3-3 calcul des filtres rii

1Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

3-3 Calcul des filtres RII

• Méthodologies de calcul des filtres RII

y n b x n b x n b Q x n Q

a y n a P y n P

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 1 1

1 1

G zY z

X z

b b z b Q z

a z a P z

bz z

p z

Q

P

ii

Q

ii

P

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )

0 1

1 1

01

1

1

1

1

1

1

1

Ressemblance avec les filtres analogiques(Equation différentielle et fonction de transfert)

Filtres analogiques Filtres numériques RII

2Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Filtres de Butterworth

)(H).(H1

1)(H

n22

3Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Filtres de Chebyshev

4Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Calcul des filtres RII• Différentes approches de la synthèse des

filtres numériques RII Plan des z Plan des p

Spécifications surle cercle unité

Spécifications surl'axe imaginaire

Approximation

Synthèse

Fonction detransfert g(z)

Fonction detransfert G(p)

Filtre analogiqueFiltre discret

1) Approximation dans le plan des z et synthèse du filtre discret

Méthodes d’optimisation par ordinateur (Decsky, Remez...)

5Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Calcul des filtres RII

2) Approximation dans le plan de Laplace et synthèse du filtre discret

G(p) G(z)

! Réponse en fréquence conforme au gabarit initial

Problèmes de repliement de spectre dû à l’échantillonnage

Filtre numérique stable

Méthodes• transformation bilinéaire

• invariant impulsionnel

• équivalence de la dérivation ou de l'intégration

6Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Calcul des filtres RII3) Approximation et synthèse dans le

domaine analogique

Transformation du circuit analogique en un filtre numérique par simulation des éléments (L,C)

Filtre d’ondes

4) Autres méthodes

Transposition

passe-bas passe-bas

passe-haut

passe-bande

coupe-bande

Exemple: Passe-bas passe-haut

zz

zavec

f f

f fpb ph

pb ph

11

11

cos( ( ))

cos( ( ))

7Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Synthése des filtres RII par transformation bilinéaire

• Transformation du plan de Laplace (H(p)) vers le plan des Z (H(z))

Plan de Laplace Plan des Z

Re(s)

Im(s)Im(z)

Re(z)

2Fe

4Fe

6Fe

-2Fe

-4Fe

-6Fe

01

f=0f=1

• Préserver la réponse en fréquence• Préserver la stabilité du filtre• Eviter les problèmes de repliement de spectre

Pas de solution idéale

8Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Transformation bilinéaire

• H(p) H(z)

p Kz

z

1

1

1

1 z

pKpK

1

1

• p = 0 z = 1• p = j= jK tan(/2) z = exp(j)

Axe imaginaire du plan de Laplacecercle unité dans le plan des Z

• p = j z = -1Axe imaginaire complet

1 tour du cercle unité• p= - K z = 0• p = K z = • Reel(p) < 0 |z|<1

Partie gauche du plan de LaplaceIntérieur du cercle unité

Stabilité du filtre préservée

9Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Transformation bilinéaire

• p = ja= jK tan(/2) z = exp(j)

f=0d

f=Fe=1/Td=2/T

f=Fe=1/2Td=/T

d / Pulsation «discréte»

a d

da

KT

T K

tan( )

arctan( )

22

Pulsation analogique

10Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Transformation bilinéaire

• On choisit généralement K=2/T

pour avoir da (artan(x) x)

si d<< 2/T (pulsation d’échantillonnage)

• Equations de la transformation bilinéaire

pT

z

z

T

T

T

T

a d

da

2 1

12

22

2

1

1

tan( )

arctan( )

11Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Transformation bilinéaire

• Passage de la pulsation analogique à la pulsation numérique

d

a

Déformation de l’axe des fréquencesCorrection avant calcul du filtre analogique

12Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

13Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Application

• Calcul d’un filtre numérique passe-bas

Atténuation en dB

Fréquence (kHz)

3

40

2 15

Choix de la fréquence d’échantillonnageFe=50 kHz, T= 2 10-5s

Objectif: trouver H(p) filtre analogique tel queaprès transformation bilinéaire, la réponse en fréquence de H(z) respecte le gabarit.

14Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Application• Comme la transformation bilinéaire

déforme l’axe des fréquences il faut

pré-déformer le gabarit

a dT

T

2

2tan( )

pour fd = 2 kHz et 15 kHz, avec d=2 fd

on trouve fa = 2,0106 kHz et 21,906 kHz

Nouveau gabarit «analogique»Atténuation en dB

Fréquence (kHz)

3

40

2,0106 21,906

15Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Application

• Abaques

• Matlab

• Calcul

• 1 décade 40 dB : ordre 2

} Butterworth ordre 2 (par exemple)

H ss s

( )

1

1 2 2

s : variable de Laplace normalisée p/

10.1 10

• Réponse en fréquence pour s = j

20 log10( |H(j)| )

-3dB

-40 dB

16Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Application

• Sur le gabarit initial, à 3dB

0= 2 2010,6 = 12633 rd/s

H pp p

( ), , ²

1

1 112 10 6 27 104 9

DénormalisationH(s) avec s = p/

H zz

z z( ) ,

( )²

, , ,

0 015961

1195 1 968 0 8373

1

1 2

pT

z

z

2 1

1

1

1 T = 1/Fe = 2 10-5s

Application de la transformation bilinéaire

17Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Application

• Réponse en fréquence de H(z)

z = exp(j2f/Fe),

tracé de H(j2f/Fe)

Fe

dB

H zz

z z

H zz

z z

( )( )²

, , ,

( ) ,( )²

, ,

1

74 87 123 3 52 46

0 013361

1 1 647 0 7007

1

1 2

1

1 2

18Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Application

Tracé en échelle log

-40db/dec

Fe/2

Phase

Module

19Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Fonctions du 2nd ordreet transformation bilinéaire

• Fonction normalisée d’ordre 2 analogique– Q: facteur de surtension– Pulsation de résonance H p s

Qs

( )

1

1 2

• transformation bilinéaire

H zz z

T QT Tz

T QTz

( )( ) ( ) ( )

1 2

14 2

28

14 2

1 2

2 21

22

Pour éviter la déformation de la transformation bilinéaire: T<<1

H zz z

T QT Tz

T QTz

T z zTQ

zTQ

z

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 24 2 8 4 2

4

1 2

12

2 12

1 2

2 21

22

2 1 2

1 2

Pôle z = 1Instable

Problème de la précision de codage des coefficients

!

20Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE

Fonctions du 2nd ordreet transformation bilinéaire

• Exemple Q=1

H ss s

( )

1

1 2

T=0.01

H zz z

z z( )

1 2

40201 79998 39801

1 2

1 2

Calcul exact

Calcul approché : Filtre instable

H zz z

z z( )

1 2

40200 80000 39800

1 2

1 2

0,0025% d’erreur sur les coefficients = instable !Codage des coefficients sur plus de 16 bits