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7/23/2019 A 1 IntroductionPPT

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A-1

Introduction à la méthode

des éléments finis

SYS 865b H 2014



1. Contexte

2. Méthode des éléments finis

• Principes

• Discrétisation• Interpolation

• Formulation des matrices élémentaires par les équations d’équilibre

• Équations d’équilibre des nœuds

• Formulation des matrices élémentaire

• Assemblage de la matrice globale

• Application des conditions aux limites

• Résolution des équations pour les valeurs nodales : déplacements etc..

• Détermination des contraintes et réactions dans les éléments

• Autres méthodes de formulation des matrices élémentaires• Énergie potentielle total minimale

• Résidus pondérés

• Algorithme de calcul par éléments finis

SYS 865b H 2014



SYS 865b H 2014

ContexteRéalité physique

Modélisation mathématiqueExpériemntation

Solution ?

Idéalistaion

Analytique approchéeNumérique approchée

Approximation

Comparaison

Contrôle des

erreurs

Solution analytique

exacte

Procédure de modélisation des systèmes



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Méthode de Rayleigh-Ritz Discrétisation

Champ inconnu Géométrie complexe

Méthode des

éléments finis

Modélisation des systèmes complexes



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D(Φ) - f = 0 dans le volume avecles conditions aux limites

- Différence finies- Méthode de Ritz- Éléments finis- Volume fini- Éléments de frontière

- Séparation des variables- Solution similaires- Transformation de Fourrier ou de Laplace

Solutions analytiques Solutions numériques

Méthodes de résolution des problèmes mathématiques



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Résolution des problèmes physiques par la

méthode des éléments finis

• Mécanique des solide

• Mécanique des fluides

• Transfert de chaleur

• Champ magnétique

Équilibre stationnaire Valeurs propres

• Dynamique, vibration

• Stabilité des structures

• Flux laminaire

• Acoustique

Dépendence du temps

• Non linéarité

• Dynamique (cas général)

• Thermique transitoire

• Propagation (fissures…)

Types de problèmes physiques modélisés par la méthodedes éléments finis



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Principe de l’approximation



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Discrétisation

Noeuds dumaillage

Noeudsde

géométrie

Noeuds

degéométrie

Noeuds du

maillage

Éléments 1 D

- Barres- Poutres- Coque axisymétrique

Éléments 2 D

- Élasticité plane- Axisymétrie- Plaque mince- Coque mince

Éléments 3 D

- Solide massif - Plaques épaisses- Coques épaisses



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Types d’éléments

Éléments à une dimension



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Éléments plans

Éléments triangulaires

Éléments quadrangulaires



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Éléments volumiques



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Interpolation

x i

noeuds

û(x, y, z) u(x, y, z) N (x, y, z).u≈ = ∑

Approximation du champ réel par le champ approximatif

Ni (x, y, z) est la fonction de forme ou fonction d’interpolation associéau nœuds i et ui est le déplacement au même nœud. Les fonctionsde forme représentent le poids associé à chacun des nœuds del’élément permettant la prédiction de l’évolution du champ à l’intérieur

du domaine d’interpolation.



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La fonction de forme doit :

• être continue sur le domaine• conduire à des valeurs uniques du champ en tout point du domaine

pour un jeu unique de valeurs nodales;

•

i i i i

1 au noeud j=1 N (x , y , z )

0 au noeuds j 1

=

≠

i i i i j i i i i

j i

u(x , y , z ) 1 x u 0 x u u(x , y , z ) u≠

= + → =∑

Conditions :



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Exemple :Déterminez les fonctions de forme pour les éléments linéiques (1D)suivant en utilisant les polynômes.

Élément à 2 noeuds (linéaire) :

1 2 x

champ de déplacement :0 1u(x) a a x= +

conditions nodales :

0 1 1

0 1 2

u(0) a a .0 u

u(L) a a .L u

= + =

= + =0 1

21

a uu(0) 1 0

u(L) 1 L ua

= =



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2 1

i i 1 1 2 2 1 2

i 1 2

uu(x) N (x).u N u N u [N N ] (b)u=

= = + =

∑

0 1

21

1 0a u

(a)1 1ua

L L

= −

1

2

x1 0 1

N (x) 1 L(a)et(b)

1 1 N (x) x xL L

L

− → = = −



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Formulation des matrices élémentaires par les équations de l’équil ibre

Les équations d’équilibre des noeuds

Exemple 1.1 La figure 1.9 illustre une attache en aluminium d’un systèmede levage. Sachant que son épaisseur est de 5mm et que la charge pèse1.5KN, déterminez l’allongement et les contraintes au long de la pièce.

A1

A2

A3

L 1

L 2

L 3

P P

u1

u2

u3

u4



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A L

F F

x Δ L

F

Aσ =

L

L

∆ε =

Eσ = ε

AEF ( ) L

L= ∆ F kx=

AEk

L=



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Noeud 1

Noeud 2

Noeud 3

Noeud 4

R1

k1(u2-u1)

k2(u3-u2)

k3(u4-u3)

k3(u4-u3)

P

k1(u2-u1)

k2(u3-u2)

Équilibre des forces aux nœuds:

Nœud 1 : R1 – k1(u2 – u1) = 0

Nœud 2 : k1(u2 – u1) – k2(u3 – u2) = 0

Nœud 3 : k2(u3 – u2) – k3(u4 – u3) = 0

Nœud 4 : k3

(u4

– u3

) – P =0

1 1 1 1

1 1 2 2 2

2 2 3 3 3

3 3 4

k k 0 0 u R

k k k k 0 u 0

0 k k k k u 00 0 k k u P

− − − + −

= − + − −



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1 1 11

1 1 2 2 2

2 2 3 3 3

3 3 4

k k 0 0 uR 0

k k k k 0 u0 0(c)0 k k k k u0 0

0 0 k k u0 P

−− − + − = − − + − −

1 1 1 1

1 1 2 2 2

2 2 3 3 3

3 3 4

k k 0 0 u R

k k k k 0 u 0

0 k k k k u 0

0 0 k k u P

− − − + − = − + −

−

{ } [ ]{ } { }R k u F= −

{Réaction}=[Rigidité]{déplacement}-{chargement}



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1

1 1 2 2 2

2 2 3 3 3

3 3 4

1 0 0 0 u 0

k k k k 0 u 0

0 k k k k u 0

0 0 k k u P

− + − = − + −

−

Conditions aux limites: u1 = 0

1 1 11

1 1 2 2 2

2 2 3 3 3

3 3 4

k k 0 0 uR 0

k k k k 0 u0 0(c)

0 k k k k u0 0

0 0 k k u0 P

−− − + − = − − + − −

[Rigidité]{déplacement}-{chargement}

1

2

3

4

u 0

u

u

u

=



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Formulation des matrices élémentaires

ui+1

ui

f 1=k(ui+1-ui)

f i+1=k(ui+1-ui)ui+1

ui

f 1=k(ui+1-ui)

f i+1=k(ui+1-ui)

y

(a)(b)

Diagramme du corps libre de l’élément

1 i i 1

i 1 i 1 i

f k (u u )

f k(u u )

+

+ +

= −

= −

i i

i 1 i 1

f uk k

f k k u+ +

− = −

[ ] k k

K k k

− = −



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[ ](1) 1 1

1 1

k k K k k

− = − [ ]

11 1

(1G) 21 1

3

4

uk k 0 0

uk k 0 0K u0 0 0 0

u0 0 0 0

−

− =

Assemblage de la matrice de rigidité globale

Élément (1)

[ ]

(2 ) 2 2

2 2

k k K

k k

− =

− [ ]

1

(2G) 22 2

32 2

4

u0 0 0 0

u0 k k 0

K u0 k k 0

u0 0 0 0

−

= −

[ ](3) 3 3

3 3

k k K

k k

− =

− [ ]

1

(3G) 2

3 3 3

3 3 4

0 0 0 0 u

0 0 0 0 u

K 0 0 k k u0 0 k k u

= −

−

Élément (2)

Élément (3)



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[ ] [ ] [ ] [ ](G ) (1G ) (2G ) (3G )

K K K K = + +

[ ]

1 1 1

(G ) 1 1 2 2 2

2 2 3 3 3

3 3 4

k k 0 0 uk k k k 0 u

K 0 k k k k u

0 0 k k u

− − + − = − + −

−

1

1 1 2 2 2

2 2 3 3 3

3 3 4

1 0 0 0 u 0

k k k k 0 u 0

0 k k k k u 00 0 k k u P

− + −

= − + − −

Application des conditions aux limites u1 = 0



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E = 70GPa; A1 = 480mm2; A2 = 120 mm2; A3 = 360 mm2;L1 = 3 mm; L2 = 10mm; L3 = 3mm; P = 1 800N.

11

12

33

18003.75

480

1800 15120

18005

360

P MPa

A

P MPa A

P MPa

A

σ

σ

σ

= = =

= = =

= = =

Vérification Les réactions peuvent secalculer à l’aide du système

d’équation(c). Ce qui donneune valeur deR1=P=1800N.



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Autres méthodes pour la formulation des matrices élémentaires

Énergie potentielle totale minimale



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Énergie de déformation dans le matériau

membrure

Élément infiniment petit

Énergie de déformation

Énergie potentielle totale



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n m(e )

i ie 1 i 1i i i

Fu 0 pour i 1,2,3..., nu u u= =

∂Π ∂ ∂= Λ − = =

∂ ∂ ∂∑ ∑

ui2 2 2

i 1 i i 1 i

V

i 1 i

AEE dV (u u 2u u )

Lu u

oùL

+ +

+

Λ = ε = + −

−ε =

∫Élément fini :

(e )

i i 1 i i 1

i

AE(u u ) k(u u )

u L + +

∂Λ= − = −

∂(e )

i 1 i i 1 ii 1

AE(u u ) k(u u )

u L + +

+

∂Λ= − = −

∂

(e )

i i

(e )i 1

i 1

u uk k k k u

u+

+

∂Λ

∂ − = −∂Λ ∂



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i i i

i

i 1 i 1 i 1

i 1

(F u ) F

u

(F u ) Fu

+ + +

+

∂=

∂∂

=∂

(e )

i i(e )

i 1

i 1

u uk k k k u

u+

+

∂Λ

∂ − = −∂Λ ∂



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Résidus pondérés

Ex. 1.2 Soit une membrure en aluminium de section variable qui est fixée àune extrémité et soumise à une charge P à l’autre extrémité telle qu’illustrée à

la figure 1.14. Sachant que son épaisseur est t tandis que et le moduled’élasticité de l’aluminium est E déterminez la répartition de l’allongement dela membrure suivant sa longueur.



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équilibre des forces suivant la direction y :



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2 1

1

w w

A(y) (w ( )y)tL

−= +

Pdydu

EA(y)=

u L L

0 0 02 1

1

Pdy Pdyu(y) du

w wEA(y)E(w ( )y)t

L

= = =−

+∫ ∫ ∫

2 11 1

2 1

(w w )PLu(y) ln w y ln w

Et(w w ) L

− = + − −

y

(mm)

u(y)

(mm)

0.0 0.000000

63.5 0.026089

127.0 0.056206

190.5 0.091828

254.0 0.135424



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Solution par la méthode de Galerkin

minimiser l’erreur entre la solution proposée et lasolution exacte de l’équation différentielle duphénomène étudié

duEA(y) P 0

dy− =

2 3

1 2 3

u(y) a y a y a y= + +

22 11 1 2 3

A(y)

w w(w ( )y)t E (a 2a y 3a y ) P

L

− + + + − = ℜ

2

1 2 3(1.842 0.3175y)(a 2a y 3a y ) 0.062032

E

ℜ= − + + −

Application numérique



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b

ady 0 i 1, 2,..., NΦℜ = =∫

Galerkin :

Φ1=y; Φ2=y2 et Φ3=y3

L

0

L2

0

L3

0

y( )dy 0E

y ( )dy 0E

y ( )dy 0E

ℜ=

ℜ =

ℜ=

∫

∫

∫

1

2

63

a3468595.2133333 1101278980.2333 302102849857.62 2001.0262045882

550639490.11665 201401899905.07 59682096338527 a 338840.43731026

100700949952.54 39788064225692 1.237489975502.(10) 64549a

= 103.307609

a1 = 0.000401, a2 = 1.577259.(10)-7 et a3 = 1.448925.(10)-9.-7 2 -9 3u(y) 0.000401y +1.577259.(10) y +1.448925.(10) y .=



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y

(mm) Solution exacte

Approximationpar la méthode

de Galerkin u(y) (mm) u(y)I (mm)

0.00 0.00000 0.00000

63.5 0.026089 0.026447

127.0 0.056206 0.056391

190.5 0.091828 0.092060

254 0.135424 0.135678



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Algorithme de calcul par la méthode des éléments finis

Pré-processeurDéfinition du modèle, calcul des matricesélémentaires, l’assemblage de la matriceglobal et l’introduction des conditions aux

limites.

Solveur Résolution numérique du système matricielpour l’obtention des déplacements nodaux

Post-processeur

Calcul des contraintes des déformations et desréactions. Cette phase contient également letraitement graphique (illustrations, analyses,

coupes, rapport etc.)

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