13 méthode graphique

Analyse d’unestructure en treillis

Utilisation d’une méthode graphique

Conception de structuresAutomne 2012

R. Pleau

École d’architecture, Université Laval

2 22

2

2 2

2

2

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kNDans cette présentation, nous allons voir comment utiliser une méthode graphique pour calculer les efforts internes dans les membrures d’un treillis.

Pour les fins de la démonstration, nous analyserons la structure suivante:

2Analyse d’un treillis

1ère étape

Calcul desréactions d’appui

3

Faisons l’équilibre des forces sur la structure entière.ΣMa = 0 d’où:

- (20 kN x 2 m) - (30 kN x 6 m)- (10 kN x 8 m) + (40 kN x 2 m)+ (V2 x 8 m) + (H2 x 4 m) = 0

On trouve donc:8 V2 + 4 H2 = 220

En simplifiant on obtient:

2 V2 + H2 = 55

2 22

2

2 2

2

2

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

V1

H1

V2

H2

Diagramme de corps libre

a

Equation [1]

4Calcul des réactions d’appui

Considérons maintenant uniquement la portion de la structure située à droite de la rotule et traçons son diagramme de corps libre. Sur ce diagramme, les forces H et V représentent les efforts internes qui sont générés dans la portion manquante de la structure.

2

30 kN 10 kN

V2

H2

2 2

Diagramme de corps libre

H

V

a

5

Calcul des réactions d’appui

Equation [2]

La présence d’une rotule au point a impose que la somme des moments p/r à ce point doit être nulle. On trouve donc que:ΣMa = 0 d’où:

- (30 kN x 2 m) - (10 kN x 4 m)+ (V2 x 4 m) - (H2 x 2 m) = 0

On trouve donc:4 V2 - 2 H2 = 100

En simplifiant on obtient:

2 V2 - H2 = 50

2

30 kN 10 kN

V2

H2

2 2

Diagramme de corps libre

H

V

a 6

Calcul des réactions d’appui

Nous avons maintenant un système de 2 équations avec 2 inconnues: 2 V2 + H2 = 55 Equation [1]

2 V2 - H2 = 50 Equation [2]

En isolant H2 dans l’équation [1] on trouve que:

H2 = 55 - 2 V2 Equation [3]

Et en insérant l’équation [3] dans l’équation [2] on obtient: 2V2 - 55 + 2V2 = 50

D’où: V2 = (50 + 55) ÷ 4 = 26,25 kN

En reportant cette valeur dans l’équation [1] on trouve enfin que: (2 x 26,25) + H2 = 55

Donc: H2 = 55 - 52,5 = 2,5 kN

7Calcul des réactions d’appui

L’équilibre des forces horizontalesnous donne que:ΣFh = 0 d’où:

H1 = 2,5 + 40 = 42,5 kN

Et l’équilibre des forces verticalesnous donne que: ΣFv = 0 d’où:

V1 = 10 + 20 + 30 + 10 - 26,25 = 43,75 kN

2 22

2

2 2

2

2

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

V1

H1

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de corps libre

a

8Calcul des réactions d’appui

2eme étape

Diagrammede forme

et notationpar intervalles

9

2 22

2

2 2

2

2

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

Maintenant que nous avons tracé le diagramme de corps libre et calculer les réactions d’appui de notre structure, on peut tracer le diagramme de forme.

Le diagramme de forme est une représentation graphique, tracée à l’échelle, du diagramme de corps libre sur laquelle on ajoute une notation par intervalles formée de chiffres et de lettres.

10Diagramme de formeet notation par intervalles

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

Sur le diagramme de forme, on subdivise le pourtour de la structure en intervalles que nous désignons par des lettres majuscules.

L’ordre de numérotation n’a pas d’importante mais, habituellement, on commence par l’extrémité gauche et on tourne dans le sens horaire.

A

11

L’intervalle A désigne tout le périmètre qui sépare la réaction d’appui horizontale de 42,5 kN de la charge verticale de 10 kN.

On constate que la structure comprend trois membrures qui sont adjacentes à l’intervalle A.

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

L’intervalle B désigne tout le périmètre qui sépare la charge verticale de 10 kN de celle de 20 kN.

On constate que la structure comprend une seule membrure qui est adjacente à l’intervalle B.

A

B12

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

L’intervalle C désigne tout le périmètre qui sépare la charge verticale de 20 kN de celle de 30 kN.

Deux membrures sont adjacentes à l’intervalle C.

A

B C13

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

L’intervalle D désigne le périmètre qui sépare la charge verticale de 30 kN de celle de 10 kN.

Une seule membrure est adjacente à l’intervalle D.

A

B C D14

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

L’intervalle E désigne le périmètre qui sépare la charge verticale de 10 kN et la charge horizontale de 2,5 kN.

Une seule membrure est adjacente à l’intervalle E.

A

B C D

E15

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

L’intervalle F désigne le périmètre qui sépare la charge horizontale de 2,5 kN et la charge verticale de 26,25 kN.

Aucune membrure n’est adjacente à l’intervalle F.

A

B C D

E

F

16

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

L’intervalle G désigne le périmètre qui sépare la charge verticale de 26,25 kN et la charge horizontale de 40 kN.

Cinq membrures sont adjacentes à l’intervalle G.

A

B C D

E

G F

17

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

L’intervalle H désigne le périmètre qui sépare la charge horizontale de 40 kN et la charge verticale de 43,75 kN.

Une seule membrure est adjacente à l’intervalle H.

A

B C D

E

H

G F

18

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

L’intervalle I désigne le périmètre qui sépare la charge verticale de 43,75 kN et la charge horizontale de 42,5 kN.

Aucune membrure n’est adjacente à l’intervalle I.

A

B C D

E

H

G F

I

19

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

Nous avons maintenant identifié tout le périmètre extérieur de la structure à l’aide de lettres.

Pour compléter notre système de désignation, nous allons assigner à chacun des espaces triangulaires qui sont formés à l’intérieur de la structure un chiffre.

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

20

L’ordre de numérotation n’a pas d’importance mais, généralement, on numérotera ces espaces à partir de la gauche et en tournant dans le sens horaire. Pour le cas de notre structure, les espaces triangulaires intérieurs sont numérotés de 1 à 10.

Identificationdes membrures

21

Chacune des membrures de la structure sera identifiée par le couple de lettres et/ou de chiffres qui désigne les deux espaces qui sont adjacents à la membrure.

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

22Identification des membrures

Par exemple, la membrure identifiée en vert sur la figure ci-contre sera appelée la membrure G-6 ou la membrure 6-G.

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

23

La membrure identifiée en vert sur la figure ci-contre deviendra la membrure 9-10 ou la membrure 10-9.

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

24

La membrure identifiée en vert sur la figure ci-contre est appelée la membrure A-4 ou la membrure 4-A.

… et ainsi de suite !

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

25

3eme étape

Constructiondu polygone

de forces

26

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

Nous sommes maintenant prêts à tracer le polygone de forces en utilisant une échelle prédéfinie (par exemple 1 cm = 10 kN).

On placera sur le polygone de forces des points correspondant aux intervalles définis précédemment et qui sont désignés par des lettres ou des chiffres. Les lignes qui relieront ces points représenteront les forces externes qui sollicitent la structure ainsi que les efforts internes dans les membrures.

27Construction du polygone de forces

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

On commence par tracer le polygone des forces externes qui sollicitent notre structure.

Pour y parvenir, on parcourt le périmètre extérieur de la structure dans le sens horaire.

28

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

Polygone de forcesOn place tout d’abord le point a sur notre polygone de forces. La force A-B est égale à 10 kN et elle est dirigée vers le bas. Le point b est donc située à une distance de 1 cm (puisque 1 cm = 10 kN) sur une ligne verticale passant par le point a. Le point b est situé en-dessous du point a car lorsque l’on passe de l’intervalle A à l’intervalle B sur le diagramme de forme, la force A-B est dirigée vers le bas.

29

Pour éviter d’alourdir et de nuire à la lisibilité du polygone de forces, on ne trace pas les pointes de flèches qui indiquent l’orientation des forces

1 cm

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

Polygone de forces

En poursuivant notre parcours sur le périmètre extérieur de la structure on rencontre la charge B-C. Comme cette charge est égale à 20 kN et est dirigée vers le bas, le point c sera situé à 2 cm sous le point b.

30

2 cm

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

d

Polygone de forces

On rencontre ensuite la charge C-D de 30 kN dirigée vers le bas. Le point d sera donc situé à 3 cm sous le point c.

31

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

de

Polygone de forces

La charge D-E est égale à 10 kN et elle est dirigée vers le bas ce qui nous permet de placer le point e à 1 cm sous le point d.

32

La charge E-F est égale à 2,5 kN et dirigée vers la gauche. Cela signifie que le point f sera situé à 0,25 cm à gauche du point e.

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

Polygone de forces

33

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

g

Polygone de forces

La force F-G de 26,25 kN est dirigée vers le haut. Le point g est donc situé à 2,625 cm au-dessus du point f.

34

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

gh

Polygone de forces

La force G-H de 40 kN est orientée vers la gauche ce qui nous permet de placer le point h à 4 cm à la gauche du point g.

35

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

gh

i

Polygone de forces

La force H-I est égale à 43,75 kN et dirigée vers le haut. Le point i est donc située à 4,375 cm au-dessus du point h.

36

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

gh

i

Polygone de forces

On ferme le périmètre de la structure avec la force I-A de 42,5 kN dirigée vers la droite. Sur le polygone de forces, on confirme que le point a bien situé à 4,25 cm à la droite du point i.

37

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

gh

i

Polygone de forces

Sur la figure ci-contre, nous avons indiqué la direction des forces pour bien montrer que ce que nous venons de tracer corres-pond au polygone des forces externes qui sollicitent la structure et que la somme de toutes ces forces est bien nulle puisque le polygone est fermé. Cet ensemble de forces respecte donc les conditions d’équilibre statique en translation.

38

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

h

i

Polygone de forces

gOn peut maintenant placer les chiffres sur le polygone de forces.

La force A-1 est placée sur un axe parallèle à la membrure A-1 et passant par le point a.

39

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

h

i

1

Polygone de forces

g

La force A-1 est placée sur un axe parallèle à la membrure A-1 et passant par le point a.De la même façon, la force H-1 est placée sur un axe parallèle à la membrure H-1 et passant par le point h.Le point 1 se trouve donc à l’intersection entre ces deux droites.

40

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

La force 1-2 est placée sur un axe parallèle à la membrure 1-2 et passant par le point 1.De la même façon, la force G-2 est placée sur un axe parallèle à la membrure G-2 et passant par le point g.Le point 2 se trouve donc à l’inter-section entre ces deux droites.

41

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

La force 2-3 est placée sur un axe parallèle à la membrure 2-3 et passant par le point 2.De la même façon, la force A-3 est placée sur un axe parallèle à la membrure A-3 et passant par le point a.Le point 3 se trouve donc à l’inter-section entre ces deux droites.

3

42

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

La force A-4 est placée sur un axe parallèle à la membrure A-4 et passant par le point a.De la même façon, la force 3-4 est placée sur un axe parallèle à la membrure 3-4 et passant par le point 3.Le point 4 se trouve donc à l’inter-section entre ces deux droites.

3 4

43

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

La force 4-5 est placée sur un axe parallèle à la membrure 4-5 et passant par le point 4.De la même façon, la force B-5 est placée sur un axe parallèle à la membrure B-5 et passant par le point b.Le point 5 se trouve donc à l’inter-section entre ces deux droites.

3 4

5

44

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

La force 5-6 est placée sur un axe parallèle à la membrure 5-6 et passant par le point 5.De la même façon, la force G-6 est placée sur un axe parallèle à la membrure G-6 et passant par le point g.Le point 6 se trouve donc à l’inter-section entre ces deux droites.

3 4

5

6

45

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

La force C-7 est placée sur un axe parallèle à la membrure C-7 et passant par le point c.De la même façon, la force 6-7 est placée sur un axe parallèle à la membrure 6-7 et passant par le point 6.Le point 7 se trouve donc à l’intersection entre ces deux droites.

3 4

5

6

7

46

8

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

La force C-8 est placée sur un axe parallèle à la membrure C-8 et passant par le point c.De la même façon, la force G-8 est placée sur un axe parallèle à la membrure G-8 et passant par le point g.Le point 8 se trouve donc à l’intersection entre ces deux droites.

3 4

5

6

7

47

8

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

La force D-9 est placée sur un axe parallèle à la membrure D-9 et passant par le point d.De la même façon, la force 8-9 est placée sur un axe parallèle à la membrure 8-9 et passant par le point 8.Le point 9 se trouve donc à l’intersection entre ces deux droites.

3 4

5

6

7

9

48

8

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

La force 9-10 est placée sur un axe parallèle à la membrure 9-10 et passant par le point 9.De la même façon, la force E-10 est placée sur un axe parallèle à la membrure E-10 et passant par le point E.Le point 10 se trouve donc à l’intersection entre ces deux droites.

3 4

5

6

7

9

10

49

8

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

gFinalement on constate que la dernière force inconnue, G-10 ferme bien le polygone de force ce qui confirme que notre analyse est correcte.

3 4

5

6

7

9

10

50Construction du polygone de forcesConstruction du polygone de forces

4eme étape

Evaluation desefforts internes

51

8

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

3 4

5

6

7

9

10

On peut maintenant déterminer l’intensité des efforts internes en mesurant la longueur des lignes correspondantes sur le polygone de forces.

52Évaluation des efforts internes

8

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

3 4

5

6

7

9

10

Diagramme d’efforts internes (kN)

53

8

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

3 4

5

6

7

9

10

Diagramme d’efforts internes (kN)

Par exemple, on trouve la force dans la membrure 5-6 en mesurant la ligne corres-pondante sur le polygone de forces.

4,8 cm

= 48

kN

48

54

8

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

3 4

5

6

7

9

10

Diagramme d’efforts internes (kN)

Après avoir mesurer tous les efforts internes, on les indique sur le diagramme d’efforts internes.

60 8648

45 40404

6445 55

45

14 14

11

1916

19 30

16

23

3

26

55

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

5 7 8 910

Diagramme d’efforts internes (kN)

Pour déterminer la nature des efforts internes (tension ou compression), on choisit un nœud et on classe les intervalles dans l’ordre horaire.

60 8648

45 40404

6445 55

45

14 14

11

1916

19 30

16

23

3

26

Efforts de tensionEfforts de compression

o4 6

56

Considérons, par exemple, le nœud o. Lorsque l’on tourne autour de ce nœud dans le sens horaire, on trouve la séquence suivante:6-7-G ou G-6-7 ou 7-G-6.

Pour chacune des membrures adjacentes au nœud o, on utilise la séquence horaire pour déterminer l’orientation de la force interne correspondante sur le polygone de force (le point d’origine et le point d’arrivée de la force correspond à la séquence horaire). Si cette force pointe vers le nœud, la membrure est comprimée. Si au contraire la force est dirigée dans la direction opposée au nœud, la membrure est tendue.

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

56

7 8 910

Diagramme d’efforts internes (kN)

Dans la membrure 6-7, la force est donc orientée du point 6 vers le point 7 sur le polygone de forces. Lorsque l’on ramène cette force sur le diagramme de forme, on constate que la membrure est tendue.4

Polygone de forces

8

ab

c

def

h

i

1 2

g

3 4

5

6

7

9

10

o

60 8648

45 40404

6445 55

45

14 14

11

1916

19 30

16

23

3

26

Efforts de tensionEfforts de compression

57

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

56

7 8 910

Diagramme d’efforts internes (kN)

Dans la membrure 7-G, la force est orientée du point 7 vers le point G sur le polygone de forces. Lorsque l’on ramène cette force sur le diagramme de forme, on constate que la membrure est comprimée.4

Polygone de forces

o

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

56

8 9104

8

ab

c

def

h

i

1 2

g

4

5

6

7

9

10

8

ab

def

h

i

1 2

g

3 4

5

69

10

o

60 8648

45 40404

6445 55

45

14 14

11

1916

19 3016

23

3

26

Efforts de tensionEfforts de compression

60 8648

45 40404

6445 55

45

14 14

11

1916

19 3016

23

3

26

Efforts de tensionEfforts de compression

58

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

56

7 8 910

Dans la membrure G-6, la force est orientée du point G vers le point 6 sur le polygone de forces. Lorsque l’on ramène cette force sur le diagramme de forme, on constate que la membrure est comprimée.4

Polygone de forces

o

Diagramme d’efforts internes (kN)

8

ab

c

def

h

i

1 2

g

3 4

5

6

7

9

10

60 8648

45 40404

6445 55

45

14 14

11

1916

19 3016

23

3

26

Efforts de tensionEfforts de compression

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

56

7 8 910

Diagramme d’efforts internes (kN)

Si on examine attentivement le polygone de forces, on constate que, en fait, la méthode graphique nous a permis de faire l’équilibre vectoriel des forces au point o.4

Polygone de forces

o

60 8648

45 40404

6445 55

45

14 14

11

1916

19 3016

23

3

26

Efforts de tensionEfforts de compression

8

ab

c

def

h

i

1 2

g

3 4

5

6

7

9

10

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

56

7 8 910

Diagramme d’efforts internes (kN)

À titre d’exemple additionnel, voyons maintenant comment la méthode graphique nous permet, en fait, de tracer le polygone de forces au pont z.

60 8648

45 40404

6445 55

45

14 14

11

1916

19 30

16

23

3

26

Efforts de tensionEfforts de compression

4

Polygone de forces

z

8

ab

c

def

h

i

1 2

g

3 4

5

6

7

9

10

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

56

7 8 910

Diagramme d’efforts internes (kN)

Plaçons tout d’abord la force 4-5.

4

Polygone de forces

z

8

ab

c

def

h

i

1 2

g

3 4

5

6

7

9

10

60 8648

45 40404

6445 55

45

14 14

11

1916

19 3016

23

3

26

Efforts de tensionEfforts de compression

62

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

56

7 8 910

Diagramme d’efforts internes (kN)

Ajoutons-lui la force 5-6.

4

8

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

3 4

5

6

7

9

10

z

60 8648

45 40404

6445 55

45

14 14

11

1916

19 30

16

23

3

26

Efforts de tensionEfforts de compression

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

56

7 8 910

Diagramme d’efforts internes (kN)

... puis la force 6-G ...

4

8

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

3 4

5

6

7

9

10

z

60 8648

45 40404

6445 55

45

14 14

11

1916

19 30

16

23

3

26

Efforts de tensionEfforts de compression

64

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

56

7 8 910

Diagramme d’efforts internes (kN)

... et la force G-2 ...

4

8

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

3 4

5

6

7

9

10

z

60 8648

45 40404

6445 55

45

14 14

11

1916

19 30

16

23

3

26

Efforts de tensionEfforts de compression

65

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

56

7 8 910

Diagramme d’efforts internes (kN)

... la force 2-3 ...

4

8

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

3 4

5

6

7

9

10

z

60 8648

45 40404

6445 55

45

14 14

11

1916

19 30

16

23

3

26

Efforts de tensionEfforts de compression

66

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

56

7 8 910

Diagramme d’efforts internes (kN)

... et finalement la force 3-4. On constate que le polygone de forces est fermé ce qui signifie que le point z est bien en équilibre statique !

4

8

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

3 4

5

6

7

9

10

z

60 8648

45 40404

6445 55

45

14 14

11

1916

19 30

16

23

3

26

Efforts de tensionEfforts de compression

67

8

10 kN

40 kN

20 kN 30 kN 10 kN

43,75 kN

42,5 kN

26,25 kN

2,5 kN

Diagramme de forme

A

B C D

E

H

G F

I

12

3

45

67 8 9

10

ab

c

def

h

i

1 2

Polygone de forces

g

3 4

5

6

7

9

10

Diagramme d’efforts internes (kN)

En répétant cette procédure à différents nœuds, on détermine la nature des forces internes pour chacune des membrures. La figure ci-dessous montre le diagramme d’efforts internes une fois complété.

60 8648

45 40404

6445 55

45

14 14

11

1916

19 30

1623

3

26

Efforts de tensionEfforts de compression

5eme étape

Choix desprofilés

69

Membrure la plus sollicitée et ses conditions de retenue 70

Ly = 2 m

La membrure H-1 est la plus sollicitée; elle est soumise à un effort de compression Pf = 86 kN.

Selon l’axe faibleky = 1

Ly = 2 m

Si on considère que les joints sont rotulés et que la membrure supérieure du treillis ne peut pas se déplacer latéralement (i.e. le bâtiment est contreventé), on trouve les conditions de retenue du poteau.

Lx = 6 m

Selon l’axe fortkx = 1

Lx = 6 m

déplacement latéral

empêché par le revêtement

de toiture qui agit comme

un diaphragme

Pf = 86 kN Pf = 86 kN

Choix d’un profilé en bois lamellé-collé 71

Choix: 80 x 190 mm

Selon l’axe faible

Selon l’axe fort

k = 1Ly = 2 mPr = 132 kN > Pf

k = 1Lx = 6 mLequ = Lx/(rx/ry) = 6000 / 2,38 ≈ 2 500 mmPr = 85 kN ≈ Pf

72

80 mm

190 m

m

Les membrures seront orientées defaçon à ce que le côté le plus long soit perpendiculaire au plan du treillis