3-3 calcul des filtres rii
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3-3 Calcul des filtres RII. Méthodologies de calcul des filtres RII. Ressemblance avec les filtres analogiques (Equation différentielle et fonction de transfert). Filtres analogiques Filtres numériques RII. Filtres de Butterworth. Filtres de Chebyshev. Calcul des filtres RII. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE
3-3 Calcul des filtres RII
• Méthodologies de calcul des filtres RII
y n b x n b x n b Q x n Q
a y n a P y n P
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 1
1 1
G zY z
X z
b b z b Q z
a z a P z
bz z
p z
Q
P
ii
Q
ii
P
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
0 1
1 1
01
1
1
1
1
1
1
1
Ressemblance avec les filtres analogiques(Equation différentielle et fonction de transfert)
Filtres analogiques Filtres numériques RII
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Filtres de Butterworth
)(H).(H1
1)(H
n22
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Filtres de Chebyshev
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Calcul des filtres RII• Différentes approches de la synthèse des
filtres numériques RII Plan des z Plan des p
Spécifications surle cercle unité
Spécifications surl'axe imaginaire
Approximation
Synthèse
Fonction detransfert g(z)
Fonction detransfert G(p)
Filtre analogiqueFiltre discret
1) Approximation dans le plan des z et synthèse du filtre discret
Méthodes d’optimisation par ordinateur (Decsky, Remez...)
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Calcul des filtres RII
2) Approximation dans le plan de Laplace et synthèse du filtre discret
G(p) G(z)
! Réponse en fréquence conforme au gabarit initial
Problèmes de repliement de spectre dû à l’échantillonnage
Filtre numérique stable
Méthodes• transformation bilinéaire
• invariant impulsionnel
• équivalence de la dérivation ou de l'intégration
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Calcul des filtres RII3) Approximation et synthèse dans le
domaine analogique
Transformation du circuit analogique en un filtre numérique par simulation des éléments (L,C)
Filtre d’ondes
4) Autres méthodes
Transposition
passe-bas passe-bas
passe-haut
passe-bande
coupe-bande
Exemple: Passe-bas passe-haut
zz
zavec
f f
f fpb ph
pb ph
11
11
cos( ( ))
cos( ( ))
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Synthése des filtres RII par transformation bilinéaire
• Transformation du plan de Laplace (H(p)) vers le plan des Z (H(z))
Plan de Laplace Plan des Z
Re(s)
Im(s)Im(z)
Re(z)
2Fe
4Fe
6Fe
-2Fe
-4Fe
-6Fe
01
f=0f=1
• Préserver la réponse en fréquence• Préserver la stabilité du filtre• Eviter les problèmes de repliement de spectre
Pas de solution idéale
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Transformation bilinéaire
• H(p) H(z)
p Kz
z
1
1
1
1 z
pKpK
1
1
• p = 0 z = 1• p = j= jK tan(/2) z = exp(j)
Axe imaginaire du plan de Laplacecercle unité dans le plan des Z
• p = j z = -1Axe imaginaire complet
1 tour du cercle unité• p= - K z = 0• p = K z = • Reel(p) < 0 |z|<1
Partie gauche du plan de LaplaceIntérieur du cercle unité
Stabilité du filtre préservée
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Transformation bilinéaire
• p = ja= jK tan(/2) z = exp(j)
f=0d
f=Fe=1/Td=2/T
f=Fe=1/2Td=/T
d / Pulsation «discréte»
a d
da
KT
T K
tan( )
arctan( )
22
Pulsation analogique
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Transformation bilinéaire
• On choisit généralement K=2/T
pour avoir da (artan(x) x)
si d<< 2/T (pulsation d’échantillonnage)
• Equations de la transformation bilinéaire
pT
z
z
T
T
T
T
a d
da
2 1
12
22
2
1
1
tan( )
arctan( )
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Transformation bilinéaire
• Passage de la pulsation analogique à la pulsation numérique
d
a
Déformation de l’axe des fréquencesCorrection avant calcul du filtre analogique
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Application
• Calcul d’un filtre numérique passe-bas
Atténuation en dB
Fréquence (kHz)
3
40
2 15
Choix de la fréquence d’échantillonnageFe=50 kHz, T= 2 10-5s
Objectif: trouver H(p) filtre analogique tel queaprès transformation bilinéaire, la réponse en fréquence de H(z) respecte le gabarit.
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Application• Comme la transformation bilinéaire
déforme l’axe des fréquences il faut
pré-déformer le gabarit
a dT
T
2
2tan( )
pour fd = 2 kHz et 15 kHz, avec d=2 fd
on trouve fa = 2,0106 kHz et 21,906 kHz
Nouveau gabarit «analogique»Atténuation en dB
Fréquence (kHz)
3
40
2,0106 21,906
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Application
• Abaques
• Matlab
• Calcul
• 1 décade 40 dB : ordre 2
} Butterworth ordre 2 (par exemple)
H ss s
( )
1
1 2 2
s : variable de Laplace normalisée p/
10.1 10
• Réponse en fréquence pour s = j
20 log10( |H(j)| )
-3dB
-40 dB
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Application
• Sur le gabarit initial, à 3dB
0= 2 2010,6 = 12633 rd/s
H pp p
( ), , ²
1
1 112 10 6 27 104 9
DénormalisationH(s) avec s = p/
H zz
z z( ) ,
( )²
, , ,
0 015961
1195 1 968 0 8373
1
1 2
pT
z
z
2 1
1
1
1 T = 1/Fe = 2 10-5s
Application de la transformation bilinéaire
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Application
• Réponse en fréquence de H(z)
z = exp(j2f/Fe),
tracé de H(j2f/Fe)
Fe
dB
H zz
z z
H zz
z z
( )( )²
, , ,
( ) ,( )²
, ,
1
74 87 123 3 52 46
0 013361
1 1 647 0 7007
1
1 2
1
1 2
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Application
Tracé en échelle log
-40db/dec
Fe/2
Phase
Module
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Fonctions du 2nd ordreet transformation bilinéaire
• Fonction normalisée d’ordre 2 analogique– Q: facteur de surtension– Pulsation de résonance H p s
Qs
( )
1
1 2
• transformation bilinéaire
H zz z
T QT Tz
T QTz
( )( ) ( ) ( )
1 2
14 2
28
14 2
1 2
2 21
22
Pour éviter la déformation de la transformation bilinéaire: T<<1
H zz z
T QT Tz
T QTz
T z zTQ
zTQ
z
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 24 2 8 4 2
4
1 2
12
2 12
1 2
2 21
22
2 1 2
1 2
Pôle z = 1Instable
Problème de la précision de codage des coefficients
!
20Traitement du Sigal - 3TCTransparents C. Odet, Prof. GE
Fonctions du 2nd ordreet transformation bilinéaire
• Exemple Q=1
H ss s
( )
1
1 2
T=0.01
H zz z
z z( )
1 2
40201 79998 39801
1 2
1 2
Calcul exact
Calcul approché : Filtre instable
H zz z
z z( )
1 2
40200 80000 39800
1 2
1 2
0,0025% d’erreur sur les coefficients = instable !Codage des coefficients sur plus de 16 bits