À la naissance de l’imprimerie - apmep.fr · cas de la pensée scientifique, de la « mathema...
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Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 1
Agrave LA NAISSANCE DE LrsquoIMPRIMERIE
Il y a peu agrave dire pour preacutesenter cette quatriegraveme partie Certes
nous deacutebordons ici le classique Moyen-Acircge des historiens
mais notre option a eacuteteacute de faire apparaicirctre une continuiteacute et non
une disparition de la science pendant des siegravecles
Il fallait donc voir lrsquoaboutissement de cette peacuteriode ougrave puisque
nous faisons des matheacutematiques parler de la limite atteinte
eacutetant donneacute que nous avons admis la continuiteacutehellip
Nous arrivons donc agrave lrsquoeacutepoque qui voit eacuteclore et se reacutepandre
lrsquoimprimerie et avec elle par elle une nouvelle perception du
savoir
Le nombre des documents augmente plus varieacutes en nature et plus directement utilisables car
conccedilus dans un esprit plus proche du nocirctre Nous avons pu offrir des reproductions de piegraveces
rares ou peu utiliseacutees et espeacuterons ainsi fournir matiegravere aux collegravegues introduisant une
dimension historique dans leur enseignement
Si le XVIIegraveme
siegravecle peut ecirctre deacutesigneacute comme siegravecle de la reacutevolution scientifique fondant la
science actuelle le XVIegraveme
est celui ougrave se mettent en place les conditions de son avegravenement
Ce XVIegraveme
siegravecle durant lequel drsquoautres reacuteponses sont apporteacutees aux plus vieilles questions
que lrsquoHomme se posait provoquant par lagrave-mecircme drsquoautres questions plus pertinentes et plus
assureacutees ndashprocessus sans cesse reacutepeacuteteacute depuis lors Ce XVIegraveme
siegravecle enfin ougrave arrivent agrave
maturiteacute des faits et des meacutethodes de travail qui font surgir maints sujets drsquoeacutetude de la torpeur
ougrave un enseignement devenu trop scolastique les retenait depuis plus drsquoun milleacutenaire Dans le
cas de la penseacutee scientifique de la laquo mathema raquo il ne faut pas oublier que de nombreux et
importants signes de changement se manifestent degraves les XIIIegraveme
et XIVegraveme
siegravecles Ces
preacutemices ne restegraverent cependant que trop isoleacutees faute de moyens de diffusion1
En effet le contexte historique geacuteneacuteral montre parallegravelement au maintien de traditions
seacuteculaires des innovations dans maints domaines parmi les autoriteacutes religieuses et politiques
parmi lrsquoencadrement intellectuel dans les rapports sociaux dans les moyens techniques mis agrave
la disposition de ceux qui prennent la parole de ceux qui eacutecoutent ou qui lisent Dans les
deacutecennies 1500-1580 ces connexions illustrent le basculement drsquoun monde agrave un autre
Quelles sont ces innovations
Penseacutees recircves actions de la minoriteacute savante srsquoexercent dans un renouvellement de la vision
judeacuteo-chreacutetienne de Dieu et de la Creacuteation dans un monde qui srsquoest prodigieusement eacutelargi
dans des pratiques techniques qui conduisent agrave une reacuteflexion theacuteorique dans la maicirctrise de
lrsquoimprimerie reacutevolution de la communication
A ndash LE RENOUVELLEMENT DE LA VISION DU MONDE ET DE LA PLACE QUrsquoY
OCCUPE LrsquoHOMME
Le Moyen-Acircge drsquoAugustin (IVegraveme
siegravecle) agrave Thomas drsquoAquin (XIIIegraveme
siegravecle) a privileacutegieacute
lrsquoideacutee que lrsquoHomme ecirctre deacutechu est avant tout une creacuteature en situation de peacutecheacute Ainsi les
1 Cf laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 2
lettreacutes srsquoils aspirent agrave la connaissance drsquoailleurs non seacutepareacutee du savoir divin admettent ne
pas pouvoir en saisir la pleacutenitude car leurs capaciteacutes drsquoinvestigation sont imparfaites
La Renaissance construit progressivement une autre repreacutesentation du passeacute et partant de la
liberteacute humaine Les Humanistes des XVegraveme
et XVIegraveme
siegravecles eacutelaborent un domaine
intellectuel nouveau lrsquoHistoire en tant que manifestation humaine profane saisie dans son
passeacute et son preacutesent Ils nrsquoadmettent pas que meacutethodes et contenus de savoir soient limiteacutes
ils poursuivent deux buts non seulement mieux comprendre le plan divin de la Creacuteation mais
aussi mieux diriger la conduite humaine
Ils mettent en place un autre statut pour la laquo nature mateacuterielle raquo la soumettant agrave lrsquoobservation
agrave la comparaison et cherchent drsquoautres rapports entre cette laquo nature raquo et son Creacuteateur
Lentement le cosmos clos et hieacuterarchiseacute de la conception antique et meacutedieacutevale
meacutediterraneacuteenne explose et Galileacutee pourra affirmer en 1594 laquo La Terre et le Ciel se
confondent en un lieu unique ougrave regravegnent les mecircmes lois raquo
Quels sont les soubassements de cette perception radicalement diffeacuterente
Drsquoabord la vie intellectuelle en recherche tend agrave eacutechapper agrave lrsquoorganisation eccleacutesiale qui alors
se ferme sur lrsquoexploitation de pouvoirs eacutedifieacutes agrave partir de son seul savoir anteacuterieur Les
nouveaux intellectuels sont pour la plupart issus de familles marchandes (peacuteninsule italienne
Saint Empire romain germanique Francehellip) Ce sont des magistrats laiumlcs qui accumulent
rentes fonciegraveres et loisirs des conseillers des historiographes des astrologues mais aussi des
astronomes des geacuteographes qui cocirctoient des princes volontiers critiques envers les normes
religieuses imposeacutees par lrsquoEacuteglise drsquoalors (tout en conservant par ailleurs des comportements
archaiumlques voire magiques)
Ces gens se passionnent deacutesormais pour les proprieacuteteacutes reacuteelles des objets pour la nature des
choses (en teacutemoigne un plus grand nombre de laquo collections raquo) pour le spectacle de lrsquounivers
singuliegraverement et soudainement varieacute pour la ressemblance des corps des visageshellip
(preacuteoccupations estheacutetiques de proportion de perspective rencontreacutees dans les multiples
tacirctonnements des peintres de la Renaissance) Ces gens pensent pouvoir agir sur les ecirctres et
les choses preacutemices lointaines de lrsquoideacutee de progregraves
Pierre Francastel dans laquo Techniques et Arts raquo (1942) eacutecrit laquo Lrsquoordre reacutealiste et bourgeois est
sensible aux deacutetails de la vie mateacuterielle et donc au pouvoir de la changer Jadis lrsquouniteacute des
activiteacutes humaines se faisait dans un absolu divin favorable aux cloisonnements du savoir
Deacutesormais cette recherche du reacuteel ne peut se faire que par lrsquoexpeacuterience par des proceacutedeacutes
inductifs et deacuteductifshellip Cela neacutecessite un effort drsquoimagination qui se substitue agrave lrsquoesprit
scolastique raquo
Dans la socieacuteteacute des savants quelques-uns abandonnent lrsquoideacutee que le monde infini est un
attribut de Dieu liberteacute de penser et drsquoagir exceptionnellement novatrice (prolongeant un
Albert le Grand qui au XIIIegraveme
siegravecle concevait le monde laquo comme une reacutealiteacute autonome et
objective qui ayant sa logique propre analysable comme telle srsquooffre agrave la manipulation
theacuteorique et pratique par lrsquoHomme raquo)2
B ndash LE PRODIGIEUX EacuteLARGISSEMENT DU MONDE CONNU
Ces audaces accompagnent ou preacutecegravedent en quatre geacuteneacuterations de 1500 agrave 1600 une extension
spatiale des terres et des oceacuteans qui a ducirc apparaicirctre extraordinaire aux gens de lrsquoeacutepoque Les
anciennes valeurs sont bousculeacutees lrsquoeuropeacuteen doit relativiser reacuteinventer sa place dans la
2 Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III B2
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 3
Creacuteation Choc probablement deacuteterminant dans les craquelures du cosmos clos et hieacuterarchiseacute
deacutejagrave eacutevoqueacute et tremplin pour lrsquoesprit scientifique
Des gouvernements des rivages meacutediterraneacuteen et atlantique dans un contexte de reprise
eacuteconomique suscitent et organisent parfois les moyens neacutecessaires aux recherches et
innovations Un lent travail srsquoest effectueacute tout particuliegraverement dans les milieux princiers
etou maritimes partout ougrave la demande des instruments de connaissance est grande ainsi la
confection de cartes plus preacutecises que les portulans cocirctiers des XIVegraveme
et XVegraveme
siegravecles le
perfectionnement des instruments de navigation une reacuteflexion sur les assurances
maritimeshellip3
Les exigences nouvelles du commerce eacutechanges lointains (par exemple galions espagnols
naviguant entre lrsquoarchipel philippin le Mexique puis lrsquoEspagne) les proceacutedeacutes de paiement
ont acceacuteleacutereacute les meacutethodes comptables bousculant les connaissances matheacutematiques
eacuteleacutementaires
C ndash LE SAVOIR TECHNIQUE SUPPORT DE LA REacuteFLEXION THEacuteORIQUE
Lagrave nrsquoest pas lrsquoexplication suffisante des spectaculaires progregraves accomplis au XVIegraveme
siegravecle en
meacutetallurgie en hydraulique dans lrsquoart militaire dans des machines telles qursquoappareils de
levage moulins agrave grains hellip
Des hommes ont alors recentreacute leurs questions borneacute plus freacutequemment leurs recherches aux
problegravemes physiques plutocirct que meacutetaphysiques observeacute plus preacuteciseacutement les choses en action
dans un monde reacuteel
Durant ce XVIegraveme
siegravecle deux exemples fournissent une bonne illustration du passage drsquoune
conception empirique agrave une conception raisonneacutee
ndash Un exemple drsquoart militaire
Lemploi du canon en bronze oblige agrave consideacuterer le problegraveme du laquo tir tendu raquo et donc agrave
mesurer une hauteur simplement observeacutee agrave distance Les laquo maicirctres drsquoengins raquo avaient
accumuleacute assez drsquoexpeacuteriences pour saisir les donneacutees du problegraveme et en fournir des solutions
approximatives qui se reacuteveacutelaient satisfaisantes Mais il aurait eacuteteacute surprenant que ces hommes
nrsquoaient pas chercheacute agrave ameacuteliorer leurs laquo recettes raquo et donc agrave comprendre ce qui se passait
effectivement pratiquer des mesures appreacutecier des vitesses de projection selon les eacutetapes du
tirhellip Au XIVegraveme
siegravecle un Kyeser4 au XV
egraveme siegravecle un Valturio
5 un Ghiberti
6 teacutemoignent de
cette curiositeacute Ils eacutetablissent un eacutetalonnage des divers calibres Agrave lrsquoimpreacutecision se substitue
une cote parfaitement observeacutee et deacutecrite et au simple coup de chance la deacuteduction logique
3Deux exemples eacuteloquents
- degraves 1503 le roi drsquoEspagne Ferdinand V fonde agrave Seacuteville la laquo Casa de Contratacion de Las Indias raquo Ce veacuteritable
bureau drsquoeacutetudes hydrographiques et commerciales a deacutepouilleacute et exploiteacute les rapports de plus de 1800 voyages
effectueacutes entre 1580 et 1620
- toujours dans les derniegraveres anneacutees du XVIegraveme
siegravecle les Eacutetats Geacuteneacuteraux de Hollande et le roi drsquoEspagne
Philippe II creacuteent concurremment un concours doteacute ici drsquoun prix de 6000 ducats lagrave drsquoun prix de 10000 florins
visant agrave la mise au point drsquoune meacutethode pour mesurer la longitude 4 Kyeser (1366 - vers 1410) Officier et maicirctre drsquoengins en relations avec les principaux souverains et princes du
Saint Empire romain germanique Il eacutecrit un traiteacute de la science des machines agrave feu le Bellifortis Tout au long
du XVegraveme
siegravecle des illustrateurs reprennent ses dessins 5 Valturio (neacute vers 1413) fils drsquoun chargeacute de chancellerie aupregraves du Vatican Il nous reste 22 manuscrits de son
œuvre ougrave lrsquoinfluence de Kyeser est nette 6 Ghiberti (1378-1455) est le bronzier connu pour les portes du baptistegravere de Florence Les commentaires qursquoil
eacutecrit agrave la fin de sa vie indiquent tout lrsquointeacuterecirct qursquoil porte aux questions techniques et scientifiques (optique
perspective problegravemes drsquoun fondeur de bronze)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 4
ndash Un autre exemple la fabrication des cloches
Le mecircme souci de rationalisation existe dans cet eacuteleacutement familier de lrsquoenvironnement
religieux Il nrsquoest pas seulement question de proceacutedeacutes de fabrication notamment des moules
mais une sorte de diagramme est traceacutee indiquant les principales caracteacuteristiques drsquoune cloche
de forme deacutetermineacutee caracteacuteristiques agrave la fois universelles et speacutecifiques Ces laquo tables raquo
marquent un effort pour donner au travail des regravegles Ainsi aux XVIegraveme
et XVIIegraveme
siegravecles un
savoir technique comparable sera accumuleacute pour la construction des bateaux
Agrave la fin du XVIegraveme
siegravecle la laquo matheacutematisation raquo de la technique a donc fait un pas de plus
procurant des formules qui peuvent permettre pour un ensemble de donneacutees de construire
intellectuellement le reacutesultat chercheacute Ainsi Simon Stevin se livrera-t-il agrave des calculs
concernant la force des moulins agrave vent Ainsi Leacuteonard de Vinci est-il un vif partisan de ces
approches ponctuelles des savoirs Enfin cette laquo matheacutematisation raquo ne pouvait que se
renforcer dans sa rencontre avec lrsquoimprimerie
D ndash LrsquoIMPRIMERIE OUVRE LE MONDE Agrave LA COMMUNICATION
La connaissance par compilation de vieux manuscrits reacuteserveacutes agrave quelques privileacutegieacutes des
abbayes par lecture laquo ex cathedra raquo des universiteacutes cegravede alors la place agrave de nouvelles voies du
savoir
Au deacutebut du XVegraveme
siegravecle le copiste beacuteneacutedictin a eacuteteacute remplaceacute par des ateliers de copistes qui
produisent en seacuteries de plusieurs centaines drsquoexemplaires les manuels en usage agrave lrsquouniversiteacute
voisine Certes ces ouvrages ne sont pas de grande qualiteacute et restent tregraves chers mais deacutejagrave au
parchemin imputrescible se substitue parfois le papier mis au point en Italie qui entraicircne une
baisse des coucircts Lrsquoeacutecriture manuelle a atteint son ultime degreacute de productiviteacute et la demande
ne cesse de croicirctre Ces ouvrages ne comportent pas drsquoenluminures mais parfois des pages
estampeacutees crsquoest-agrave-dire passeacutees agrave la presse sur des formes tailleacutees dans du bois
Le progregraves final vient des meacutetiers du meacutetal Vers 1425 agrave Haarlem (Pays-Bas) Laurens
Janszoon dit Coster imprimait des planches graveacutees et il semble bien qursquoil commenccedila agrave cette
date agrave utiliser des lettres en caractegraveres mobiles (poinccedilons) adjoints agrave ces planches Un de ses
ouvriers Johann Gensfleich perfectionna le systegraveme agrave Strasbourg vers 1440 puis agrave Mayence il
est connu sous le nom de Gutenberg Degraves lors les livres imprimeacutes peuvent ecirctre multiplieacutes agrave
lrsquoinfini et leur prix baisse spectaculairement Bibliothegraveques priveacutees et universitaires se
deacuteveloppent7
Les deacutebats fondamentaux voient ainsi leur public srsquoaccroicirctre public exerccedilant deacutesormais sa
critique sur piegraveces et agrave distance Celui qui a lu peut connaicirctre comprendre et discuter tout
aussi rapidement et peut ecirctre plus sucircrement que celui qui a entendu Il nrsquoest donc pas eacutetonnant
que la transmission du savoir commence parfois agrave fuir les grandes universiteacutes dans la mesure
ougrave celles-ci ne savent pas eacutevoluer ne savent plus reacutepondre aux demandes dun monde qui
bouge
Lrsquohabileteacute technique croissante des imprimeurs est mise au service de la diffusion drsquoouvrages
litteacuteraires et scientifiques Deacutesormais il est devenu possible pour un auteur de toucher un vaste
public en un temps relativement court Une foule drsquoideacutees excessivement diverses peuvent ecirctre
7 En France Charles V (1364-80) posseacutedait une librairie importante qui fut mal entretenue jusqursquoagrave Franccedilois ler
(1515-1547) lequel nomma Guillaume Budeacute premier laquo libraire raquo au Roi en 1522 et rendit obligatoire le deacutepocirct par
lrsquoeacutedit de Montpellier en 1537 Si au IVegraveme
siegravecle il y avait agrave Rome plus de deux douzaines de bibliothegraveques
publiques les bibliothegraveques modernes ne furent ouvertes au public qursquoau XVIIegraveme
siegravecle La premiegravere ouverte en
France est la laquo Mazarine raquo geacutereacutee par Naudeacute (1643) imitant en cela 1rsquolaquo Ambrosiana raquo (Milan) et 1rsquolaquo Angelica raquo
(Rome) ainsi que celle leacutegueacutee par Lord Bodley agrave Oxford en 1613 (plus de 200 000 volumes) La laquo nationale raquo a
eacuteteacute ouverte au public en 1692 elle possegravede deux laquo Bibles raquo de Gutenberg
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 5
reacutepandues8 Enfin ces artisans ingeacutenieux que sont Frolen agrave Bacircle Manuce agrave Venise Plantin agrave
Anvers constituent autour drsquoeux une veacuteritable ruche de savants eacuterudits (Erasme drsquoAnvers
assure les corrections chez Manuce de Venise)
VILLES POSSEacuteDANT UN OU DES ATELIERS DrsquoIMPRIMERIE VERS 1500
Dans ce grand remuement drsquoideacutees quels sont les grands problegravemes matheacutematiques dont la
Renaissance heacuterite du Moyen- Acircge finissant
Le problegraveme du vide il nrsquoeacutevolue guegravere le rejet du vide va subsister tel quel jusqursquoagrave Torricelli
et Pascal au XVIIegraveme
siegravecle
Lrsquoinfini son refus dans la science drsquoAristote a deacutejagrave eacuteteacute vivement combattu degraves le XIIIegraveme
siegravecle et les notions de limite non atteinte et de processus infini de calcul ont eacuteteacute discuteacutees degraves
le XIVegraveme
siegravecle9 Mais ce sont la redeacutecouverte et la publication au cours du XVI
egraveme siegravecle
des œuvres drsquoArchimegravede qui vont attirer les hommes de science vers des approches nouvelles
8 La hacircte drsquoimprimer de diffuser conduit agrave laquo trop raquo publier drsquoougrave les dangers de lrsquoencyclopeacutedisme deacutenonceacute par
Rabelais et le non controcircle qui laisse passer des affirmations deacutejagrave reconnues fausses ou sans inteacuterecirct ndashvoir
document ndeg IV14 lrsquoarticle sur Champfleury 9 Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 6
Crsquoest ainsi que Jean Buteacuteo10
publie en 1559 une recherche sur la quadrature du cercle qui
revient agrave approcher la valeur de π et que Viegravete11
en 1593 recherche ce mecircme nombre par un
produit infini Le processus de passage agrave la limite se trouve en fin de siegravecle dans des
recherches sur le centre de graviteacute (Luca Valerio12
ou Simon Stevin13
) Ce ne sont peut-ecirctre
que tentatives isoleacutees mais elles existent deacutejagrave en ce siegravecle
Le mouvement la progression des ideacutees en ce domaine est encore plus nette Leacuteonard de
Vinci14
utilise la notion de moment et exploite la notion drsquolaquo impetus raquo due agrave Buridan15
La
notion de polygone de sustentation ressort de ses propres eacutetudes sur le centre de graviteacute Vinci
et plus tard Cardan16
eacutetudient le mouvement drsquoun corps abandonneacute sur un plan inclineacute ce qui
les conduit agrave une sorte de deacutecomposition de la pesanteur (ou plus exactement du poids du
corps) Mais et cela est le fait capital au lieu drsquoexplications qualitatives apparaissent alors
des regravegles quantitatives Dans le mecircme esprit travaillent lrsquoitalien Tartaglia17
et lrsquoespagnol
Soto18
Le systegraveme du monde on sait que degraves lrsquoeacutepoque de la science grecque des savants se
posaient la question est-ce le soleil ou la terre qui tourne lrsquoun autour de lrsquoautre Le systegraveme
geacuteocentrique de Ptoleacutemeacutee19
parut longtemps le plus simple sinon le plus normal Il srsquoaccordait
agrave la doctrine drsquoAristote et donnait en quelque sorte une supeacuterioriteacute agrave lrsquohomme placcedilant la terre
au centre de lrsquounivers Mais au fur et agrave mesure que srsquoaccumulaient les observations il fallait
apporter au systegraveme preacute-eacutetabli des modifications le compliquant agrave lrsquoextrecircme si on deacutesirait
avoir un outil respectant les donneacutees quantitatives de ces observations et non seulement des
explications qualitatives
Le retour agrave un systegraveme heacuteliocentrique comme celui drsquoAristarque de Samos20
voire celui de
Philolaos de Crotone21
eacutetait deacutejagrave proposeacute par Oresme au XIVegraveme
siegravecle Le pas deacutecisif fut
franchi par Nicolas Copernic22
qui regroupa ses observations et preacutesenta son hypothegravese dans
son ouvrage laquo De revolutionibus orbium celestium raquo paru agrave lrsquoheure de sa mort
Mais agrave cocircteacute de ces grands problegravemes il faut penser plus simplement agrave lrsquooutil alors en
gestation dont disposera lrsquohomme de science degraves la fin de ce siegravecle Lrsquooutil crsquoest la langue de
cette science fruit de toute une pratique matheacutematique
Citons-en les principales expressions
Le calcul et son eacutecriture font drsquoeacutenormes progregraves le texte eacutecrit et imprimeacute prenant la place du
discours oral comme moyen de transmission Srsquoimposait ainsi davantage de rigueur et de
concision Crsquoest avec la laquo Disme raquo de Simon Stevin qursquoapparaicirct en 1585 le premier ouvrage
10
J Buteacuteo ou Buteacuteon ou encore Jean Borrel originaire du Dauphineacute eacutecrivit des ouvrages de geacuteomeacutetrie et
drsquoarithmeacutetique Il deacutesignait deacutejagrave les inconnues par des lettres 11
Franccedilois Viegravete (1540-1603) Conseiller de Henry IV est consideacutereacute comme le pegravere de lrsquoalgegravebre moderne car il
a introduit la notion (et lrsquoeacutecriture) de formule geacuteneacuterale 12
Valeacuterio (1552-1618) enseigna les matheacutematiques agrave Rome 13
Stevin (1548-1620) ingeacutenieur et matheacutematicien hollandais Cf note 23 ci-apregraves 14
Vinci (neacute pregraves de Florence 1452 mort agrave Clos Luceacute pregraves drsquoAmboise 1519 voir document IV7 15
Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III 16
Girolamo Cardano (1501-1576) DE Smith 1rsquohistorien des matheacutematiques dit de lui laquo Ce coquin-lagrave eacutetait
parfois un homme deacutepourvu de principes et parfois un geacutenie raquo Il a publieacute enseigneacute et vendu du droit de la
meacutedecine de 1astrologie de la philosophie de 1rsquoalgegravebre et de la physique Cf document IV8 17
Nicolas Tartaglia (1506-1557) autodidacte est peut ecirctre le plus grand matheacutematicien italien de son eacutepoque
Cf notre brochure laquo Glanes raquo IREM de Dijon 18
Soto (1494-1570) enseigna agrave Salamanca 19
Ptoleacutemeacutee enseigna agrave Alexandrie au IIegraveme
siegravecle 20
Astronome grec du IIIegraveme
siegravecle avant Jeacutesus-Christ 21
Matheacutematicien grec du Vegraveme
siegravecle avant Jeacutesus-Christ 22
Copernic (1473-1543) Voir Document IV9
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 7
preacuteconisant et utilisant systeacutematiquement les fractions deacutecimales23
Avec lrsquoimprimerie vont se
reacutepandre les tables de calcul fort utiles sinon indispensables pour reacutesoudre des problegravemes
lorsqursquoon sait que la pratique de la multiplication est encore peu usuelle et celle de la division
presque affaire de speacutecialiste24
Adaptation latine de lrsquoarithmeacutetique
de Gemma Frisius (1553 agrave Paris)
La trigonomeacutetrie outil privileacutegieacute de lrsquoastronomie srsquoest deacuteveloppeacutee non seulement dans les
pays de lrsquoIslam durant le Moyen-Acircge mais sur la fin de celui-ci en Occident Des tables
comparables agrave nos tables de fonctions trigonomeacutetriques vont paraicirctre degraves le deacutebut de
lrsquoimprimerie ainsi la laquo Tabula directionum raquo de Regiomontanus sortie en 148525
Cet auteur
astronome lui-mecircme donna agrave la trigonomeacutetrie une forme indeacutependante de lrsquoastronomie A sa
suite les relations dans les triangles tant plans que spheacuteriques furent mises au point pour
elles-mecircmes26
Lrsquoalgegravebre enrichie de lrsquoapport arabe est mieux assimileacutee et devient au XVIegraveme
siegravecle un outil
feacutecond Tartaglia reacutesout lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute en 153527
et Ferrari28
celle du
quatriegraveme degreacute vers 154529
23
Stevin (1548-1620) fut surtout connu de ses contemporains pour ses travaux de statique et drsquohydrostatique en
particulier au sujet des digues et polders des Pays-Bas 24
Sur toutes ces questions nous renvoyons agrave notre brochure laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon 25
Johann Muumlller (1436-1475) neacute agrave Koumlnigsberg en Baviegravere est deacutesigneacute sous la forme latine de son lieu de
naissance Regiomontanus On trouvera un exemple drsquoune table similaire au Voir Document IV8 26
Les arabes connaissaient sin 2a = 2 sina cosa Crsquoest dans un texte de Viegravete en 1591 qursquoapparaicirct sin3a = 3cos2a
sina - sin3a
27 Crsquoest lui-mecircme qui fixe la date de sa deacutecouverte 1a nuit du 12 au 13 feacutevrier agrave Venise
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 8
En geacuteomeacutetrie lrsquoOccident redeacutecouvre la science des Anciens Les geacuteomeacutetries dites drsquoEuclide
vont ecirctre eacutediteacutees un peu partout en toutes langues au cours du siegravecle30
Avec Albrecht Duumlrer
(1471-1528) apparaissent les premiegraveres veacuteritables eacutepures drsquoune geacuteomeacutetrie de lrsquoespace qui
utilisent la perspective
La Margarita Philosophica (eacutedition de 1508 agrave Bacircle)
On remarquera entremecircleacutees les disciplines du trivium et du quadrivium Voir Document IV3
Crsquoest en 1543 qursquoest eacutediteacute le livre de Copernic qui renverse le vieux systegraveme descriptif du
monde pour laisser place simplificatrice aux calculs astronomiques et coiumlncidence en cette
28
Ferrari eacutelegraveve de Cardan (1522-1565) 29
Pour plus de deacutetails sur lrsquohistorique des eacutequations algeacutebriques voir notre brochure laquo Eacutegale zeacutero raquo 30
Voir au Document IV3 quelques rappels des premiegraveres eacuteditions Toutes les geacuteomeacutetries drsquoEuclide provenaient
de manuscrits plus ou moins complets plus ou moins exacts plus ou moins authentiques Certains comprenaient
des apports posteacuterieurs surtout apregraves la redeacutecouverte de lrsquoœuvre drsquoArchimegravede inconnue au Moyen-Acircge On
trouvera au Document IV10 un exemple classique drsquoune meacutethode introduite par le Syracusien
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9
mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres
pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant
drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme
siegravecle se retrouve
dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par
tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions
de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une
observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la
seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements
forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut
apporter sinon veacuterifier
Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux
Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous
Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur
drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart
des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses
Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par
tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes
eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats
Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)
Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres
scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme
beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10
Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse
son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances
Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux
1 - Concordance drsquoeacutevegravenements
2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo
3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions
4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique
5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
6 - Les mesures franccedilaises
Deux biographies
7 - Leacuteonard de Vinci
8 - Cardan
Suivent
9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic
10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede
11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme
siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin
12 - Et le calcul
13 - Une vieille histoire des maths
Et pour terminer
14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette
eacutepoque
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11
DOCUMENT IV1
XVIEgraveME
SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE
1482
1484
1egravere
eacutedition drsquoEuclide
laquo Arithmeacutetique raquo de
Chuquet
1492 Christophe Colomb
ler voyage vers les
Indes occidentales
1494
Pacioli eacutequation du
2egraveme
degreacute
1500 Vasco de Gama
contourne lrsquoAfrique et
gagne les Indes
orientales
1506
laquo La Joconde raquo
Leacuteonard de Vinci
1510 Duumlrer Perspective et
geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo
Erasme
1515
1516
1517
Franccedilois 1er Roi
Charles Quint
Empereur
Luther Manifeste des
laquo 95 propositions raquo
1530 Collegravege royal (de
France)
1534 Creacuteation de la
Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3
egraveme degreacute
1532 laquo Gargantua raquo
Rabelais
1539
1542
1543
1549
Carte de Mercator
laquo Botanique raquo Fuchs
Copernic laquoDe
Revolutionibus hellip raquo
laquo Deacutefense et illustra-
tion de la langue
franccedilaise raquo Du Bellay
1558 Elizabeth legravere
Reine
drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries
Tartaglia (eacutedition)
1558 Circulation pulmonaire
M Servet
1562 Deacutebut des Guerres de
religion en France
1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede
1582 Reacuteforme greacutegorienne
du calendrier
1580 Palissy eacutemaux
Montaigne laquo Essais raquo
1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible
Armada
1589
Galileacutee Oscillations
du pendule
1598 Eacutedit de Nantes
Toleacuterance des
Reacuteformeacutes
1591
Viegravete eacutecriture
algeacutebrique litteacuterale
1590
1591
Premiegraveres lunettes
laquo Henry VI raquo
Shakespeare
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12
DOCUMENT IV2
laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME
SIECLE
1500 1550 1600
Chuquet
de Vinci 1452
Pacioli
del Ferro 1465
Duumlrer 1471
Bombelli
Rudolff
Tartaglia
Ferrari
Cardan
Recorde
Stifel
Maurolico
Ramus
Clavius
Viegravete
Napier
Stevin
Mersenne
Descartes
Galileacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13
DOCUMENT IV3
QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo
Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la
diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme
siegravecle Elle
est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline
1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique
1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin
Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)
Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)
1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce
1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)
Tolosa Dela arismethica (Delatore)
1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)
1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee
1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)
1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)
1503 Fribourg
Strasbourg
Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)
1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)
1512 Barcelone
Lyon
Suma de arithmetica (Ortega)
1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)
1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31
1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)
1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec
Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)
1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)
Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)
1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia
Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)
1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)
Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)
1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique
1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)
1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)
1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli
1577 Paris De arte magna (Gosselin)
31
Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de
1484 premiegravere algegravebre en franccedilais
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14
1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)
hellip
1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))
Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee
des langues vulgaires
Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15
DOCUMENT IV4
LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE
Crsquoest au cours du XVIegraveme
siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles
matheacutematiques32
ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent
que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M
V (radical) est de Rudolff (1525)
ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b
signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave
lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute
Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme
siegravecle
Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute
est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste
en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum
B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication
Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les
geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas
encore comme nous le faisons
La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on
dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)
135
1
270
2
540
4
1080
8
2160
16
car 21 = 1 + 4+ 16
donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835
Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier
La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres
deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash
Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre
imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au
siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom
32
On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir
eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16
DOCUMENT IV5
LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares
auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations
furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent
tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme
siegravecle)
On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de
lrsquoimprimerie naissante
Le systegraveme latin
Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas
geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690
Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme
siegravecle qursquoau Ier
siegravecle Si M crsquoest mille on imprime
Par suite on trouve
Mais drsquoautres utilisent plus simplement
Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000
voire v pour 5 000 000
Le systegraveme grec
Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33
Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j
drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)
33
Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La
numeacuteration eacutecrite
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17
On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des
essais de latinisation de lrsquooutil grec
ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots
ndash et paraissent des creacuteations
Donc selon les imprimeurs
LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49
uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000
On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip
Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la
numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont
les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec
Un de ces imprimeurs produit
pour
crsquoest-agrave-dire
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 2
lettreacutes srsquoils aspirent agrave la connaissance drsquoailleurs non seacutepareacutee du savoir divin admettent ne
pas pouvoir en saisir la pleacutenitude car leurs capaciteacutes drsquoinvestigation sont imparfaites
La Renaissance construit progressivement une autre repreacutesentation du passeacute et partant de la
liberteacute humaine Les Humanistes des XVegraveme
et XVIegraveme
siegravecles eacutelaborent un domaine
intellectuel nouveau lrsquoHistoire en tant que manifestation humaine profane saisie dans son
passeacute et son preacutesent Ils nrsquoadmettent pas que meacutethodes et contenus de savoir soient limiteacutes
ils poursuivent deux buts non seulement mieux comprendre le plan divin de la Creacuteation mais
aussi mieux diriger la conduite humaine
Ils mettent en place un autre statut pour la laquo nature mateacuterielle raquo la soumettant agrave lrsquoobservation
agrave la comparaison et cherchent drsquoautres rapports entre cette laquo nature raquo et son Creacuteateur
Lentement le cosmos clos et hieacuterarchiseacute de la conception antique et meacutedieacutevale
meacutediterraneacuteenne explose et Galileacutee pourra affirmer en 1594 laquo La Terre et le Ciel se
confondent en un lieu unique ougrave regravegnent les mecircmes lois raquo
Quels sont les soubassements de cette perception radicalement diffeacuterente
Drsquoabord la vie intellectuelle en recherche tend agrave eacutechapper agrave lrsquoorganisation eccleacutesiale qui alors
se ferme sur lrsquoexploitation de pouvoirs eacutedifieacutes agrave partir de son seul savoir anteacuterieur Les
nouveaux intellectuels sont pour la plupart issus de familles marchandes (peacuteninsule italienne
Saint Empire romain germanique Francehellip) Ce sont des magistrats laiumlcs qui accumulent
rentes fonciegraveres et loisirs des conseillers des historiographes des astrologues mais aussi des
astronomes des geacuteographes qui cocirctoient des princes volontiers critiques envers les normes
religieuses imposeacutees par lrsquoEacuteglise drsquoalors (tout en conservant par ailleurs des comportements
archaiumlques voire magiques)
Ces gens se passionnent deacutesormais pour les proprieacuteteacutes reacuteelles des objets pour la nature des
choses (en teacutemoigne un plus grand nombre de laquo collections raquo) pour le spectacle de lrsquounivers
singuliegraverement et soudainement varieacute pour la ressemblance des corps des visageshellip
(preacuteoccupations estheacutetiques de proportion de perspective rencontreacutees dans les multiples
tacirctonnements des peintres de la Renaissance) Ces gens pensent pouvoir agir sur les ecirctres et
les choses preacutemices lointaines de lrsquoideacutee de progregraves
Pierre Francastel dans laquo Techniques et Arts raquo (1942) eacutecrit laquo Lrsquoordre reacutealiste et bourgeois est
sensible aux deacutetails de la vie mateacuterielle et donc au pouvoir de la changer Jadis lrsquouniteacute des
activiteacutes humaines se faisait dans un absolu divin favorable aux cloisonnements du savoir
Deacutesormais cette recherche du reacuteel ne peut se faire que par lrsquoexpeacuterience par des proceacutedeacutes
inductifs et deacuteductifshellip Cela neacutecessite un effort drsquoimagination qui se substitue agrave lrsquoesprit
scolastique raquo
Dans la socieacuteteacute des savants quelques-uns abandonnent lrsquoideacutee que le monde infini est un
attribut de Dieu liberteacute de penser et drsquoagir exceptionnellement novatrice (prolongeant un
Albert le Grand qui au XIIIegraveme
siegravecle concevait le monde laquo comme une reacutealiteacute autonome et
objective qui ayant sa logique propre analysable comme telle srsquooffre agrave la manipulation
theacuteorique et pratique par lrsquoHomme raquo)2
B ndash LE PRODIGIEUX EacuteLARGISSEMENT DU MONDE CONNU
Ces audaces accompagnent ou preacutecegravedent en quatre geacuteneacuterations de 1500 agrave 1600 une extension
spatiale des terres et des oceacuteans qui a ducirc apparaicirctre extraordinaire aux gens de lrsquoeacutepoque Les
anciennes valeurs sont bousculeacutees lrsquoeuropeacuteen doit relativiser reacuteinventer sa place dans la
2 Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III B2
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 3
Creacuteation Choc probablement deacuteterminant dans les craquelures du cosmos clos et hieacuterarchiseacute
deacutejagrave eacutevoqueacute et tremplin pour lrsquoesprit scientifique
Des gouvernements des rivages meacutediterraneacuteen et atlantique dans un contexte de reprise
eacuteconomique suscitent et organisent parfois les moyens neacutecessaires aux recherches et
innovations Un lent travail srsquoest effectueacute tout particuliegraverement dans les milieux princiers
etou maritimes partout ougrave la demande des instruments de connaissance est grande ainsi la
confection de cartes plus preacutecises que les portulans cocirctiers des XIVegraveme
et XVegraveme
siegravecles le
perfectionnement des instruments de navigation une reacuteflexion sur les assurances
maritimeshellip3
Les exigences nouvelles du commerce eacutechanges lointains (par exemple galions espagnols
naviguant entre lrsquoarchipel philippin le Mexique puis lrsquoEspagne) les proceacutedeacutes de paiement
ont acceacuteleacutereacute les meacutethodes comptables bousculant les connaissances matheacutematiques
eacuteleacutementaires
C ndash LE SAVOIR TECHNIQUE SUPPORT DE LA REacuteFLEXION THEacuteORIQUE
Lagrave nrsquoest pas lrsquoexplication suffisante des spectaculaires progregraves accomplis au XVIegraveme
siegravecle en
meacutetallurgie en hydraulique dans lrsquoart militaire dans des machines telles qursquoappareils de
levage moulins agrave grains hellip
Des hommes ont alors recentreacute leurs questions borneacute plus freacutequemment leurs recherches aux
problegravemes physiques plutocirct que meacutetaphysiques observeacute plus preacuteciseacutement les choses en action
dans un monde reacuteel
Durant ce XVIegraveme
siegravecle deux exemples fournissent une bonne illustration du passage drsquoune
conception empirique agrave une conception raisonneacutee
ndash Un exemple drsquoart militaire
Lemploi du canon en bronze oblige agrave consideacuterer le problegraveme du laquo tir tendu raquo et donc agrave
mesurer une hauteur simplement observeacutee agrave distance Les laquo maicirctres drsquoengins raquo avaient
accumuleacute assez drsquoexpeacuteriences pour saisir les donneacutees du problegraveme et en fournir des solutions
approximatives qui se reacuteveacutelaient satisfaisantes Mais il aurait eacuteteacute surprenant que ces hommes
nrsquoaient pas chercheacute agrave ameacuteliorer leurs laquo recettes raquo et donc agrave comprendre ce qui se passait
effectivement pratiquer des mesures appreacutecier des vitesses de projection selon les eacutetapes du
tirhellip Au XIVegraveme
siegravecle un Kyeser4 au XV
egraveme siegravecle un Valturio
5 un Ghiberti
6 teacutemoignent de
cette curiositeacute Ils eacutetablissent un eacutetalonnage des divers calibres Agrave lrsquoimpreacutecision se substitue
une cote parfaitement observeacutee et deacutecrite et au simple coup de chance la deacuteduction logique
3Deux exemples eacuteloquents
- degraves 1503 le roi drsquoEspagne Ferdinand V fonde agrave Seacuteville la laquo Casa de Contratacion de Las Indias raquo Ce veacuteritable
bureau drsquoeacutetudes hydrographiques et commerciales a deacutepouilleacute et exploiteacute les rapports de plus de 1800 voyages
effectueacutes entre 1580 et 1620
- toujours dans les derniegraveres anneacutees du XVIegraveme
siegravecle les Eacutetats Geacuteneacuteraux de Hollande et le roi drsquoEspagne
Philippe II creacuteent concurremment un concours doteacute ici drsquoun prix de 6000 ducats lagrave drsquoun prix de 10000 florins
visant agrave la mise au point drsquoune meacutethode pour mesurer la longitude 4 Kyeser (1366 - vers 1410) Officier et maicirctre drsquoengins en relations avec les principaux souverains et princes du
Saint Empire romain germanique Il eacutecrit un traiteacute de la science des machines agrave feu le Bellifortis Tout au long
du XVegraveme
siegravecle des illustrateurs reprennent ses dessins 5 Valturio (neacute vers 1413) fils drsquoun chargeacute de chancellerie aupregraves du Vatican Il nous reste 22 manuscrits de son
œuvre ougrave lrsquoinfluence de Kyeser est nette 6 Ghiberti (1378-1455) est le bronzier connu pour les portes du baptistegravere de Florence Les commentaires qursquoil
eacutecrit agrave la fin de sa vie indiquent tout lrsquointeacuterecirct qursquoil porte aux questions techniques et scientifiques (optique
perspective problegravemes drsquoun fondeur de bronze)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 4
ndash Un autre exemple la fabrication des cloches
Le mecircme souci de rationalisation existe dans cet eacuteleacutement familier de lrsquoenvironnement
religieux Il nrsquoest pas seulement question de proceacutedeacutes de fabrication notamment des moules
mais une sorte de diagramme est traceacutee indiquant les principales caracteacuteristiques drsquoune cloche
de forme deacutetermineacutee caracteacuteristiques agrave la fois universelles et speacutecifiques Ces laquo tables raquo
marquent un effort pour donner au travail des regravegles Ainsi aux XVIegraveme
et XVIIegraveme
siegravecles un
savoir technique comparable sera accumuleacute pour la construction des bateaux
Agrave la fin du XVIegraveme
siegravecle la laquo matheacutematisation raquo de la technique a donc fait un pas de plus
procurant des formules qui peuvent permettre pour un ensemble de donneacutees de construire
intellectuellement le reacutesultat chercheacute Ainsi Simon Stevin se livrera-t-il agrave des calculs
concernant la force des moulins agrave vent Ainsi Leacuteonard de Vinci est-il un vif partisan de ces
approches ponctuelles des savoirs Enfin cette laquo matheacutematisation raquo ne pouvait que se
renforcer dans sa rencontre avec lrsquoimprimerie
D ndash LrsquoIMPRIMERIE OUVRE LE MONDE Agrave LA COMMUNICATION
La connaissance par compilation de vieux manuscrits reacuteserveacutes agrave quelques privileacutegieacutes des
abbayes par lecture laquo ex cathedra raquo des universiteacutes cegravede alors la place agrave de nouvelles voies du
savoir
Au deacutebut du XVegraveme
siegravecle le copiste beacuteneacutedictin a eacuteteacute remplaceacute par des ateliers de copistes qui
produisent en seacuteries de plusieurs centaines drsquoexemplaires les manuels en usage agrave lrsquouniversiteacute
voisine Certes ces ouvrages ne sont pas de grande qualiteacute et restent tregraves chers mais deacutejagrave au
parchemin imputrescible se substitue parfois le papier mis au point en Italie qui entraicircne une
baisse des coucircts Lrsquoeacutecriture manuelle a atteint son ultime degreacute de productiviteacute et la demande
ne cesse de croicirctre Ces ouvrages ne comportent pas drsquoenluminures mais parfois des pages
estampeacutees crsquoest-agrave-dire passeacutees agrave la presse sur des formes tailleacutees dans du bois
Le progregraves final vient des meacutetiers du meacutetal Vers 1425 agrave Haarlem (Pays-Bas) Laurens
Janszoon dit Coster imprimait des planches graveacutees et il semble bien qursquoil commenccedila agrave cette
date agrave utiliser des lettres en caractegraveres mobiles (poinccedilons) adjoints agrave ces planches Un de ses
ouvriers Johann Gensfleich perfectionna le systegraveme agrave Strasbourg vers 1440 puis agrave Mayence il
est connu sous le nom de Gutenberg Degraves lors les livres imprimeacutes peuvent ecirctre multiplieacutes agrave
lrsquoinfini et leur prix baisse spectaculairement Bibliothegraveques priveacutees et universitaires se
deacuteveloppent7
Les deacutebats fondamentaux voient ainsi leur public srsquoaccroicirctre public exerccedilant deacutesormais sa
critique sur piegraveces et agrave distance Celui qui a lu peut connaicirctre comprendre et discuter tout
aussi rapidement et peut ecirctre plus sucircrement que celui qui a entendu Il nrsquoest donc pas eacutetonnant
que la transmission du savoir commence parfois agrave fuir les grandes universiteacutes dans la mesure
ougrave celles-ci ne savent pas eacutevoluer ne savent plus reacutepondre aux demandes dun monde qui
bouge
Lrsquohabileteacute technique croissante des imprimeurs est mise au service de la diffusion drsquoouvrages
litteacuteraires et scientifiques Deacutesormais il est devenu possible pour un auteur de toucher un vaste
public en un temps relativement court Une foule drsquoideacutees excessivement diverses peuvent ecirctre
7 En France Charles V (1364-80) posseacutedait une librairie importante qui fut mal entretenue jusqursquoagrave Franccedilois ler
(1515-1547) lequel nomma Guillaume Budeacute premier laquo libraire raquo au Roi en 1522 et rendit obligatoire le deacutepocirct par
lrsquoeacutedit de Montpellier en 1537 Si au IVegraveme
siegravecle il y avait agrave Rome plus de deux douzaines de bibliothegraveques
publiques les bibliothegraveques modernes ne furent ouvertes au public qursquoau XVIIegraveme
siegravecle La premiegravere ouverte en
France est la laquo Mazarine raquo geacutereacutee par Naudeacute (1643) imitant en cela 1rsquolaquo Ambrosiana raquo (Milan) et 1rsquolaquo Angelica raquo
(Rome) ainsi que celle leacutegueacutee par Lord Bodley agrave Oxford en 1613 (plus de 200 000 volumes) La laquo nationale raquo a
eacuteteacute ouverte au public en 1692 elle possegravede deux laquo Bibles raquo de Gutenberg
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 5
reacutepandues8 Enfin ces artisans ingeacutenieux que sont Frolen agrave Bacircle Manuce agrave Venise Plantin agrave
Anvers constituent autour drsquoeux une veacuteritable ruche de savants eacuterudits (Erasme drsquoAnvers
assure les corrections chez Manuce de Venise)
VILLES POSSEacuteDANT UN OU DES ATELIERS DrsquoIMPRIMERIE VERS 1500
Dans ce grand remuement drsquoideacutees quels sont les grands problegravemes matheacutematiques dont la
Renaissance heacuterite du Moyen- Acircge finissant
Le problegraveme du vide il nrsquoeacutevolue guegravere le rejet du vide va subsister tel quel jusqursquoagrave Torricelli
et Pascal au XVIIegraveme
siegravecle
Lrsquoinfini son refus dans la science drsquoAristote a deacutejagrave eacuteteacute vivement combattu degraves le XIIIegraveme
siegravecle et les notions de limite non atteinte et de processus infini de calcul ont eacuteteacute discuteacutees degraves
le XIVegraveme
siegravecle9 Mais ce sont la redeacutecouverte et la publication au cours du XVI
egraveme siegravecle
des œuvres drsquoArchimegravede qui vont attirer les hommes de science vers des approches nouvelles
8 La hacircte drsquoimprimer de diffuser conduit agrave laquo trop raquo publier drsquoougrave les dangers de lrsquoencyclopeacutedisme deacutenonceacute par
Rabelais et le non controcircle qui laisse passer des affirmations deacutejagrave reconnues fausses ou sans inteacuterecirct ndashvoir
document ndeg IV14 lrsquoarticle sur Champfleury 9 Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 6
Crsquoest ainsi que Jean Buteacuteo10
publie en 1559 une recherche sur la quadrature du cercle qui
revient agrave approcher la valeur de π et que Viegravete11
en 1593 recherche ce mecircme nombre par un
produit infini Le processus de passage agrave la limite se trouve en fin de siegravecle dans des
recherches sur le centre de graviteacute (Luca Valerio12
ou Simon Stevin13
) Ce ne sont peut-ecirctre
que tentatives isoleacutees mais elles existent deacutejagrave en ce siegravecle
Le mouvement la progression des ideacutees en ce domaine est encore plus nette Leacuteonard de
Vinci14
utilise la notion de moment et exploite la notion drsquolaquo impetus raquo due agrave Buridan15
La
notion de polygone de sustentation ressort de ses propres eacutetudes sur le centre de graviteacute Vinci
et plus tard Cardan16
eacutetudient le mouvement drsquoun corps abandonneacute sur un plan inclineacute ce qui
les conduit agrave une sorte de deacutecomposition de la pesanteur (ou plus exactement du poids du
corps) Mais et cela est le fait capital au lieu drsquoexplications qualitatives apparaissent alors
des regravegles quantitatives Dans le mecircme esprit travaillent lrsquoitalien Tartaglia17
et lrsquoespagnol
Soto18
Le systegraveme du monde on sait que degraves lrsquoeacutepoque de la science grecque des savants se
posaient la question est-ce le soleil ou la terre qui tourne lrsquoun autour de lrsquoautre Le systegraveme
geacuteocentrique de Ptoleacutemeacutee19
parut longtemps le plus simple sinon le plus normal Il srsquoaccordait
agrave la doctrine drsquoAristote et donnait en quelque sorte une supeacuterioriteacute agrave lrsquohomme placcedilant la terre
au centre de lrsquounivers Mais au fur et agrave mesure que srsquoaccumulaient les observations il fallait
apporter au systegraveme preacute-eacutetabli des modifications le compliquant agrave lrsquoextrecircme si on deacutesirait
avoir un outil respectant les donneacutees quantitatives de ces observations et non seulement des
explications qualitatives
Le retour agrave un systegraveme heacuteliocentrique comme celui drsquoAristarque de Samos20
voire celui de
Philolaos de Crotone21
eacutetait deacutejagrave proposeacute par Oresme au XIVegraveme
siegravecle Le pas deacutecisif fut
franchi par Nicolas Copernic22
qui regroupa ses observations et preacutesenta son hypothegravese dans
son ouvrage laquo De revolutionibus orbium celestium raquo paru agrave lrsquoheure de sa mort
Mais agrave cocircteacute de ces grands problegravemes il faut penser plus simplement agrave lrsquooutil alors en
gestation dont disposera lrsquohomme de science degraves la fin de ce siegravecle Lrsquooutil crsquoest la langue de
cette science fruit de toute une pratique matheacutematique
Citons-en les principales expressions
Le calcul et son eacutecriture font drsquoeacutenormes progregraves le texte eacutecrit et imprimeacute prenant la place du
discours oral comme moyen de transmission Srsquoimposait ainsi davantage de rigueur et de
concision Crsquoest avec la laquo Disme raquo de Simon Stevin qursquoapparaicirct en 1585 le premier ouvrage
10
J Buteacuteo ou Buteacuteon ou encore Jean Borrel originaire du Dauphineacute eacutecrivit des ouvrages de geacuteomeacutetrie et
drsquoarithmeacutetique Il deacutesignait deacutejagrave les inconnues par des lettres 11
Franccedilois Viegravete (1540-1603) Conseiller de Henry IV est consideacutereacute comme le pegravere de lrsquoalgegravebre moderne car il
a introduit la notion (et lrsquoeacutecriture) de formule geacuteneacuterale 12
Valeacuterio (1552-1618) enseigna les matheacutematiques agrave Rome 13
Stevin (1548-1620) ingeacutenieur et matheacutematicien hollandais Cf note 23 ci-apregraves 14
Vinci (neacute pregraves de Florence 1452 mort agrave Clos Luceacute pregraves drsquoAmboise 1519 voir document IV7 15
Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III 16
Girolamo Cardano (1501-1576) DE Smith 1rsquohistorien des matheacutematiques dit de lui laquo Ce coquin-lagrave eacutetait
parfois un homme deacutepourvu de principes et parfois un geacutenie raquo Il a publieacute enseigneacute et vendu du droit de la
meacutedecine de 1astrologie de la philosophie de 1rsquoalgegravebre et de la physique Cf document IV8 17
Nicolas Tartaglia (1506-1557) autodidacte est peut ecirctre le plus grand matheacutematicien italien de son eacutepoque
Cf notre brochure laquo Glanes raquo IREM de Dijon 18
Soto (1494-1570) enseigna agrave Salamanca 19
Ptoleacutemeacutee enseigna agrave Alexandrie au IIegraveme
siegravecle 20
Astronome grec du IIIegraveme
siegravecle avant Jeacutesus-Christ 21
Matheacutematicien grec du Vegraveme
siegravecle avant Jeacutesus-Christ 22
Copernic (1473-1543) Voir Document IV9
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 7
preacuteconisant et utilisant systeacutematiquement les fractions deacutecimales23
Avec lrsquoimprimerie vont se
reacutepandre les tables de calcul fort utiles sinon indispensables pour reacutesoudre des problegravemes
lorsqursquoon sait que la pratique de la multiplication est encore peu usuelle et celle de la division
presque affaire de speacutecialiste24
Adaptation latine de lrsquoarithmeacutetique
de Gemma Frisius (1553 agrave Paris)
La trigonomeacutetrie outil privileacutegieacute de lrsquoastronomie srsquoest deacuteveloppeacutee non seulement dans les
pays de lrsquoIslam durant le Moyen-Acircge mais sur la fin de celui-ci en Occident Des tables
comparables agrave nos tables de fonctions trigonomeacutetriques vont paraicirctre degraves le deacutebut de
lrsquoimprimerie ainsi la laquo Tabula directionum raquo de Regiomontanus sortie en 148525
Cet auteur
astronome lui-mecircme donna agrave la trigonomeacutetrie une forme indeacutependante de lrsquoastronomie A sa
suite les relations dans les triangles tant plans que spheacuteriques furent mises au point pour
elles-mecircmes26
Lrsquoalgegravebre enrichie de lrsquoapport arabe est mieux assimileacutee et devient au XVIegraveme
siegravecle un outil
feacutecond Tartaglia reacutesout lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute en 153527
et Ferrari28
celle du
quatriegraveme degreacute vers 154529
23
Stevin (1548-1620) fut surtout connu de ses contemporains pour ses travaux de statique et drsquohydrostatique en
particulier au sujet des digues et polders des Pays-Bas 24
Sur toutes ces questions nous renvoyons agrave notre brochure laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon 25
Johann Muumlller (1436-1475) neacute agrave Koumlnigsberg en Baviegravere est deacutesigneacute sous la forme latine de son lieu de
naissance Regiomontanus On trouvera un exemple drsquoune table similaire au Voir Document IV8 26
Les arabes connaissaient sin 2a = 2 sina cosa Crsquoest dans un texte de Viegravete en 1591 qursquoapparaicirct sin3a = 3cos2a
sina - sin3a
27 Crsquoest lui-mecircme qui fixe la date de sa deacutecouverte 1a nuit du 12 au 13 feacutevrier agrave Venise
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 8
En geacuteomeacutetrie lrsquoOccident redeacutecouvre la science des Anciens Les geacuteomeacutetries dites drsquoEuclide
vont ecirctre eacutediteacutees un peu partout en toutes langues au cours du siegravecle30
Avec Albrecht Duumlrer
(1471-1528) apparaissent les premiegraveres veacuteritables eacutepures drsquoune geacuteomeacutetrie de lrsquoespace qui
utilisent la perspective
La Margarita Philosophica (eacutedition de 1508 agrave Bacircle)
On remarquera entremecircleacutees les disciplines du trivium et du quadrivium Voir Document IV3
Crsquoest en 1543 qursquoest eacutediteacute le livre de Copernic qui renverse le vieux systegraveme descriptif du
monde pour laisser place simplificatrice aux calculs astronomiques et coiumlncidence en cette
28
Ferrari eacutelegraveve de Cardan (1522-1565) 29
Pour plus de deacutetails sur lrsquohistorique des eacutequations algeacutebriques voir notre brochure laquo Eacutegale zeacutero raquo 30
Voir au Document IV3 quelques rappels des premiegraveres eacuteditions Toutes les geacuteomeacutetries drsquoEuclide provenaient
de manuscrits plus ou moins complets plus ou moins exacts plus ou moins authentiques Certains comprenaient
des apports posteacuterieurs surtout apregraves la redeacutecouverte de lrsquoœuvre drsquoArchimegravede inconnue au Moyen-Acircge On
trouvera au Document IV10 un exemple classique drsquoune meacutethode introduite par le Syracusien
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9
mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres
pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant
drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme
siegravecle se retrouve
dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par
tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions
de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une
observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la
seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements
forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut
apporter sinon veacuterifier
Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux
Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous
Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur
drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart
des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses
Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par
tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes
eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats
Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)
Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres
scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme
beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10
Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse
son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances
Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux
1 - Concordance drsquoeacutevegravenements
2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo
3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions
4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique
5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
6 - Les mesures franccedilaises
Deux biographies
7 - Leacuteonard de Vinci
8 - Cardan
Suivent
9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic
10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede
11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme
siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin
12 - Et le calcul
13 - Une vieille histoire des maths
Et pour terminer
14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette
eacutepoque
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11
DOCUMENT IV1
XVIEgraveME
SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE
1482
1484
1egravere
eacutedition drsquoEuclide
laquo Arithmeacutetique raquo de
Chuquet
1492 Christophe Colomb
ler voyage vers les
Indes occidentales
1494
Pacioli eacutequation du
2egraveme
degreacute
1500 Vasco de Gama
contourne lrsquoAfrique et
gagne les Indes
orientales
1506
laquo La Joconde raquo
Leacuteonard de Vinci
1510 Duumlrer Perspective et
geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo
Erasme
1515
1516
1517
Franccedilois 1er Roi
Charles Quint
Empereur
Luther Manifeste des
laquo 95 propositions raquo
1530 Collegravege royal (de
France)
1534 Creacuteation de la
Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3
egraveme degreacute
1532 laquo Gargantua raquo
Rabelais
1539
1542
1543
1549
Carte de Mercator
laquo Botanique raquo Fuchs
Copernic laquoDe
Revolutionibus hellip raquo
laquo Deacutefense et illustra-
tion de la langue
franccedilaise raquo Du Bellay
1558 Elizabeth legravere
Reine
drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries
Tartaglia (eacutedition)
1558 Circulation pulmonaire
M Servet
1562 Deacutebut des Guerres de
religion en France
1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede
1582 Reacuteforme greacutegorienne
du calendrier
1580 Palissy eacutemaux
Montaigne laquo Essais raquo
1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible
Armada
1589
Galileacutee Oscillations
du pendule
1598 Eacutedit de Nantes
Toleacuterance des
Reacuteformeacutes
1591
Viegravete eacutecriture
algeacutebrique litteacuterale
1590
1591
Premiegraveres lunettes
laquo Henry VI raquo
Shakespeare
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12
DOCUMENT IV2
laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME
SIECLE
1500 1550 1600
Chuquet
de Vinci 1452
Pacioli
del Ferro 1465
Duumlrer 1471
Bombelli
Rudolff
Tartaglia
Ferrari
Cardan
Recorde
Stifel
Maurolico
Ramus
Clavius
Viegravete
Napier
Stevin
Mersenne
Descartes
Galileacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13
DOCUMENT IV3
QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo
Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la
diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme
siegravecle Elle
est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline
1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique
1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin
Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)
Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)
1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce
1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)
Tolosa Dela arismethica (Delatore)
1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)
1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee
1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)
1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)
1503 Fribourg
Strasbourg
Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)
1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)
1512 Barcelone
Lyon
Suma de arithmetica (Ortega)
1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)
1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31
1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)
1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec
Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)
1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)
Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)
1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia
Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)
1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)
Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)
1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique
1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)
1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)
1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli
1577 Paris De arte magna (Gosselin)
31
Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de
1484 premiegravere algegravebre en franccedilais
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14
1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)
hellip
1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))
Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee
des langues vulgaires
Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15
DOCUMENT IV4
LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE
Crsquoest au cours du XVIegraveme
siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles
matheacutematiques32
ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent
que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M
V (radical) est de Rudolff (1525)
ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b
signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave
lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute
Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme
siegravecle
Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute
est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste
en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum
B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication
Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les
geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas
encore comme nous le faisons
La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on
dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)
135
1
270
2
540
4
1080
8
2160
16
car 21 = 1 + 4+ 16
donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835
Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier
La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres
deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash
Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre
imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au
siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom
32
On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir
eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16
DOCUMENT IV5
LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares
auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations
furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent
tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme
siegravecle)
On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de
lrsquoimprimerie naissante
Le systegraveme latin
Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas
geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690
Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme
siegravecle qursquoau Ier
siegravecle Si M crsquoest mille on imprime
Par suite on trouve
Mais drsquoautres utilisent plus simplement
Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000
voire v pour 5 000 000
Le systegraveme grec
Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33
Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j
drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)
33
Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La
numeacuteration eacutecrite
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17
On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des
essais de latinisation de lrsquooutil grec
ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots
ndash et paraissent des creacuteations
Donc selon les imprimeurs
LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49
uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000
On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip
Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la
numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont
les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec
Un de ces imprimeurs produit
pour
crsquoest-agrave-dire
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 3
Creacuteation Choc probablement deacuteterminant dans les craquelures du cosmos clos et hieacuterarchiseacute
deacutejagrave eacutevoqueacute et tremplin pour lrsquoesprit scientifique
Des gouvernements des rivages meacutediterraneacuteen et atlantique dans un contexte de reprise
eacuteconomique suscitent et organisent parfois les moyens neacutecessaires aux recherches et
innovations Un lent travail srsquoest effectueacute tout particuliegraverement dans les milieux princiers
etou maritimes partout ougrave la demande des instruments de connaissance est grande ainsi la
confection de cartes plus preacutecises que les portulans cocirctiers des XIVegraveme
et XVegraveme
siegravecles le
perfectionnement des instruments de navigation une reacuteflexion sur les assurances
maritimeshellip3
Les exigences nouvelles du commerce eacutechanges lointains (par exemple galions espagnols
naviguant entre lrsquoarchipel philippin le Mexique puis lrsquoEspagne) les proceacutedeacutes de paiement
ont acceacuteleacutereacute les meacutethodes comptables bousculant les connaissances matheacutematiques
eacuteleacutementaires
C ndash LE SAVOIR TECHNIQUE SUPPORT DE LA REacuteFLEXION THEacuteORIQUE
Lagrave nrsquoest pas lrsquoexplication suffisante des spectaculaires progregraves accomplis au XVIegraveme
siegravecle en
meacutetallurgie en hydraulique dans lrsquoart militaire dans des machines telles qursquoappareils de
levage moulins agrave grains hellip
Des hommes ont alors recentreacute leurs questions borneacute plus freacutequemment leurs recherches aux
problegravemes physiques plutocirct que meacutetaphysiques observeacute plus preacuteciseacutement les choses en action
dans un monde reacuteel
Durant ce XVIegraveme
siegravecle deux exemples fournissent une bonne illustration du passage drsquoune
conception empirique agrave une conception raisonneacutee
ndash Un exemple drsquoart militaire
Lemploi du canon en bronze oblige agrave consideacuterer le problegraveme du laquo tir tendu raquo et donc agrave
mesurer une hauteur simplement observeacutee agrave distance Les laquo maicirctres drsquoengins raquo avaient
accumuleacute assez drsquoexpeacuteriences pour saisir les donneacutees du problegraveme et en fournir des solutions
approximatives qui se reacuteveacutelaient satisfaisantes Mais il aurait eacuteteacute surprenant que ces hommes
nrsquoaient pas chercheacute agrave ameacuteliorer leurs laquo recettes raquo et donc agrave comprendre ce qui se passait
effectivement pratiquer des mesures appreacutecier des vitesses de projection selon les eacutetapes du
tirhellip Au XIVegraveme
siegravecle un Kyeser4 au XV
egraveme siegravecle un Valturio
5 un Ghiberti
6 teacutemoignent de
cette curiositeacute Ils eacutetablissent un eacutetalonnage des divers calibres Agrave lrsquoimpreacutecision se substitue
une cote parfaitement observeacutee et deacutecrite et au simple coup de chance la deacuteduction logique
3Deux exemples eacuteloquents
- degraves 1503 le roi drsquoEspagne Ferdinand V fonde agrave Seacuteville la laquo Casa de Contratacion de Las Indias raquo Ce veacuteritable
bureau drsquoeacutetudes hydrographiques et commerciales a deacutepouilleacute et exploiteacute les rapports de plus de 1800 voyages
effectueacutes entre 1580 et 1620
- toujours dans les derniegraveres anneacutees du XVIegraveme
siegravecle les Eacutetats Geacuteneacuteraux de Hollande et le roi drsquoEspagne
Philippe II creacuteent concurremment un concours doteacute ici drsquoun prix de 6000 ducats lagrave drsquoun prix de 10000 florins
visant agrave la mise au point drsquoune meacutethode pour mesurer la longitude 4 Kyeser (1366 - vers 1410) Officier et maicirctre drsquoengins en relations avec les principaux souverains et princes du
Saint Empire romain germanique Il eacutecrit un traiteacute de la science des machines agrave feu le Bellifortis Tout au long
du XVegraveme
siegravecle des illustrateurs reprennent ses dessins 5 Valturio (neacute vers 1413) fils drsquoun chargeacute de chancellerie aupregraves du Vatican Il nous reste 22 manuscrits de son
œuvre ougrave lrsquoinfluence de Kyeser est nette 6 Ghiberti (1378-1455) est le bronzier connu pour les portes du baptistegravere de Florence Les commentaires qursquoil
eacutecrit agrave la fin de sa vie indiquent tout lrsquointeacuterecirct qursquoil porte aux questions techniques et scientifiques (optique
perspective problegravemes drsquoun fondeur de bronze)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 4
ndash Un autre exemple la fabrication des cloches
Le mecircme souci de rationalisation existe dans cet eacuteleacutement familier de lrsquoenvironnement
religieux Il nrsquoest pas seulement question de proceacutedeacutes de fabrication notamment des moules
mais une sorte de diagramme est traceacutee indiquant les principales caracteacuteristiques drsquoune cloche
de forme deacutetermineacutee caracteacuteristiques agrave la fois universelles et speacutecifiques Ces laquo tables raquo
marquent un effort pour donner au travail des regravegles Ainsi aux XVIegraveme
et XVIIegraveme
siegravecles un
savoir technique comparable sera accumuleacute pour la construction des bateaux
Agrave la fin du XVIegraveme
siegravecle la laquo matheacutematisation raquo de la technique a donc fait un pas de plus
procurant des formules qui peuvent permettre pour un ensemble de donneacutees de construire
intellectuellement le reacutesultat chercheacute Ainsi Simon Stevin se livrera-t-il agrave des calculs
concernant la force des moulins agrave vent Ainsi Leacuteonard de Vinci est-il un vif partisan de ces
approches ponctuelles des savoirs Enfin cette laquo matheacutematisation raquo ne pouvait que se
renforcer dans sa rencontre avec lrsquoimprimerie
D ndash LrsquoIMPRIMERIE OUVRE LE MONDE Agrave LA COMMUNICATION
La connaissance par compilation de vieux manuscrits reacuteserveacutes agrave quelques privileacutegieacutes des
abbayes par lecture laquo ex cathedra raquo des universiteacutes cegravede alors la place agrave de nouvelles voies du
savoir
Au deacutebut du XVegraveme
siegravecle le copiste beacuteneacutedictin a eacuteteacute remplaceacute par des ateliers de copistes qui
produisent en seacuteries de plusieurs centaines drsquoexemplaires les manuels en usage agrave lrsquouniversiteacute
voisine Certes ces ouvrages ne sont pas de grande qualiteacute et restent tregraves chers mais deacutejagrave au
parchemin imputrescible se substitue parfois le papier mis au point en Italie qui entraicircne une
baisse des coucircts Lrsquoeacutecriture manuelle a atteint son ultime degreacute de productiviteacute et la demande
ne cesse de croicirctre Ces ouvrages ne comportent pas drsquoenluminures mais parfois des pages
estampeacutees crsquoest-agrave-dire passeacutees agrave la presse sur des formes tailleacutees dans du bois
Le progregraves final vient des meacutetiers du meacutetal Vers 1425 agrave Haarlem (Pays-Bas) Laurens
Janszoon dit Coster imprimait des planches graveacutees et il semble bien qursquoil commenccedila agrave cette
date agrave utiliser des lettres en caractegraveres mobiles (poinccedilons) adjoints agrave ces planches Un de ses
ouvriers Johann Gensfleich perfectionna le systegraveme agrave Strasbourg vers 1440 puis agrave Mayence il
est connu sous le nom de Gutenberg Degraves lors les livres imprimeacutes peuvent ecirctre multiplieacutes agrave
lrsquoinfini et leur prix baisse spectaculairement Bibliothegraveques priveacutees et universitaires se
deacuteveloppent7
Les deacutebats fondamentaux voient ainsi leur public srsquoaccroicirctre public exerccedilant deacutesormais sa
critique sur piegraveces et agrave distance Celui qui a lu peut connaicirctre comprendre et discuter tout
aussi rapidement et peut ecirctre plus sucircrement que celui qui a entendu Il nrsquoest donc pas eacutetonnant
que la transmission du savoir commence parfois agrave fuir les grandes universiteacutes dans la mesure
ougrave celles-ci ne savent pas eacutevoluer ne savent plus reacutepondre aux demandes dun monde qui
bouge
Lrsquohabileteacute technique croissante des imprimeurs est mise au service de la diffusion drsquoouvrages
litteacuteraires et scientifiques Deacutesormais il est devenu possible pour un auteur de toucher un vaste
public en un temps relativement court Une foule drsquoideacutees excessivement diverses peuvent ecirctre
7 En France Charles V (1364-80) posseacutedait une librairie importante qui fut mal entretenue jusqursquoagrave Franccedilois ler
(1515-1547) lequel nomma Guillaume Budeacute premier laquo libraire raquo au Roi en 1522 et rendit obligatoire le deacutepocirct par
lrsquoeacutedit de Montpellier en 1537 Si au IVegraveme
siegravecle il y avait agrave Rome plus de deux douzaines de bibliothegraveques
publiques les bibliothegraveques modernes ne furent ouvertes au public qursquoau XVIIegraveme
siegravecle La premiegravere ouverte en
France est la laquo Mazarine raquo geacutereacutee par Naudeacute (1643) imitant en cela 1rsquolaquo Ambrosiana raquo (Milan) et 1rsquolaquo Angelica raquo
(Rome) ainsi que celle leacutegueacutee par Lord Bodley agrave Oxford en 1613 (plus de 200 000 volumes) La laquo nationale raquo a
eacuteteacute ouverte au public en 1692 elle possegravede deux laquo Bibles raquo de Gutenberg
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 5
reacutepandues8 Enfin ces artisans ingeacutenieux que sont Frolen agrave Bacircle Manuce agrave Venise Plantin agrave
Anvers constituent autour drsquoeux une veacuteritable ruche de savants eacuterudits (Erasme drsquoAnvers
assure les corrections chez Manuce de Venise)
VILLES POSSEacuteDANT UN OU DES ATELIERS DrsquoIMPRIMERIE VERS 1500
Dans ce grand remuement drsquoideacutees quels sont les grands problegravemes matheacutematiques dont la
Renaissance heacuterite du Moyen- Acircge finissant
Le problegraveme du vide il nrsquoeacutevolue guegravere le rejet du vide va subsister tel quel jusqursquoagrave Torricelli
et Pascal au XVIIegraveme
siegravecle
Lrsquoinfini son refus dans la science drsquoAristote a deacutejagrave eacuteteacute vivement combattu degraves le XIIIegraveme
siegravecle et les notions de limite non atteinte et de processus infini de calcul ont eacuteteacute discuteacutees degraves
le XIVegraveme
siegravecle9 Mais ce sont la redeacutecouverte et la publication au cours du XVI
egraveme siegravecle
des œuvres drsquoArchimegravede qui vont attirer les hommes de science vers des approches nouvelles
8 La hacircte drsquoimprimer de diffuser conduit agrave laquo trop raquo publier drsquoougrave les dangers de lrsquoencyclopeacutedisme deacutenonceacute par
Rabelais et le non controcircle qui laisse passer des affirmations deacutejagrave reconnues fausses ou sans inteacuterecirct ndashvoir
document ndeg IV14 lrsquoarticle sur Champfleury 9 Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 6
Crsquoest ainsi que Jean Buteacuteo10
publie en 1559 une recherche sur la quadrature du cercle qui
revient agrave approcher la valeur de π et que Viegravete11
en 1593 recherche ce mecircme nombre par un
produit infini Le processus de passage agrave la limite se trouve en fin de siegravecle dans des
recherches sur le centre de graviteacute (Luca Valerio12
ou Simon Stevin13
) Ce ne sont peut-ecirctre
que tentatives isoleacutees mais elles existent deacutejagrave en ce siegravecle
Le mouvement la progression des ideacutees en ce domaine est encore plus nette Leacuteonard de
Vinci14
utilise la notion de moment et exploite la notion drsquolaquo impetus raquo due agrave Buridan15
La
notion de polygone de sustentation ressort de ses propres eacutetudes sur le centre de graviteacute Vinci
et plus tard Cardan16
eacutetudient le mouvement drsquoun corps abandonneacute sur un plan inclineacute ce qui
les conduit agrave une sorte de deacutecomposition de la pesanteur (ou plus exactement du poids du
corps) Mais et cela est le fait capital au lieu drsquoexplications qualitatives apparaissent alors
des regravegles quantitatives Dans le mecircme esprit travaillent lrsquoitalien Tartaglia17
et lrsquoespagnol
Soto18
Le systegraveme du monde on sait que degraves lrsquoeacutepoque de la science grecque des savants se
posaient la question est-ce le soleil ou la terre qui tourne lrsquoun autour de lrsquoautre Le systegraveme
geacuteocentrique de Ptoleacutemeacutee19
parut longtemps le plus simple sinon le plus normal Il srsquoaccordait
agrave la doctrine drsquoAristote et donnait en quelque sorte une supeacuterioriteacute agrave lrsquohomme placcedilant la terre
au centre de lrsquounivers Mais au fur et agrave mesure que srsquoaccumulaient les observations il fallait
apporter au systegraveme preacute-eacutetabli des modifications le compliquant agrave lrsquoextrecircme si on deacutesirait
avoir un outil respectant les donneacutees quantitatives de ces observations et non seulement des
explications qualitatives
Le retour agrave un systegraveme heacuteliocentrique comme celui drsquoAristarque de Samos20
voire celui de
Philolaos de Crotone21
eacutetait deacutejagrave proposeacute par Oresme au XIVegraveme
siegravecle Le pas deacutecisif fut
franchi par Nicolas Copernic22
qui regroupa ses observations et preacutesenta son hypothegravese dans
son ouvrage laquo De revolutionibus orbium celestium raquo paru agrave lrsquoheure de sa mort
Mais agrave cocircteacute de ces grands problegravemes il faut penser plus simplement agrave lrsquooutil alors en
gestation dont disposera lrsquohomme de science degraves la fin de ce siegravecle Lrsquooutil crsquoest la langue de
cette science fruit de toute une pratique matheacutematique
Citons-en les principales expressions
Le calcul et son eacutecriture font drsquoeacutenormes progregraves le texte eacutecrit et imprimeacute prenant la place du
discours oral comme moyen de transmission Srsquoimposait ainsi davantage de rigueur et de
concision Crsquoest avec la laquo Disme raquo de Simon Stevin qursquoapparaicirct en 1585 le premier ouvrage
10
J Buteacuteo ou Buteacuteon ou encore Jean Borrel originaire du Dauphineacute eacutecrivit des ouvrages de geacuteomeacutetrie et
drsquoarithmeacutetique Il deacutesignait deacutejagrave les inconnues par des lettres 11
Franccedilois Viegravete (1540-1603) Conseiller de Henry IV est consideacutereacute comme le pegravere de lrsquoalgegravebre moderne car il
a introduit la notion (et lrsquoeacutecriture) de formule geacuteneacuterale 12
Valeacuterio (1552-1618) enseigna les matheacutematiques agrave Rome 13
Stevin (1548-1620) ingeacutenieur et matheacutematicien hollandais Cf note 23 ci-apregraves 14
Vinci (neacute pregraves de Florence 1452 mort agrave Clos Luceacute pregraves drsquoAmboise 1519 voir document IV7 15
Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III 16
Girolamo Cardano (1501-1576) DE Smith 1rsquohistorien des matheacutematiques dit de lui laquo Ce coquin-lagrave eacutetait
parfois un homme deacutepourvu de principes et parfois un geacutenie raquo Il a publieacute enseigneacute et vendu du droit de la
meacutedecine de 1astrologie de la philosophie de 1rsquoalgegravebre et de la physique Cf document IV8 17
Nicolas Tartaglia (1506-1557) autodidacte est peut ecirctre le plus grand matheacutematicien italien de son eacutepoque
Cf notre brochure laquo Glanes raquo IREM de Dijon 18
Soto (1494-1570) enseigna agrave Salamanca 19
Ptoleacutemeacutee enseigna agrave Alexandrie au IIegraveme
siegravecle 20
Astronome grec du IIIegraveme
siegravecle avant Jeacutesus-Christ 21
Matheacutematicien grec du Vegraveme
siegravecle avant Jeacutesus-Christ 22
Copernic (1473-1543) Voir Document IV9
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 7
preacuteconisant et utilisant systeacutematiquement les fractions deacutecimales23
Avec lrsquoimprimerie vont se
reacutepandre les tables de calcul fort utiles sinon indispensables pour reacutesoudre des problegravemes
lorsqursquoon sait que la pratique de la multiplication est encore peu usuelle et celle de la division
presque affaire de speacutecialiste24
Adaptation latine de lrsquoarithmeacutetique
de Gemma Frisius (1553 agrave Paris)
La trigonomeacutetrie outil privileacutegieacute de lrsquoastronomie srsquoest deacuteveloppeacutee non seulement dans les
pays de lrsquoIslam durant le Moyen-Acircge mais sur la fin de celui-ci en Occident Des tables
comparables agrave nos tables de fonctions trigonomeacutetriques vont paraicirctre degraves le deacutebut de
lrsquoimprimerie ainsi la laquo Tabula directionum raquo de Regiomontanus sortie en 148525
Cet auteur
astronome lui-mecircme donna agrave la trigonomeacutetrie une forme indeacutependante de lrsquoastronomie A sa
suite les relations dans les triangles tant plans que spheacuteriques furent mises au point pour
elles-mecircmes26
Lrsquoalgegravebre enrichie de lrsquoapport arabe est mieux assimileacutee et devient au XVIegraveme
siegravecle un outil
feacutecond Tartaglia reacutesout lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute en 153527
et Ferrari28
celle du
quatriegraveme degreacute vers 154529
23
Stevin (1548-1620) fut surtout connu de ses contemporains pour ses travaux de statique et drsquohydrostatique en
particulier au sujet des digues et polders des Pays-Bas 24
Sur toutes ces questions nous renvoyons agrave notre brochure laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon 25
Johann Muumlller (1436-1475) neacute agrave Koumlnigsberg en Baviegravere est deacutesigneacute sous la forme latine de son lieu de
naissance Regiomontanus On trouvera un exemple drsquoune table similaire au Voir Document IV8 26
Les arabes connaissaient sin 2a = 2 sina cosa Crsquoest dans un texte de Viegravete en 1591 qursquoapparaicirct sin3a = 3cos2a
sina - sin3a
27 Crsquoest lui-mecircme qui fixe la date de sa deacutecouverte 1a nuit du 12 au 13 feacutevrier agrave Venise
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 8
En geacuteomeacutetrie lrsquoOccident redeacutecouvre la science des Anciens Les geacuteomeacutetries dites drsquoEuclide
vont ecirctre eacutediteacutees un peu partout en toutes langues au cours du siegravecle30
Avec Albrecht Duumlrer
(1471-1528) apparaissent les premiegraveres veacuteritables eacutepures drsquoune geacuteomeacutetrie de lrsquoespace qui
utilisent la perspective
La Margarita Philosophica (eacutedition de 1508 agrave Bacircle)
On remarquera entremecircleacutees les disciplines du trivium et du quadrivium Voir Document IV3
Crsquoest en 1543 qursquoest eacutediteacute le livre de Copernic qui renverse le vieux systegraveme descriptif du
monde pour laisser place simplificatrice aux calculs astronomiques et coiumlncidence en cette
28
Ferrari eacutelegraveve de Cardan (1522-1565) 29
Pour plus de deacutetails sur lrsquohistorique des eacutequations algeacutebriques voir notre brochure laquo Eacutegale zeacutero raquo 30
Voir au Document IV3 quelques rappels des premiegraveres eacuteditions Toutes les geacuteomeacutetries drsquoEuclide provenaient
de manuscrits plus ou moins complets plus ou moins exacts plus ou moins authentiques Certains comprenaient
des apports posteacuterieurs surtout apregraves la redeacutecouverte de lrsquoœuvre drsquoArchimegravede inconnue au Moyen-Acircge On
trouvera au Document IV10 un exemple classique drsquoune meacutethode introduite par le Syracusien
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9
mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres
pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant
drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme
siegravecle se retrouve
dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par
tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions
de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une
observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la
seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements
forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut
apporter sinon veacuterifier
Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux
Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous
Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur
drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart
des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses
Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par
tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes
eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats
Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)
Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres
scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme
beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10
Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse
son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances
Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux
1 - Concordance drsquoeacutevegravenements
2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo
3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions
4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique
5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
6 - Les mesures franccedilaises
Deux biographies
7 - Leacuteonard de Vinci
8 - Cardan
Suivent
9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic
10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede
11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme
siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin
12 - Et le calcul
13 - Une vieille histoire des maths
Et pour terminer
14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette
eacutepoque
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11
DOCUMENT IV1
XVIEgraveME
SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE
1482
1484
1egravere
eacutedition drsquoEuclide
laquo Arithmeacutetique raquo de
Chuquet
1492 Christophe Colomb
ler voyage vers les
Indes occidentales
1494
Pacioli eacutequation du
2egraveme
degreacute
1500 Vasco de Gama
contourne lrsquoAfrique et
gagne les Indes
orientales
1506
laquo La Joconde raquo
Leacuteonard de Vinci
1510 Duumlrer Perspective et
geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo
Erasme
1515
1516
1517
Franccedilois 1er Roi
Charles Quint
Empereur
Luther Manifeste des
laquo 95 propositions raquo
1530 Collegravege royal (de
France)
1534 Creacuteation de la
Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3
egraveme degreacute
1532 laquo Gargantua raquo
Rabelais
1539
1542
1543
1549
Carte de Mercator
laquo Botanique raquo Fuchs
Copernic laquoDe
Revolutionibus hellip raquo
laquo Deacutefense et illustra-
tion de la langue
franccedilaise raquo Du Bellay
1558 Elizabeth legravere
Reine
drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries
Tartaglia (eacutedition)
1558 Circulation pulmonaire
M Servet
1562 Deacutebut des Guerres de
religion en France
1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede
1582 Reacuteforme greacutegorienne
du calendrier
1580 Palissy eacutemaux
Montaigne laquo Essais raquo
1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible
Armada
1589
Galileacutee Oscillations
du pendule
1598 Eacutedit de Nantes
Toleacuterance des
Reacuteformeacutes
1591
Viegravete eacutecriture
algeacutebrique litteacuterale
1590
1591
Premiegraveres lunettes
laquo Henry VI raquo
Shakespeare
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12
DOCUMENT IV2
laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME
SIECLE
1500 1550 1600
Chuquet
de Vinci 1452
Pacioli
del Ferro 1465
Duumlrer 1471
Bombelli
Rudolff
Tartaglia
Ferrari
Cardan
Recorde
Stifel
Maurolico
Ramus
Clavius
Viegravete
Napier
Stevin
Mersenne
Descartes
Galileacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13
DOCUMENT IV3
QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo
Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la
diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme
siegravecle Elle
est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline
1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique
1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin
Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)
Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)
1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce
1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)
Tolosa Dela arismethica (Delatore)
1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)
1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee
1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)
1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)
1503 Fribourg
Strasbourg
Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)
1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)
1512 Barcelone
Lyon
Suma de arithmetica (Ortega)
1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)
1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31
1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)
1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec
Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)
1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)
Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)
1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia
Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)
1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)
Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)
1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique
1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)
1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)
1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli
1577 Paris De arte magna (Gosselin)
31
Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de
1484 premiegravere algegravebre en franccedilais
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14
1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)
hellip
1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))
Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee
des langues vulgaires
Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15
DOCUMENT IV4
LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE
Crsquoest au cours du XVIegraveme
siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles
matheacutematiques32
ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent
que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M
V (radical) est de Rudolff (1525)
ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b
signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave
lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute
Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme
siegravecle
Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute
est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste
en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum
B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication
Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les
geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas
encore comme nous le faisons
La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on
dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)
135
1
270
2
540
4
1080
8
2160
16
car 21 = 1 + 4+ 16
donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835
Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier
La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres
deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash
Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre
imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au
siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom
32
On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir
eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16
DOCUMENT IV5
LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares
auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations
furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent
tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme
siegravecle)
On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de
lrsquoimprimerie naissante
Le systegraveme latin
Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas
geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690
Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme
siegravecle qursquoau Ier
siegravecle Si M crsquoest mille on imprime
Par suite on trouve
Mais drsquoautres utilisent plus simplement
Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000
voire v pour 5 000 000
Le systegraveme grec
Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33
Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j
drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)
33
Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La
numeacuteration eacutecrite
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17
On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des
essais de latinisation de lrsquooutil grec
ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots
ndash et paraissent des creacuteations
Donc selon les imprimeurs
LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49
uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000
On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip
Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la
numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont
les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec
Un de ces imprimeurs produit
pour
crsquoest-agrave-dire
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
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IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
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Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 4
ndash Un autre exemple la fabrication des cloches
Le mecircme souci de rationalisation existe dans cet eacuteleacutement familier de lrsquoenvironnement
religieux Il nrsquoest pas seulement question de proceacutedeacutes de fabrication notamment des moules
mais une sorte de diagramme est traceacutee indiquant les principales caracteacuteristiques drsquoune cloche
de forme deacutetermineacutee caracteacuteristiques agrave la fois universelles et speacutecifiques Ces laquo tables raquo
marquent un effort pour donner au travail des regravegles Ainsi aux XVIegraveme
et XVIIegraveme
siegravecles un
savoir technique comparable sera accumuleacute pour la construction des bateaux
Agrave la fin du XVIegraveme
siegravecle la laquo matheacutematisation raquo de la technique a donc fait un pas de plus
procurant des formules qui peuvent permettre pour un ensemble de donneacutees de construire
intellectuellement le reacutesultat chercheacute Ainsi Simon Stevin se livrera-t-il agrave des calculs
concernant la force des moulins agrave vent Ainsi Leacuteonard de Vinci est-il un vif partisan de ces
approches ponctuelles des savoirs Enfin cette laquo matheacutematisation raquo ne pouvait que se
renforcer dans sa rencontre avec lrsquoimprimerie
D ndash LrsquoIMPRIMERIE OUVRE LE MONDE Agrave LA COMMUNICATION
La connaissance par compilation de vieux manuscrits reacuteserveacutes agrave quelques privileacutegieacutes des
abbayes par lecture laquo ex cathedra raquo des universiteacutes cegravede alors la place agrave de nouvelles voies du
savoir
Au deacutebut du XVegraveme
siegravecle le copiste beacuteneacutedictin a eacuteteacute remplaceacute par des ateliers de copistes qui
produisent en seacuteries de plusieurs centaines drsquoexemplaires les manuels en usage agrave lrsquouniversiteacute
voisine Certes ces ouvrages ne sont pas de grande qualiteacute et restent tregraves chers mais deacutejagrave au
parchemin imputrescible se substitue parfois le papier mis au point en Italie qui entraicircne une
baisse des coucircts Lrsquoeacutecriture manuelle a atteint son ultime degreacute de productiviteacute et la demande
ne cesse de croicirctre Ces ouvrages ne comportent pas drsquoenluminures mais parfois des pages
estampeacutees crsquoest-agrave-dire passeacutees agrave la presse sur des formes tailleacutees dans du bois
Le progregraves final vient des meacutetiers du meacutetal Vers 1425 agrave Haarlem (Pays-Bas) Laurens
Janszoon dit Coster imprimait des planches graveacutees et il semble bien qursquoil commenccedila agrave cette
date agrave utiliser des lettres en caractegraveres mobiles (poinccedilons) adjoints agrave ces planches Un de ses
ouvriers Johann Gensfleich perfectionna le systegraveme agrave Strasbourg vers 1440 puis agrave Mayence il
est connu sous le nom de Gutenberg Degraves lors les livres imprimeacutes peuvent ecirctre multiplieacutes agrave
lrsquoinfini et leur prix baisse spectaculairement Bibliothegraveques priveacutees et universitaires se
deacuteveloppent7
Les deacutebats fondamentaux voient ainsi leur public srsquoaccroicirctre public exerccedilant deacutesormais sa
critique sur piegraveces et agrave distance Celui qui a lu peut connaicirctre comprendre et discuter tout
aussi rapidement et peut ecirctre plus sucircrement que celui qui a entendu Il nrsquoest donc pas eacutetonnant
que la transmission du savoir commence parfois agrave fuir les grandes universiteacutes dans la mesure
ougrave celles-ci ne savent pas eacutevoluer ne savent plus reacutepondre aux demandes dun monde qui
bouge
Lrsquohabileteacute technique croissante des imprimeurs est mise au service de la diffusion drsquoouvrages
litteacuteraires et scientifiques Deacutesormais il est devenu possible pour un auteur de toucher un vaste
public en un temps relativement court Une foule drsquoideacutees excessivement diverses peuvent ecirctre
7 En France Charles V (1364-80) posseacutedait une librairie importante qui fut mal entretenue jusqursquoagrave Franccedilois ler
(1515-1547) lequel nomma Guillaume Budeacute premier laquo libraire raquo au Roi en 1522 et rendit obligatoire le deacutepocirct par
lrsquoeacutedit de Montpellier en 1537 Si au IVegraveme
siegravecle il y avait agrave Rome plus de deux douzaines de bibliothegraveques
publiques les bibliothegraveques modernes ne furent ouvertes au public qursquoau XVIIegraveme
siegravecle La premiegravere ouverte en
France est la laquo Mazarine raquo geacutereacutee par Naudeacute (1643) imitant en cela 1rsquolaquo Ambrosiana raquo (Milan) et 1rsquolaquo Angelica raquo
(Rome) ainsi que celle leacutegueacutee par Lord Bodley agrave Oxford en 1613 (plus de 200 000 volumes) La laquo nationale raquo a
eacuteteacute ouverte au public en 1692 elle possegravede deux laquo Bibles raquo de Gutenberg
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 5
reacutepandues8 Enfin ces artisans ingeacutenieux que sont Frolen agrave Bacircle Manuce agrave Venise Plantin agrave
Anvers constituent autour drsquoeux une veacuteritable ruche de savants eacuterudits (Erasme drsquoAnvers
assure les corrections chez Manuce de Venise)
VILLES POSSEacuteDANT UN OU DES ATELIERS DrsquoIMPRIMERIE VERS 1500
Dans ce grand remuement drsquoideacutees quels sont les grands problegravemes matheacutematiques dont la
Renaissance heacuterite du Moyen- Acircge finissant
Le problegraveme du vide il nrsquoeacutevolue guegravere le rejet du vide va subsister tel quel jusqursquoagrave Torricelli
et Pascal au XVIIegraveme
siegravecle
Lrsquoinfini son refus dans la science drsquoAristote a deacutejagrave eacuteteacute vivement combattu degraves le XIIIegraveme
siegravecle et les notions de limite non atteinte et de processus infini de calcul ont eacuteteacute discuteacutees degraves
le XIVegraveme
siegravecle9 Mais ce sont la redeacutecouverte et la publication au cours du XVI
egraveme siegravecle
des œuvres drsquoArchimegravede qui vont attirer les hommes de science vers des approches nouvelles
8 La hacircte drsquoimprimer de diffuser conduit agrave laquo trop raquo publier drsquoougrave les dangers de lrsquoencyclopeacutedisme deacutenonceacute par
Rabelais et le non controcircle qui laisse passer des affirmations deacutejagrave reconnues fausses ou sans inteacuterecirct ndashvoir
document ndeg IV14 lrsquoarticle sur Champfleury 9 Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 6
Crsquoest ainsi que Jean Buteacuteo10
publie en 1559 une recherche sur la quadrature du cercle qui
revient agrave approcher la valeur de π et que Viegravete11
en 1593 recherche ce mecircme nombre par un
produit infini Le processus de passage agrave la limite se trouve en fin de siegravecle dans des
recherches sur le centre de graviteacute (Luca Valerio12
ou Simon Stevin13
) Ce ne sont peut-ecirctre
que tentatives isoleacutees mais elles existent deacutejagrave en ce siegravecle
Le mouvement la progression des ideacutees en ce domaine est encore plus nette Leacuteonard de
Vinci14
utilise la notion de moment et exploite la notion drsquolaquo impetus raquo due agrave Buridan15
La
notion de polygone de sustentation ressort de ses propres eacutetudes sur le centre de graviteacute Vinci
et plus tard Cardan16
eacutetudient le mouvement drsquoun corps abandonneacute sur un plan inclineacute ce qui
les conduit agrave une sorte de deacutecomposition de la pesanteur (ou plus exactement du poids du
corps) Mais et cela est le fait capital au lieu drsquoexplications qualitatives apparaissent alors
des regravegles quantitatives Dans le mecircme esprit travaillent lrsquoitalien Tartaglia17
et lrsquoespagnol
Soto18
Le systegraveme du monde on sait que degraves lrsquoeacutepoque de la science grecque des savants se
posaient la question est-ce le soleil ou la terre qui tourne lrsquoun autour de lrsquoautre Le systegraveme
geacuteocentrique de Ptoleacutemeacutee19
parut longtemps le plus simple sinon le plus normal Il srsquoaccordait
agrave la doctrine drsquoAristote et donnait en quelque sorte une supeacuterioriteacute agrave lrsquohomme placcedilant la terre
au centre de lrsquounivers Mais au fur et agrave mesure que srsquoaccumulaient les observations il fallait
apporter au systegraveme preacute-eacutetabli des modifications le compliquant agrave lrsquoextrecircme si on deacutesirait
avoir un outil respectant les donneacutees quantitatives de ces observations et non seulement des
explications qualitatives
Le retour agrave un systegraveme heacuteliocentrique comme celui drsquoAristarque de Samos20
voire celui de
Philolaos de Crotone21
eacutetait deacutejagrave proposeacute par Oresme au XIVegraveme
siegravecle Le pas deacutecisif fut
franchi par Nicolas Copernic22
qui regroupa ses observations et preacutesenta son hypothegravese dans
son ouvrage laquo De revolutionibus orbium celestium raquo paru agrave lrsquoheure de sa mort
Mais agrave cocircteacute de ces grands problegravemes il faut penser plus simplement agrave lrsquooutil alors en
gestation dont disposera lrsquohomme de science degraves la fin de ce siegravecle Lrsquooutil crsquoest la langue de
cette science fruit de toute une pratique matheacutematique
Citons-en les principales expressions
Le calcul et son eacutecriture font drsquoeacutenormes progregraves le texte eacutecrit et imprimeacute prenant la place du
discours oral comme moyen de transmission Srsquoimposait ainsi davantage de rigueur et de
concision Crsquoest avec la laquo Disme raquo de Simon Stevin qursquoapparaicirct en 1585 le premier ouvrage
10
J Buteacuteo ou Buteacuteon ou encore Jean Borrel originaire du Dauphineacute eacutecrivit des ouvrages de geacuteomeacutetrie et
drsquoarithmeacutetique Il deacutesignait deacutejagrave les inconnues par des lettres 11
Franccedilois Viegravete (1540-1603) Conseiller de Henry IV est consideacutereacute comme le pegravere de lrsquoalgegravebre moderne car il
a introduit la notion (et lrsquoeacutecriture) de formule geacuteneacuterale 12
Valeacuterio (1552-1618) enseigna les matheacutematiques agrave Rome 13
Stevin (1548-1620) ingeacutenieur et matheacutematicien hollandais Cf note 23 ci-apregraves 14
Vinci (neacute pregraves de Florence 1452 mort agrave Clos Luceacute pregraves drsquoAmboise 1519 voir document IV7 15
Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III 16
Girolamo Cardano (1501-1576) DE Smith 1rsquohistorien des matheacutematiques dit de lui laquo Ce coquin-lagrave eacutetait
parfois un homme deacutepourvu de principes et parfois un geacutenie raquo Il a publieacute enseigneacute et vendu du droit de la
meacutedecine de 1astrologie de la philosophie de 1rsquoalgegravebre et de la physique Cf document IV8 17
Nicolas Tartaglia (1506-1557) autodidacte est peut ecirctre le plus grand matheacutematicien italien de son eacutepoque
Cf notre brochure laquo Glanes raquo IREM de Dijon 18
Soto (1494-1570) enseigna agrave Salamanca 19
Ptoleacutemeacutee enseigna agrave Alexandrie au IIegraveme
siegravecle 20
Astronome grec du IIIegraveme
siegravecle avant Jeacutesus-Christ 21
Matheacutematicien grec du Vegraveme
siegravecle avant Jeacutesus-Christ 22
Copernic (1473-1543) Voir Document IV9
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 7
preacuteconisant et utilisant systeacutematiquement les fractions deacutecimales23
Avec lrsquoimprimerie vont se
reacutepandre les tables de calcul fort utiles sinon indispensables pour reacutesoudre des problegravemes
lorsqursquoon sait que la pratique de la multiplication est encore peu usuelle et celle de la division
presque affaire de speacutecialiste24
Adaptation latine de lrsquoarithmeacutetique
de Gemma Frisius (1553 agrave Paris)
La trigonomeacutetrie outil privileacutegieacute de lrsquoastronomie srsquoest deacuteveloppeacutee non seulement dans les
pays de lrsquoIslam durant le Moyen-Acircge mais sur la fin de celui-ci en Occident Des tables
comparables agrave nos tables de fonctions trigonomeacutetriques vont paraicirctre degraves le deacutebut de
lrsquoimprimerie ainsi la laquo Tabula directionum raquo de Regiomontanus sortie en 148525
Cet auteur
astronome lui-mecircme donna agrave la trigonomeacutetrie une forme indeacutependante de lrsquoastronomie A sa
suite les relations dans les triangles tant plans que spheacuteriques furent mises au point pour
elles-mecircmes26
Lrsquoalgegravebre enrichie de lrsquoapport arabe est mieux assimileacutee et devient au XVIegraveme
siegravecle un outil
feacutecond Tartaglia reacutesout lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute en 153527
et Ferrari28
celle du
quatriegraveme degreacute vers 154529
23
Stevin (1548-1620) fut surtout connu de ses contemporains pour ses travaux de statique et drsquohydrostatique en
particulier au sujet des digues et polders des Pays-Bas 24
Sur toutes ces questions nous renvoyons agrave notre brochure laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon 25
Johann Muumlller (1436-1475) neacute agrave Koumlnigsberg en Baviegravere est deacutesigneacute sous la forme latine de son lieu de
naissance Regiomontanus On trouvera un exemple drsquoune table similaire au Voir Document IV8 26
Les arabes connaissaient sin 2a = 2 sina cosa Crsquoest dans un texte de Viegravete en 1591 qursquoapparaicirct sin3a = 3cos2a
sina - sin3a
27 Crsquoest lui-mecircme qui fixe la date de sa deacutecouverte 1a nuit du 12 au 13 feacutevrier agrave Venise
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 8
En geacuteomeacutetrie lrsquoOccident redeacutecouvre la science des Anciens Les geacuteomeacutetries dites drsquoEuclide
vont ecirctre eacutediteacutees un peu partout en toutes langues au cours du siegravecle30
Avec Albrecht Duumlrer
(1471-1528) apparaissent les premiegraveres veacuteritables eacutepures drsquoune geacuteomeacutetrie de lrsquoespace qui
utilisent la perspective
La Margarita Philosophica (eacutedition de 1508 agrave Bacircle)
On remarquera entremecircleacutees les disciplines du trivium et du quadrivium Voir Document IV3
Crsquoest en 1543 qursquoest eacutediteacute le livre de Copernic qui renverse le vieux systegraveme descriptif du
monde pour laisser place simplificatrice aux calculs astronomiques et coiumlncidence en cette
28
Ferrari eacutelegraveve de Cardan (1522-1565) 29
Pour plus de deacutetails sur lrsquohistorique des eacutequations algeacutebriques voir notre brochure laquo Eacutegale zeacutero raquo 30
Voir au Document IV3 quelques rappels des premiegraveres eacuteditions Toutes les geacuteomeacutetries drsquoEuclide provenaient
de manuscrits plus ou moins complets plus ou moins exacts plus ou moins authentiques Certains comprenaient
des apports posteacuterieurs surtout apregraves la redeacutecouverte de lrsquoœuvre drsquoArchimegravede inconnue au Moyen-Acircge On
trouvera au Document IV10 un exemple classique drsquoune meacutethode introduite par le Syracusien
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9
mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres
pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant
drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme
siegravecle se retrouve
dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par
tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions
de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une
observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la
seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements
forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut
apporter sinon veacuterifier
Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux
Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous
Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur
drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart
des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses
Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par
tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes
eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats
Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)
Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres
scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme
beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10
Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse
son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances
Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux
1 - Concordance drsquoeacutevegravenements
2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo
3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions
4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique
5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
6 - Les mesures franccedilaises
Deux biographies
7 - Leacuteonard de Vinci
8 - Cardan
Suivent
9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic
10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede
11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme
siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin
12 - Et le calcul
13 - Une vieille histoire des maths
Et pour terminer
14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette
eacutepoque
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11
DOCUMENT IV1
XVIEgraveME
SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE
1482
1484
1egravere
eacutedition drsquoEuclide
laquo Arithmeacutetique raquo de
Chuquet
1492 Christophe Colomb
ler voyage vers les
Indes occidentales
1494
Pacioli eacutequation du
2egraveme
degreacute
1500 Vasco de Gama
contourne lrsquoAfrique et
gagne les Indes
orientales
1506
laquo La Joconde raquo
Leacuteonard de Vinci
1510 Duumlrer Perspective et
geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo
Erasme
1515
1516
1517
Franccedilois 1er Roi
Charles Quint
Empereur
Luther Manifeste des
laquo 95 propositions raquo
1530 Collegravege royal (de
France)
1534 Creacuteation de la
Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3
egraveme degreacute
1532 laquo Gargantua raquo
Rabelais
1539
1542
1543
1549
Carte de Mercator
laquo Botanique raquo Fuchs
Copernic laquoDe
Revolutionibus hellip raquo
laquo Deacutefense et illustra-
tion de la langue
franccedilaise raquo Du Bellay
1558 Elizabeth legravere
Reine
drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries
Tartaglia (eacutedition)
1558 Circulation pulmonaire
M Servet
1562 Deacutebut des Guerres de
religion en France
1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede
1582 Reacuteforme greacutegorienne
du calendrier
1580 Palissy eacutemaux
Montaigne laquo Essais raquo
1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible
Armada
1589
Galileacutee Oscillations
du pendule
1598 Eacutedit de Nantes
Toleacuterance des
Reacuteformeacutes
1591
Viegravete eacutecriture
algeacutebrique litteacuterale
1590
1591
Premiegraveres lunettes
laquo Henry VI raquo
Shakespeare
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12
DOCUMENT IV2
laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME
SIECLE
1500 1550 1600
Chuquet
de Vinci 1452
Pacioli
del Ferro 1465
Duumlrer 1471
Bombelli
Rudolff
Tartaglia
Ferrari
Cardan
Recorde
Stifel
Maurolico
Ramus
Clavius
Viegravete
Napier
Stevin
Mersenne
Descartes
Galileacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13
DOCUMENT IV3
QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo
Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la
diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme
siegravecle Elle
est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline
1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique
1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin
Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)
Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)
1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce
1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)
Tolosa Dela arismethica (Delatore)
1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)
1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee
1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)
1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)
1503 Fribourg
Strasbourg
Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)
1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)
1512 Barcelone
Lyon
Suma de arithmetica (Ortega)
1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)
1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31
1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)
1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec
Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)
1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)
Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)
1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia
Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)
1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)
Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)
1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique
1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)
1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)
1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli
1577 Paris De arte magna (Gosselin)
31
Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de
1484 premiegravere algegravebre en franccedilais
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14
1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)
hellip
1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))
Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee
des langues vulgaires
Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15
DOCUMENT IV4
LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE
Crsquoest au cours du XVIegraveme
siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles
matheacutematiques32
ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent
que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M
V (radical) est de Rudolff (1525)
ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b
signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave
lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute
Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme
siegravecle
Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute
est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste
en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum
B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication
Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les
geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas
encore comme nous le faisons
La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on
dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)
135
1
270
2
540
4
1080
8
2160
16
car 21 = 1 + 4+ 16
donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835
Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier
La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres
deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash
Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre
imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au
siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom
32
On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir
eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16
DOCUMENT IV5
LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares
auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations
furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent
tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme
siegravecle)
On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de
lrsquoimprimerie naissante
Le systegraveme latin
Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas
geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690
Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme
siegravecle qursquoau Ier
siegravecle Si M crsquoest mille on imprime
Par suite on trouve
Mais drsquoautres utilisent plus simplement
Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000
voire v pour 5 000 000
Le systegraveme grec
Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33
Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j
drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)
33
Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La
numeacuteration eacutecrite
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17
On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des
essais de latinisation de lrsquooutil grec
ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots
ndash et paraissent des creacuteations
Donc selon les imprimeurs
LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49
uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000
On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip
Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la
numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont
les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec
Un de ces imprimeurs produit
pour
crsquoest-agrave-dire
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 5
reacutepandues8 Enfin ces artisans ingeacutenieux que sont Frolen agrave Bacircle Manuce agrave Venise Plantin agrave
Anvers constituent autour drsquoeux une veacuteritable ruche de savants eacuterudits (Erasme drsquoAnvers
assure les corrections chez Manuce de Venise)
VILLES POSSEacuteDANT UN OU DES ATELIERS DrsquoIMPRIMERIE VERS 1500
Dans ce grand remuement drsquoideacutees quels sont les grands problegravemes matheacutematiques dont la
Renaissance heacuterite du Moyen- Acircge finissant
Le problegraveme du vide il nrsquoeacutevolue guegravere le rejet du vide va subsister tel quel jusqursquoagrave Torricelli
et Pascal au XVIIegraveme
siegravecle
Lrsquoinfini son refus dans la science drsquoAristote a deacutejagrave eacuteteacute vivement combattu degraves le XIIIegraveme
siegravecle et les notions de limite non atteinte et de processus infini de calcul ont eacuteteacute discuteacutees degraves
le XIVegraveme
siegravecle9 Mais ce sont la redeacutecouverte et la publication au cours du XVI
egraveme siegravecle
des œuvres drsquoArchimegravede qui vont attirer les hommes de science vers des approches nouvelles
8 La hacircte drsquoimprimer de diffuser conduit agrave laquo trop raquo publier drsquoougrave les dangers de lrsquoencyclopeacutedisme deacutenonceacute par
Rabelais et le non controcircle qui laisse passer des affirmations deacutejagrave reconnues fausses ou sans inteacuterecirct ndashvoir
document ndeg IV14 lrsquoarticle sur Champfleury 9 Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 6
Crsquoest ainsi que Jean Buteacuteo10
publie en 1559 une recherche sur la quadrature du cercle qui
revient agrave approcher la valeur de π et que Viegravete11
en 1593 recherche ce mecircme nombre par un
produit infini Le processus de passage agrave la limite se trouve en fin de siegravecle dans des
recherches sur le centre de graviteacute (Luca Valerio12
ou Simon Stevin13
) Ce ne sont peut-ecirctre
que tentatives isoleacutees mais elles existent deacutejagrave en ce siegravecle
Le mouvement la progression des ideacutees en ce domaine est encore plus nette Leacuteonard de
Vinci14
utilise la notion de moment et exploite la notion drsquolaquo impetus raquo due agrave Buridan15
La
notion de polygone de sustentation ressort de ses propres eacutetudes sur le centre de graviteacute Vinci
et plus tard Cardan16
eacutetudient le mouvement drsquoun corps abandonneacute sur un plan inclineacute ce qui
les conduit agrave une sorte de deacutecomposition de la pesanteur (ou plus exactement du poids du
corps) Mais et cela est le fait capital au lieu drsquoexplications qualitatives apparaissent alors
des regravegles quantitatives Dans le mecircme esprit travaillent lrsquoitalien Tartaglia17
et lrsquoespagnol
Soto18
Le systegraveme du monde on sait que degraves lrsquoeacutepoque de la science grecque des savants se
posaient la question est-ce le soleil ou la terre qui tourne lrsquoun autour de lrsquoautre Le systegraveme
geacuteocentrique de Ptoleacutemeacutee19
parut longtemps le plus simple sinon le plus normal Il srsquoaccordait
agrave la doctrine drsquoAristote et donnait en quelque sorte une supeacuterioriteacute agrave lrsquohomme placcedilant la terre
au centre de lrsquounivers Mais au fur et agrave mesure que srsquoaccumulaient les observations il fallait
apporter au systegraveme preacute-eacutetabli des modifications le compliquant agrave lrsquoextrecircme si on deacutesirait
avoir un outil respectant les donneacutees quantitatives de ces observations et non seulement des
explications qualitatives
Le retour agrave un systegraveme heacuteliocentrique comme celui drsquoAristarque de Samos20
voire celui de
Philolaos de Crotone21
eacutetait deacutejagrave proposeacute par Oresme au XIVegraveme
siegravecle Le pas deacutecisif fut
franchi par Nicolas Copernic22
qui regroupa ses observations et preacutesenta son hypothegravese dans
son ouvrage laquo De revolutionibus orbium celestium raquo paru agrave lrsquoheure de sa mort
Mais agrave cocircteacute de ces grands problegravemes il faut penser plus simplement agrave lrsquooutil alors en
gestation dont disposera lrsquohomme de science degraves la fin de ce siegravecle Lrsquooutil crsquoest la langue de
cette science fruit de toute une pratique matheacutematique
Citons-en les principales expressions
Le calcul et son eacutecriture font drsquoeacutenormes progregraves le texte eacutecrit et imprimeacute prenant la place du
discours oral comme moyen de transmission Srsquoimposait ainsi davantage de rigueur et de
concision Crsquoest avec la laquo Disme raquo de Simon Stevin qursquoapparaicirct en 1585 le premier ouvrage
10
J Buteacuteo ou Buteacuteon ou encore Jean Borrel originaire du Dauphineacute eacutecrivit des ouvrages de geacuteomeacutetrie et
drsquoarithmeacutetique Il deacutesignait deacutejagrave les inconnues par des lettres 11
Franccedilois Viegravete (1540-1603) Conseiller de Henry IV est consideacutereacute comme le pegravere de lrsquoalgegravebre moderne car il
a introduit la notion (et lrsquoeacutecriture) de formule geacuteneacuterale 12
Valeacuterio (1552-1618) enseigna les matheacutematiques agrave Rome 13
Stevin (1548-1620) ingeacutenieur et matheacutematicien hollandais Cf note 23 ci-apregraves 14
Vinci (neacute pregraves de Florence 1452 mort agrave Clos Luceacute pregraves drsquoAmboise 1519 voir document IV7 15
Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III 16
Girolamo Cardano (1501-1576) DE Smith 1rsquohistorien des matheacutematiques dit de lui laquo Ce coquin-lagrave eacutetait
parfois un homme deacutepourvu de principes et parfois un geacutenie raquo Il a publieacute enseigneacute et vendu du droit de la
meacutedecine de 1astrologie de la philosophie de 1rsquoalgegravebre et de la physique Cf document IV8 17
Nicolas Tartaglia (1506-1557) autodidacte est peut ecirctre le plus grand matheacutematicien italien de son eacutepoque
Cf notre brochure laquo Glanes raquo IREM de Dijon 18
Soto (1494-1570) enseigna agrave Salamanca 19
Ptoleacutemeacutee enseigna agrave Alexandrie au IIegraveme
siegravecle 20
Astronome grec du IIIegraveme
siegravecle avant Jeacutesus-Christ 21
Matheacutematicien grec du Vegraveme
siegravecle avant Jeacutesus-Christ 22
Copernic (1473-1543) Voir Document IV9
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 7
preacuteconisant et utilisant systeacutematiquement les fractions deacutecimales23
Avec lrsquoimprimerie vont se
reacutepandre les tables de calcul fort utiles sinon indispensables pour reacutesoudre des problegravemes
lorsqursquoon sait que la pratique de la multiplication est encore peu usuelle et celle de la division
presque affaire de speacutecialiste24
Adaptation latine de lrsquoarithmeacutetique
de Gemma Frisius (1553 agrave Paris)
La trigonomeacutetrie outil privileacutegieacute de lrsquoastronomie srsquoest deacuteveloppeacutee non seulement dans les
pays de lrsquoIslam durant le Moyen-Acircge mais sur la fin de celui-ci en Occident Des tables
comparables agrave nos tables de fonctions trigonomeacutetriques vont paraicirctre degraves le deacutebut de
lrsquoimprimerie ainsi la laquo Tabula directionum raquo de Regiomontanus sortie en 148525
Cet auteur
astronome lui-mecircme donna agrave la trigonomeacutetrie une forme indeacutependante de lrsquoastronomie A sa
suite les relations dans les triangles tant plans que spheacuteriques furent mises au point pour
elles-mecircmes26
Lrsquoalgegravebre enrichie de lrsquoapport arabe est mieux assimileacutee et devient au XVIegraveme
siegravecle un outil
feacutecond Tartaglia reacutesout lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute en 153527
et Ferrari28
celle du
quatriegraveme degreacute vers 154529
23
Stevin (1548-1620) fut surtout connu de ses contemporains pour ses travaux de statique et drsquohydrostatique en
particulier au sujet des digues et polders des Pays-Bas 24
Sur toutes ces questions nous renvoyons agrave notre brochure laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon 25
Johann Muumlller (1436-1475) neacute agrave Koumlnigsberg en Baviegravere est deacutesigneacute sous la forme latine de son lieu de
naissance Regiomontanus On trouvera un exemple drsquoune table similaire au Voir Document IV8 26
Les arabes connaissaient sin 2a = 2 sina cosa Crsquoest dans un texte de Viegravete en 1591 qursquoapparaicirct sin3a = 3cos2a
sina - sin3a
27 Crsquoest lui-mecircme qui fixe la date de sa deacutecouverte 1a nuit du 12 au 13 feacutevrier agrave Venise
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 8
En geacuteomeacutetrie lrsquoOccident redeacutecouvre la science des Anciens Les geacuteomeacutetries dites drsquoEuclide
vont ecirctre eacutediteacutees un peu partout en toutes langues au cours du siegravecle30
Avec Albrecht Duumlrer
(1471-1528) apparaissent les premiegraveres veacuteritables eacutepures drsquoune geacuteomeacutetrie de lrsquoespace qui
utilisent la perspective
La Margarita Philosophica (eacutedition de 1508 agrave Bacircle)
On remarquera entremecircleacutees les disciplines du trivium et du quadrivium Voir Document IV3
Crsquoest en 1543 qursquoest eacutediteacute le livre de Copernic qui renverse le vieux systegraveme descriptif du
monde pour laisser place simplificatrice aux calculs astronomiques et coiumlncidence en cette
28
Ferrari eacutelegraveve de Cardan (1522-1565) 29
Pour plus de deacutetails sur lrsquohistorique des eacutequations algeacutebriques voir notre brochure laquo Eacutegale zeacutero raquo 30
Voir au Document IV3 quelques rappels des premiegraveres eacuteditions Toutes les geacuteomeacutetries drsquoEuclide provenaient
de manuscrits plus ou moins complets plus ou moins exacts plus ou moins authentiques Certains comprenaient
des apports posteacuterieurs surtout apregraves la redeacutecouverte de lrsquoœuvre drsquoArchimegravede inconnue au Moyen-Acircge On
trouvera au Document IV10 un exemple classique drsquoune meacutethode introduite par le Syracusien
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9
mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres
pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant
drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme
siegravecle se retrouve
dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par
tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions
de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une
observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la
seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements
forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut
apporter sinon veacuterifier
Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux
Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous
Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur
drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart
des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses
Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par
tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes
eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats
Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)
Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres
scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme
beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10
Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse
son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances
Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux
1 - Concordance drsquoeacutevegravenements
2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo
3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions
4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique
5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
6 - Les mesures franccedilaises
Deux biographies
7 - Leacuteonard de Vinci
8 - Cardan
Suivent
9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic
10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede
11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme
siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin
12 - Et le calcul
13 - Une vieille histoire des maths
Et pour terminer
14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette
eacutepoque
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11
DOCUMENT IV1
XVIEgraveME
SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE
1482
1484
1egravere
eacutedition drsquoEuclide
laquo Arithmeacutetique raquo de
Chuquet
1492 Christophe Colomb
ler voyage vers les
Indes occidentales
1494
Pacioli eacutequation du
2egraveme
degreacute
1500 Vasco de Gama
contourne lrsquoAfrique et
gagne les Indes
orientales
1506
laquo La Joconde raquo
Leacuteonard de Vinci
1510 Duumlrer Perspective et
geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo
Erasme
1515
1516
1517
Franccedilois 1er Roi
Charles Quint
Empereur
Luther Manifeste des
laquo 95 propositions raquo
1530 Collegravege royal (de
France)
1534 Creacuteation de la
Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3
egraveme degreacute
1532 laquo Gargantua raquo
Rabelais
1539
1542
1543
1549
Carte de Mercator
laquo Botanique raquo Fuchs
Copernic laquoDe
Revolutionibus hellip raquo
laquo Deacutefense et illustra-
tion de la langue
franccedilaise raquo Du Bellay
1558 Elizabeth legravere
Reine
drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries
Tartaglia (eacutedition)
1558 Circulation pulmonaire
M Servet
1562 Deacutebut des Guerres de
religion en France
1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede
1582 Reacuteforme greacutegorienne
du calendrier
1580 Palissy eacutemaux
Montaigne laquo Essais raquo
1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible
Armada
1589
Galileacutee Oscillations
du pendule
1598 Eacutedit de Nantes
Toleacuterance des
Reacuteformeacutes
1591
Viegravete eacutecriture
algeacutebrique litteacuterale
1590
1591
Premiegraveres lunettes
laquo Henry VI raquo
Shakespeare
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12
DOCUMENT IV2
laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME
SIECLE
1500 1550 1600
Chuquet
de Vinci 1452
Pacioli
del Ferro 1465
Duumlrer 1471
Bombelli
Rudolff
Tartaglia
Ferrari
Cardan
Recorde
Stifel
Maurolico
Ramus
Clavius
Viegravete
Napier
Stevin
Mersenne
Descartes
Galileacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13
DOCUMENT IV3
QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo
Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la
diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme
siegravecle Elle
est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline
1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique
1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin
Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)
Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)
1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce
1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)
Tolosa Dela arismethica (Delatore)
1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)
1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee
1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)
1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)
1503 Fribourg
Strasbourg
Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)
1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)
1512 Barcelone
Lyon
Suma de arithmetica (Ortega)
1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)
1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31
1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)
1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec
Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)
1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)
Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)
1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia
Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)
1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)
Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)
1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique
1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)
1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)
1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli
1577 Paris De arte magna (Gosselin)
31
Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de
1484 premiegravere algegravebre en franccedilais
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14
1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)
hellip
1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))
Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee
des langues vulgaires
Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15
DOCUMENT IV4
LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE
Crsquoest au cours du XVIegraveme
siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles
matheacutematiques32
ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent
que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M
V (radical) est de Rudolff (1525)
ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b
signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave
lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute
Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme
siegravecle
Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute
est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste
en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum
B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication
Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les
geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas
encore comme nous le faisons
La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on
dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)
135
1
270
2
540
4
1080
8
2160
16
car 21 = 1 + 4+ 16
donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835
Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier
La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres
deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash
Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre
imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au
siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom
32
On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir
eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16
DOCUMENT IV5
LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares
auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations
furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent
tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme
siegravecle)
On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de
lrsquoimprimerie naissante
Le systegraveme latin
Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas
geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690
Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme
siegravecle qursquoau Ier
siegravecle Si M crsquoest mille on imprime
Par suite on trouve
Mais drsquoautres utilisent plus simplement
Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000
voire v pour 5 000 000
Le systegraveme grec
Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33
Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j
drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)
33
Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La
numeacuteration eacutecrite
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17
On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des
essais de latinisation de lrsquooutil grec
ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots
ndash et paraissent des creacuteations
Donc selon les imprimeurs
LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49
uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000
On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip
Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la
numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont
les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec
Un de ces imprimeurs produit
pour
crsquoest-agrave-dire
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 6
Crsquoest ainsi que Jean Buteacuteo10
publie en 1559 une recherche sur la quadrature du cercle qui
revient agrave approcher la valeur de π et que Viegravete11
en 1593 recherche ce mecircme nombre par un
produit infini Le processus de passage agrave la limite se trouve en fin de siegravecle dans des
recherches sur le centre de graviteacute (Luca Valerio12
ou Simon Stevin13
) Ce ne sont peut-ecirctre
que tentatives isoleacutees mais elles existent deacutejagrave en ce siegravecle
Le mouvement la progression des ideacutees en ce domaine est encore plus nette Leacuteonard de
Vinci14
utilise la notion de moment et exploite la notion drsquolaquo impetus raquo due agrave Buridan15
La
notion de polygone de sustentation ressort de ses propres eacutetudes sur le centre de graviteacute Vinci
et plus tard Cardan16
eacutetudient le mouvement drsquoun corps abandonneacute sur un plan inclineacute ce qui
les conduit agrave une sorte de deacutecomposition de la pesanteur (ou plus exactement du poids du
corps) Mais et cela est le fait capital au lieu drsquoexplications qualitatives apparaissent alors
des regravegles quantitatives Dans le mecircme esprit travaillent lrsquoitalien Tartaglia17
et lrsquoespagnol
Soto18
Le systegraveme du monde on sait que degraves lrsquoeacutepoque de la science grecque des savants se
posaient la question est-ce le soleil ou la terre qui tourne lrsquoun autour de lrsquoautre Le systegraveme
geacuteocentrique de Ptoleacutemeacutee19
parut longtemps le plus simple sinon le plus normal Il srsquoaccordait
agrave la doctrine drsquoAristote et donnait en quelque sorte une supeacuterioriteacute agrave lrsquohomme placcedilant la terre
au centre de lrsquounivers Mais au fur et agrave mesure que srsquoaccumulaient les observations il fallait
apporter au systegraveme preacute-eacutetabli des modifications le compliquant agrave lrsquoextrecircme si on deacutesirait
avoir un outil respectant les donneacutees quantitatives de ces observations et non seulement des
explications qualitatives
Le retour agrave un systegraveme heacuteliocentrique comme celui drsquoAristarque de Samos20
voire celui de
Philolaos de Crotone21
eacutetait deacutejagrave proposeacute par Oresme au XIVegraveme
siegravecle Le pas deacutecisif fut
franchi par Nicolas Copernic22
qui regroupa ses observations et preacutesenta son hypothegravese dans
son ouvrage laquo De revolutionibus orbium celestium raquo paru agrave lrsquoheure de sa mort
Mais agrave cocircteacute de ces grands problegravemes il faut penser plus simplement agrave lrsquooutil alors en
gestation dont disposera lrsquohomme de science degraves la fin de ce siegravecle Lrsquooutil crsquoest la langue de
cette science fruit de toute une pratique matheacutematique
Citons-en les principales expressions
Le calcul et son eacutecriture font drsquoeacutenormes progregraves le texte eacutecrit et imprimeacute prenant la place du
discours oral comme moyen de transmission Srsquoimposait ainsi davantage de rigueur et de
concision Crsquoest avec la laquo Disme raquo de Simon Stevin qursquoapparaicirct en 1585 le premier ouvrage
10
J Buteacuteo ou Buteacuteon ou encore Jean Borrel originaire du Dauphineacute eacutecrivit des ouvrages de geacuteomeacutetrie et
drsquoarithmeacutetique Il deacutesignait deacutejagrave les inconnues par des lettres 11
Franccedilois Viegravete (1540-1603) Conseiller de Henry IV est consideacutereacute comme le pegravere de lrsquoalgegravebre moderne car il
a introduit la notion (et lrsquoeacutecriture) de formule geacuteneacuterale 12
Valeacuterio (1552-1618) enseigna les matheacutematiques agrave Rome 13
Stevin (1548-1620) ingeacutenieur et matheacutematicien hollandais Cf note 23 ci-apregraves 14
Vinci (neacute pregraves de Florence 1452 mort agrave Clos Luceacute pregraves drsquoAmboise 1519 voir document IV7 15
Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III 16
Girolamo Cardano (1501-1576) DE Smith 1rsquohistorien des matheacutematiques dit de lui laquo Ce coquin-lagrave eacutetait
parfois un homme deacutepourvu de principes et parfois un geacutenie raquo Il a publieacute enseigneacute et vendu du droit de la
meacutedecine de 1astrologie de la philosophie de 1rsquoalgegravebre et de la physique Cf document IV8 17
Nicolas Tartaglia (1506-1557) autodidacte est peut ecirctre le plus grand matheacutematicien italien de son eacutepoque
Cf notre brochure laquo Glanes raquo IREM de Dijon 18
Soto (1494-1570) enseigna agrave Salamanca 19
Ptoleacutemeacutee enseigna agrave Alexandrie au IIegraveme
siegravecle 20
Astronome grec du IIIegraveme
siegravecle avant Jeacutesus-Christ 21
Matheacutematicien grec du Vegraveme
siegravecle avant Jeacutesus-Christ 22
Copernic (1473-1543) Voir Document IV9
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 7
preacuteconisant et utilisant systeacutematiquement les fractions deacutecimales23
Avec lrsquoimprimerie vont se
reacutepandre les tables de calcul fort utiles sinon indispensables pour reacutesoudre des problegravemes
lorsqursquoon sait que la pratique de la multiplication est encore peu usuelle et celle de la division
presque affaire de speacutecialiste24
Adaptation latine de lrsquoarithmeacutetique
de Gemma Frisius (1553 agrave Paris)
La trigonomeacutetrie outil privileacutegieacute de lrsquoastronomie srsquoest deacuteveloppeacutee non seulement dans les
pays de lrsquoIslam durant le Moyen-Acircge mais sur la fin de celui-ci en Occident Des tables
comparables agrave nos tables de fonctions trigonomeacutetriques vont paraicirctre degraves le deacutebut de
lrsquoimprimerie ainsi la laquo Tabula directionum raquo de Regiomontanus sortie en 148525
Cet auteur
astronome lui-mecircme donna agrave la trigonomeacutetrie une forme indeacutependante de lrsquoastronomie A sa
suite les relations dans les triangles tant plans que spheacuteriques furent mises au point pour
elles-mecircmes26
Lrsquoalgegravebre enrichie de lrsquoapport arabe est mieux assimileacutee et devient au XVIegraveme
siegravecle un outil
feacutecond Tartaglia reacutesout lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute en 153527
et Ferrari28
celle du
quatriegraveme degreacute vers 154529
23
Stevin (1548-1620) fut surtout connu de ses contemporains pour ses travaux de statique et drsquohydrostatique en
particulier au sujet des digues et polders des Pays-Bas 24
Sur toutes ces questions nous renvoyons agrave notre brochure laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon 25
Johann Muumlller (1436-1475) neacute agrave Koumlnigsberg en Baviegravere est deacutesigneacute sous la forme latine de son lieu de
naissance Regiomontanus On trouvera un exemple drsquoune table similaire au Voir Document IV8 26
Les arabes connaissaient sin 2a = 2 sina cosa Crsquoest dans un texte de Viegravete en 1591 qursquoapparaicirct sin3a = 3cos2a
sina - sin3a
27 Crsquoest lui-mecircme qui fixe la date de sa deacutecouverte 1a nuit du 12 au 13 feacutevrier agrave Venise
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 8
En geacuteomeacutetrie lrsquoOccident redeacutecouvre la science des Anciens Les geacuteomeacutetries dites drsquoEuclide
vont ecirctre eacutediteacutees un peu partout en toutes langues au cours du siegravecle30
Avec Albrecht Duumlrer
(1471-1528) apparaissent les premiegraveres veacuteritables eacutepures drsquoune geacuteomeacutetrie de lrsquoespace qui
utilisent la perspective
La Margarita Philosophica (eacutedition de 1508 agrave Bacircle)
On remarquera entremecircleacutees les disciplines du trivium et du quadrivium Voir Document IV3
Crsquoest en 1543 qursquoest eacutediteacute le livre de Copernic qui renverse le vieux systegraveme descriptif du
monde pour laisser place simplificatrice aux calculs astronomiques et coiumlncidence en cette
28
Ferrari eacutelegraveve de Cardan (1522-1565) 29
Pour plus de deacutetails sur lrsquohistorique des eacutequations algeacutebriques voir notre brochure laquo Eacutegale zeacutero raquo 30
Voir au Document IV3 quelques rappels des premiegraveres eacuteditions Toutes les geacuteomeacutetries drsquoEuclide provenaient
de manuscrits plus ou moins complets plus ou moins exacts plus ou moins authentiques Certains comprenaient
des apports posteacuterieurs surtout apregraves la redeacutecouverte de lrsquoœuvre drsquoArchimegravede inconnue au Moyen-Acircge On
trouvera au Document IV10 un exemple classique drsquoune meacutethode introduite par le Syracusien
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9
mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres
pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant
drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme
siegravecle se retrouve
dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par
tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions
de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une
observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la
seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements
forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut
apporter sinon veacuterifier
Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux
Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous
Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur
drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart
des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses
Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par
tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes
eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats
Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)
Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres
scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme
beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10
Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse
son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances
Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux
1 - Concordance drsquoeacutevegravenements
2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo
3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions
4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique
5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
6 - Les mesures franccedilaises
Deux biographies
7 - Leacuteonard de Vinci
8 - Cardan
Suivent
9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic
10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede
11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme
siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin
12 - Et le calcul
13 - Une vieille histoire des maths
Et pour terminer
14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette
eacutepoque
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11
DOCUMENT IV1
XVIEgraveME
SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE
1482
1484
1egravere
eacutedition drsquoEuclide
laquo Arithmeacutetique raquo de
Chuquet
1492 Christophe Colomb
ler voyage vers les
Indes occidentales
1494
Pacioli eacutequation du
2egraveme
degreacute
1500 Vasco de Gama
contourne lrsquoAfrique et
gagne les Indes
orientales
1506
laquo La Joconde raquo
Leacuteonard de Vinci
1510 Duumlrer Perspective et
geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo
Erasme
1515
1516
1517
Franccedilois 1er Roi
Charles Quint
Empereur
Luther Manifeste des
laquo 95 propositions raquo
1530 Collegravege royal (de
France)
1534 Creacuteation de la
Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3
egraveme degreacute
1532 laquo Gargantua raquo
Rabelais
1539
1542
1543
1549
Carte de Mercator
laquo Botanique raquo Fuchs
Copernic laquoDe
Revolutionibus hellip raquo
laquo Deacutefense et illustra-
tion de la langue
franccedilaise raquo Du Bellay
1558 Elizabeth legravere
Reine
drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries
Tartaglia (eacutedition)
1558 Circulation pulmonaire
M Servet
1562 Deacutebut des Guerres de
religion en France
1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede
1582 Reacuteforme greacutegorienne
du calendrier
1580 Palissy eacutemaux
Montaigne laquo Essais raquo
1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible
Armada
1589
Galileacutee Oscillations
du pendule
1598 Eacutedit de Nantes
Toleacuterance des
Reacuteformeacutes
1591
Viegravete eacutecriture
algeacutebrique litteacuterale
1590
1591
Premiegraveres lunettes
laquo Henry VI raquo
Shakespeare
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12
DOCUMENT IV2
laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME
SIECLE
1500 1550 1600
Chuquet
de Vinci 1452
Pacioli
del Ferro 1465
Duumlrer 1471
Bombelli
Rudolff
Tartaglia
Ferrari
Cardan
Recorde
Stifel
Maurolico
Ramus
Clavius
Viegravete
Napier
Stevin
Mersenne
Descartes
Galileacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13
DOCUMENT IV3
QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo
Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la
diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme
siegravecle Elle
est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline
1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique
1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin
Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)
Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)
1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce
1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)
Tolosa Dela arismethica (Delatore)
1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)
1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee
1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)
1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)
1503 Fribourg
Strasbourg
Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)
1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)
1512 Barcelone
Lyon
Suma de arithmetica (Ortega)
1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)
1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31
1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)
1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec
Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)
1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)
Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)
1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia
Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)
1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)
Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)
1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique
1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)
1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)
1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli
1577 Paris De arte magna (Gosselin)
31
Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de
1484 premiegravere algegravebre en franccedilais
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14
1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)
hellip
1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))
Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee
des langues vulgaires
Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15
DOCUMENT IV4
LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE
Crsquoest au cours du XVIegraveme
siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles
matheacutematiques32
ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent
que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M
V (radical) est de Rudolff (1525)
ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b
signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave
lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute
Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme
siegravecle
Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute
est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste
en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum
B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication
Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les
geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas
encore comme nous le faisons
La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on
dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)
135
1
270
2
540
4
1080
8
2160
16
car 21 = 1 + 4+ 16
donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835
Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier
La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres
deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash
Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre
imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au
siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom
32
On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir
eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16
DOCUMENT IV5
LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares
auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations
furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent
tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme
siegravecle)
On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de
lrsquoimprimerie naissante
Le systegraveme latin
Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas
geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690
Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme
siegravecle qursquoau Ier
siegravecle Si M crsquoest mille on imprime
Par suite on trouve
Mais drsquoautres utilisent plus simplement
Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000
voire v pour 5 000 000
Le systegraveme grec
Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33
Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j
drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)
33
Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La
numeacuteration eacutecrite
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17
On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des
essais de latinisation de lrsquooutil grec
ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots
ndash et paraissent des creacuteations
Donc selon les imprimeurs
LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49
uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000
On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip
Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la
numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont
les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec
Un de ces imprimeurs produit
pour
crsquoest-agrave-dire
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 7
preacuteconisant et utilisant systeacutematiquement les fractions deacutecimales23
Avec lrsquoimprimerie vont se
reacutepandre les tables de calcul fort utiles sinon indispensables pour reacutesoudre des problegravemes
lorsqursquoon sait que la pratique de la multiplication est encore peu usuelle et celle de la division
presque affaire de speacutecialiste24
Adaptation latine de lrsquoarithmeacutetique
de Gemma Frisius (1553 agrave Paris)
La trigonomeacutetrie outil privileacutegieacute de lrsquoastronomie srsquoest deacuteveloppeacutee non seulement dans les
pays de lrsquoIslam durant le Moyen-Acircge mais sur la fin de celui-ci en Occident Des tables
comparables agrave nos tables de fonctions trigonomeacutetriques vont paraicirctre degraves le deacutebut de
lrsquoimprimerie ainsi la laquo Tabula directionum raquo de Regiomontanus sortie en 148525
Cet auteur
astronome lui-mecircme donna agrave la trigonomeacutetrie une forme indeacutependante de lrsquoastronomie A sa
suite les relations dans les triangles tant plans que spheacuteriques furent mises au point pour
elles-mecircmes26
Lrsquoalgegravebre enrichie de lrsquoapport arabe est mieux assimileacutee et devient au XVIegraveme
siegravecle un outil
feacutecond Tartaglia reacutesout lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute en 153527
et Ferrari28
celle du
quatriegraveme degreacute vers 154529
23
Stevin (1548-1620) fut surtout connu de ses contemporains pour ses travaux de statique et drsquohydrostatique en
particulier au sujet des digues et polders des Pays-Bas 24
Sur toutes ces questions nous renvoyons agrave notre brochure laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon 25
Johann Muumlller (1436-1475) neacute agrave Koumlnigsberg en Baviegravere est deacutesigneacute sous la forme latine de son lieu de
naissance Regiomontanus On trouvera un exemple drsquoune table similaire au Voir Document IV8 26
Les arabes connaissaient sin 2a = 2 sina cosa Crsquoest dans un texte de Viegravete en 1591 qursquoapparaicirct sin3a = 3cos2a
sina - sin3a
27 Crsquoest lui-mecircme qui fixe la date de sa deacutecouverte 1a nuit du 12 au 13 feacutevrier agrave Venise
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 8
En geacuteomeacutetrie lrsquoOccident redeacutecouvre la science des Anciens Les geacuteomeacutetries dites drsquoEuclide
vont ecirctre eacutediteacutees un peu partout en toutes langues au cours du siegravecle30
Avec Albrecht Duumlrer
(1471-1528) apparaissent les premiegraveres veacuteritables eacutepures drsquoune geacuteomeacutetrie de lrsquoespace qui
utilisent la perspective
La Margarita Philosophica (eacutedition de 1508 agrave Bacircle)
On remarquera entremecircleacutees les disciplines du trivium et du quadrivium Voir Document IV3
Crsquoest en 1543 qursquoest eacutediteacute le livre de Copernic qui renverse le vieux systegraveme descriptif du
monde pour laisser place simplificatrice aux calculs astronomiques et coiumlncidence en cette
28
Ferrari eacutelegraveve de Cardan (1522-1565) 29
Pour plus de deacutetails sur lrsquohistorique des eacutequations algeacutebriques voir notre brochure laquo Eacutegale zeacutero raquo 30
Voir au Document IV3 quelques rappels des premiegraveres eacuteditions Toutes les geacuteomeacutetries drsquoEuclide provenaient
de manuscrits plus ou moins complets plus ou moins exacts plus ou moins authentiques Certains comprenaient
des apports posteacuterieurs surtout apregraves la redeacutecouverte de lrsquoœuvre drsquoArchimegravede inconnue au Moyen-Acircge On
trouvera au Document IV10 un exemple classique drsquoune meacutethode introduite par le Syracusien
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9
mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres
pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant
drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme
siegravecle se retrouve
dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par
tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions
de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une
observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la
seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements
forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut
apporter sinon veacuterifier
Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux
Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous
Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur
drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart
des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses
Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par
tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes
eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats
Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)
Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres
scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme
beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10
Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse
son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances
Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux
1 - Concordance drsquoeacutevegravenements
2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo
3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions
4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique
5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
6 - Les mesures franccedilaises
Deux biographies
7 - Leacuteonard de Vinci
8 - Cardan
Suivent
9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic
10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede
11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme
siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin
12 - Et le calcul
13 - Une vieille histoire des maths
Et pour terminer
14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette
eacutepoque
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11
DOCUMENT IV1
XVIEgraveME
SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE
1482
1484
1egravere
eacutedition drsquoEuclide
laquo Arithmeacutetique raquo de
Chuquet
1492 Christophe Colomb
ler voyage vers les
Indes occidentales
1494
Pacioli eacutequation du
2egraveme
degreacute
1500 Vasco de Gama
contourne lrsquoAfrique et
gagne les Indes
orientales
1506
laquo La Joconde raquo
Leacuteonard de Vinci
1510 Duumlrer Perspective et
geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo
Erasme
1515
1516
1517
Franccedilois 1er Roi
Charles Quint
Empereur
Luther Manifeste des
laquo 95 propositions raquo
1530 Collegravege royal (de
France)
1534 Creacuteation de la
Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3
egraveme degreacute
1532 laquo Gargantua raquo
Rabelais
1539
1542
1543
1549
Carte de Mercator
laquo Botanique raquo Fuchs
Copernic laquoDe
Revolutionibus hellip raquo
laquo Deacutefense et illustra-
tion de la langue
franccedilaise raquo Du Bellay
1558 Elizabeth legravere
Reine
drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries
Tartaglia (eacutedition)
1558 Circulation pulmonaire
M Servet
1562 Deacutebut des Guerres de
religion en France
1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede
1582 Reacuteforme greacutegorienne
du calendrier
1580 Palissy eacutemaux
Montaigne laquo Essais raquo
1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible
Armada
1589
Galileacutee Oscillations
du pendule
1598 Eacutedit de Nantes
Toleacuterance des
Reacuteformeacutes
1591
Viegravete eacutecriture
algeacutebrique litteacuterale
1590
1591
Premiegraveres lunettes
laquo Henry VI raquo
Shakespeare
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12
DOCUMENT IV2
laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME
SIECLE
1500 1550 1600
Chuquet
de Vinci 1452
Pacioli
del Ferro 1465
Duumlrer 1471
Bombelli
Rudolff
Tartaglia
Ferrari
Cardan
Recorde
Stifel
Maurolico
Ramus
Clavius
Viegravete
Napier
Stevin
Mersenne
Descartes
Galileacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13
DOCUMENT IV3
QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo
Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la
diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme
siegravecle Elle
est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline
1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique
1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin
Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)
Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)
1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce
1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)
Tolosa Dela arismethica (Delatore)
1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)
1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee
1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)
1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)
1503 Fribourg
Strasbourg
Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)
1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)
1512 Barcelone
Lyon
Suma de arithmetica (Ortega)
1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)
1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31
1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)
1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec
Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)
1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)
Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)
1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia
Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)
1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)
Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)
1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique
1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)
1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)
1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli
1577 Paris De arte magna (Gosselin)
31
Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de
1484 premiegravere algegravebre en franccedilais
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14
1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)
hellip
1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))
Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee
des langues vulgaires
Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15
DOCUMENT IV4
LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE
Crsquoest au cours du XVIegraveme
siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles
matheacutematiques32
ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent
que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M
V (radical) est de Rudolff (1525)
ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b
signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave
lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute
Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme
siegravecle
Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute
est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste
en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum
B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication
Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les
geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas
encore comme nous le faisons
La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on
dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)
135
1
270
2
540
4
1080
8
2160
16
car 21 = 1 + 4+ 16
donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835
Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier
La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres
deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash
Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre
imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au
siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom
32
On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir
eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16
DOCUMENT IV5
LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares
auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations
furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent
tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme
siegravecle)
On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de
lrsquoimprimerie naissante
Le systegraveme latin
Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas
geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690
Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme
siegravecle qursquoau Ier
siegravecle Si M crsquoest mille on imprime
Par suite on trouve
Mais drsquoautres utilisent plus simplement
Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000
voire v pour 5 000 000
Le systegraveme grec
Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33
Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j
drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)
33
Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La
numeacuteration eacutecrite
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17
On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des
essais de latinisation de lrsquooutil grec
ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots
ndash et paraissent des creacuteations
Donc selon les imprimeurs
LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49
uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000
On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip
Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la
numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont
les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec
Un de ces imprimeurs produit
pour
crsquoest-agrave-dire
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 8
En geacuteomeacutetrie lrsquoOccident redeacutecouvre la science des Anciens Les geacuteomeacutetries dites drsquoEuclide
vont ecirctre eacutediteacutees un peu partout en toutes langues au cours du siegravecle30
Avec Albrecht Duumlrer
(1471-1528) apparaissent les premiegraveres veacuteritables eacutepures drsquoune geacuteomeacutetrie de lrsquoespace qui
utilisent la perspective
La Margarita Philosophica (eacutedition de 1508 agrave Bacircle)
On remarquera entremecircleacutees les disciplines du trivium et du quadrivium Voir Document IV3
Crsquoest en 1543 qursquoest eacutediteacute le livre de Copernic qui renverse le vieux systegraveme descriptif du
monde pour laisser place simplificatrice aux calculs astronomiques et coiumlncidence en cette
28
Ferrari eacutelegraveve de Cardan (1522-1565) 29
Pour plus de deacutetails sur lrsquohistorique des eacutequations algeacutebriques voir notre brochure laquo Eacutegale zeacutero raquo 30
Voir au Document IV3 quelques rappels des premiegraveres eacuteditions Toutes les geacuteomeacutetries drsquoEuclide provenaient
de manuscrits plus ou moins complets plus ou moins exacts plus ou moins authentiques Certains comprenaient
des apports posteacuterieurs surtout apregraves la redeacutecouverte de lrsquoœuvre drsquoArchimegravede inconnue au Moyen-Acircge On
trouvera au Document IV10 un exemple classique drsquoune meacutethode introduite par le Syracusien
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9
mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres
pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant
drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme
siegravecle se retrouve
dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par
tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions
de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une
observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la
seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements
forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut
apporter sinon veacuterifier
Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux
Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous
Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur
drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart
des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses
Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par
tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes
eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats
Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)
Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres
scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme
beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10
Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse
son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances
Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux
1 - Concordance drsquoeacutevegravenements
2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo
3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions
4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique
5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
6 - Les mesures franccedilaises
Deux biographies
7 - Leacuteonard de Vinci
8 - Cardan
Suivent
9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic
10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede
11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme
siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin
12 - Et le calcul
13 - Une vieille histoire des maths
Et pour terminer
14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette
eacutepoque
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11
DOCUMENT IV1
XVIEgraveME
SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE
1482
1484
1egravere
eacutedition drsquoEuclide
laquo Arithmeacutetique raquo de
Chuquet
1492 Christophe Colomb
ler voyage vers les
Indes occidentales
1494
Pacioli eacutequation du
2egraveme
degreacute
1500 Vasco de Gama
contourne lrsquoAfrique et
gagne les Indes
orientales
1506
laquo La Joconde raquo
Leacuteonard de Vinci
1510 Duumlrer Perspective et
geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo
Erasme
1515
1516
1517
Franccedilois 1er Roi
Charles Quint
Empereur
Luther Manifeste des
laquo 95 propositions raquo
1530 Collegravege royal (de
France)
1534 Creacuteation de la
Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3
egraveme degreacute
1532 laquo Gargantua raquo
Rabelais
1539
1542
1543
1549
Carte de Mercator
laquo Botanique raquo Fuchs
Copernic laquoDe
Revolutionibus hellip raquo
laquo Deacutefense et illustra-
tion de la langue
franccedilaise raquo Du Bellay
1558 Elizabeth legravere
Reine
drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries
Tartaglia (eacutedition)
1558 Circulation pulmonaire
M Servet
1562 Deacutebut des Guerres de
religion en France
1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede
1582 Reacuteforme greacutegorienne
du calendrier
1580 Palissy eacutemaux
Montaigne laquo Essais raquo
1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible
Armada
1589
Galileacutee Oscillations
du pendule
1598 Eacutedit de Nantes
Toleacuterance des
Reacuteformeacutes
1591
Viegravete eacutecriture
algeacutebrique litteacuterale
1590
1591
Premiegraveres lunettes
laquo Henry VI raquo
Shakespeare
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12
DOCUMENT IV2
laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME
SIECLE
1500 1550 1600
Chuquet
de Vinci 1452
Pacioli
del Ferro 1465
Duumlrer 1471
Bombelli
Rudolff
Tartaglia
Ferrari
Cardan
Recorde
Stifel
Maurolico
Ramus
Clavius
Viegravete
Napier
Stevin
Mersenne
Descartes
Galileacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13
DOCUMENT IV3
QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo
Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la
diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme
siegravecle Elle
est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline
1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique
1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin
Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)
Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)
1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce
1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)
Tolosa Dela arismethica (Delatore)
1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)
1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee
1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)
1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)
1503 Fribourg
Strasbourg
Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)
1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)
1512 Barcelone
Lyon
Suma de arithmetica (Ortega)
1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)
1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31
1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)
1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec
Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)
1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)
Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)
1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia
Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)
1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)
Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)
1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique
1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)
1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)
1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli
1577 Paris De arte magna (Gosselin)
31
Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de
1484 premiegravere algegravebre en franccedilais
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14
1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)
hellip
1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))
Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee
des langues vulgaires
Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15
DOCUMENT IV4
LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE
Crsquoest au cours du XVIegraveme
siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles
matheacutematiques32
ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent
que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M
V (radical) est de Rudolff (1525)
ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b
signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave
lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute
Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme
siegravecle
Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute
est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste
en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum
B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication
Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les
geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas
encore comme nous le faisons
La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on
dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)
135
1
270
2
540
4
1080
8
2160
16
car 21 = 1 + 4+ 16
donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835
Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier
La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres
deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash
Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre
imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au
siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom
32
On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir
eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16
DOCUMENT IV5
LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares
auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations
furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent
tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme
siegravecle)
On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de
lrsquoimprimerie naissante
Le systegraveme latin
Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas
geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690
Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme
siegravecle qursquoau Ier
siegravecle Si M crsquoest mille on imprime
Par suite on trouve
Mais drsquoautres utilisent plus simplement
Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000
voire v pour 5 000 000
Le systegraveme grec
Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33
Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j
drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)
33
Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La
numeacuteration eacutecrite
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17
On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des
essais de latinisation de lrsquooutil grec
ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots
ndash et paraissent des creacuteations
Donc selon les imprimeurs
LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49
uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000
On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip
Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la
numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont
les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec
Un de ces imprimeurs produit
pour
crsquoest-agrave-dire
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9
mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres
pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant
drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme
siegravecle se retrouve
dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par
tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions
de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une
observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la
seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements
forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut
apporter sinon veacuterifier
Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux
Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous
Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur
drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart
des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses
Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par
tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes
eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats
Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)
Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres
scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme
beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10
Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse
son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances
Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux
1 - Concordance drsquoeacutevegravenements
2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo
3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions
4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique
5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
6 - Les mesures franccedilaises
Deux biographies
7 - Leacuteonard de Vinci
8 - Cardan
Suivent
9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic
10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede
11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme
siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin
12 - Et le calcul
13 - Une vieille histoire des maths
Et pour terminer
14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette
eacutepoque
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11
DOCUMENT IV1
XVIEgraveME
SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE
1482
1484
1egravere
eacutedition drsquoEuclide
laquo Arithmeacutetique raquo de
Chuquet
1492 Christophe Colomb
ler voyage vers les
Indes occidentales
1494
Pacioli eacutequation du
2egraveme
degreacute
1500 Vasco de Gama
contourne lrsquoAfrique et
gagne les Indes
orientales
1506
laquo La Joconde raquo
Leacuteonard de Vinci
1510 Duumlrer Perspective et
geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo
Erasme
1515
1516
1517
Franccedilois 1er Roi
Charles Quint
Empereur
Luther Manifeste des
laquo 95 propositions raquo
1530 Collegravege royal (de
France)
1534 Creacuteation de la
Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3
egraveme degreacute
1532 laquo Gargantua raquo
Rabelais
1539
1542
1543
1549
Carte de Mercator
laquo Botanique raquo Fuchs
Copernic laquoDe
Revolutionibus hellip raquo
laquo Deacutefense et illustra-
tion de la langue
franccedilaise raquo Du Bellay
1558 Elizabeth legravere
Reine
drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries
Tartaglia (eacutedition)
1558 Circulation pulmonaire
M Servet
1562 Deacutebut des Guerres de
religion en France
1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede
1582 Reacuteforme greacutegorienne
du calendrier
1580 Palissy eacutemaux
Montaigne laquo Essais raquo
1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible
Armada
1589
Galileacutee Oscillations
du pendule
1598 Eacutedit de Nantes
Toleacuterance des
Reacuteformeacutes
1591
Viegravete eacutecriture
algeacutebrique litteacuterale
1590
1591
Premiegraveres lunettes
laquo Henry VI raquo
Shakespeare
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12
DOCUMENT IV2
laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME
SIECLE
1500 1550 1600
Chuquet
de Vinci 1452
Pacioli
del Ferro 1465
Duumlrer 1471
Bombelli
Rudolff
Tartaglia
Ferrari
Cardan
Recorde
Stifel
Maurolico
Ramus
Clavius
Viegravete
Napier
Stevin
Mersenne
Descartes
Galileacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13
DOCUMENT IV3
QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo
Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la
diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme
siegravecle Elle
est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline
1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique
1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin
Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)
Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)
1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce
1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)
Tolosa Dela arismethica (Delatore)
1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)
1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee
1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)
1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)
1503 Fribourg
Strasbourg
Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)
1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)
1512 Barcelone
Lyon
Suma de arithmetica (Ortega)
1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)
1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31
1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)
1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec
Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)
1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)
Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)
1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia
Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)
1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)
Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)
1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique
1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)
1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)
1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli
1577 Paris De arte magna (Gosselin)
31
Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de
1484 premiegravere algegravebre en franccedilais
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14
1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)
hellip
1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))
Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee
des langues vulgaires
Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15
DOCUMENT IV4
LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE
Crsquoest au cours du XVIegraveme
siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles
matheacutematiques32
ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent
que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M
V (radical) est de Rudolff (1525)
ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b
signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave
lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute
Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme
siegravecle
Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute
est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste
en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum
B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication
Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les
geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas
encore comme nous le faisons
La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on
dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)
135
1
270
2
540
4
1080
8
2160
16
car 21 = 1 + 4+ 16
donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835
Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier
La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres
deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash
Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre
imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au
siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom
32
On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir
eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16
DOCUMENT IV5
LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares
auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations
furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent
tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme
siegravecle)
On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de
lrsquoimprimerie naissante
Le systegraveme latin
Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas
geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690
Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme
siegravecle qursquoau Ier
siegravecle Si M crsquoest mille on imprime
Par suite on trouve
Mais drsquoautres utilisent plus simplement
Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000
voire v pour 5 000 000
Le systegraveme grec
Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33
Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j
drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)
33
Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La
numeacuteration eacutecrite
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17
On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des
essais de latinisation de lrsquooutil grec
ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots
ndash et paraissent des creacuteations
Donc selon les imprimeurs
LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49
uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000
On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip
Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la
numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont
les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec
Un de ces imprimeurs produit
pour
crsquoest-agrave-dire
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10
Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse
son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances
Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux
1 - Concordance drsquoeacutevegravenements
2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo
3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions
4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique
5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
6 - Les mesures franccedilaises
Deux biographies
7 - Leacuteonard de Vinci
8 - Cardan
Suivent
9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic
10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede
11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme
siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin
12 - Et le calcul
13 - Une vieille histoire des maths
Et pour terminer
14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette
eacutepoque
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11
DOCUMENT IV1
XVIEgraveME
SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE
1482
1484
1egravere
eacutedition drsquoEuclide
laquo Arithmeacutetique raquo de
Chuquet
1492 Christophe Colomb
ler voyage vers les
Indes occidentales
1494
Pacioli eacutequation du
2egraveme
degreacute
1500 Vasco de Gama
contourne lrsquoAfrique et
gagne les Indes
orientales
1506
laquo La Joconde raquo
Leacuteonard de Vinci
1510 Duumlrer Perspective et
geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo
Erasme
1515
1516
1517
Franccedilois 1er Roi
Charles Quint
Empereur
Luther Manifeste des
laquo 95 propositions raquo
1530 Collegravege royal (de
France)
1534 Creacuteation de la
Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3
egraveme degreacute
1532 laquo Gargantua raquo
Rabelais
1539
1542
1543
1549
Carte de Mercator
laquo Botanique raquo Fuchs
Copernic laquoDe
Revolutionibus hellip raquo
laquo Deacutefense et illustra-
tion de la langue
franccedilaise raquo Du Bellay
1558 Elizabeth legravere
Reine
drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries
Tartaglia (eacutedition)
1558 Circulation pulmonaire
M Servet
1562 Deacutebut des Guerres de
religion en France
1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede
1582 Reacuteforme greacutegorienne
du calendrier
1580 Palissy eacutemaux
Montaigne laquo Essais raquo
1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible
Armada
1589
Galileacutee Oscillations
du pendule
1598 Eacutedit de Nantes
Toleacuterance des
Reacuteformeacutes
1591
Viegravete eacutecriture
algeacutebrique litteacuterale
1590
1591
Premiegraveres lunettes
laquo Henry VI raquo
Shakespeare
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12
DOCUMENT IV2
laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME
SIECLE
1500 1550 1600
Chuquet
de Vinci 1452
Pacioli
del Ferro 1465
Duumlrer 1471
Bombelli
Rudolff
Tartaglia
Ferrari
Cardan
Recorde
Stifel
Maurolico
Ramus
Clavius
Viegravete
Napier
Stevin
Mersenne
Descartes
Galileacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13
DOCUMENT IV3
QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo
Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la
diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme
siegravecle Elle
est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline
1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique
1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin
Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)
Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)
1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce
1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)
Tolosa Dela arismethica (Delatore)
1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)
1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee
1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)
1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)
1503 Fribourg
Strasbourg
Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)
1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)
1512 Barcelone
Lyon
Suma de arithmetica (Ortega)
1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)
1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31
1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)
1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec
Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)
1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)
Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)
1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia
Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)
1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)
Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)
1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique
1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)
1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)
1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli
1577 Paris De arte magna (Gosselin)
31
Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de
1484 premiegravere algegravebre en franccedilais
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14
1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)
hellip
1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))
Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee
des langues vulgaires
Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15
DOCUMENT IV4
LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE
Crsquoest au cours du XVIegraveme
siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles
matheacutematiques32
ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent
que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M
V (radical) est de Rudolff (1525)
ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b
signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave
lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute
Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme
siegravecle
Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute
est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste
en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum
B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication
Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les
geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas
encore comme nous le faisons
La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on
dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)
135
1
270
2
540
4
1080
8
2160
16
car 21 = 1 + 4+ 16
donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835
Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier
La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres
deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash
Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre
imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au
siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom
32
On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir
eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16
DOCUMENT IV5
LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares
auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations
furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent
tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme
siegravecle)
On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de
lrsquoimprimerie naissante
Le systegraveme latin
Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas
geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690
Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme
siegravecle qursquoau Ier
siegravecle Si M crsquoest mille on imprime
Par suite on trouve
Mais drsquoautres utilisent plus simplement
Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000
voire v pour 5 000 000
Le systegraveme grec
Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33
Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j
drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)
33
Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La
numeacuteration eacutecrite
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17
On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des
essais de latinisation de lrsquooutil grec
ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots
ndash et paraissent des creacuteations
Donc selon les imprimeurs
LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49
uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000
On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip
Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la
numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont
les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec
Un de ces imprimeurs produit
pour
crsquoest-agrave-dire
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11
DOCUMENT IV1
XVIEgraveME
SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE
1482
1484
1egravere
eacutedition drsquoEuclide
laquo Arithmeacutetique raquo de
Chuquet
1492 Christophe Colomb
ler voyage vers les
Indes occidentales
1494
Pacioli eacutequation du
2egraveme
degreacute
1500 Vasco de Gama
contourne lrsquoAfrique et
gagne les Indes
orientales
1506
laquo La Joconde raquo
Leacuteonard de Vinci
1510 Duumlrer Perspective et
geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo
Erasme
1515
1516
1517
Franccedilois 1er Roi
Charles Quint
Empereur
Luther Manifeste des
laquo 95 propositions raquo
1530 Collegravege royal (de
France)
1534 Creacuteation de la
Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3
egraveme degreacute
1532 laquo Gargantua raquo
Rabelais
1539
1542
1543
1549
Carte de Mercator
laquo Botanique raquo Fuchs
Copernic laquoDe
Revolutionibus hellip raquo
laquo Deacutefense et illustra-
tion de la langue
franccedilaise raquo Du Bellay
1558 Elizabeth legravere
Reine
drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries
Tartaglia (eacutedition)
1558 Circulation pulmonaire
M Servet
1562 Deacutebut des Guerres de
religion en France
1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede
1582 Reacuteforme greacutegorienne
du calendrier
1580 Palissy eacutemaux
Montaigne laquo Essais raquo
1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible
Armada
1589
Galileacutee Oscillations
du pendule
1598 Eacutedit de Nantes
Toleacuterance des
Reacuteformeacutes
1591
Viegravete eacutecriture
algeacutebrique litteacuterale
1590
1591
Premiegraveres lunettes
laquo Henry VI raquo
Shakespeare
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12
DOCUMENT IV2
laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME
SIECLE
1500 1550 1600
Chuquet
de Vinci 1452
Pacioli
del Ferro 1465
Duumlrer 1471
Bombelli
Rudolff
Tartaglia
Ferrari
Cardan
Recorde
Stifel
Maurolico
Ramus
Clavius
Viegravete
Napier
Stevin
Mersenne
Descartes
Galileacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13
DOCUMENT IV3
QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo
Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la
diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme
siegravecle Elle
est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline
1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique
1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin
Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)
Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)
1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce
1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)
Tolosa Dela arismethica (Delatore)
1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)
1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee
1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)
1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)
1503 Fribourg
Strasbourg
Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)
1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)
1512 Barcelone
Lyon
Suma de arithmetica (Ortega)
1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)
1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31
1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)
1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec
Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)
1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)
Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)
1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia
Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)
1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)
Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)
1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique
1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)
1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)
1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli
1577 Paris De arte magna (Gosselin)
31
Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de
1484 premiegravere algegravebre en franccedilais
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14
1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)
hellip
1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))
Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee
des langues vulgaires
Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15
DOCUMENT IV4
LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE
Crsquoest au cours du XVIegraveme
siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles
matheacutematiques32
ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent
que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M
V (radical) est de Rudolff (1525)
ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b
signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave
lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute
Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme
siegravecle
Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute
est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste
en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum
B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication
Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les
geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas
encore comme nous le faisons
La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on
dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)
135
1
270
2
540
4
1080
8
2160
16
car 21 = 1 + 4+ 16
donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835
Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier
La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres
deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash
Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre
imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au
siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom
32
On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir
eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16
DOCUMENT IV5
LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares
auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations
furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent
tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme
siegravecle)
On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de
lrsquoimprimerie naissante
Le systegraveme latin
Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas
geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690
Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme
siegravecle qursquoau Ier
siegravecle Si M crsquoest mille on imprime
Par suite on trouve
Mais drsquoautres utilisent plus simplement
Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000
voire v pour 5 000 000
Le systegraveme grec
Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33
Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j
drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)
33
Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La
numeacuteration eacutecrite
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17
On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des
essais de latinisation de lrsquooutil grec
ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots
ndash et paraissent des creacuteations
Donc selon les imprimeurs
LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49
uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000
On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip
Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la
numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont
les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec
Un de ces imprimeurs produit
pour
crsquoest-agrave-dire
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12
DOCUMENT IV2
laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME
SIECLE
1500 1550 1600
Chuquet
de Vinci 1452
Pacioli
del Ferro 1465
Duumlrer 1471
Bombelli
Rudolff
Tartaglia
Ferrari
Cardan
Recorde
Stifel
Maurolico
Ramus
Clavius
Viegravete
Napier
Stevin
Mersenne
Descartes
Galileacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13
DOCUMENT IV3
QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo
Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la
diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme
siegravecle Elle
est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline
1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique
1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin
Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)
Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)
1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce
1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)
Tolosa Dela arismethica (Delatore)
1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)
1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee
1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)
1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)
1503 Fribourg
Strasbourg
Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)
1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)
1512 Barcelone
Lyon
Suma de arithmetica (Ortega)
1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)
1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31
1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)
1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec
Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)
1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)
Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)
1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia
Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)
1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)
Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)
1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique
1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)
1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)
1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli
1577 Paris De arte magna (Gosselin)
31
Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de
1484 premiegravere algegravebre en franccedilais
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14
1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)
hellip
1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))
Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee
des langues vulgaires
Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15
DOCUMENT IV4
LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE
Crsquoest au cours du XVIegraveme
siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles
matheacutematiques32
ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent
que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M
V (radical) est de Rudolff (1525)
ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b
signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave
lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute
Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme
siegravecle
Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute
est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste
en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum
B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication
Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les
geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas
encore comme nous le faisons
La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on
dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)
135
1
270
2
540
4
1080
8
2160
16
car 21 = 1 + 4+ 16
donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835
Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier
La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres
deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash
Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre
imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au
siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom
32
On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir
eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16
DOCUMENT IV5
LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares
auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations
furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent
tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme
siegravecle)
On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de
lrsquoimprimerie naissante
Le systegraveme latin
Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas
geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690
Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme
siegravecle qursquoau Ier
siegravecle Si M crsquoest mille on imprime
Par suite on trouve
Mais drsquoautres utilisent plus simplement
Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000
voire v pour 5 000 000
Le systegraveme grec
Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33
Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j
drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)
33
Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La
numeacuteration eacutecrite
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17
On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des
essais de latinisation de lrsquooutil grec
ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots
ndash et paraissent des creacuteations
Donc selon les imprimeurs
LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49
uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000
On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip
Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la
numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont
les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec
Un de ces imprimeurs produit
pour
crsquoest-agrave-dire
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13
DOCUMENT IV3
QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo
Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la
diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme
siegravecle Elle
est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline
1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique
1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin
Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)
Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)
1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce
1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)
Tolosa Dela arismethica (Delatore)
1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)
1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee
1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)
1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)
1503 Fribourg
Strasbourg
Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)
1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)
1512 Barcelone
Lyon
Suma de arithmetica (Ortega)
1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)
1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31
1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)
1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec
Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)
1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)
Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)
1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia
Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)
1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)
Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)
1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique
1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)
1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)
1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli
1577 Paris De arte magna (Gosselin)
31
Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de
1484 premiegravere algegravebre en franccedilais
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14
1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)
hellip
1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))
Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee
des langues vulgaires
Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15
DOCUMENT IV4
LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE
Crsquoest au cours du XVIegraveme
siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles
matheacutematiques32
ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent
que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M
V (radical) est de Rudolff (1525)
ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b
signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave
lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute
Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme
siegravecle
Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute
est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste
en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum
B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication
Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les
geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas
encore comme nous le faisons
La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on
dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)
135
1
270
2
540
4
1080
8
2160
16
car 21 = 1 + 4+ 16
donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835
Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier
La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres
deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash
Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre
imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au
siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom
32
On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir
eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16
DOCUMENT IV5
LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares
auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations
furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent
tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme
siegravecle)
On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de
lrsquoimprimerie naissante
Le systegraveme latin
Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas
geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690
Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme
siegravecle qursquoau Ier
siegravecle Si M crsquoest mille on imprime
Par suite on trouve
Mais drsquoautres utilisent plus simplement
Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000
voire v pour 5 000 000
Le systegraveme grec
Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33
Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j
drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)
33
Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La
numeacuteration eacutecrite
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17
On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des
essais de latinisation de lrsquooutil grec
ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots
ndash et paraissent des creacuteations
Donc selon les imprimeurs
LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49
uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000
On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip
Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la
numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont
les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec
Un de ces imprimeurs produit
pour
crsquoest-agrave-dire
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14
1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)
hellip
1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))
Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee
des langues vulgaires
Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15
DOCUMENT IV4
LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE
Crsquoest au cours du XVIegraveme
siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles
matheacutematiques32
ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent
que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M
V (radical) est de Rudolff (1525)
ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b
signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave
lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute
Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme
siegravecle
Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute
est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste
en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum
B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication
Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les
geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas
encore comme nous le faisons
La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on
dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)
135
1
270
2
540
4
1080
8
2160
16
car 21 = 1 + 4+ 16
donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835
Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier
La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres
deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash
Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre
imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au
siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom
32
On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir
eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16
DOCUMENT IV5
LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares
auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations
furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent
tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme
siegravecle)
On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de
lrsquoimprimerie naissante
Le systegraveme latin
Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas
geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690
Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme
siegravecle qursquoau Ier
siegravecle Si M crsquoest mille on imprime
Par suite on trouve
Mais drsquoautres utilisent plus simplement
Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000
voire v pour 5 000 000
Le systegraveme grec
Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33
Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j
drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)
33
Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La
numeacuteration eacutecrite
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17
On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des
essais de latinisation de lrsquooutil grec
ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots
ndash et paraissent des creacuteations
Donc selon les imprimeurs
LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49
uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000
On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip
Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la
numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont
les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec
Un de ces imprimeurs produit
pour
crsquoest-agrave-dire
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15
DOCUMENT IV4
LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE
Crsquoest au cours du XVIegraveme
siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles
matheacutematiques32
ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent
que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M
V (radical) est de Rudolff (1525)
ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b
signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave
lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute
Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme
siegravecle
Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute
est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste
en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum
B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication
Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les
geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas
encore comme nous le faisons
La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on
dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)
135
1
270
2
540
4
1080
8
2160
16
car 21 = 1 + 4+ 16
donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835
Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier
La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres
deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash
Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre
imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au
siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom
32
On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir
eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16
DOCUMENT IV5
LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares
auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations
furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent
tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme
siegravecle)
On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de
lrsquoimprimerie naissante
Le systegraveme latin
Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas
geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690
Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme
siegravecle qursquoau Ier
siegravecle Si M crsquoest mille on imprime
Par suite on trouve
Mais drsquoautres utilisent plus simplement
Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000
voire v pour 5 000 000
Le systegraveme grec
Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33
Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j
drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)
33
Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La
numeacuteration eacutecrite
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17
On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des
essais de latinisation de lrsquooutil grec
ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots
ndash et paraissent des creacuteations
Donc selon les imprimeurs
LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49
uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000
On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip
Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la
numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont
les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec
Un de ces imprimeurs produit
pour
crsquoest-agrave-dire
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16
DOCUMENT IV5
LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares
auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations
furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent
tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme
siegravecle)
On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de
lrsquoimprimerie naissante
Le systegraveme latin
Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas
geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690
Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme
siegravecle qursquoau Ier
siegravecle Si M crsquoest mille on imprime
Par suite on trouve
Mais drsquoautres utilisent plus simplement
Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000
voire v pour 5 000 000
Le systegraveme grec
Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33
Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j
drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)
33
Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La
numeacuteration eacutecrite
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17
On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des
essais de latinisation de lrsquooutil grec
ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots
ndash et paraissent des creacuteations
Donc selon les imprimeurs
LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49
uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000
On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip
Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la
numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont
les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec
Un de ces imprimeurs produit
pour
crsquoest-agrave-dire
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17
On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des
essais de latinisation de lrsquooutil grec
ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots
ndash et paraissent des creacuteations
Donc selon les imprimeurs
LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49
uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000
On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip
Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la
numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont
les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec
Un de ces imprimeurs produit
pour
crsquoest-agrave-dire
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18
DOCUMENT IV6
QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE
On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il
preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme
siegravecle crsquoest toute une eacutevolution
qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre
travail
Les poids
La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34
La planche ci-jointe
extraite drsquoun ouvrage du
XVIegraveme
siegravecle figure les
poids utiliseacutes
On trouve donc des petites
plaques (en geacuteneacuteral en
laiton) pour les grains Le
Marc se preacutesente sous
forme drsquoune boite (L)
laquelle enferme des
godets emboicirctables E F
G H J K et un couvercle
D Le tout pegravese 8 onces
On constatera que le jeu
de ces divers laquo poids raquo
permet les eacutevaluations de
grain en grain jusqursquoagrave la
demi-livre
Par ailleurs 100 livres
valent un quintal (ou
quinte)
Si lrsquoon ajoute seulement
que par exemple agrave Paris
la livre de soie nrsquoa que 15
onces on comprendra qursquoil
vaut mieux ne pas
chercher agrave entrer dans le
jeu des exceptions et des
privilegraveges des corpora-
tions hellip
Les longueurs
Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points
Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35
Mais que vaut le pied
34
Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19
La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied
dans le royaume
Pour les eacutetoffes par exemple
il y avait lrsquoaune (119 m) On
usait aussi de la coudeacutee de la
palme (largeur de la main) ou
de lrsquoempan (9 pouces) etc
Les aires
Question De combien le pied
carreacute de Macirccon excegravede-t-il le
pied carreacute de Dijon 36
La
perche (de Paris) valait 9 toises
carreacutees soit un carreacute de 18
pieds de cocircteacute
Lrsquoarpent (de Paris) valait 100
perches Mais la perche des
eaux et forecircts eacutetait un carreacute de
22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait
un acre et demi pour faire une
perche
Les volumes
Il y a le pied cube le pouce
cube
Mais les laquo vinotiers raquo servent
la chopine et la pinte (2
chopines) et ont en cave le
muid (300 pintes)37
Les grains srsquoeacutevaluent en muids
ou en setiers ou en boisseaux
(12 setiers)
Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies
Les monnaies
Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des
monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme
siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms
en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France
circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs
des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent
pittoresques aux origines multiples
Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs
35
Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36
Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37
Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20
La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece
que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers
drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre
Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece
drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus
drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30
sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu
drsquoor vaut 10 livres
Pile
et
Croix
drsquoun denier drsquoargent
de Louis VI
(deacutebut XIIegraveme
siegravecle)
Eacutecu drsquoor
Philippe VI
(milieu XIVegraveme
siegravecle)
En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne
savent que mal compter mais
eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des
piegraveces de monnaie Montaigne lui-
mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni
agrave ject ni agrave plume raquo38
Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas
seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient
les laquo rogneurs raquo
Testons en argent (10 sols)
Franccedilois ler
(XVIegraveme
siegravecle)
du Dauphineacute
(fleur de lys et
dauphins)
38
Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet
instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de
Jourdain agrave Argan en passant par Dorante
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21
On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait
eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain
surtout lorsque les laquo faces raquo
apparurent (Louis XII) car apregraves leur
mort il fallait attendre que fut precirct le
laquo coin raquo officiel du successeur
et de Bretagne (eacutecu et hermines)
En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze
crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre
treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de
douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant
du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps
drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22
DOCUMENT IV7
UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI
laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais
quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires
de lrsquohumaniteacute
En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle
est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort
disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et
la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de
travail
On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon
saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le
lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes
En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci
on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures
celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont
accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que
toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine
aristoteacutelicienne en vigueur
Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition
comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens
voire de la tradition eccleacutesiale
Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps
Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put
les mettre en forme il ne publia jamais
Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les
laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement
peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant
civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les
peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie
et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques
Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de
ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France
agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves
drsquoAmboise
Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre
Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre
passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de
peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip
On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-
marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des
ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans
conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut
connaissancehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23
DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI
Figure 1
Pour accompagner une eacutetude de
balistique
Selon la vitesse initiale la
trajectoire et donc le point de
chute du boulet seront diffeacuterents
On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de
Leacuteonard de Vinci Le long de la
trajectoire ascendante il faut lire
FbSNkp
Figure 2
Projet drsquoengrenages
Doit-on eacutevoquer un dispositif de
changement de vitesse
Figure 3
Un systegraveme de suspension qui
nrsquoest pas sans faire penser agrave
Cardan
Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses
eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme
siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation
des figures raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24
Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on
deacutemontre que les faces si elles ont la
mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir
mecircmes dimensions car leur nombre
deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)
Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour
montrer une illusion drsquooptique et faire
croire agrave la reacutegulariteacute
Mecircme remarque pour le polyegravedre
laquo eacutetoileacute raquo
On admirera la maicirctrise de la figuration
de lrsquoespace
Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le
premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese
des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes
Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles
sur une branche)
Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf
reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci
ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites
concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui
est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39
laquo Tout
mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo
ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que
lrsquoair oppose de force au corps raquo
ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au
mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute
ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol
ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo
Depuis le deacutebut du XXegraveme
siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de
recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la
valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique
39
Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25
DOCUMENT Ndeg8
UN CURIEUX PERSONNAGE
On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo
Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la
vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il
enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme
astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On
parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est
de Tartaglia40
On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers
de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41
qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes
Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous
proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage
ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue
E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip
ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau
ardente raquo dans les meilleures conditions
40
Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave
force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne
la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41
Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de
lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26
ndash Une table de sinus
Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le
laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante
bull arc AB
bull sinus droit BC
bull sinus verse CA
Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre
commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus
verse mesure 1800 et pour 45deg 2546
La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3
- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement
drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit
observation meacutedicalehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27
ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie
ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour
finir Lutegravecehellip
hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle
est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance
Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la
(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans
cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse
Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse
de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois
intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo
Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28
Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip
Il srsquoagit des proprieacuteteacutes
suivantes
ndash la somme des angles drsquoun
polygone de n cocircteacutes
l droit x 2n moins 4 droits soit
2(n-2) droits
ndash la formule de lrsquoaire drsquoun
triangle dont les cocircteacutes
mesurent a b et c
(2p = a + b + c)
Aire = 2
1p (p-a) (p-b) (p-c)
ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute
crsquoest sa diagonale
Si c est le cocircteacute cd
c
c
cd
ndash Dans un pentagone reacutegulier
ABCDE AF eacutetant la
bissectrice de lrsquoangle DAB
(droite ayant milieu) on a
AB
FB
DB
DF
puisque les triangles DAB et
AFB sont semblables et
isocegraveles DF = FA = AB
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29
DOCUMENT IV9
Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE
On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en
particulier chez les peuples slaves
Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute
drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de
textes latins
Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de
renseignements sur les matheacutematiques42
La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au
moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont
seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43
Mais lagrave encore les
conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme
siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques
Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs
utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme
greacutegorienne en Occident au XVIegraveme
siegravecle ne rendit pas caduques44
Il faut ici rappeler que
Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le
proceacutedeacute populaire grec45
On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme
siegravecle) qui fit montre
drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur
le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de
particules indivisibles
42
Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En
eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme
siegravecle et semble
ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi
nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le
Moyen-Acircge raquo III 43
Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie
qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens
drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les
planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement
reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur
invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque
mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute
de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme
siegravecle
Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de
Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait
lrsquoardent deacutefenseur 44
La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la
date de Pacircques 45
Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme
siegravecle des symboles indous On pourra consulter
notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30
laquo De revolutionibus raquo de Copernic
(exemplaire de la 2egraveme
eacutedition - Bacircle 1566)
Des signes du Zodiaque
(dans un manuscrit slave du XIegraveme
siegravecle)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31
DOCUMENT IV10
LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE
Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de
ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse
En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux
scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les
matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral
de leur histoire
Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique
mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3
4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave
3
4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -
3
4 et
3
4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites
qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3
4 Crsquoest la meacutethode dite
drsquoexhaustion
Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en
T
Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement
tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI
du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)
[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par
Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la
meacutecanique ou de la notion de barycentre]
Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs
dans le rapport2
1)
Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure
aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite
DJ = 2
1aJ =
4
1TC =
4
1CI
et Aire triangle (DAC) = 4
1Aire triangle (TAC)=
4
1 Aire triangle (CAI)
D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme
Aire triangle (D1CB) = 4
1Aire triangle (CIB)
On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B
dont 1rsquoaire est eacutegale agrave
S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)
= S0 + 4
1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +
4
1S0]
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32
En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun
polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED
avec
Aire triangle (AED) = 4
1Aire triangle (ADC) =
2
4
1
Aire triangle (ACI)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33
Par suite S2 = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0
En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de
polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de
raison4
1
Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46
Soit Sn = S0 + 4
1S0 +
2
4
1
S0 + helliphellip +
1n
4
1
S0 +
n
4
1
S0
mais
4
1Sn =
4
1S0 +
2
4
1
S0 +
3
4
1
S0 + helliphellip +
n
4
1
S0 +
1n
4
1
S0
par soustraction membre agrave membre
4
3Sn = S0 -
1n
4
1
S0
Lorsque n augmente indeacutefiniment
1n
4
1
a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S
Donc 4
3S = S0
ou S = 4
3S0
Aire du segment de parabole eacutegale 3
4 Aire du triangle (ACB)
ou 3
2 Aire du triangle (TAB)
46
Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34
DOCUMENT IV11
EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME
SIEgraveCLE
Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes
Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala
vulgo dicitur raquo
Son auteur Guillaume Gosselin de Caen
Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des
meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet
Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave
peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees
Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se
substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet
auteur ne faisait pas
Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo
M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)
est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L
I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif
Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun
confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France
agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]
Si tu retranches M2L (-2x) de P10L
(+10x) le reste sera P12L (+12x) En
cela Buteacuteo se trompe qui retranchant
M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est
P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10
(+10) Nous avons fait deacutemonstration
de cela dans nos chapitres
drsquoarithmeacutetique
Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi
Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes
un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee
du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L
(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste
sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en
retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste
M4 (-4)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35
II - Un problegraveme avec trois inconnues
Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D
Partageons 100 en trois parts telles que
la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple
de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la
deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere
Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave
100 (A + B + D = 100) et comme le dit la
partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =
3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B
posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et
ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la
derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A
alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere
part 20 La deuxiegraveme part sera donc
100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55
III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux
inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations
(enlever ajouter)
Cherchons trois nombres tels que le
premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le
troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le
troisiegraveme le premier de 30 le premier et
le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40
Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q
alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q
-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme
deacutepassent le premier de 30 par lagrave
1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =
L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et
ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit
1q25 (q = 25) Alors soit le premier
comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le
troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5
Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent
le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux
agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent
60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier
est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5
cest-agrave-dire 35
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36
IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute
Partager 12 en deux parts telles que le
carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54
Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML
Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave
12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en
ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale
54PL puis retranchant 12 il reste 42PL
eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation
relegraveve de notre regravegle de reacutesolution
Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1
soit 4
1 agrave 42 on obtient
4
169 dont la
racine est 2
13 ajoutons
2
1 moitieacute de 1
coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue
cocircteacute du carreacute) on trouve 2
14crsquoest-agrave-dire 7
qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous
retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12
lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a
bien 49 et 5 font 54
La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante
la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a
2
b2
+
2
b
(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des
eacutequations du second degreacute)
V - Un autre problegraveme du second degreacute
La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut
lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout
que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo
La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue
mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37
Partageons 20 en deux carreacutes dont
chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre
donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la
seconde sera 20M1Q multiplions les
racines de celles-ci soit LV20QM1QQ
eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au
carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ
aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ
Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la
troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci
tu auras 4 et 16 pour valeur des
inconnues lesquelles sont des carreacutes
Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4
lrsquoautre 16 dont le produit des racines
donne bien 8
Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la
bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38
DOCUMENT IV12
ET LE CALCUL
Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques
au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait
toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement
LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave
calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir
la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la
vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave
lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam
La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge
Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees
dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher
les justificationshellip
Addition
Maximus Planudes au XIVegraveme
siegravecle eacutecrit en
suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes
(517 + 243)
(on commence par la gauche)
76
750
517
243
Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme
siegravecle
(255 + 376)
(on commence agrave droite)
255
376
11
12
5___
631
Soustraction
Encore Planudes (3517 - 848)
2669
3517
848
111
Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)
Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)
citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave
le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette
opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume
On voit de suite le rocircle de la duplication dans
la premiegravere forme de multiplication (Stifel et
maints ouvrages du XVIegraveme
siegravecle) (19 x 23)
1
2
16
23
46
368
92
184
(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39
La meacutediation apparaicirct dans une seconde
meacutethode
(41 x 49)
(ab = 2a
2
1b+ a)
41
20
10
5
2
1
49
392
1568
98
196
784
2009
Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478
on trouve la multiplication sous la forme
suivante
(934 x 314)
On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre
Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela
devient
934
314
puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802
0934
3736
293276
Notre disposition en deacutecoule
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40
Division
Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de
partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il
srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip
Fibonacci (XIIIegraveme
siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier
nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le
sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire
que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme
siegravecle Leibniz
srsquoen servait
Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme
siegravecle
Il srsquoagit de diviser 181582 par 518
(On notera les graphies du 5 et du 8)
On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815
On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3
puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on
retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on
barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)
de 285 il reste 261 on barre et on
recommence avec 518 en dessous de
268 etchellip
On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip
Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41
DOCUMENT IV13
DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip
Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47
fait meacutemoire des
laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces
pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre
47
Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme
siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42
On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui
permettaient
Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous
eacutetonnent
Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300
Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme
siegravecle)
Timosthene Deacutemosthegravene
ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo
Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme
siegravecle Boegravece VIegraveme
siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut
geacuteneacuteral des dominicains en 1222
Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme
siegravecle
Begravede VIIIegraveme
siegravecle
La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre
temps raquo
ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo
Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme
siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme
siegravecle
Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une
eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique
de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43
DOCUMENT IV14
PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo
Reacutetrospective
Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de
preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit
Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale
drsquoAuxerre
Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il
ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que
celui-ci srsquoimagine
laquo Dedans Paris ville jolie
un jour passant meacutelancolie raquo 48
en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand
salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot
Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays
48
Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44
Premier teacutemoin un incunable
Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait
sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute
Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49
en tant que traducteur drsquoune
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que
drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge
On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs
Dans un triangle qui a un angle droit que
nous appellerons rectangle le carreacute
construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit
est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les
cocircteacutes de lrsquoangle droit
Suit la figure les angles ne sont pas tous
droitshellip les carreacutes non plus Les droites
accessoires rappellent certes la
deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)
mais celle-ci ne figure pas (est-elle
perdue )
Sans doute le dessinateur et le graveur ne
savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo
nrsquoeacutetait pas exigeant
Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico
50
49
Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth
Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50
Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45
Il est seulement dit
Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant
agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc
154
Et crsquoest tout pour le cercle
On remarquera aussi combien
lrsquoeacutecriture des nombres est peu
assureacutee
Le texte sur les calculs relatifs au
triangle isocegravele parle de la mesure
des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La
mesure de la base quatorze
(quatuordecim) et la demi-base
(medietas basis) 7 La hauteur
(cathetum) mesure XXIIII
On utilise le theacuteoregraveme de la
geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )
XXV au carreacute DCXXV
moins XLVIIII
crsquoest D76
Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168
Mais on lira la figure
un cocircteacute 25 lrsquoautre 52
comme la hauteur 42
et lrsquoaire CLX8hellip
(inversion des caractegraveres)
Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84
(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46
1506 - Carolus Bovillus
Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de
matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci
Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa
deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo
Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence
Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux
perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles
eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec
des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip
Il termine
laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo
Et ita deincepshellip
Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on
le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47
Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits
dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des
diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne
et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4
(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le
reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =
334 656
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48
Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le
public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi
trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient
Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne
Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup
couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles
agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait
Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme
garantie
51
Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee
appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave
Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en
grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des
deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces
theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide
meacutemoire de qualiteacute
51
Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler
ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme
siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue
ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de
compilations
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49
Des deacutefinitions
Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere
aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle
Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes
trapegraveze hellip
Un theacuteoregraveme
Le theacuteoregraveme de Pythagore
On remarquera la numeacuteration litteacuterale
grecque52
λ = 30 β = 2 λ β = 32
δ = 4 λδ = 34
μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47
Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des
figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en
fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel
Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants
voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre
avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors
des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de
meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele
se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme
siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de
lrsquoenseignement primaire
Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon
natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en
Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53
On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)
Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue
algeacutebrique naicirct
52
Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53
Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque
Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
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Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
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planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50
laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute
laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant
agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54
On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170
draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait
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Second degreacute
54
On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon
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Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51
Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de
lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie
voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles
eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52
Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et
geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des
ouvrages contemporains des preacuteceacutedents
En franccedilais dans un
ouvrage de 1556
consacreacute aux
poissonshellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53
Dans un autre
laquo De natura
aquatica raquo en
latin de 1558
De la laquo Margarita
philosophica raquo une
encyclopeacutedie de poche
(format 21x15) cette
planche drsquoanatomie hellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54
hellip et cette explication des eacuteclipses
On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques
Le texte est en latin
Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle
Mais ceci est une autre histoirehellip
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