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7/23/2019 A 1 IntroductionPPT
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A-1
Introduction à la méthode
des éléments finis
SYS 865b H 2014
7/23/2019 A 1 IntroductionPPT
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1. Contexte
2. Méthode des éléments finis
• Principes
• Discrétisation• Interpolation
• Formulation des matrices élémentaires par les équations d’équilibre
• Équations d’équilibre des nœuds
• Formulation des matrices élémentaire
• Assemblage de la matrice globale
• Application des conditions aux limites
• Résolution des équations pour les valeurs nodales : déplacements etc..
• Détermination des contraintes et réactions dans les éléments
• Autres méthodes de formulation des matrices élémentaires• Énergie potentielle total minimale
• Résidus pondérés
• Algorithme de calcul par éléments finis
SYS 865b H 2014
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SYS 865b H 2014
ContexteRéalité physique
Modélisation mathématiqueExpériemntation
Solution ?
Idéalistaion
Analytique approchéeNumérique approchée
Approximation
Comparaison
Contrôle des
erreurs
Solution analytique
exacte
Procédure de modélisation des systèmes
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SYS 865b H 2014
Méthode de Rayleigh-Ritz Discrétisation
Champ inconnu Géométrie complexe
Méthode des
éléments finis
Modélisation des systèmes complexes
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SYS 865b H 2014
D(Φ) - f = 0 dans le volume avecles conditions aux limites
- Différence finies- Méthode de Ritz- Éléments finis- Volume fini- Éléments de frontière
- Séparation des variables- Solution similaires- Transformation de Fourrier ou de Laplace
Solutions analytiques Solutions numériques
Méthodes de résolution des problèmes mathématiques
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SYS 865b H 2014
Résolution des problèmes physiques par la
méthode des éléments finis
• Mécanique des solide
• Mécanique des fluides
• Transfert de chaleur
• Champ magnétique
Équilibre stationnaire Valeurs propres
• Dynamique, vibration
• Stabilité des structures
• Flux laminaire
• Acoustique
Dépendence du temps
• Non linéarité
• Dynamique (cas général)
• Thermique transitoire
• Propagation (fissures…)
Types de problèmes physiques modélisés par la méthodedes éléments finis
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SYS 865b H 2014
Principe de l’approximation
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SYS 865b H 2014
Discrétisation
Noeuds dumaillage
Noeudsde
géométrie
Noeuds
degéométrie
Noeuds du
maillage
Éléments 1 D
- Barres- Poutres- Coque axisymétrique
Éléments 2 D
- Élasticité plane- Axisymétrie- Plaque mince- Coque mince
Éléments 3 D
- Solide massif - Plaques épaisses- Coques épaisses
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SYS 865b H 2014
Types d’éléments
Éléments à une dimension
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Éléments plans
Éléments triangulaires
Éléments quadrangulaires
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Éléments volumiques
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Interpolation
x i
noeuds
û(x, y, z) u(x, y, z) N (x, y, z).u≈ = ∑
Approximation du champ réel par le champ approximatif
Ni (x, y, z) est la fonction de forme ou fonction d’interpolation associéau nœuds i et ui est le déplacement au même nœud. Les fonctionsde forme représentent le poids associé à chacun des nœuds del’élément permettant la prédiction de l’évolution du champ à l’intérieur
du domaine d’interpolation.
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La fonction de forme doit :
• être continue sur le domaine• conduire à des valeurs uniques du champ en tout point du domaine
pour un jeu unique de valeurs nodales;
•
i i i i
1 au noeud j=1 N (x , y , z )
0 au noeuds j 1
=
≠
i i i i j i i i i
j i
u(x , y , z ) 1 x u 0 x u u(x , y , z ) u≠
= + → =∑
Conditions :
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Exemple :Déterminez les fonctions de forme pour les éléments linéiques (1D)suivant en utilisant les polynômes.
Élément à 2 noeuds (linéaire) :
1 2 x
champ de déplacement :0 1u(x) a a x= +
conditions nodales :
0 1 1
0 1 2
u(0) a a .0 u
u(L) a a .L u
= + =
= + =0 1
21
a uu(0) 1 0
u(L) 1 L ua
= =
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2 1
i i 1 1 2 2 1 2
i 1 2
uu(x) N (x).u N u N u [N N ] (b)u=
= = + =
∑
0 1
21
1 0a u
(a)1 1ua
L L
= −
1
2
x1 0 1
N (x) 1 L(a)et(b)
1 1 N (x) x xL L
L
− → = = −
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SYS 865b H 2014
Formulation des matrices élémentaires par les équations de l’équil ibre
Les équations d’équilibre des noeuds
Exemple 1.1 La figure 1.9 illustre une attache en aluminium d’un systèmede levage. Sachant que son épaisseur est de 5mm et que la charge pèse1.5KN, déterminez l’allongement et les contraintes au long de la pièce.
A1
A2
A3
L 1
L 2
L 3
P P
u1
u2
u3
u4
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SYS 865b H 2014
A L
F F
x Δ L
F
Aσ =
L
L
∆ε =
Eσ = ε
AEF ( ) L
L= ∆ F kx=
AEk
L=
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Noeud 1
Noeud 2
Noeud 3
Noeud 4
R1
k1(u2-u1)
k2(u3-u2)
k3(u4-u3)
k3(u4-u3)
P
k1(u2-u1)
k2(u3-u2)
Équilibre des forces aux nœuds:
Nœud 1 : R1 – k1(u2 – u1) = 0
Nœud 2 : k1(u2 – u1) – k2(u3 – u2) = 0
Nœud 3 : k2(u3 – u2) – k3(u4 – u3) = 0
Nœud 4 : k3
(u4
– u3
) – P =0
1 1 1 1
1 1 2 2 2
2 2 3 3 3
3 3 4
k k 0 0 u R
k k k k 0 u 0
0 k k k k u 00 0 k k u P
− − − + −
= − + − −
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SYS 865b H 2014
1 1 11
1 1 2 2 2
2 2 3 3 3
3 3 4
k k 0 0 uR 0
k k k k 0 u0 0(c)0 k k k k u0 0
0 0 k k u0 P
−− − + − = − − + − −
1 1 1 1
1 1 2 2 2
2 2 3 3 3
3 3 4
k k 0 0 u R
k k k k 0 u 0
0 k k k k u 0
0 0 k k u P
− − − + − = − + −
−
{ } [ ]{ } { }R k u F= −
{Réaction}=[Rigidité]{déplacement}-{chargement}
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1
1 1 2 2 2
2 2 3 3 3
3 3 4
1 0 0 0 u 0
k k k k 0 u 0
0 k k k k u 0
0 0 k k u P
− + − = − + −
−
Conditions aux limites: u1 = 0
1 1 11
1 1 2 2 2
2 2 3 3 3
3 3 4
k k 0 0 uR 0
k k k k 0 u0 0(c)
0 k k k k u0 0
0 0 k k u0 P
−− − + − = − − + − −
[Rigidité]{déplacement}-{chargement}
1
2
3
4
u 0
u
u
u
=
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Formulation des matrices élémentaires
ui+1
ui
f 1=k(ui+1-ui)
f i+1=k(ui+1-ui)ui+1
ui
f 1=k(ui+1-ui)
f i+1=k(ui+1-ui)
y
(a)(b)
Diagramme du corps libre de l’élément
1 i i 1
i 1 i 1 i
f k (u u )
f k(u u )
+
+ +
= −
= −
i i
i 1 i 1
f uk k
f k k u+ +
− = −
[ ] k k
K k k
− = −
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[ ](1) 1 1
1 1
k k K k k
− = − [ ]
11 1
(1G) 21 1
3
4
uk k 0 0
uk k 0 0K u0 0 0 0
u0 0 0 0
−
− =
Assemblage de la matrice de rigidité globale
Élément (1)
[ ]
(2 ) 2 2
2 2
k k K
k k
− =
− [ ]
1
(2G) 22 2
32 2
4
u0 0 0 0
u0 k k 0
K u0 k k 0
u0 0 0 0
−
= −
[ ](3) 3 3
3 3
k k K
k k
− =
− [ ]
1
(3G) 2
3 3 3
3 3 4
0 0 0 0 u
0 0 0 0 u
K 0 0 k k u0 0 k k u
= −
−
Élément (2)
Élément (3)
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[ ] [ ] [ ] [ ](G ) (1G ) (2G ) (3G )
K K K K = + +
[ ]
1 1 1
(G ) 1 1 2 2 2
2 2 3 3 3
3 3 4
k k 0 0 uk k k k 0 u
K 0 k k k k u
0 0 k k u
− − + − = − + −
−
1
1 1 2 2 2
2 2 3 3 3
3 3 4
1 0 0 0 u 0
k k k k 0 u 0
0 k k k k u 00 0 k k u P
− + −
= − + − −
Application des conditions aux limites u1 = 0
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E = 70GPa; A1 = 480mm2; A2 = 120 mm2; A3 = 360 mm2;L1 = 3 mm; L2 = 10mm; L3 = 3mm; P = 1 800N.
11
12
33
18003.75
480
1800 15120
18005
360
P MPa
A
P MPa A
P MPa
A
σ
σ
σ
= = =
= = =
= = =
Vérification Les réactions peuvent secalculer à l’aide du système
d’équation(c). Ce qui donneune valeur deR1=P=1800N.
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Autres méthodes pour la formulation des matrices élémentaires
Énergie potentielle totale minimale
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Énergie de déformation dans le matériau
membrure
Élément infiniment petit
Énergie de déformation
Énergie potentielle totale
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n m(e )
i ie 1 i 1i i i
Fu 0 pour i 1,2,3..., nu u u= =
∂Π ∂ ∂= Λ − = =
∂ ∂ ∂∑ ∑
ui2 2 2
i 1 i i 1 i
V
i 1 i
AEE dV (u u 2u u )
Lu u
oùL
+ +
+
Λ = ε = + −
−ε =
∫Élément fini :
(e )
i i 1 i i 1
i
AE(u u ) k(u u )
u L + +
∂Λ= − = −
∂(e )
i 1 i i 1 ii 1
AE(u u ) k(u u )
u L + +
+
∂Λ= − = −
∂
(e )
i i
(e )i 1
i 1
u uk k k k u
u+
+
∂Λ
∂ − = −∂Λ ∂
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i i i
i
i 1 i 1 i 1
i 1
(F u ) F
u
(F u ) Fu
+ + +
+
∂=
∂∂
=∂
(e )
i i(e )
i 1
i 1
u uk k k k u
u+
+
∂Λ
∂ − = −∂Λ ∂
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Résidus pondérés
Ex. 1.2 Soit une membrure en aluminium de section variable qui est fixée àune extrémité et soumise à une charge P à l’autre extrémité telle qu’illustrée à
la figure 1.14. Sachant que son épaisseur est t tandis que et le moduled’élasticité de l’aluminium est E déterminez la répartition de l’allongement dela membrure suivant sa longueur.
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SYS 865b H 2014
équilibre des forces suivant la direction y :
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2 1
1
w w
A(y) (w ( )y)tL
−= +
Pdydu
EA(y)=
u L L
0 0 02 1
1
Pdy Pdyu(y) du
w wEA(y)E(w ( )y)t
L
= = =−
+∫ ∫ ∫
2 11 1
2 1
(w w )PLu(y) ln w y ln w
Et(w w ) L
− = + − −
y
(mm)
u(y)
(mm)
0.0 0.000000
63.5 0.026089
127.0 0.056206
190.5 0.091828
254.0 0.135424
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SYS 865b H 2014
Solution par la méthode de Galerkin
minimiser l’erreur entre la solution proposée et lasolution exacte de l’équation différentielle duphénomène étudié
duEA(y) P 0
dy− =
2 3
1 2 3
u(y) a y a y a y= + +
22 11 1 2 3
A(y)
w w(w ( )y)t E (a 2a y 3a y ) P
L
− + + + − = ℜ
2
1 2 3(1.842 0.3175y)(a 2a y 3a y ) 0.062032
E
ℜ= − + + −
Application numérique
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b
ady 0 i 1, 2,..., NΦℜ = =∫
Galerkin :
Φ1=y; Φ2=y2 et Φ3=y3
L
0
L2
0
L3
0
y( )dy 0E
y ( )dy 0E
y ( )dy 0E
ℜ=
ℜ =
ℜ=
∫
∫
∫
1
2
63
a3468595.2133333 1101278980.2333 302102849857.62 2001.0262045882
550639490.11665 201401899905.07 59682096338527 a 338840.43731026
100700949952.54 39788064225692 1.237489975502.(10) 64549a
= 103.307609
a1 = 0.000401, a2 = 1.577259.(10)-7 et a3 = 1.448925.(10)-9.-7 2 -9 3u(y) 0.000401y +1.577259.(10) y +1.448925.(10) y .=
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y
(mm) Solution exacte
Approximationpar la méthode
de Galerkin u(y) (mm) u(y)I (mm)
0.00 0.00000 0.00000
63.5 0.026089 0.026447
127.0 0.056206 0.056391
190.5 0.091828 0.092060
254 0.135424 0.135678
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Algorithme de calcul par la méthode des éléments finis
Pré-processeurDéfinition du modèle, calcul des matricesélémentaires, l’assemblage de la matriceglobal et l’introduction des conditions aux
limites.
Solveur Résolution numérique du système matricielpour l’obtention des déplacements nodaux
Post-processeur
Calcul des contraintes des déformations et desréactions. Cette phase contient également letraitement graphique (illustrations, analyses,
coupes, rapport etc.)
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