ampliació de matemàtiques tema 5. sèries de fouriersi f(t) es una funci o de nida en un interval...
Post on 25-Mar-2021
0 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Ampliacio de MatematiquesTema 5. Series de Fourier
Lali BarriereDepartament de Matematiques - UPC
Enginyeria de Sistemes AeroespacialsEnginyeria d’Aeroports
Enginyeria d’AeronavegacioEETAC
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 1 / 39
Continguts
Continguts
Previs: series numeriques
5.1 Funcions periodiques
5.2 Serie de Fourier trigonometrica
5.3 Serie cosinus i serie sinus
5.4 Convergencia de la serie de Fourier
5.5 Serie de Fourier complexa
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 2 / 39
Previs: series numeriques
Previs: series numeriquesDefinicio Una serie es la suma dels termes d’una successio.Si {an}n∈N es una successio de nombres (reals), la serie associada es lasuccessio
Sn =
n∑k=0
ak
Diem que la serie es convergent si existeix (i es finit) el lımit:
limn→+∞
Sn = a0 + a1 + a2 + a3 + . . .
Si el lımit no existeix o es infinit, diem que la serie es divergent.
Exemple La suma d’una progressio aritmetica sempre te lımit infinit:
{an}n∈N = {a0, a0 + d, a0 + 2d, a0 + 3d, . . .} ⇒ an = a0 + n · d
⇒n∑k=0
ak = (n+ 1) · a0 +n(n+ 1)
2· d⇒ lim
n→+∞Sn = +∞ (si d > 0)
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 3 / 39
Previs: series numeriques
Progressio i serie geometricaLa suma d’una progressio geometrica te lımit finit si la rao es mes petitaque 1, en valor absolut:
{an}n∈N = {a, a · r, a · r2, . . .} ⇒ an = a · rn
⇒N∑n=0
an =
N∑n=0
a · rn = a0 + a1 + · · ·+ aN =a− a · rN+1
1− r
⇒ limN→+∞
SN = limN→+∞
a− a · rN+1
1− r =
a
1− r , si |r| < 1
±∞, si r ≥ 1
no existeix, si r < −1A mes, si la suma no comenca en n = 0:∑
n≥ka · rn = lim
N→+∞
a · rk − a · rN+1
1− r =a · rk1− r , sempre i quan |r| < 1.
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 4 / 39
Previs: series numeriques
Criteri 0
Si la serie∑n≥1
an es convergent, aleshores limn→∞
an = 0.
Es a dir:
limn→∞
an 6= 0 =⇒∑n≥1
an es divergent.
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 5 / 39
5.1 Funcions periodiques
5.1 Funcions periodiques
ObjectiuExpressar una funcio periodica (o una funcio definida en un interval) coma suma (finita o infinita) de sinusoıdals.
Definicio Una funcio f : R→ R es periodica amb perıode T si
f(t+ T ) = f(t)
per a qualsevol t ∈ R.
I Si f es periodica amb perıode T diem que f es T -periodica.
I Si f es T -periodica tambe es nT -periodica, per a tot n enter.
I El menor dels perıodes de f s’anomena perıode fonamental.
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 6 / 39
5.1 Funcions periodiques
Funcions periodiques: exemples
I cos t, sin t son funcions 2π-periodiques.
I cos(2t), sin(2t) son funcions π-periodiques i, per tant, tambe2π-periodiques.
I cos(nt), sin(nt) son funcions 2πn -periodiques i, per tant, tambe
2π-periodiques.
I cos(πt), sin(πt) son funcions 2-periodiques.
I cos 2πtT , sin 2πt
T son funcions T -periodiques.
I t− btc es 1-periodica.
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 7 / 39
5.1 Funcions periodiques
Funcions periodiques: exemples (2)Funcions 2π-periodiques
I f(t) = cos t− sin(2t) + 4 cos(3t) es 2π-periodica.
I Qualsevol combinacio lineal de sinus i cosinus de la forma
f(t) =∑n≥1
an cos(nt) +∑n≥1
bn sin(nt)
es 2π-periodica.
Sinusoıdals amb altres perıodes
I f(t) = cos(2πt) + 3 sin(4πt)− 5 sin(6πt) es 1-periodica.
I Qualsevol combinacio lineal de sinus i cosinus de la forma
f(t) =∑n≥1
an cos(nω0t) +∑n≥1
bn sin(nω0t)
es 2πω0
-periodica.
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 8 / 39
5.1 Funcions periodiques
Teorema de Fourier
“Tota” funcio 2π-periodica admet un desenvolupament en serie de la forma
f(t) =a02
+∑n≥1
an cos(nt) +∑n≥1
bn sin(nt)
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 9 / 39
5.2 Serie de Fourier trigonometrica
5.2 Serie de Fourier trigonometricaSi f(t) es una funcio T -periodica, la frequencia fonamental de f(t) es
ω0 =2π
T
La serie de Fourier trigonometrica de f(t) es:
f(t) ' a02
+
∞∑n=1
(an cos (nω0t) + bn sin (nω0t))
on an i bn s’anomenen coeficients de Fourier, i venen donats per:
an =2
T
∫ T2
−T2
f(t) cos (nω0t) dt, n ≥ 0
bn =2
T
∫ T2
−T2
f(t) sin (nω0t) dt, n ≥ 1
Observacio Es poden calcular tambe integrant en l’interval [0, T ].Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 10 / 39
5.2 Serie de Fourier trigonometrica
Coeficients de Fourier d’una funcio 2π-periodicaSi f(t) es 2π-periodica, la seva frequencia fonamental es 1 i la seva serie deFourier es:
f(t) ' a02
+∑n≥1
an cos(nt) +∑n≥1
bn sin(nt)
Els coeficients de Fourier de f(t) venen donats per
a0 =1
π
∫ π
−πf(t) dt,
an =1
π
∫ π
−πf(t) cosnt dt
bn =1
π
∫ π
−πf(t) sinnt dt
n ≥ 1.
Demostracio Per a la demostracio necessitem recordar:
cosx cos y =cos(x− y) + cos(x+ y)
2
sinx sin y =cos(x− y)− cos(x+ y)
2
sinx cos y =sin(x− y) + sin(x+ y)
2
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 11 / 39
5.2 Serie de Fourier trigonometrica
Coeficients de Fourier d’una funcio 2π-periodica (2)Observem:∫ π
−πcosnt dt =
1
nsinnt
∣∣∣π−π
= 0,
∫ π
−πsinnt dt =
1
n(− cosnt)
∣∣∣π−π
= 0.
A mes:∫ π
−πcosnt sinmt dt =
1
2
∫ π
−π(sin(m− n)t+ sin(m+ n)t) dt = 0, ∀ n,m∫ π
−πcosnt cosmt dt =
1
2
∫ π
−π(cos(m− n)t+ cos(m+ n)t) dt = 0, ∀ n 6= m∫ π
−πsinnt sinmt dt =
1
2
∫ π
−π(cos(m− n)t− cos(m+ n)t) dt = 0, ∀ n 6= m
Si n = m: ∫ π
−πcos2mt dt =
1
2
∫ π
−π(1 + cos 2mt) dt = π∫ π
−πsin2mt dt =
∫ π
−π(1− cos2mt) dt = π
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 12 / 39
5.2 Serie de Fourier trigonometrica
Coeficients de Fourier d’una funcio 2π-periodica (3)A partir de l’expressio
f(t) =a02
+∑n≥1
an cos(nt) +∑n≥1
bn sin(nt)
I Integrant entre −π i π:∫ π
−πf(t) dt =
∫ π
−π
a02dt+
∞∑n=1
(an
∫ π
−πcosnt dt+ bn
∫ π
−πsinnt dt
)= a0 π
I Multiplicant per cosmt i integrant entre −π i π:∫ π
−πf(t) cosmt dt = am
∫ π
−πcosmt cosmt dt = amπ
I Multiplicant per sinmt i integrant entre −π i π:∫ π
−πf(t) sinmt dt = bm
∫ π
−πsinmt sinmt dt = bmπ
�Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 13 / 39
5.3 Serie cosinus i serie sinus
5.3 Serie cosinus i serie sinusDefinicio Una funcio f es parella si es compleix, per a tot t ∈ R,
f(t) = f(−t)La grafica d’una funcio parella es simetrica respecte de l’eix Y .
Una funcio f es senar si es compleix, per a tot t ∈ R,
f(t) = −f(−t)La grafica d’una funcio senar es simetrica respecte de l’origen.
Hi ha funcions que no son ni parelles ni senars.
I f parella ⇒∫ a
−af(t) dt = 2
∫ a
0f(t) dt
I f senar ⇒∫ a
−af(t) dt = 0
I Tota funcio f es suma d’una funcio parella i una funcio senar.
f(t) = fp(t)+fs(t), on fp(t) =f(t) + f(−t)
2, fs(t) =
f(t)− f(−t)2
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 14 / 39
5.3 Serie cosinus i serie sinus
El producte de funcions parelles i senars compleix:
I parella · parella = parella
I parella · senar = senar
I senar · senar = parella
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 15 / 39
5.3 Serie cosinus i serie sinus
Series de Fourier de funcions parelles i de funcions senars
1. Si f es una funcio T -periodica i parella, el seu desenvolupament enserie de Fourier es de la forma
f(t) ' a02
+
∞∑n=1
an cos (nω0t)
an =4
T
∫ T2
0f(t) cos (nω0t) dt, n ≥ 0
2. Si f es una funcio T -periodica i senar, el seu desenvolupament enserie de Fourier es de la forma
f(t) '∞∑n=1
bn sin (nω0t)
bn =4
T
∫ T2
0f(t) sin (nω0t) dt, n ≥ 1.
En ambdos casos ω0 =2πT .
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 16 / 39
5.3 Serie cosinus i serie sinus
Serie cosinus i serie sinus
Si f(t) es una funcio definida en un interval [0, L], aleshores:
1. La serie cosinus de f es la serie de Fourier de l’extensio parella de f .
2. La serie sinus de f es la serie de Fourier de l’extensio senar de f .
I Les extensions parella o senar de f es defineixen en l’interval [−L,L].I Les funcions resultants se suposen T -periodiques, amb T = 2L.
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 17 / 39
5.3 Serie cosinus i serie sinus
Serie cosinus
Extensio parella de f(t), amb perıode T = 2L i, per tant, ω0 =π
L:
fp(t) =
{f(t), si 0 < t < L
f(−t), si − L < t < 0amb fp(t+ 2L) = fp(t)
La seva serie de Fourier es:
fp(t) 'a02
+
∞∑n=1
an cos(nπ
Lt)
an =2
L
∫ L
0f(t) cos
(nπ
Lt)dt, n ≥ 0
En l’interval [0, L] es compleix: fp(t) = f(t).
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 18 / 39
5.3 Serie cosinus i serie sinus
Serie sinus
Extensio senar de f(t), amb perıode T = 2L i, per tant, ω0 =π
L:
fs(t) =
{f(t), si 0 < t < L
−f(−t), si − L < t < 0amb fs(t+ 2L) = fs(t)
La seva serie de Fourier es:
fs(t) '∞∑n=1
bn sin(nπ
Lt)
bn =2
L
∫ L
0f(t) sin
(nπ
Lt)dt, n ≥ 1
En l’interval [0, L] es compleix: fs(t) = f(t).
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 19 / 39
5.4 Convergencia de la serie de Fourier
5.4 Convergencia de la serie de Fourier
Considerem f(t) una funcio T -periodica, ω0 =2πT , i la successio de sumes
parcials de la serie de Fourier de f :
SN (t) =a02
+
N∑n=1
(an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)), N > 0
Estudiem alguns resultats sobre convergencia:
1. Condicions de Dirichlet.
2. Fenomen de Gibbs.
3. Aproximacio en mitjana quadratica.
4. Desigualtat de Bessel.
5. Igualtat de Parseval.
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 20 / 39
5.4 Convergencia de la serie de Fourier
Condicions de Dirichlet
Si es compleix en cada perıode:
I f te es contınua a trossos (te un nombre finit de discontinuıtats).
I f te un nombre finit d’extrems (maxims o mınims).
Aleshores:La serie de Fourier de f convergeix puntualment (en cada punt t):
limN→+∞
SN (t) =f(t+) + f(t−)
2
on f(t+) i f(t−) indiquen els lımits laterals de f per la dreta i perl’esquerra, respectivament.
Les condicions de Dirichlet garanteixen la convergencia puntual de la seriede Fourier cap a la funcio f , si aquesta es contınua.
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 21 / 39
5.4 Convergencia de la serie de Fourier
Fenomen de Gibbs
I La convergencia de la serie de Fourier es uniforme si:
limN→∞
max |SN (t)− f(t)| = 0
I Si f es contınua i f ′ contınua a trossos, hi ha convergencia uniforme.
I El fenomen de Gibbs es produeix quan NO hi ha convergenciauniforme. Al voltant dels punts de discontinuıtat de la funcio, SNdesborda els valors f(t+) i f(t−) en aproximadament un 9% del saltde la funcio en aquest punt, sigui quin sigui el valor de N .
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 22 / 39
5.4 Convergencia de la serie de Fourier
Fenomen de Gibbs (2)
f(t) = t− btc, t ∈ [0, 1]⇒ f(t) ' 1
2− 1
π
∑n≥1
1
nsin(2πnt)
Sumes parcials SN , amb n = 1, n = 2, n = 3.
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 23 / 39
5.4 Convergencia de la serie de Fourier
Fenomen de Gibbs (3)
f(t) = t− btc, t ∈ [0, 1]⇒ f(t) ' 1
2− 1
π
∑n≥1
1
nsin(2πnt)
Sumes parcials SN , amb n = 2, n = 10, n = 14.
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 24 / 39
5.4 Convergencia de la serie de Fourier
Aproximacio en mitjana quadratica
L’error quadratic en aproximar f per SN es:
EQ =
∫ T2
−T2
(SN (t)− f(t))2 dt
L’error quadratic mitja en aproximar f per SN es:
EQM =1
TEQ =
1
T
∫ T2
−T2
(SN (t)− f(t))2 dt
L’error quadratic i l’error quadratic mitja mesuren l’energia i l’energiamitjana de l’error comes en aproximar f per la suma parcial SN de la sevaserie de Fourier.
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 25 / 39
5.4 Convergencia de la serie de Fourier
Observacio
EQ =
∫ T2
−T2
(SN (t)− f(t))2 dt =
=
∫ T2
−T2
(a02
+
N∑n=1
(an cos(nω0t) + bn sin(nω0t))− f(t))2
dt =
=
∫ T2
−T2
(f(t))2 dt− T a20
4− T
2
N∑n=1
(a2n + b2n)
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 26 / 39
5.4 Convergencia de la serie de Fourier
Aproximacio en mitjana quadratica (2)
I Observacio Per tal de mesurar l’EQ, la funcio f ha de ser de quadratintegrable. Per aixo es suficient que sigui contınua a trossos.
I La serie de Fourier es la serie trigonometrica que minimitza l’errorquadratic.
I Si f es una funcio de quadrat integrable, la seva serie de Fourierconvergeix en mitjana quadratica a f :∫ T
2
−T2
(SN (t)− f(t))2 dt −→N→∞
0
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 27 / 39
5.4 Convergencia de la serie de Fourier
Desigualtat de Bessel i igualtat de Parseval
I Desigualtat de Bessel. Si f es de quadrat integrable en [−T2 ,
T2 ]:
a202
+
N∑n=1
(a2n + b2n) ≤1
T
∫ T2
−T2
(f(t))2 dt.
La desigualtat de Bessel implica que limn→∞
an = limn→∞
bn = 0.
I Igualtat de Parseval. Si f es de quadrat integrable en [−T2 ,
T2 ]:
1
T
∫ T2
−T2
(f(t))2 dt =a204
+1
2
∞∑n=1
(a2n + b2n)
La igualtat de Parseval mesura la potencia mitjana de f a partir delscoeficients de Fourier.
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 28 / 39
5.5 Serie de Fourier complexa
5.5 Serie de Fourier complexa
Si f(t) es una funcio T -periodica, la frequencia fonamental de f(t) es
ω0 =2π
T
La serie de Fourier complexa de f(t) es:
f(t) '∞∑
k=−∞ck e
jkω0t
on cn s’anomenen coeficients de Fourier, i venen donats per:
ck =1
T
∫ T2
−T2
f(t)e−jkω0tdt, −∞ < k <∞.
Observacio Es poden calcular tambe integrant en l’interval [0, T ].
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 29 / 39
5.5 Serie de Fourier complexa
Coeficients de Fourier d’una funcio 2π-periodica
Observem: ∫ π
−πejmte−jkt dt =
∫ π
−πej(m−k)t dt =
=
∫ π
−π[cos(m− k)t+ j sin(m− k)t] dt =
{0 m 6= k,
2π m = k.
A partir de l’expressio
f(t) '∞∑
k=−∞
ck ejkt,
I Multiplicant per e−jkt i integrant entre −π i π:∫ π
−πf(t) e−jktdt =
∞∑m=−∞
cm
∫ π
−πejmte−jktdt = 2πck
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 30 / 39
5.5 Serie de Fourier complexa
Relacio entre els coeficients an, bn i ck
f(t) ' a02
+
∞∑n=1
(an cosnω0t+ bn sinnω0t) =
∞∑k=−∞
ck ejkω0t
A partir de la formula d’Euler tenim:
ejnω0t = cosnω0t+ j sinnω0te−jnω0t = cosnω0t− j sinnω0t
⇔cosnω0t =
ejnω0t + e−jnω0t
2
sinnω0t =ejnω0t − e−jnω0t
2j
Per tant:
f(t) ' a02
+
∞∑n=1
(anejnω0t + e−jnω0t
2+ bn
ejnω0t − e−jnω0t
2j
)
=a02
+
∞∑n=1
(an2
+bn2j
)ejnω0t +
(an2− bn
2j
)e−jnω0t =
∞∑k=−∞
ck ejkω0t
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 31 / 39
5.5 Serie de Fourier complexa
Els coeficients ck de la serie de Fourier complexa es poden calcular a partirdels coeficients an i bn de la serie trigonometrica:
I k > 0: ck =ak2
+bk2j
=1
2(ak − jbk)
I k = 0: c0 =a02
I k < 0: ck = c−n =an2− bn
2j=
1
2(an + jbn),
Els coeficients an i bn de la serie de Fourier trigonometrica es podencalcular a partir dels coeficients ck de la serie complexa:
I a0 = 2c0
I an = cn + c−n = 2Re(cn)
I bn = j(cn − c−n) = −2Im(cn)
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 32 / 39
5.5 Serie de Fourier complexa
Propietats de la serie complexa
I Es compleix: c−n = cn per a tot n.
I Una funcio es parella si ck es real per a tot k.
I Una funcio es senar si ck es imaginari pur per a tot k.
Identitat de Parseval
1
T
∫ T2
−T2
(f(t))2dt =
∞∑k=−∞
|ck|2
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 33 / 39
5.5 Serie de Fourier complexa
Espectre bilateralf(t) funcio T -periodica, amb frequencia fonamental ω0 =
2πT .
I Les frequencies ωk = kω0 = k 2πT s’anomenen harmonics.
I Podem associar a cada harmonic el seu coeficient en la serie deFourier complexa:
ωk → ck, k ∈ ZEl conjunt de frequencies i coeficients formen l’espectre de la funcio f .
Representacio graficaI Separem l’espectre en espectre d’amplitud i espectre de fase.I L’espectre d’amplitud es la correspondencia: ωk → |ck|, k ∈ Z.I L’espectre de fase es la correspondencia: ωk → arg(ck), k ∈ Z.I Com que f es real
c−k = ck ⇒ |c−k| = |ck|, arg(c−k) = − arg(ck)
La grafica de l’espectre d’amplitud es parella.La grafica de l’espectre de fase es senar.
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 34 / 39
5.5 Serie de Fourier complexa
Espectre bilateral (2)
|ck|
!
!k ! |ck| !k ! arg(ck)arg(ck)
⇡
�⇡
!
!n ! An !n ! �nAn
!
�n
⇡
�⇡
!
1
|ck|
!
!k ! |ck| !k ! arg(ck)arg(ck)
⇡
�⇡
!
!n ! An !n ! �nAn
!
�n
⇡
�⇡
!
1
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 35 / 39
5.5 Serie de Fourier complexa
Espectre unilateralf(t) funcio T -periodica, amb frequencia fonamental ω0 =
2πT .
I Les frequencies ωn = nω0 = n2πT s’anomenen harmonics.
I Forma amplitud-fase de la serie de Fourier:
f(t) ' A0 +∑n≥1
Ak cos(ωnt+ φn)
I Podem associar a cada harmonic la seva amplitud i la seva fase:
ωn → (An, φn), n ∈ N
El conjunt de frequencies, amplituds i fases formen l’espectre de f .
Pas de la serie de Fourier trigonometrica a la forma amplitud-fase
an cosωnt+ bn sinωnt = An cos(ωnt+ φn)
An cos(ωnt+ φn) = An(cosωnt cosφn − sinωnt sinφn)
}⇒
⇒{an = An cosφn, bn = −An sinφnA0 =
a02 , An =
√a2n + b2n, tanφn = − bn
an, n ≥ 1
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 36 / 39
5.5 Serie de Fourier complexa
Espectre unilateral
I L’espectre d’amplitud es la correspondencia: ωn → An, n ∈ N.
I L’espectre de fase es la correspondencia: ωn → φn, n ∈ N.
I L’espectre unilateral es la representacio dels espectres d’amplitud i defase.
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 37 / 39
5.5 Serie de Fourier complexa
Espectre unilateral (2)
|ck|
!
!k ! |ck| !k ! arg(ck)arg(ck)
⇡
�⇡
!
!n ! An !n ! �nAn
!
�n
⇡
�⇡
!
1
|ck|
!
!k ! |ck| !k ! arg(ck)arg(ck)
⇡
�⇡
!
!n ! An !n ! �nAn
!
�n
⇡
�⇡
!
1
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 38 / 39
5.5 Serie de Fourier complexa
Espectre del pols rectangular
Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 39 / 39
top related