
- Mouvement point à point
- Mouvement à trajectoire continue
Génération de trajectoires
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Génération de trajectoires et boucle de commande Génération de trajectoires
+
-
En espace articulaire
Robot Contrôleur Générateur de
trajectoires
+
-
Robot Contrôleur Générateur de
trajectoires
En espace Cartésien
MGD
MGI
qf
qi
q(t)
Xf
Xi
qi
q(t) X(t)
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Génération de mouvements point à point
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Génération de mouvement point à point
De façon générale, la génération de mouvement construit la trajectoire de
l’outil du robot à partir de la donnée de contraintes spatiales sous forme de
points intermédiaires qui sont soit de véritables point de passage, soit des
points précisant les directions successives du mouvement grâce à la notion du
polygone directeur
La génération de mouvement peut être envisagée selon deux modes :
- Un mode point à point : qui impose l’arrêt du robot à chaque point intermédiaire
- Un mode à trajectoire continue : qui impose une continuité de la vitesse de
mouvement à chaque point intermédiaire
Le mode point à point est souvent associé à une génération de mouvement
dans l’espace articulaire (tâches en environnement libre telles que les tâches de
manipulation, de soudage point à point, etc)
Le mode à trajectoire continue est souvent associé à une génération de
mouvement dans l’espace opérationnel (tâches en environnement encombré
telle que les tâches de soudage à l’arc, de découpe, etc)
Génération de trajectoires
Méthode de base
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Génération de mouvement point à point
Méthode de base
Ces méthodes définissent le mouvement d’un point de départ à un point
d’arrivée à l’aide d’une spline unique ou d’une composition de splines
élémentaires qui définit soit un profil de vitesse spécifique, soit un profil
d’accélération spécifique
La vitesse est nulle aux points de départ et d’arrivée
La spline de plus faible degré assurant la continuité de la vitesse est la spline
cubique d’équation :
Où T désigne la durée du mouvement
Les 4 coefficients a,b,c,d sont déterminés à partir des contraintes de définition de
mouvement
Génération de trajectoires
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Génération de mouvement point à point
Méthode de base
Il résulte de ce calcul que la spline cubique à un maximum de vitesse et un
maximum d’accélération, en valeurs absolues, données par :
Par conséquent pour une même distance à parcourir, plus la durée T
est courte, plus sont élevées, au risque de ne plus être
réalisable
D’un point de vue pratique, il apparaît donc nécessaire de définir la durée du
mouvement à partir des contraintes de vitesse et d’accélération (en valeur
absolue) qu’on notera
Les contraintes de vitesses et d’accélération conduisent aux expressions
suivantes des durées minimales (notées respectivement )
Durée optimale du mouvement
Génération de trajectoires
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Génération de mouvement point à point
Méthode de base
Exemple : Position & vitesse initiales
Position & vitesse finales
Avec la durée du mouvement
Trajectoires obtenues
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-5
0
5
Temps [s]
Posit
ion
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
20
40
Temps [s]
Vite
sse
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-200
0
200
Temps [s]
Acc
ele
rati
on
Génération de trajectoires
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Génération de mouvement point à point
Méthode de base
Le mouvement point à point obtenu par spline cubique n’assure pas la
continuité de l’accélération, ceci peut être préjudiciable aux actionneurs pour
des tâches où ils sont fortement dynamiquement sollicités
Ce problème peut être résolu en imposant, en plus des 4 contraintes
précédentes, deux contraintes supplémentaires d’accélérations nulles aux
points limites (départ et arrivée)
Avec 6 contraintes la fonction spline devrait être de l’ordre 5 (spline quintique)
Exercice : Proposer une méthode permettant l’identification des six
coefficients de cette trajectoire qui satisfait les contraintes
de position, de vitesse et d’accélération.
Génération de trajectoires
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* Génération de mouvement point à point
Méthode de base
Exemple :
Position, vitesse et accélérations initiales
Trajectoires obtenues
Position, vitesse et accélérations finales
Avec la durée du mouvement
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-5
0
5
Temps [s]
Posit
ion
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
20
40
Temps [s]
Vite
sse
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-200
0
200
Temps [s]
Acc
ele
rati
on
Génération de trajectoires
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Génération de mouvement point à point
Méthode de base
La génération de mouvement par spline (d’ordre 3 ou 5) fait intervenir une
seule spline
Il existe d’autres méthodes de génération de mouvement à l’aide d’une
composition de splines élémentaires définissant un profil de vitesse et
d’accélération, dont les avantages sont :
Permettent une génération de mouvements à l’aide d’une séquence de
splines de très faible degré (généralement au plus 4), ce qui simplifie les
calcules et facilite la maîtrise du mouvement lorsque la méthode est
élargie au cas du mouvement avec points intermédiaires
Offrent la possibilité, dans le cas de mouvement point à point, de faire
apparaître des phases à vitesses constantes (dites phases de vitesse de
croisière) très utiles dans la pratique, alors que dans la pratique les splines
uniques génèrent des extrema de vitesse
Génération de trajectoires
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Génération de mouvement point à point
Méthode à profil d’accélération bang-bang
La composition de splines la plus simple est le profil d’accélération bang-bang
Cette méthode réalise le mouvement point à point selon une phase
d’accélération constante suivie d’une phase symétrique de freinage
La loi de mouvement est composée de 2 splines du second degré
Les coefficients sont déterminés à partir des contraintes
initiales, finales et de continuité en
Génération de trajectoires
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 18
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.81
2
3
Temps [s]
Posit
ion
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
5
Temps [s]
Vite
sse
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-20
0
20
Temps [s]
Acc
ele
rati
on
Position et vitesse initiales
Trajectoires obtenues
Position et vitesse finales
Avec la durée du mouvement
Génération de mouvement point à point
Exemple :
Méthode à profil d’accélération bang-bang
Génération de trajectoires
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Génération de mouvement point à point
Méthode à profil d’accélération bang-bang
Si l’on souhaite avoir une phase de vitesse constante, on peut considérer le
profil trapézoïdal de vitesse qui modifie le profil d’accélération bang-bang en
lui intégrant une phase d’accélération nulle
La loi de mouvement sera donc composée de trois splines successivement
d’ordre 2, 1 et 2, dont on détermine les 8 coefficients à partir des 8 contraintes:
- de position et de vitesse, initiales et finales (4 contraintes),
- de continuité en position et vitesse entre les phases d’accélération initiale
et de vitesse de croisière (2 contraintes),
- de continuité en position et vitesse entre les phases de vitesse de croisière
et de freinage (2 contraintes).
Méthode à profil de vitesse trapézoïdal
Génération de trajectoires
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Génération de mouvement point à point
Méthode à profil de vitesse trapézoïdal
Le générateur à profil trapézoïdal de vitesse est donné par le système
d’équations suivant :
Où désigne la durée totale du mouvement, et celle des phases d’accélération initiale et de freinage final
Lors du mouvement, la vitesse de croisière est la vitesse maximale
L’accélération maximale est donnée par
Génération de trajectoires
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
5
Temps [s]
Posit
ion
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
5
10
Temps [s]
Vite
sse
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-20
0
20
Temps [s]
Acc
ele
rati
on
Position et vitesse initiales
Trajectoires obtenues
Position et vitesse finales
Avec la durée du mouvement, et
Exemple :
Génération de mouvement point à point
Méthode à profil de vitesse trapézoïdal
La position et la vitesse sont continues mais l’accélération est discontinue
Génération de trajectoires
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Génération de mouvement point à point
Méthode à profil de vitesse trapézoïdal
Il est possible de construire un profil trapézoïdal de vitesse à accélération
continue en remplaçant les splines quadratique d’accélération initiale et de
freinage par des splines quadriques (de degré 4)
Aux 8 contraintes considérées pour la détermination du profil de vitesse
trapézoïdal, il faut rajouter les contraintes d’accélérations initiale et finale
nulles, ainsi que les contraintes de continuité d’accélération aux instants :
et , on aboutit au système suivant :
Avec les expressions suivantes de vitesse et d’accélération maximales :
Accélération max augmentée de 50%
Génération de trajectoires
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Génération de mouvement point à point
Méthode à profil de vitesse trapézoïdal
Position et vitesse initiales
Trajectoires obtenues
Position et vitesse finales
Avec la durée du mouvement, et
Exemple :
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
5
Temps [s]
Posit
ion
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
5
10
Temps [s]
Vite
sse
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-50
0
50
Temps [s]
Acc
ele
rati
on
On souhaite avoir une accélération continue cette fois-ci
Génération de trajectoires
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Génération de mouvement point à point
Application à l’espace articulaire
Dans l’espace articulaire, on considère un robot à n degré de liberté pour
lequel on désire générer un mouvement du point de départ au point
d’arrivée
Chaque axe j du robot étant contraint en vitesse par et en accélération
par
Pour cela on applique la méthode choisie à chaque axe du robot, puis on
recalcule l’ensemble des mouvement articulaires afin de les synchroniser
On distingue deux cas de figure :
Si la méthode est à spline unique, ou à composition de splines caractérisée par
un seul paramètre temporel, qui est la durée du mouvement (cas de la loi bang-
bang), et si l’on désigne par Tj la durée de chaque mouvement articulaire, on
recalcule tout les mouvement articulaires en leur imposant la durée commune
Génération de trajectoires
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Génération de mouvement point à point
Application à l’espace articulaire
Si la méthode est à composition de splines et fait appel à plusieurs paramètres
temporels indépendants, la synchronisation doit être adaptée à chaque méthode
Dans le cas, par exemple, de la méthode à profil trapézoïdal de vitesse à
accélération discontinue, on peux choisir de garder, lors de la phase de
synchronisation, la même durée
Les nouvelles valeurs de vitesses et d’accélération maximales seront :
Génération de trajectoires
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Génération de mouvement point à point
Application à l’espace articulaire
Exemple : cas d’un robot à 2 degrés de liberté
Articulation maître
Articulation non maître
0 0.5 1 1.5 20
2
4
6
0 0.5 1 1.5 20
2
4
6
0 0.5 1 1.5 20
2
4
6
Synchronisation
Génération de trajectoires
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Génération de mouvement point à point
Application à l’espace Cartésien
Dans l’espace cartésien, on considère la position de l’effecteur du robot.
Les points de départ et d’arrivée seront notés et
Le mouvement correspondant est alors représenté par un polynôme vectoriel à
trois dimensions, dont on détermine les coefficients par les contraintes
vectorielles initiales, finales et de continuité
Par exemple la spline cubique de base s’applique sous la forme d’un polynôme
vectoriel définie à partir des contraintes suivantes :
On aboutit à l’expression suivante du mouvement cartésien :
Génération de trajectoires
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Génération de mouvement point à point
Application à l’espace Cartésien
Les contraintes de vitesse et d’accélération dans l’espace cartésien s’expriment
sous forme du respect d’une norme de maximum de vitesse et d’une
norme de maximum d’accélération
Par conséquent, la recherche des valeurs optimales du mouvement satisfaisant
ces contraintes est plus difficile à mener que dans l’espace articulaire, car elle
porte sur les normes du vecteur de vitesse et du vecteur
accélération
Génération de trajectoires
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Génération de mouvements par
interpolation
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Génération de trajectoires Introduction
On considère un mouvement qui consiste à passer par points :
: désigne le point de départ à vitesse nulle,
: celui d’arrivée à vitesse nulle,
: sont les points intermédiaires (points de passage),
à chaque point on associe une vitesse et l’instant de passage en
l’interpolation entre deux points successifs et assurant la continuité
de vitesse doit vérifier les contraintes suivantes :
Ces contraintes peuvent être satisfaites par une spline cubique ou par une lois
bang-bang
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Dans le cas d’une lois bang-bang, l’équation obtenue est la suivante :
avec
Il faut noter (contrairement au cas de point à point) que les mêmes données de
position et de vitesse et peuvent conduire, pour des
choix différents de la durée de mouvement , à des évolutions
d’accélérations différentes.
Ceci est illustré au travers l’exemple ci-dessous.
Introduction Génération de trajectoires
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Exemple : Interpolation par une lois bang-bang (le deuxième cas à une durée
double de celle du premier)
Introduction Génération de trajectoires
La durée du mouvement en b) est double de celle en a)
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Le mouvement complet d’interpolation du point de départ au point d’arrivée et
alors simplement construit par les m splines interpolant les couples de points
et partageant les mêmes contraintes de vitesses
et éventuellement d’accélération.
Il est nécessaire, en pratique, de déterminer les durées de mouvements en
fonctions des contraintes cinématiques de vitesses et d’accélérations
maximales
Dans le cas de mouvements interpolés, cela revient à déterminer la durée entre
chaque couple de points successifs :
satisfaisant les contraintes cinématiques
Ensuite les instants de passage sont calculé par :
La détermination des durées optimales deviendra beaucoup plus difficile à
cause de la liberté de choix des vitesses de passage qui ne sont plus imposées
nulles.
Introduction Génération de trajectoires
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 34
Trajectoires interpolées par loi bang-bang Génération de trajectoires
Cette méthode est applicable en ligne sur un robot industriel
Elle consiste à calculer la spline pendant que la spline est réalisée
Le caractère en-ligne de la méthode est fondé sur la détermination analytique
de la durée optimisant le mouvement de à sous les
contraintes et .
Le mouvement est considéré soit positif, c.à.d :
Ou bien négatif, c.à.d :
Tout changement de direction du mouvement se fait en imposant un point
de passage à vitesse nulle
Trajectoires interpolés par loi bang-bang : Principe de base
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 35
Trajectoires interpolées par loi bang-bang Génération de trajectoires
Dans le cas de la loi bang-bang on peut distinguer deux profils correspondant à
: Valeur du premier palier d’accélération correspondant à l’intervalle
: Valeur du deuxième palier d’accélération correspondant à l’intervalle
L’évolution de vitesse est illustrée dans le cas d’un mouvement positif
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 36
Trajectoires interpolées par loi bang-bang Génération de trajectoires
Profil 1 Profil 2
Contraintes de vitesse Contraintes de vitesse
Mo
uve
men
t à
tem
ps
min
imal
Contraintes d’accélération Contraintes d’accélération
Mouvement positif : doit privilégier le profil 1 Le profil 2 conduira à un allongement de la durée du mouvement (voir précédemment)
Mouvement négatif : doit privilégier le profil 2 car il est le plus rapide
Q: A-t on toujours une solution optimale ? Qui satisfait les contraintes
Trajectoires à temps minimal
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Trajectoires interpolées par loi bang-bang Génération de trajectoires
R: Le profil favorable n’est pas toujours réalisable (démonstration avec un exemple)
On considère le cas du passage du profil 1 au profil 2 (ou inversement)
correspond à une durée limite (déduite de l’équation )
Or, si la durée du mouvement d’interpolation, imposée par l’utilisateur ou par
la satisfaction des contraintes (de vitesse et d’accélération) est supérieure à
cette limite
Le profil favorable n’est pas réalisable le profil le moins favorable (profil lent) s’impose
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Trajectoires interpolées par loi bang-bang Génération de trajectoires
Exemple On considère une variable rotoïde qui doit interpoler les 10 points suivants :
Positions (en Deg) :
Vitesses associées (en Deg/s) :
On impose les contraintes suivantes sur les vitesses et accélérations :
Trajectoires obtenues :
Remarque :
Le mouvement entre les point 3 et 4 se
fait à vitesse constante grâce au choix
de vitesse de passage égale à la vitesse
maximale
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Application à l’espace articulaire Génération de trajectoires
Application à l’ espace articulaire
L’application à l’espace articulaire se fait de façon similaire au cas du
mouvement point à point
Cela revient à :
o calculer les trajectoires entre chaque deux points successifs
o Synchroniser chaque mouvement interpolé entre deux points successif
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 40
Application à l’ espace cartésien
Application à l’espace cartésien Génération de trajectoires
On considère la génération d’un mouvement cartésien joignant :
Un point de départ Un point d’arrivée
Position
Vitesse
Contraintes d’accélération
Contraintes de vitesse
Seront imposées en norme
Les notions de mouvements positif et négatif n’ont pas de sens dans l’espace
cartésien.
La détermination du mouvement optimal interpolant les couples et
va directement se faire avec les contraintes en norme :
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 41
Application à l’espace cartésien Génération de trajectoires
Dans l’espace cartésien, la loi d’interpolation bang-bang s’écrit :
Dans ce cas on va considérer l’analyse des extrema des normes de vitesse
et d’accélération en fonction de la durée du
mouvement
Evolution des normes de vitesse a) et d’accélération b) pour une loi bang-bang en espace cartésien
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 42
Application à l’espace cartésien Génération de trajectoires
Si la vitesse en norme n’est pas maximale en ou
La contrainte de vitesse est vérifiée car on suppose que :
La norme de la vitesse est maximale en (voir figure précédente)
Par ailleurs le profil de la norme d’accélération possède deux paliers
d’accélération constantes et qui prennent les valeurs suivantes :
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 43
Application à l’espace cartésien Génération de trajectoires
Afin de trouver les durées optimales il faut satisfaire les contraintes de
vitesses et d’accélération
La contrainte de vitesse conduit à l’équation
suivante de 2nd degré en :
Qui possède une solution réelle positive (comme l’illustre la figure suivante)
Evolution type de la norme de vitesse en fonction de
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 44
Application à l’espace cartésien Génération de trajectoires
Evolution type des normes
d’accélérations A1 et A2 en
fonction de
La satisfaction optimale des contraintes d’accélération et
conduit aux équations suivantes (du 4ème degré) :
La présence des équations du 4ème degré (à cause du traitement du problème
par la norme) fait perdre le caractère analytique de la résolution du problème
Solution : résoudre numériquement ces équations
La solution finale est obtenue en comparant la solution satisfaisant
la contrainte de vitesse avec les racines réelles positives des deux équations du
4ème degré précédentes :
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